精品解析：天津市武清区天和城中学2025-2026学年高二第二学期第二次形成性练习数学试题

高二年级第二学期第二次形成性练习（数学学科） 考试时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共45分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 5. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 6. 为调查某企业年利润Y（单位：万元）和它的年研究费用x（单位：万元）的相关性，收集了5组成对数据（x，y），如表所示： x 1 2 3 4 5 Y 50 60 70 80 100 由上表中数据求得Y关于x的经验回归方程为，据此计算出样本点处的残差为（       ） A. 4 B. 5 C. -4 D. -5 7. 某马拉松活动中，将6名志愿者分配到A，B，C三个服务点参加志愿工作，每人只去一个服务点，每个服务点至少安排1人.若A服务点恰好需要3名志愿者，则不同的安排方法种数为（ ） A. 120 B. 80 C. 60 D. 48 8. 若函数的图象不存在过原点的切线，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 已知定义在上的函数，是的导函数，满足.且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（每题5分，共30分） 10. 若函数，则________． 11. 在二项式的展开式中，的系数为___________． 12. 现有8道四选一的单选题，学生李华对其中6道题有思路，2道题完全没有思路．有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对的概率为．现从这8道题中随机选择1题，则他做对该题的概率为____________． 13. 袋中有编号为的10个大小相同的小球，现从中一次性随机取出4个．记X为取出的球中编号不大于4的球的个数，则数学期望_________． 14. 已知为正数，，则的最小值为_________. 15. 已知，，若对，，都有，则实数的取值范围是______． 三、解答题（每题15分，共75分） 16. 已知集合，其中为实数，集合. （1）若，求； （2）若非空集合，求实数的取值范围. 17. 已知函数，当时，有极小值0. （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的最值. 18. 为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽选了50名男生和50名女生，统计数据如下表所示： 经常锻炼 不经常锻炼 合计 男生 40 10 50 女生 30 20 50 合计 70 30 100 （1）从这100人中随机选一人，已知选到的学生不经常锻炼，求此人是女生的概率； （2）试依据小概率值的独立性检验，判断学生体育锻炼的经常性与性别是否有关.附：，其中. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 19. 甲、乙两支排球队进行一场比赛，比赛采取5局3胜制，每局比赛甲获胜的概率均为，比赛没有平局，且每局比赛的结果相互独立． （1）求前2局比赛甲、乙两队各胜一局的概率； （2）记比赛结束时所进行的局数为X，求X的分布列及数学期望． 20. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级第二学期第二次形成性练习（数学学科） 考试时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共45分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助交集定义即可得. 【详解】由，，则. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】由全称命题的否定是特称命题可知：命题“，”的否定为，. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先求解不等式的解集得到的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断关系. 【详解】由，得，即， 则“”是“”的必要不充分条件. 4. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 【答案】D 【解析】 【详解】随机变量，且，则 5. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】函数的定义域为， ， 当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间是. 6. 为调查某企业年利润Y（单位：万元）和它的年研究费用x（单位：万元）的相关性，收集了5组成对数据（x，y），如表所示： x 1 2 3 4 5 Y 50 60 70 80 100 由上表中数据求得Y关于x的经验回归方程为，据此计算出样本点处的残差为（       ） A. 4 B. 5 C. -4 D. -5 【答案】C 【解析】 【详解】依题意，，， 由回归方程必过样本中心，得，解得， 所以在样本点处的残差为. 7. 某马拉松活动中，将6名志愿者分配到A，B，C三个服务点参加志愿工作，每人只去一个服务点，每个服务点至少安排1人.若A服务点恰好需要3名志愿者，则不同的安排方法种数为（ ） A. 120 B. 80 C. 60 D. 48 【答案】A 【解析】 【分析】分步：第一步选3人去A服务点，剩下3人分成两组去B，C两个服务点，一个去1人，一个去2人. 【详解】先选3人去A服务点，剩下3人按照1，2人数分组后安排去B，C两个服务点，不同的安排方法种数为. 8. 若函数的图象不存在过原点的切线，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出函数的图象在处的切线方程，由已知建立方程，利用方程无解列式求解. 【详解】函数，求导得， 则函数的图象在处的切线方程为， 由原点不在该切线上，得关于切点横坐标的方程无解， 即无解，则，解得， 所以实数a的取值范围为. 9. 已知定义在上的函数，是的导函数，满足.且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，，，即 令，； 则，在上单调递减； ，； ，，，得，即； 在上单调递减，且，，解得； 不等式的解集为. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（每题5分，共30分） 10. 若函数，则________． 【答案】 2 【解析】 【详解】，， 所以. 11. 在二项式的展开式中，的系数为___________． 【答案】 【解析】 【详解】的展开式的通项为，， 令，解得， 则的系数为. 12. 现有8道四选一的单选题，学生李华对其中6道题有思路，2道题完全没有思路．有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对的概率为．现从这8道题中随机选择1题，则他做对该题的概率为____________． 【答案】##0.7375 【解析】 【分析】将题目划分为有思路、无思路两类，结合对应条件概率，利用全概率公式求解随机抽取一题做对的总概率. 【详解】随机抽取1道题，抽到有思路题的概率为，抽到无思路题的概率为. 抽到有思路题时做对的条件概率为，抽到无思路题时做对的条件概率为. 由全概率公式可得. 13. 袋中有编号为的10个大小相同的小球，现从中一次性随机取出4个．记X为取出的球中编号不大于4的球的个数，则数学期望_________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意确定随机变量服从超几何分布，即可求解. 【详解】编号不大于4的小球共有4个，大于4的小球共个， 从10个球中取4个，表示取出的不大于4的球的个数，服从超几何分布， 参数为：总体数，符合条件的个体数，抽取数， 超几何分布的期望公式为，代入得： . 【点睛】 14. 已知为正数，，则的最小值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】问题化为求的最小值，应用“1”的代换及基本不等式求其最小值即可. 【详解】由题设，则， 求的最小值，即求的最小值，其中， 由， 当且仅当，即时取等号， 综上，的最小值为. 15. 已知，，若对，，都有，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】因为对，，都有，所以，解得单调性求出，从而得到的取值范围. 【详解】因为对，，都有，所以， 因为在上是单调递减函数， 所以， 因为在上是单调递增函数，是单调递增函数， 所以在上是单调递增函数， 所以时，， 因为，得，．即实数的取值范围为． 三、解答题（每题15分，共75分） 16. 已知集合，其中为实数，集合. （1）若，求； （2）若非空集合，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解绝对值不等式和分式不等式求得集合，可求； （2）利用集合非空可得，由，可得，求解即可. 【小问1详解】 若，由，得，解得，所以. 由，得，即，所以， 解得，，所以； 【小问2详解】 由（1）得， 因为集合为非空集合，所以， 由，得，解得，所以， 又，所以，解得，又，所以， 所以实数的取值范围. 17. 已知函数，当时，有极小值0. （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的最值. 【答案】（1） （2）最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）利用函数在极值点处的两个核心条件 —— 函数值为0、导数值为0，列方程组求解参数，再验证该点确实为极小值点； （2）由（1）利用导数判断函数在上的单调性，求出极值和端点值，比较得解. 【小问1详解】 ，， 当时，有极小值0，， ，，，， 的解为或，在上是单调递增函数； 的解为，在上是单调递减函数， 在处取得极小值，满足题意，故. 【小问2详解】 由（1），，， 又，在上的解为，在上是单调递增函数； 在上的解为，在上是单调递减函数； 在上的最小值为， 又，， 在上的最大值为， 综上可知，在上的最小值为，最大值为. 18. 为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽选了50名男生和50名女生，统计数据如下表所示： 经常锻炼 不经常锻炼 合计 男生 40 10 50 女生 30 20 50 合计 70 30 100 （1）从这100人中随机选一人，已知选到的学生不经常锻炼，求此人是女生的概率； （2）试依据小概率值的独立性检验，判断学生体育锻炼的经常性与性别是否有关.附：，其中. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1） （2）不能认为学生体育锻炼经常性与性别有关 【解析】 【分析】（1）根据列联表，结合古典概型概率公式，即可求解； （2）首先假设，再计算，再比较参考数据，即可得到结论. 【小问1详解】 解：记事件为“选到的学生不经常锻炼”，事件为“选到的人是女生”， 根据条件概率公式，故； 即在选到的学生不经常锻炼条件下，是女生的概率为； 【小问2详解】 解：提出假设为学生体育锻炼经常性与性别无关， 则， 根据小概率值的独立性检验， 没有充分的证据推断不成立， 因此不能认为学生体育锻炼经常性与性别有关． 19. 甲、乙两支排球队进行一场比赛，比赛采取5局3胜制，每局比赛甲获胜的概率均为，比赛没有平局，且每局比赛的结果相互独立． （1）求前2局比赛甲、乙两队各胜一局的概率； （2）记比赛结束时所进行的局数为X，求X的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）X的分布列为 ，X的数学期望为 【解析】 【分析】（1）设事件表示甲队第局获胜，那么前局比赛甲、乙两队各胜一局的概率有两种情况： 和 ，使用独立与互斥事件概率计算公式计算即可； （2）由于采取5局3胜制，的所有可能取值为，，，使用独立与互斥事件概率计算公式计算出所有可能取值的概率. 【小问1详解】 设事件表示甲队第局获胜， 则前局比赛甲、乙两队各胜一局的概率为 【小问2详解】 根据题意得的所有可能取值为，，， 其中， ， ， 则的分布列为 所以． 20. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且，求a的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 （3） 【解析】 【分析】（1）先对函数求导得到导函数表达式，代入已知条件确定参数后，算出处的导数值即切线斜率，再求出对应的函数值即切点坐标，最后用点斜式列出切线方程并整理成一般式即可. （2）先把导函数通分并因式分解，结合定义域，按参数的正负分类讨论；时判断导函数在定义域内恒正，直接得出函数单调递增；时以为分界点，分别判断区间内导函数正负，进而得到函数的递减、递增区间，最后汇总两种情况的单调结论. （3）先借助第二问单调性确定时函数在处取极小值也是最小值，代入求出最小值表达式；由恒成立转化为最小值大于等于0，化简不等式后构造新函数；通过求导判断新函数单调递减，结合特殊点，利用单调性分析出使不等式成立的的取值区间. 【小问1详解】 当时，，所以 所以切线方程为即， 【小问2详解】 ， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）可知当时，有极小值，极小值为， 此时极小值也是最小值，由，可得，， 又，所以 令，求导得， 所以在上单调递减，又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以a的取值范围 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $