第五章《特殊平行四边形》单元综合测试卷 2025～2026学年浙教版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形性质与判定，通过基础辨析、动态探究及新定义问题，考查抽象能力、推理意识与模型观念，适配初中数学单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|菱形识别、矩形性质、正方形计算|结合生活图片（第1题），基础概念辨析| |填空题|6/18|菱形对角线计算、矩形折叠、动点问题|动态折叠（第13题），多解动点（第15题）| |解答题|8/72|新定义“垂美四边形”、折叠综合、坐标几何|新定义探究（22题），动态折叠与最值（23题），坐标几何综合（24题）|

第五章《特殊平行四边形》单元综合测试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.下列图片中，能观察到菱形的是（) 涤效☐笈 2.下列性质中，矩形不一定具有的性质是() A.四边相等B.对角线互相平分C.对角线相等D.对角相等 3.若一个正方形的边长是方程x+8x-20=0的一个根，则该正方形的周长为() A.2 B.4 C.6 D.8 4.下列说法正确的是(). A.有一组邻边相等的四边形是菱形B.有一个角是直角的平行四边形是正方形 C.对角线相等的平行四边形是矩形D.对角线互相垂直的四边形一定是菱形 5.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F,垂足为E,连 接BF,则∠BFC的度数为() D A.90° B.80° C.70° D.60° 6.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,OB=4,则AC的长为() A.4 B.8 C.45 D.85 7.如图，在矩形ABCD中，O是对角线BD的中点，E,F分别是BC,AD上的点，且 4F=BE=1.若4B=3,BC=4,则0E+Or 的长为() A D A.3 B.2 C.2W2 D.25 8.如图，两个全等的等腰Rt△ABC和等腰Rt△CDA有公共斜边AC,且四边形ABCD的面积为 36,△ABE为等边三角形，点E在四边形ABCD内，在AC上有一点P,使PD+PE的和最小， 则这个最小值为() E A.5 B.6 C.7 D.8 9.如图，点E是正方形ABCD的中心（对角线的交点），以点E为直角顶点作R△EFG, Rt△EFG 的两直角边EF,EG BC,DC于点M,N,若正方形1C 分别交心， 上MN 的边长为8，则重 叠部分四边形EMCN的面积为() A D E G C B M A.6 B.9 C.12 D.16 10.如图①，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点P是对角线AC上一动点，设PC=x, PE+PB=,图②是'关于x的函数图象，且图象上最低点O的坐标为mV5), 则正方形 ABCD 的边长为() 图① 图② A.2 B.2 C.5 D.4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分) 11.如图，要使口ABCD是菱形，需添加的条件是 12.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,OE⊥AD,垂足为E,AC=8,BD=6, 则OE的长为 D B 13.如图，点E为长方形纸片ABCD的边BC上一点，将长方形纸片分别沿AE,EF折叠，使 点B,C分别与点G,H重合，点E,G,H恰好在同一条直线上.若∠AEH=3LHEF,则 ∠AEH-∠HEF 的度数为 D H B 14.将矩形纸片ABCD按如图所示折叠，已知AD=6cm,AG=HB=3cm,EG=EH=lcm.则蚂 蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是 cm 15.如图，在矩形ABCD中，AB=4cm,AD=12cm,点P从点A向点D以1cm/s的速度运动， 点Q以3cm/s的速度从点C出发，在B,C两点之间做往返运动.两点同时出发，点P到达点 D停止运动（同时点Q也停止运动）·这段时间内，当运动时间为_时，以P,Q,C,D四 点为顶点可以组成矩形， 16.如图，正方形ABCD的边长为2，点F为BC边上一点，连接DF,交AC于点M,且 CM=CF,B平分∠CMD,交DF于点GP是线段1G上的一个动点，过点P作Pw11C,垂 SADCE2 足为水，连接PM.有下列四个结论：①DG=MG;②S边形HFw=6-3V2;③SAEc2;④ 3 PM+PN的最小值为2，其中正确的有 (填写正确结论的序号)· 三、解答题（共8小题，共72分） 17.(8分)如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,△AOB的周长为9，AC=6,求 BC 的长. D O B I8.(8分)如图，在正方形ABCD中，点E在DA延长线上，点F在AD延长线上，连接 BE、CF,且BE=CF 求证：∠ABE=∠DCF A D F 19.(8分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AD=2BC,E为AD的中点，连接BD,BE, ∠ABD=90° BCDE 求证：四边形心为菱形. B 20.(8分)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点D作DE∥AC,且 DE= 24C,连接CE、OB,OE交DC于点F: A F B (1)求证：四边形OCED是矩形； (2)若AD=6,求OF的长. 21.(8分)【观察猜想】我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角. B C E 图1 图2 (1)如图1，在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，连接AE,AF,EF,并延长CB到点 G,使BG=DF,连接AG.若∠EAF=45°，则BE,EF,DF之间的数量关系为 【类比探究】（2)如图2，当点E、F分别在线段BC,CD的延长线上，且∠EAF=45°时，试探 究BE,EF,DF之间的数量关系，并说明理由. 22.(10分)定义：若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为“垂美四边 形” B D G M O% 图1 图2 (1)如图1，四边形ABCD是“垂美四边形”，则根据勾股定理 AB2 BC2 =_十； =_十- CD2 AD2 =十_； =_十_； 所以，用等式表示AB2、BC2、CD、AD之间的数量关系是_； (2)如图2，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACGD和正方形ABFE, 连接BD、CE、DE,CE分别交AB、BD于点M,N. ①CE与BD的位置关系是_，给出证明； ②若AB=4,AC=2N5,则线段DE的长是_ 23.(10分)如图，矩形ABCD中，AB=3,AD=4. E B E 图1 图2 备用图 (I)点E是边BC上一点，将△ABE沿直线AE翻折，得到△AFE. ①如图1，当AF平分∠EAD时，求BE的长； ②如图2，连接DF,当BE=1时，求△ADF的面积； (2)点E为射线BC上一动点，将矩形ABCD沿直线AE进行翻折，点C的对应点为C,当点E, ,D三点共线时，求E的长 24.(12分)对于平面直角坐标系xO少中的点P和图形刚，给出如下定义：若图形W上存在 点M和点Q,使得PM=QM,且∠PM0=90°，则称点P为图形W的“等直点”. 3 3 2 2H A B 43201234x432☑234x E 2 -3引 -4 -4 图1 图2 ()知图1，点A的坐标为)，点B的坐标为)， ①点R).B(23引，B2,0)B0,2),-是线段4B的“等直点”； ②若直线"=(k0)上存在线段B的“等直点”，求的取值范国； (2)如图2，边长为2的正方形CDEF的对角线交于O点，其各边与坐标轴平行.记线段CD的 “等直点”、线段DE的“等直点”、线段EF的“等直点”、线段FC的“等直点”所构成的 图形为G.若直线y=c上的所有图形G上的点所组成的线段长度为a,则直接写出a的取值 范围是_· 参考答案 一、选择题 1.B 解：选项A中四边形不是平行四边形， 选项B中，四边形的四边相等，能观察到菱形，符合题意； 选项C中是矩形， 选项D中没有四边都相等的四边形. 故选：B 2.A 解：根据矩形的性质可知，矩形的对边相等，对角线相等而且互相平分、四个角等于90°，但 矩形的邻边不一定相等， 故A符合题意，B不符合题意，C不符合题意，D不符合题意， 故选：A. 3.D 解：：r+8x-20=0可因式分解为 x+10)(x-2)=0 “x=-10或x=2. 正方形的边长必须为正数， 取x=2. ∴.周长为4×2=8. 故选：D. 4.C 解：选项A,有一组邻边相等的平行四边形是菱形，但有一组邻边相等的四边形不一定为菱 形，所以A不符合题意； 选项B,有一个角是直角的平行四边形是矩形，但不一定是正方形，所以B不符合题意； 选项C,对角线相等的平行四边形是矩形，C符合题意； 选项D,对角线互相垂直的平行四边形是菱形，但对角线互相垂直的四边形不一定为菱形， 所以D不符合题意. 故选：C 5.B 解：，四边形ABCD是菱形，∠BAD=80°， ∠BAF=5∠BAD=40 ,EF垂直平分AB, ∴AF=FB, ∴.∠BAF=∠FBA=40°， ∴.∠AFB=180°-∠BAF-∠BFA=100°， .∴.∠BFC=180°-∠AFB=80°， 故选B. 6.B 解：，四边形ABCD是矩形， ∴.AC=BD=2OB=2×4=8 故选：B. 7.A 解：设BC,AD的中点分别为M,N,连接OM,ON, B E M 在矩形ABCD中，O是对角线BD的中点， OM为△BC 的中位线，即OMIICD 48-CD-3BC-AD-4.OM-CD-3 又BC⊥CD, ∴.OM⊥BC 又M为BC中点，BC=4, ∴.BM=2,EM=BM-BE=1 .OE=V√OM+EM2 3) +1= 2, 3 同理可得ON=FN=1, . .OE+OF=33 2 2 故选：A. 8.B 解：连接BP, E ,'两个全等的等腰Rt△ABC和等腰RtACDA有公共斜边AC, ∴.AB=BC=CD=DA,∠ABC=90°， 四边形ABCD为正方形， ,正方形ABCD的面积为36， .正方形的边长为6， .△ABE为等边三角形， ∴.BE=AB=6, .四边形ABCD为正方形， ∴.△ABP与△ADP关于AC对称， ∴BP=DP, ∴.PE+PD=PE+BP≥BE, .PE+PD有最小值为6， 故选：B. 9.D 解：过点E分别作EP⊥CD,EO⊥BC,如图所示： A N B ,四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的边长为8， ∴.∠C=90°，BC=CD=8 .EP⊥CD,EQ⊥BC ∴.∠EQC=∠EPC=∠C=90° .四边形EQCP是矩形， ,点E是正方形ABCD的中心， 0=EP=x8=4, .四边形ECP是正方形， ∴.∠QEP=90° .∠QEP=∠QEN+∠NEP=90° :Rt△EFG的两直角边EF,EG分别交BC,DC于点M,N, ∴.∠FEN=∠FEQ+∠QEN=90° .∠PEN=∠FEQ .∠MQE=∠EPN=90°，EQ=EP, ,△MQE≌aNPE(ASA) S.MOE=S.NPE 则重叠部分四边形EMCN的面积为S正方形EQcP, .SE方形0cp=4×4=16. 即重叠部分四边形EMCN的面积为16， 故选：D 10.B 解：如图，点D是点B关于直线AC的对称点，连接DE交AC于点P, D E B 根据点的对称性，PB=PD,则y=PE+PB=PD+PE=DE为最小， 故ED=V5 设正方形的边长为a,则46=0， 在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE2=AD+AE2, 即+60-5 解得：a=2(负值已舍去)， 故选：B. 二、填空题 11.AB=BC或AC⊥BD 解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形， 那么可添加的条件是：AB=BC或AC⊥BD 故答案为：AB=BC或AC⊥BD 2 12.5 解：：菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且AC=8,BD=6, .A0=4,D0=3,∠AOD=90°， AD=5, 在R△A1DO中，由等积法得：40-D0=4D-0E, 2 :0E=40D0-3x412 AD 55, 2 故答案为：5 13.450 解：由折叠的性质可得：∠AEB=∠AEH,∠CEF=∠HEF, .∠AEB+∠AEH+∠CEF+∠HEF=180°， ∴.∠AEH+∠HEF=90°， .∠AEH=3∠HEF, ∴.3∠HEF+∠HEF=90° .∠HEF=22.5°， ∴.∠AEH=67.5°， ∴.∠AEH-∠HEF=45°， 故答案为：45° 14.10 解：如图，展开矩形，则AB=AG+EG+EH+HB=3+1+1+3=8cm, D 图② 矩形对边平行相等， ∴.BC=AD=6cm .AC=VB+BC+6=10cm 故答案为：10. 15.3s或6s或9s 解：根据题意可知，当点P到达点D时， 点Q的运动轨迹为C一B一C一B, .四边形ABCD是矩形， ∴.AD∥BC,∠D=90°， .PD∥CQ 若PD=CQ,则四边形PQCD是矩形. DP=(12-t)cm 设运动时间为s.由题意，得 分三种情况讨论： ①当0≤t≤4时，CQ=3tcm, .12-t=3t, 解得t=3; ②当4<t≤8时，C0=(24-3)cm, ∴.12-t=24-3t, 解得1=6； ③当8<t≤12时，Cg=(3t-24)cm, .12-t=3t-24. 解得t=9」 综上所述，当运动时间为3s或6s或9s时，以P,Q,C,D四点为顶点可以组成矩形. 16.①②③ 解：，正方形ABCD的边长为2， ∴.AD∥BC,AD=AB=BC=CD=2,∠B=90°，∠BCA=45°， ∴.∠ADF=∠CFD, CM=CF, ∴.∠CMF=∠CFD, ∴.∠ADF=∠CMF, .∠CMF=∠AMD, .∠AMD=∠ADF, .AE平分∠CAD, ∴.∠MAG=∠DAG, 在△MAG和△DAG中， ∠AMG=∠ADG ∠MAG=∠DAG AG=AG △MAG≌ADAG(AAS) .DG=MG,AM=DA=2,则结论①正确； :在Rt△ABC中，AC=VAB+BC=22 .CF=CM=AC-AM=22-2, 如图，过点M作MW⊥BC于点W, B F币 :∠BCA=45°， ∴.∠WMC=90°-∠BCA=45°， ∴.∠WMC=∠BCA=45°， ∴.WM=CW, 在RtACMW中，CM=VWM'+CW2=V2mM=2V2-2 ∴.WM=2-V2, umw=5c-Sw分×2x2-×5-20-2)=6-35,则结论②正确 ,四边形ABCD是正方形， .AD=DC,∠ADC=∠DCB=90°， .∠ADF+∠CDF=90°， :AD=AM,AE平分∠CAD, .AG⊥DF, .∠ADF+∠DAE=90°， .∠DAE=∠CDF, 在△DAE和△CDF中， ∠DAE=∠CDF AD=DC ∠ADE=∠DCF=90°， ,△DAE≌ACDF(ASA) .DE=CF=2W2-2, ∴.CE=DC-DE=4-2W2, S.DCE= 2 S.AEC 2×2(4-22) 2,则结论③正确； 如图，连接PD,DN, .AD=AM,AE平分∠CAD, ∴AE垂直平分DM, ∴.PD=PM, ∴.PM+PN=PD+PN, 由两点之间线段最短可知，当点D,P,N共线时，PD+PN的值最小，最小值为DN, 由垂线段最短可知，当DN⊥AC时，DN的值最小，即PM+PN的值最小， 此时有5m4C-DN=4DDC, .DN=4D:DC-2x2-2 AC 22 .PM+PN的最小值为V2,则结论④错误； 综上，结论正确的有①②③， 故答案为：①②③. 三、解答题 17.解：四边形ABCD是矩形，且AC=6, :0B=0A=54C=-3,∠ABC=90, 2 △AOB的周长为9， .AB+OB+OA=9, .AB=3, ∴.BC=VAC2-AB2=V6-32=35. 18.证明：，正方形ABCD, .AB=CD,∠BAD=∠CDA=90°， ∴.∠BAE=∠CDF=180°-90°=90°， 又，BE=CF, ,Rt△BAE≌RIACDF(HL) ∴.∠ABE=∠DCF 19.证明：：E为AD的中点， .'AD=2DE, .AD=2BC, ∴.DE=BC, :AD∥BC, ∴.四边形BCDE是平行四边形， :∠ABD=90°，E为AD的中点， BE-DE-1AD 2 ∴四边形BCDE是菱形. 20.(1)证明：四边形ABCD是菱形， :.OA=0C=AC,4AC⊥BD ∴.∠C0D=90° YDE-AC ∴.OC=DE .DE AC “四边形OCED是平行四边形， 又∠COD=90°， 小平行四边形 CED 是矩形； (2)解：由(1)可知，OA=OC,OC=DE, ∴.OA=DE, .DE I AC ∴.四边形OADE是平行四边形， ∴.OE=AD=6 .四边形OCED是矩形， 0F=20E=3. 21.解：(1)EF=BE+DF, .四边形ABCD为正方形， .AD=AB∠ABG=∠ADF=90° .BG=DF .△ADF≌△ABG(SAS) ∴.AF=AG∠DAF=∠BAG ,四边形ABCD为正方形， ∴.∠BAD=90° .·∠EAF=45 .∠BAE+∠DAF=45° .∠BAG+∠BAE=45°=∠EAF .∠GAE=∠EAF=45o AG=AF ∠GAE=∠EAH 在 和 △AGE'△AFE AE=AE :∴，△AGE≌△AFE(SAS) ∴.GE=EF .GE =GB+BE=BE+DF ∴.EF=BE+DF (2)EF=BE-DF,理由如下： 如图2，在BC上截取BG=DF,连接AG. C E 图2 ,四边形ABCD为正方形， .AD=AB∠ABG=∠ADF=90° .·BG=DF .△ADF≌△ABG(SAS) .AF=AG∠DAF=∠BAG ,四边形ABCD为正方形， ∴.∠BAD=90° :∠EAF=45° ·∠DAE+∠DAF=45 .∠BAG+∠DAF=45° ∴.∠GAE=∠EAF=45° AG=AF ∠GAE=∠EAH 在 和中， △AGE△AFE AE=AE .△AGE≌△AFE(SAS) ∴.GE=EF GE=BE-BG=BE-DF ∴.EF=BE-DF 22.(1)解：AD2+BC2=AB2+CD2, 理由：，AC L BD, .∠AOD=∠A0B=LB0C=∠COD=90°， 由勾股定理得，AB2=AO2+B0,BC2=B02+C02, CD2=C02+D02AD2=A02+D02 .AD2+BC2=AO2+DO2+B02+C02, AB2+CD2=A02+B02+C02+D02 AD2+BC2=AB2+CD2 故答案为：A0,B0,B0,C02,C0,D0,A0,D02,AD+BC2=AB2+CD2 (2)①CE⊥BD，,证明如下： 如图2，连接CD、BE, 图2 .'正方形ACGD和正方形ABFE, .AD=AC,AB=AE,∠CAD=∠BAE=90°， ∴.∠CAD+∠BAC=∠BAE+∠BAC,即∠DAB=∠CAE, :△D1Be4 CAE(SAS) ∴.∠ABD=∠AEC, .∠AEC+∠AME=90°， .∠ABD+∠AME=90°， .∠AME=∠BMN, .∠ABD+∠BMN=90°， 即CE⊥BD, ∴.四边形CDEB是垂美四边形， ②由①得，CD+BE2=CB2+DE2, :AC=23,AB=4, BC=AB2-AC7=2 CD=2AC=2V6,BE=2AB=42, .DE2=CD+8E2-CB2=(26)+(42-22=52, .DE=213 故答案为：213 23.(1)解：①.四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=90°， .将△ABE沿直线AE翻折，得到△AFE, ∴.∠BAE=∠FAE, .AF平分∠EAD, .∠DAF=∠FAE, :∠BAE=∠DAP=∠FAE=∠BAD=x90°=30°， 2BE-AE:AB-AE2 -BE=3BE 2×3=V5 3 3 ②如图所示，延长EF交AD的延长线于点G, D G B E ,四边形ABCD是矩形， .AD∥BC, ∴.∠GAE=∠AEB, .将△ABE沿直线AE翻折，得到△AFE, .AF=AB=3,BE=EF=l,∠AEB=∠AEF, ∴∠GAE=∠AEG, ∴.AG=GE, AD=4, .AG=AD+DG=4+DG=FG+EF=FG+1, .FG=DG+3, 在Rt△AFG中，AF2+FG=AG2, 即3+(DG+3=(DG+4} 解得：DG=1, .FG=DG+3=4,AG=4+1=5, 设△ADF中4G边上的高为，则方4Gxh=4F×FrG, 1 h=AFxFG_12 △0F的面积号0办=4x号-头 55； (2)当点E、C、D三点共线时，分两种情况： ①当E在BC的延长线上时， B .四边形ABCD是矩形， .∠ABC=∠BCD=90,AD=BC=4,CD=AB=3,ADI‖BC ∴.∠DCE=90°，∠CED=90°-∠CDE=∠B'DA, 由折叠的性质得：AB=AB=3,∠B=∠ABC=90°， .∠DCE=∠B,DC=AB, △CDE≌AB'AD(AAS) .DE AD=4, .CE-DR2-CD=3 .BE=BC+CE=4+7; ②当E在线段BC上时， y D 由折叠的性质得：∠AEC=∠AEC, .∠BEC=∠DEC, ∴.∠AEB=∠AED, .AD∥BC, ∴∠AEB=∠DAE, ∴.∠DAE=∠AED, ∴.DE=AD=4, 在RUACDE中，由勾股定理得：CE=VDE-CD=V军-3=V万 .'BE=BC-CE=4-7; 综上所述，BE的长为4+V7或4-V7. 24.（1)解：①.点A的坐标为 ,点B的坐标为8D, AB=2, 如图， 4P1P2 2 1A的B -2-1,O1P234x -2引 对于L3),RA=3-1=2=AB,RA14B 对于B(2,0).BA=B8=2 .B4+PB2=4=AB2 .BAIPB :RL3)和B(2,0)是线段B的“等直点”： 和 而对于B23)和B02》线段4B上找不到任何两个点可以使B(23)和B2)符合线段4B的 “等直点”的条件， 故答案为： P(1,3)P(2,0) ②设点P川)是线段B的“等直点” 如图，8=2，点C坐标为3)，D坐标为-)， 4-3-2-1⊙234x 一rD -4 根据“等直点”定义可知，点P的横坐标必须在A、B两点横坐标之间，点P到AB的最大距 离为AB的长度， :·点P在平面直角坐标系中的位置都在线段AB外围虚线所围的区域内，但不包含线段AB, :1sms30<m-1小s2 :当直线'=k0)经过点 C(1,3) 时，k取最大值，最大值为3， 当直线(0经益点D心-时，大取数小值，最小使为， k≠0， 的取值范围为-1≤k≤3且k≠0； (2)解：如图，根据(1)②得，所有正方形CDEF的“等直点”都在虚线封闭图形区域内， 而直线y=上的所有正方形CDEF的“等直点”组成的线段，就是直线y=:在虚线封闭图 形内的线段部分，长度为a, 4-32 当直线"=依0)经过点P或-)时，a取得最小值， 或 此时a=2F0=2×√2+12=2√2： 当直线”=0)经过点63)H(13)、儿).K(-)中任意一点时，a取得景大值， 此时a=2G0=2VP+32=20 ∴a的取值范围为2W2≤a≤20 故答案为：22≤a≤210