第5章《特殊平行四边形》单元综合测试卷 2025-2026学年浙教版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形判定与性质，通过概念辨析、动态变换及新定义问题，整合平行四边形知识体系，培养几何直观与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|选择3、7题|基础判定与性质辨析|从平行四边形到矩形、菱形、正方形的判定条件递进| |性质应用|填空11、16题|折叠与动态计算|结合对角线、面积公式及图形变换，深化性质应用| |综合探究|解答23、24题|新定义与多步推理|以“垂美四边形”为载体，融合勾股定理与四边形性质，体现知识迁移|

第5章《特殊平行四边形》单元综合测试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.边长为3cm的菱形的周长是（) A.3cm B.6cm C.9cm D.12cm 2.如图，矩形OABC的顶点 (0,0),A(6,0)C(0,4 ,B的坐标为() B A 6 4.(6,4) B.(46) C.(6,0) D.(04) 3.下列说法中，错误的是() A.矩形的对角线相等 B.正方形的对角线互相垂直平分 C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.对角线互相平分的四边形是平行四边形 4.已知正方形ABCD的对角线长为4cm,则该正方形的面积为() A.16cm2 B.8cm2 C.6cm2 D.4cm2 5.要使口ABCD变为矩形，可以添加的条件是() A.AB=CD B.AD=BC C.AB=BC D.AC=BD 6.矩形、菱形、正方形都具有的性质是() A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直 D.对角线平分对角 7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点H为AD边的中点，菱形ABCD的 周长为40，则OH的长为() A.4 B.5 C.8 D.20 8.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，圆中的黑色部分和白色部分关于正 方形的中心成中心对称，设黑色部分面积为S,正方形边长为2，则$为() A.0.25π B.0.5π C.0.75π D.π 9.如图，在△ABC中，点D,E,F分别在边BC,AB,CA上，且DE∥CA,DFIBA,下列四种说 法： ①四边形AEDF是平行四边形： ②如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形； ③如果AD平分∠BAC,那么四边形AEDF是菱形； ④如果AD⊥BC,且AB=AC,那么四边形AEDF是正方形.其中，正确的有() D A.①② B.①②④ C.①②③ D.①②③④ 10.如图，菱形ABCD的边AB=10,高CE=8,F是边CD上一动点，将四边形AEFD沿直线 EF CP 折叠，4点的对应点为”，当CP的长度最小时，F的长为() CF A.2 B.4 C.6 D.8 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.如图是男生宿舍的一个可伸缩衣架，这个衣架可以看作是由三个菱形组成，我们将其中 一个记为菱形ABCD，小宇测得这个菱形的对角线AC=8cm,BD=16cm,则这个菱形的面积为 B 12.如图，正方形ABCD的边长为4，点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,AD的中点，则四边形 EFGH 的面积为」 H 13.如图，将长方形纸片ABCD,沿折痕MN折叠，AB分别落在对应位置AB处，AB交AD 于点E,若∠BWM=61°，则∠BED为 14.如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=6.若以BC的中点为坐标原点，BC边所在的直线为 y轴建立平面直角坐标系，则点D的坐标为 B 15.6月2日6时23分，嫦娥六号着陆器和上升器组合体在鹊桥二号中继星的支持下，成功 着陆在月球背面南极-艾特肯盆地预选着陆区.组合体元件中有个展板的平面图如图所示，在 正方形ABCD中，E,F分别是BC,AB上的点，DE,CF相交于点M.N是DF的中点，若 AF=1CE=BF=2,则M的长为 MN D 16.如图，四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上一点，连接DE,过点E作EF⊥DE, 交边BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG.若AB=4,CE:AE=3:1,则CG= 三、解答题（共8小题，共72分） 17.(8分)今年我县提倡六城建设，某社区有一个正方形空地，准备把此正方形空地分成 面积相等的四部分，分别种植四种不同的花草，请你运用所学的知识，设计三种不同的方案， (画出即可) 18.(8分)如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和线段CD,点A, B,C,D均在小正方形的顶点上. (1)在方格纸中画以AB为一边的菱形ABEF,点E,F在小正方形的顶点上，且菱形ABEF的面 积为3； (2)在方格纸中画以CD为一边的等腰△CDG,点G在小正方形的顶点上，连接EG,使 ∠BEG=90° ,并直接写出线段G的长. 19.(8分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上中线，点E为CD的中点，点F在 BE的延长线上，且BF=BE,连接CF、 C E D (1)依题意补全图形： (2)求证四边形ADCF是菱形. 20.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC边的中点，以AB,BD为邻边作口ABDE, 连接AD,EC,求证：四边形ADCE是矩形. D 21.(8分)如图，四边形ABCD是正方形，AB=3,P是对角线BD上一点，过点P作PE⊥CD 于点E,PF⊥BC于点F,若DE=L,BF=2,求AP的长. D 日E ■ B 22.(10分)如图，做如下操作：对折矩形ABCD,使AD与BC重合，得到折痕EF,把纸片 展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点P处，得到折痕BM.BM与EF交于点N,若直 线BP交直线CD于点O. M E B (1)猜想∠ABM的度数，并说明理由； (2)若BC=7,EN=1,求线段QD的长. 23.(10分)如图，在长方形ABCD中，AB∥CD,BC∥AD,∠B=90°，AB=6,AD=8,点 P在边BC上，且不与点B、C重合，直线与DC的延长线交于点E. E B B D (I)当点P是BC的中点时，求证：△ABP≌△ECP; (2)将△ABP沿直线AP折叠得到△APB,点B'落在长方形ABCD的内部，延长PB交直线AD于 点F ①证明FA=FP,并求出在(1)条件下求AF的值； ②连接B'C,直接写出△PCB周长的最小值. 24.(12分)如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.（如图1) B A B 图1 图2 ()概念理解：在平行四边形，矩形，菱形，正方形中，一定是垂美四边形的是一； (2)性质证明：如图1，四边形ABCD是垂美四边形，请写出其两组对边AB,CD与BC,AD 之间的数量关系一；并给出证明. (3)问题解决：如图2，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正 方形ABDE,连接CE,BG,GE,已知AC=3,AB=5,求GE的长. 参考容案 一、选择题 1.D 解：菱形的四边相等，且边长为3cm, =4×3=12(cm). 周长 故选：D. 2.A 解：“矩形OABC的顶点 (0,0),A(6,0),C(0,4) AB=0C=401=6,4B1轴， B的坐标为 6,4) 故选：A. 3.C 解：A、矩形的对角线相等，原说法正确，不符合题意； B、正方形的对角线互相垂直平分，原说法正确，不符合题意； C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原说法错误，符合题意； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，原说法正确，不符合题意； 故选：C. 4.B 解：，四边形ABCD为正方形， .AC=BD=4cm,AC⊥BD 正方形ABCD的面积=2×AC×BD=8cm, 故选：B 5.D 解：选项A和B是平行四边形固有性质，不能保证为矩形，不符合题意； 选项C中AB=BC,表示邻边相等，可证四边形ABCD为菱形，但不一定是矩形，不符合题意； 选项D中AC=BD,对角线相等，可证平行四边形ABCD为矩形，符合题意； 故选D. 6.B 解：矩形、菱形、正方形的对角线相互平分， 故选：B 7.B 解：，四边形ABCD是菱形，且其周长为40， .'AB=BC=CD=DA=10,AC L BD. ∴.∠A0D=90°， 点H为AD边的中点， :0H-号0=5 故选：B 8.B 解：正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称， “白色部分的面积等于黑色部分的面积S, .'.S=28 设半径为”， “正方形边长为2， ∴.2r=2 ∴.P=1 .S圆=2S=r2=π×12=元 S=0.5π 故选：B 9.C 解：DE∥CA,DF‖BA 六四边形MEDF 是平行四边形，故选项①正确； .∠BAC=90°， 六平行四边形1EDF 为矩形，故选项②正确； 又AD平分∠BAC, ∠EAD=∠FAD 又DE∥CA, ∴.∠EDA=∠FAD ∴.∠EAD=∠EDA :AE=DE 产平行四边形1EDF 为菱形，故选项③正确； 又AB=AC,AD L BC, AD 平分 ∠BAC 同理可得平行四边形AEDF为菱形，但∠BAC不一定为直角， 故菱形AEDF不一定为正方形；故选项④错误； 则其中正确的是①②③. 故选：C. 10.D 解：如图1， B 图1 .菱形ABCD的边AB=10, .CD=CB=AB=10,CD‖AB, 高CE=8,即CE⊥AB, ∴.∠AEC=∠BEC=90°， .∠FCE=∠BEC=90°，BE=VCB2-CE2=V102-82=6 ∴.AE=AB-BE=10-6=4, .将四边形AEFD沿直线EF折叠，A点的对应点为P, ∴.PE=AE=4,∠PEF=∠AEF, .CP+PE zCE, ∴.CP+4≥8， ∴.CP≥4， ∴当点P落在CE上时，CP取得最小值，最小值为4， 如图2， FD B E A 图2 点p在CE上，则ZCEF=∠AEF=,∠AEC=45o ∴.∠CFE=∠AEF=∠CEF=45°， ∴.CF=CE=8 故选：D 二、填空题 11.64cm 解：，菱形的对角线AC=8cm,BD=16cm, 这个菱形的面积为4C-BD-x8x16=64em) 1 故答案为：64cm2 12.8 解：，四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD=4, :点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,AD的中点， =HD-DG=GC=FC=BF=BE=AE=x .四边形EFGH的面积为SE方彩BcD-SABH-S,Hc-S,cGr-S,BEr =4x4-x2x2-1x2x2-1x2x2-1x2x2 1 2 2 =16-2-2-2-2 =8 故答案为：8. 13.32° 解：如图，作BF川BC, A F----B .ADI‖BC ADI‖BF 由折叠得∠BNM=∠BNM=61°，∠AB,N=∠B=90°， .∠FB,N=∠B,NC=180°-61°-61°=58°， .∠B,ED=∠EB,F=90°-58°=32° 故答案为：32°」 14.(8-3) 解：以BC的中点为坐标原点O,BC边所在直线为y轴： :BC=6,O为BC中点， .B0=OC=3, :点8坐标为@3)，点C坐标为0-)】 :矩形ABCD中，ABI‖CD,AB=8,且AB平行于x轴， 点D由点C向右平移8个单位得到，坐标为 (8,-3) 故答案为： (8,-3) V10 15.2 解：，AF=1,CE=BF=2,四边形ABCD是正方形， ∴.AB=AD=BC=DC=AF+BF=1+2=3,∠B=∠DCE=∠A=90°， ∴.在△DCE和△CBF中， DC=BC ∠B=∠DCE CE=BF .△DCE≌△CBF(SAS) .∠CDE=∠BCF, .∠BCF+∠DCM=90°， ∴.∠CDE+∠DCM=90° ∴.∠CMD=90°=∠DMF, 在R△DMF中，DF=VAD+4F=V3+P-i0 N是DF的中点， MN-TDF0 2， v10 故答案为：2 16.V2 解：，四边形ABCD是正方形，AC是正方形ABCD的对角线， ∴.AB=BC=4,∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，∠BCA=∠DCA=45°， .AC=2AB=42, .CE:AE=3:1, :4E=4C=5, .四边形DEFG是矩形， ∴.∠FED=∠EDG=90°， ∴.∠ADE+∠EDC=∠EDC+∠CDG=90°， ∴.∠ADE=∠CDG, 如图所示，过点E作EM⊥BC于点M,EN⊥CD于点N, ∴.∠EMC=∠MCN=∠CNE=90°， ∴.四边形EMCN是矩形，则∠MEN=9O°=∠MEF+∠FEN, .∠FED=∠FEN+∠NED=90°， ∴.∠MEF=∠NED, .∠BCA=45°，∠EMC=90° ∴.∠MEC=45°， ∴.△EMC是等腰直角三角形， ∴.EM=MC, ∴.矩形EMCN是正方形， ∴.EM=EN, :△Er≌，END(AaS) ∴EF=ED, ∴.矩形EFGD是正方形， .DE =DG, 在△ADE,aCDG中， AD=CD ∠ADE=∠CDG ED=GD △ADE≌ACDG(SAS) .CG=AE=2. 故答案为：V2 三、解答题 17.解：如图①，连接该正方形的两条对角线，则正方形被分为4个全等的等腰直角三角形： 如图②，连接该正方形对边中点，则正方形被分为4个全等小正方形； 如图③，连接该正方形一组对边的4等分点，则正方形被分为4个全等矩形. 图① 图② 图③ 18. (1)解：如图所示： D (2)解：如图所示： EG=P+22=5 19.(1)解：如图： E B D (2)证明：∠ACB=90,CD为AB边上中线， CD=14B-AD 2 .·EF=BE 1 1 .CD∥AF,ED=AF=CD 2 2 ∴AF=CD, ∴.四边形ADCF为平行四边形， CD=AD, ∴.ADCF为菱形 20.证明：~AB=AC,D为BC边的中点， ,AD⊥BCBD=CD ∴.∠ADC=90° “四边形BDE是平行四边形， :AE BD AE=BD .AE CD AE=CD ·四边形 DCE 是平行四边形， 又：∠ADC=90°， ·四边形 DCE 是矩形. 21.解：如图，延长FP,交AD于点Q 马E B ABCD 四边形 是正方形， .∠BAD=∠ABC=∠ADC=90° PF⊥BC,PE⊥CD, .∠BFQ=90°，∠PED=90° ∴.∠BAD=∠ABC=∠BFQ=90° ·四边形 ABFO 是矩形， ∴.AQ=BF,∠AQF=90° ∴.∠PQD=∠PED=∠ADC=90° 小四边形 EDO 是矩形， ..PO=DE .DE=1,BF=2, ∴.PQ=1,AQ=2 :AP=PO2+402=+22=5 22.(1)解：∠ABM=30°，理由如下： 连接AP,由对折矩形ABCD可知： D B AE=BE,PE⊥AB .PA=PB 由第二次折叠可知：AB=PB,∠ABM=∠PBM, ·.PA=PB=AB △ABP 为等边三角形， .∠ABP=60° 店∠ABM=∠PBM=)X60°=30 (2)解：在Rt△BEN中，∠EBN=30° .BW=2EN=2,BE=√22-12=√5 .矩形ABCD, ∴.AB=CD,AB∥CD,∠BCD=90°， .沿着EF对折， ..DF=AE=BE =CF=3 .四边形EBCF是平行四边形， .EF BC .∠NPB=∠PBC=90°-∠ABP=30°∠PFQ=∠BCD=90° ∴.∠PBM=∠NPB ∴.PN=BN=2 .PF=EF-PN-EN=7-2-1=4 在Rt△PF0中，∠QPF=∠NPB=30°，设OF=x, .P9=2QF=2x (2x)2=x2+42 43 解得=等《会去负值)， 郎Qr 3,故O0=0r-DF=3 3 23.(1)证明：四边形ABCD是矩形， .AB∥CD ∴.∠BAP=∠E∠B=∠BCE “点P是BC的中点， .BP=CP ∴.△ABP≌△ECP(AAS) (2)解：①：四边形ABCD是矩形， .AD=BC ∴.∠APB=∠FAP 由折叠得∠APB=∠APF, ∴.∠FAP=∠APF ..FA=FP 矩形ABCD中，AB=6,AD=8, ∴.BC=AD=8 “点是8C的中点， ∴.BP=CP=4 由折叠得AB=AB=6,PB=PB=4,∠B=∠AB'P=∠AB'F=90°， 设FA=x,则FP=x, ∴.FB'=x-4 在Rt△AB'F中，AF2=B'F2+BA, .x2=(x-4)2+62 邻得宁 即AP=13 ； ②由折叠得AB=AB=6,PB=PB, ..APCB' =CP+PB+CB'=CB+CB'=8+CB' 的周长 --------,B B、 D C 连接B'C,AC, AB'+B'C>AC “当点B恰好位于对角线1C上时， CB+AB' 最小， 在Rt△ABC中，AB=6,BC=8, ..AC=AB2+BC2=10 ∴CB' 的最小值=4C-AB=4 ∴△PCB' 周长的最小值8+CB=8+4=12 24.(1)解：，在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱 形、正方形， 菱形和正方形一定是垂美四边形， 故答案为：菱形、正方形； (2)解：AD2+BC2=AB+CD,理由如下， 如图所示，设AC与BD交于点O, B ABCD 四边形 是垂美四边形， ∴AC⊥BD ∴.∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90° 由勾股定理，得：AD2=A02+D02,BC2=BO2+CO,AB2=AO+B02,CD2=C02+D0, .AD2+BC2=A02+DO2+BO2+CO2,AB2+CD2=A02+BO2+CO2+DO2 .AD2+BC2=AB2+CD2 (3)解：如图，连接CG,BE. G .∠CAG=∠BAE=90° ∴.∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC 即∠GAB=∠CAE. 又AG=AC,AB=AE, ∴.AGAB≌ACAE(SAS) ∴.∠ABG=∠AEC 又：∠AEC+∠AME=90°， ∴.∠ABG+∠AME=90° 又'∠BMC=∠AME, ∴.∠ABG+∠BMC=90° ∴CE⊥BG 小四边形 GEB 是垂美四边形. 由(2)可知CG2+BE2=CB2+GE2, .AC=3,AB=5, 由勾股定理，得CB2=AB2-AC2=16,CG2=AC2+AG2=18,BE2=AB2+AE2=50, .GE2=CG+BE2-CB2=18+50-16=52 ∴.GE=V52=2V13