第五章《 特殊平行四边形》章节综合检测卷 2025～2026学年浙教版数学八年级下册

**基本信息** 《特殊平行四边形》单元综合检测卷，通过选择、填空、解答题（30+24+66分）全面考查矩形、菱形、正方形的性质与判定，融入图形变换、动态探究等情境，发展几何直观与推理能力，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|特殊平行四边形判定（第1题）、性质应用（第2题）、折叠问题（第7题）|多结论判断（第5题）、动态几何（第6题），考查空间观念| |填空题|8/24|菱形面积计算（第12题）、矩形旋转问题（第14题）、正方形综合（第18题）|结合作图痕迹（第11题）、阴影面积（第17题），体现抽象能力| |解答题|10/66|菱形与矩形综合（第25题）、折叠与类比探究（第28题）、动手操作（第19题）|跨知识整合（第27题平行四边形与等边三角形），培养创新意识与推理能力|

第五章《特殊平行四边形》章节综合检测卷 一、选择题(10小题，每小题3分，共30分) 1.如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法不正确的是() D B A.当AC=BD时，四边形ABCD是矩形 B.当AB=BC时，四边形ABCD是菱形 C.当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形 D.当∠DAB=90°时，四边形ABCD是正方形 2.如图，在直角坐标系中，矩形48CD的对角线BD∥r轴，者4(2,0)，D0),AC与BD的 交点为E,则C的坐标为（) E A.(8,8) B.(6,45) c.(45-28) D.(6,8) 3.如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC,BD 于点E,F,再分别以点E,F为圆心，大于2EF长为半径画孤交于点P,作射线BP,过点C 作BP的垂线分别交BD,AD于点M,N,则MD的长为() D M 5 A.2 B.1 C.2 D.2 4.数学兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形相框 的是() ■ 4 2.5 2.5 3 A. D. Q 2.52.5 5.如图，在正方形ABCD中，点G为CD边上一点，以CG为边向右作正方形CEFG,连接AF, D交于点P,连接BG,过点P作FH1/BG交BC于点，连接M,交BD BD 于点K,下列结论中 错误的是() H A.HE=CD B.△AHF是等腰直角三角形 C.点P为AF中点 D.PK=BK+DP 6.如图，在正方形ABCD中，点E从点B出发，沿边BC方向向终点C运动，DF⊥AE交AB于 点F,以FD,FE为邻边构造平行四边形DFEP,连接CP,则∠FAE+∠EPC的度数的变化情况 是() A.一直减小 B.一直减小后增大 C.一直不变 D.先增大后减小 7.如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,折叠正方形纸片ABCD,使AD 落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后，折痕DE分别交AB、AC于点E、G,连 AD 接GF,下列结论：①∠AGD=12.5°；②E2;③Sn=San;④四边形ABFG是菱形；⑤ BE =20G ,其中结论正确的是() 、G O A.①④ B.②③④ C.①④⑤ D.①②④⑤ 8.如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BCCD、DA的中点.则下列说法： ①若AC=BD,则四边形EFGH为矩形： ②若AC⊥BD,则四边形EFGH为菱形； ③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分； ④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等. 其中正确的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 9.两张全等的矩形纸片ABCD,AECF按如图所示的方式交叉叠放在一起，AB=AF, .若MB=5BC=2 AE=BC ,则图中阴影部分的面积() B A.5 B.2.9 C.2.4 D.2.1 IO.如图，BD是菱形ABCD的对角线，作BC的垂直平分线分别交BD、BC于点E、F,连接 、CE,若c=46,则<D1 的度数为() D E A.105o B.108° C.111° D.114° 二、填空题(8小题，每小题3分，共24分) I1.如图，在矩形ABCD中，以点C为圆心，CD长为半径作弧交对角线AC于点E,分别以点 D E CD ,为圆心， )长为半径作预，两预交于点F、连接即交4C于点G,连接F,DF,则 AE G的值为」 D G E 12.如图，菱形ABCD的对角线AC,D相交于点0，过点D作pE/A且DE=-号4C,连接E 交OD于点F,连接OE、CE.已知AB=4,DE=2,则菱形ABCD的面积=；EF= 13.在矩形ABCD中，AB=8,BC=6,点E为AB上一动点，DE交AC于F,当∠CFE=2∠ACB时， 线段DF的长为一· D C 14.在矩形ABCD中，MB=3,MD=5.将边AB绕点A逆时针旋转 (0<0<180），得到线段。 过点E作AE的垂线交直线BC于点F.当F,E,D三点共线时，BF的长为一· 15.如图，在Rt△ABC中，AC=BC,点P是BC上一点，BD⊥AP交AP延长线于点D,连接 CD.若图中丙阴影三角形的面积之差为32（即， S△MCP-SAPBD=32、 ）,则CD= D B 16.如图：现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知甲、乙两个正 方形边长之和为8，点H为AE的中点，连接DH,FH.将乙纸片放到甲的内部得到图2，图2 的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为 甲 HB 图1 图2 17.如图，大正方形与小正方形的面积之差是8，则阴影部分的面积是 18.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,且△ABD是边长为4Cm的等边三角 形.点E,F同时从点0出发在线段AC上以0.5Cm/s的速度反向运动(，点E,F分别到达A,C 两点时停止运动)，连接DE，,DF,BE,BF.当运动时间为S时，四边形DEBF为正 方形 D 三、解答题(10小题，共66分) 19.实践探究： (1)如图①，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，要得到一个正方形.剪口与 折痕应成」 度的角 知识应用： (2)小明按照以上方法剪出两个边长为1的全等正方形，把正方形AB,CO绕正方形ABCD的 中心点O转动的过程中，如图②所示摆放，求证AE=BF. 拓展延伸 (3)小明把2024个边长为1的全等正方形重叠在一起，如图③0,0,0…分别是正方形 的中心，请直接写出正方形重叠阴影部分的面积. C 图① 图② 图③ 20.如图①，将四边形纸片ABCD沿两组对边中点连线剪切为四部分，将这四部分镶嵌可得 到如图②所示的四边形O00,04」 O 3中五 2 B 03 图① 图② (1)试判断四边形00,0,04的形状，并证明. (2)若要镶嵌后的平行四边形OO,O,04为矩形，则四边形ABCD需要满足什么条件，并证明. 21.如图矩形01BC中，0为平面直角坐标系的原点，A、C两点的坐标分别为B0、(0,5) 的 A (1)直接写出B点坐标； (2)若过点C的直线CD交AB边于点D,且把矩形OABC的周长分为1：3两部分，求直线CD 的表达式. 22.如图，在四边形纸片ABCD中，∠B=∠D=90°，点E,F分别在边BC,CD上，将AB,AD 分别沿AE,AF折叠，点B,D恰好都和点G重合，∠EAF=45°. D B (1)求证：四边形ABCD是正方形； (2)若正方形ABCD边长为3，BE=1,求EF的长度. 23.如图，在口ABCD中，O是对角线AC,BD的交点，过点O作对角线BD的垂线分别交 D,BC于点E.F,点M,N在D上，且BM=DN,求证：四边形E是菱形. 于点 ,点 A E D M B F 24.如图，将口ABCD的边AB延长至点E,使BE=AB,连接DE,EC,BD,若DE=AD (1)求证：四边形BECD是矩形； (2)若BC=5,AB=3,求口ABCD的面积. 25.如图①，在菱形ABCD中，点0为对角线AC的中点，将对角线AC绕点0逆时针旋转到 MN 0°≤a≤180，将造出四边形 CN BM,DN ，且旋转角α满 ，连结 M M 图① 图② (1)四边形AMCW是哪种特殊的四边形？请写出你的猜想，并证明. $ (2)若AC=4BC=5,设△ABM的面积为S,△BMC的面积为S,当MN∥BC时，求S,的值. (3)如图②，若四边形ABCD是正方形，当MN经过AB中点时，探究MB,MC,BC三条边存在的 等量关系.请给出结论，并说明理由. 26.如图，在矩形ABCD中，E,F分别为边CD,AD上的点，AF=DE,AE,BF相交于点 G,过点C作CH⊥AE,交AE的延长线于点H,且CH∥BF. D G (备用图) (1)求证：四边形ABCD是正方形 AF 1 (2)已知DF2,AB=6: ①连接DG,求DG的长. ②请直接写出CH与BF之间的距离. 27.已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,AB=AC. D D E B B 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠BAC=60°，AB=6,求BD的长； (2)如图2，AB⊥AC,点E、F在线段BD上，△AEF为等腰直角三角形且∠EAF=90°，连接 CF OB=2CF+OF ,求证： (3)如图3，若∠BAC=60°，AB=8,点P是线段BD上的一个动点，连接AP,以线段AP为边在 MP下方狗造等边三角形MP,连接DP,当MP+DP的值摄小时，请直接写出△DP的面积。 28.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. G 图1 图2 图3 图4 (1)根据定义判矩形 已知：如图1，在平行四边形ABCD中，AC,BD是它的两条对角线，AC=BD.求证：平行四 边形ABCD是矩形. (2)动手操作有发现 如图2，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE,点F在矩形 ABCD 内部，廷长F交CD于点G.猜想线段GF与GC 有何数量关系？并证明你的结论. (3)类比探究到一般 如图3，将(2)中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，(2)中的结论是否仍然成立， 请说明理由， (4)解决问题巧应用 如图4，保持(2)中的条件不变，若G点是CD的中点，且AB=2,请直接写出矩形ABCD的面 积. 参考答案 一、选择题 1.D 解：A、AC=BD 根据对角线相等的平行四边形是矩形可得，四边形 ABCD 是矩形，故说法正确，不符合题意； B、AB=BC, ABCD “根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得，四边形 是菱形，故说法正确，不符合题 意； C、AC⊥BD, 广根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得，四边形1C”是菱形，故说法正确，不符合 题意； D、∠DAB=90°， ~根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得，四边形4BC”是矩形，不一定是正方形，故 说法错误，符合题意. 2.A 解：由BD∥x轴， A(2,0)D(0,4) 不妨设B(m4)C(a,) 由矩形ABCD, 故点E是AC与BD的中点，且AC=BD, Ea+2b)】 或气22， 同一点的坐标是相同的， b 1a+2m 故24,2=2， 故b=8,m=a+2、 故m=(a-2}+8 故(a+2y°=(a-2+8 解得a=8, 故C88) 故选：A. 3.B 解：，四边形ABCD是矩形， ∴.CD=AB=3,∠BCD=90°， BD=BC+CD-5 由作图方法可知，BP平分∠CBD, .∠OBM=∠OBC, CM⊥BP, ∴.∠BOM=∠B0C=90°， 又OB=OB, .△OBM≌△OBC(ASA) ∴.BM=BC=4, .∴.DM=BD-BM=1. 4.B 解：A、有三个角是直角的四边形是矩形，故不符合题意； B、有两个角是直角的四边形不一定是矩形，故符合题意； C、由两组对边相等得到该四边形是平行四边形，再由有一个角是直角的平行四边形是矩形， 故不符合题意； D、先由对角线互相平分得到该四边形是平行四边形，再由对角线相等得到该四边形是矩形， 故不符合题意. 5.D 解：A.四边形CEFG是正方形， ∴.GF∥CE,GF=CE, .BG∥HF, .四边形BFG为平行四边形， ∴.GF=BH, .BH=CE, ∴.BC=HE, .四边形ABCD为正方形， ∴.BC=CD. .HE=CD,故A正确； B..ABCD是正方形，CEFG是正方形， .AB=BC,CE=EF,∠ABH=∠HEF=90°， .BC=HE,BH=CE, ..AB=HE,BH=EF, ∴.△ABH≌△HEF(SAS), .∴.AH=HF,∠BAH=∠EHF, ,∠BAH+∠AHB=90°， ∴.∠EHF+∠AHB=90°， ∴.∠AHF=90°， ∴.△AHF为等腰直角三角形，故B正确； C.过H作HM⊥BC,HM与BD交于点M,连接MF,则MH∥EF, .四边形ABCD是正方形， 1 ∴.∠ABC=90°，∠HBD=2∠ABC, ∴.∠HBM=45°， ∴.BH=MH, .△ABH≌△HEF, ∴BH=EF, ∴.MH=EF, ∴.四边形EFM为矩形， .MF∥BE∥AD,MF=HE, ∴.∠DAP=∠MFP,∠ADP=∠FMP, .'AD=BC=HE, .'.AD=MF, ∴.△PAD≌△PFM(ASA), .AP=FP,故C正确； M G H D.将△ADP绕点A顺时针旋转90，得△ABQ,连接QK,则AQ=AP,∠QAP=90°， ,△AHF是等腰直角三角形， .∠HAF=45°， .∠QAK=∠PAK=45°， .AK=AK, ∴.△AQK≌△APK(SAS), ..QK=PK, .四边形ABCD是正方形， ∴.∠ABD=∠ADB=45°， 由旋转性质知，∠ABQ=∠ADP=45°，BQ=DP, ∴.∠QBK=90°， ∴.BK2+BQ=QK2, BK+DP2=KP,故D错误； D G B H 故选：D. 6.C 解：作PH⊥BC交BC的延长线于H, E ,四边形ABCD是正方形， ∴.AD=AB=BC,∠DAF=∠ABE=∠DCB=∠DCH=90°， DF⊥AE, ∴.∠BAE+∠DAE=90°，∠ADF+∠DAE=90°， ∴.∠BAE=∠ADF, :△1DF≌aBAE(ASA) ∴.DF=AE, ,四边形DFEP是平行四边形， ∴.DF=PE,DF∥PE,∠DFE=∠DPE, ∴AE⊥PE,AE=PE, .'∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠PEH=90°， ∴.∠BAE=∠PEH, .∠ABE=∠H=90°，AE=PE, △ABE≌△EHP(AAS) ∴.PH=BE,AB=EH=BC, ∴.BE=CH=PH, .∠PCH=45°， .∠DCH=90°， .∠DCP=∠PCH, ∴.CP是∠DCH的角平分线， 点P的运动轨迹是∠DCH的角平分线， .∠BAE=∠PEH, ∴.∠FAE+∠EPC=∠PEH+∠EPC=∠PCH, 而∠PCH=)∠DCH=45 .∠FAE+∠EPC一直不变， 故选：C 7.C 解：：四边形ABCD是正方形， '.∠GAD=∠AD0=45°， 由折叠的性质可得：∠ADG=)∠AD0=22.5° 故∠4GD=180°-45°-22.5°=112.5°，故①正确. “由折叠的性质可得：1E=EF,∠BFD=∠EMD=90」 ∵AE=EF<BE, 1 ..AE<AB, 治2 :AD>24E,故②错误。 .∠A0B=90°， .'AG-FG>0G,△AGD与△OGD同高， ∴.SA4GD>SAOGD ,故③错误. ∴.∠EFD=∠AOF=90°， .∴.EF∥AC .∵∠FEG=∠AGE, .∴.∠AGE=∠FGE, .∠FEG=∠FGE, ..EF=GF .AE=EF .AE=GF ..AE=EF=GF,AG=GF, ·.AE=EF=GF=AG, 小四边形 EFG 是菱形， 故四边形AEFG是菱形，故④正确. ”四边形MEG 是菱形， .∴.∠0GF=∠0AB=45°， ∴.∠0GF=∠OFG=45° ∴.OF=OG .EF=GF=OF2+0G2=20G 同理可得BE=V2EF=V2×V20G=20G.故⑤正确. 综上，正确的结论有①④⑤. 8.A 解：：点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点， :EH=PG=BD,EF=iG=号AC,BEH∥BD∥FG,EF∥4C∥HG, 1 2 21 .四边形EFGH是平行四边形， ①若AC=BD,则EH=FG=EF=HG, ∴.四边形EFGH为菱形，即①错误； ②若AC⊥BD,则EH⊥EF,即∠HEF=90°， ∴.四边形EFGH为矩形，即②错误； ③AC与BD是否互相平分均能得到四边形EFGH是平行四边形，即③错误； ④若四边形EFGH是正方形，则EH=FG=EF=HG,∠HEF=90°， ∴AC L BD,AC=BD,即AC与BD互相垂直且相等，故④正确， 故正确的个数是1个 故选：A. 9.D 解：如图：设AFCD相交于点G,AB、EC相交于点H, ,两张全等的矩形纸片ABCD,AECF按如图方式交叉叠放在一起， .AB∥CD,AF∥EC,∠E=∠EAF=∠BAD=∠D=90,AB=AF=EC=5,AE=AD=BC=2, ∴.四边形AHCG是平行四边形，∠EAH=∠DAG, 在△ADG和△AEH中， 「∠D=∠E AD=AE ∠EAH=∠DAG' △ADG≌△AEH(ASA) ..AG=AH, .平行四边形AHCG是菱形， ..AH=CH, 设AH=CH=x,则EH=5-x, 在R△BH中，由勾吸段定理得：2+(5-=，解得：x=29 ∴.EH=5-2.9=2.1, 心图中阴影部分的面积2H×4E=×2.1x2=2.1, 1 1 2 故选：D. 10.C 解：四边形ABCD为菱形， .AB=BC, ∠ABE=∠CBE=3∠ABC=23°，AD∥BC, ∴.∠BAD=180°-∠ABC=134°， 在△ABE和△CBE中， AB=CB ∠ABE=∠CBE BE=BE .△ABE≌△CBE(SAS) .'AE=CE, EF垂直平分BC, ∴.BE=CE, ∴.AE=BE, ∴.∠ABE=∠BAE=23°， .∴.∠DAE=∠BAD-∠BAE=111°. 二、填空题 11.2 解：如图，连接AF,BE,由作图痕迹可知CE=CD=DF=EF, 小四边形 CDFE 是菱形， ..EF CD “四边形MBCD 矩形， ∴.AB∥CD,AB=CD, ∴.AB∥EF,AB=EF, 六四边形ABF是平行四边形， 六点是E的中点， G 、AE =2 AG F 12. 8V3 v 解：四边形ABCD是菱形， 40-TAC.AC 8D:DO-OB-7BD AC DE-TAC-2 .DE=A0=2,AC=4, 在Rt△AOB中，AB=4, :0B=VA8-A0=军-2=25，则8D=20B=45, 4×45-8N3 .菱形ABCD的面积为2 .AO=DE,AO∥DE, 四边形AOED是平行四边形， ·A=E,F0=D0=)o8=5 2 2 在RAAF0中，AF=VA02+FO=2+(N5=V7, .'EF=AF=7 13.5 解：如图，连接BD交AC于点O, O、 3 B 在矩形ABCD中，AB=8,BC=6, ∴.AC=BD=10, ∴.0A=0B=0C=0D=5, .∴.∠ACB=∠OBC, ∴.∠AOB=∠ACB+∠OBC=2∠ACB, .∠CFE=2∠ACB, ∴.∠AOB=∠CFE, .∠A0B+∠D0F=∠CFE+∠DF0=180°， ∴.∠DF0=∠D0F, ∴.DF=D0=5. 故答案为：5 14.1或9 解：：四边形ABCD是矩形， .CD=AB=3,BC=AD=5,∠ABC=∠BCD=∠CDA=90, ①当点E在DF上时，连接AF，如图， B EF⊥AE, .∠AEF=90, .∠AEF=∠B=90°， .AE=AB,AF=AF, ,Rt△ABF≌RtAAEF(HL) .∴.BF=EF, 设BF=EF=x,则CF=5-x, 由旋转得：AE=AB=3, .EF⊥AE, ∴.∠AED=∠AEF=90°， :.DE=VAD2-AE2=V52-32=4 在RtDCF中，由勾股定理得，CF2+CD2=DF2, :(5-x°+32=(6x+4}2 .x=1, ∴BF=1, ②当点E在线段FD的延长线上时.如图，连接AF, B C 同理可得：RtABF≌Rt△AEF,EF=BF,DE=4, 设EF=BF=a,则DF=a-4,CF=a-5, :(a-5y+32=(a-4 .a=9, ∴.BF=9, 综上所述：BF的长为1或9. 15.8 解：如图，延长AC,BD交于点E,过点C作CH⊥BE于点H,CG⊥AD于点G,则 ∠AGC=∠BHC=90° E O H D GP B 在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∴.∠BCE=∠ACB=90°， ∴∠E+∠CBE=90°， BD⊥AP,即∠ADE=90°， .∠CAP+∠E=90°，四边形CGDH是矩形， ∴.∠CAP=∠CBE, .AC=BC,∠AGC=∠BHC=90°， .△ACG≌△BCH, ..CG=CH, ∴.四边形CGDH是正方形， ∴.CH=DH, CD=VCH+DH =DH ,∠CAP=∠CBE,AC=BC,∠ACB=∠BCE=90° ∴.△ACP≌△BCE, ∴.SAcr=SBcE,CP=CE, .SAACP-S△PsD=S△BCE-SAPBD=SI边形CPpE=32 在Rt△CPG和Rt△CEH中， CP=CE,CG=CH, ∴.RtACPG≌RtACEH, ..S.CPG=S.CEM ∴.S四边形CPDE=S,cEH+Sg边形CPDH=S,CPG+S四边形CPpH=S正方形CGDH=32, .DH=32, ∴.CD=V2DH=8. 故答案为：8 16.19 解：设甲正方形的边长为a,乙正方形的边长为b,根据题意得 a+b=8①(a-b)2=6② 由①，得(a+b)'=64③】 由②+③，得(a+b)}2+(a-b}2=a2+2ab+b2+a2-2ab+b2-2(a2+b)=70, ∴.a2+b2=35 点H是AE的中点， 4h=H4+8B)a+)=4. D4H-0x4=2aSm.Hs=bx4=2边， .S,2 2 .Sm影=a2+b2-2a-2b=a2+b2-2(a+b)=35-16=19 17.4 解：如图， B 大正方形与小正方形的面积之差是8， .AB2-BE2=8 由图可知： s号cBC+号s.D 1 =÷AE(BC+BD) 2 -(AB-BE)(4R+BE) 48-BE） 18 =4 故答案为：4. 18.4 ,四边形ABCD是菱形， ∴.AC⊥BD,OD=OB」 设运动时间为t,则OE=OF=0.5tcm. ∴.四边形DEBF是菱形 当EF=BD时，四边形是正方形. .△ABD是边长为4Cm的等边三角形， ∴.BD=4cm. .'EF =OE+OF =tcm BD=4cm 故答案为：4. 三、解答题 19.解：（1)一张长方形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对 角线分别是两组对角的平分线， 所以当剪口线与折痕成45°角，菱形就变成了正方形. 故答案为：45； (2)证明：在正方形AB,CO和正方形ABCD中， ∠AOC=∠AOB=90°，∠OAE=∠OBF=45°OA=OC=OB=OD ∴.∠AOC-∠BOE=∠AOB-∠BOE ∴.∠AOE=∠BOF, ,△AOE≌△BOF(ASA) 。。 .'AE=BF; (3)由(2)可知，△AOE≌△BOF, .S.AOE=S.BOF =.0E+SOF-S.0+S.0=S.40 .2024个边长为1的全等正方形重叠在一起， :正方形重叠阴影部分的面积为：1x1x(2024-)-202 20.(1)解：平行四边形，理由： ,将四边形纸片ABCD沿两组对边中点连线剪切为四部分，将这四部分镶嵌可得到如图②所 示的四边形000,04， .∠0=∠0，∠02=∠0， ∴四边形00,0,0是平行四边形； (2)对角线AC=BD时，密铺后的平行四边形为矩形. 理由：根据密铺后的平行四边形成为矩形，必须四个内角均为直角. 如图所示， 连接EF、FG、GH、HE,设EG与HF交于点O, 连接AC、BD, 由中位线定理得：EF∥AC∥GH,且EF=GH=4C, 2 BH/BD/FG,且EH=FG=8D, ∴.四边形EFGH为平行四边形， ..AC=BD, .∴EF=EH, ∴.中点四边形EFGH为菱形， .EG⊥HF, 故要镶嵌后的平行四边形00，O,0,为矩形， 则四边形ABCD需要满足的条件为AC=BD 21.(1)解：矩形OABC, ∴.0A∥BC,OC∥AB,0A=BC,OC=AB, ·A(3,0)C(0,5) .B(3,5). (2),过点C的直线CD交AB边于点D,且把矩形OABC的周长分为1：3两部分， B OC=AB>BD,0A=BC, CB+BD 1 则一定有：C0+OA+AB-BD3, 3+BD1 13-BD3 解得BD=1, .AD=AB-BD=5-1=4, 即D点的坐标为(3,4)， 设直线CD的关系式为y=kx+b,且经过(0,5)和(3,4)得， [b=5 3k+b=4 k=月 解之得b=5 即直线CD的关系式为：y=3x+5。 22.(1)证明：由折叠可知，∠BAE=∠EAG、∠DAF=∠FAG、AB=AG、AD=AG, .AB=AD ∠EAF=∠EAG+∠FAG=45° ∴.∠BAE+∠DAF=45° .∠BAD=∠BAE+∠DAF+∠EAF=45°+45°=90° .∠B=∠D=90° 小四边形 BCD 是矩形， ·AB=AD 六矩形ABCD 正方形： (2)解：由(1)知，四边形ABCD是正方形， ∴.BC=DC=3∠C=90° ∴.EC=BC-BE=3-1=2 设DF=x,则FC=3-x, 由折叠的性质知，GE=BE=1、GF=DF=x, .EF=GE+GF=1+x 在RtaECF中，EF2=EC2+FC2, (1+x)=2+(3-x)2 3 解得：X=2, 35 .EF=1+ 22· 23.证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AD BC OB=OD .∴.∠EDO=∠FBO 又BM=DN, ∴.OM=OW 「∠EOD=∠FOB OD=OB 在和 △EOD'△FOB 中，∠ED0=∠FB0' ∴.△EOD≌△FOB(ASA) ∴.EO=FO ∴.四边形EMFN是平行四边形. ,过点O作对角线BD的垂线分别交AD,BC于点E,F, ..EF⊥MW ∴.四边形EMFN是菱形， 24.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,AB∥CD,BC=AD, BE=AB, ∴.BE=CD, .BE∥CD, ∴.四边形BECD为平行四边形， DE AD, ∴.DE=BC, ∴.平行四边形BECD是矩形； (2)解：由(1)可知，四边形BECD是矩形， .∠DBE=90°，即BD L AB, ..AD=BC=5,AB=3, :BD=VAD-AB2=52-3=4 ∴.平行四边形ABCD的面积=3×4=12. 25.(1)解：四边形AMCN为矩形， 证明：四边形ABCD为菱形， ∴.0是AC中点， ∴.OA=OC, 由旋转知OM=OA=OC=ON,AC=AW, .四边形AMCN为矩形； (2)解：连接AB,延长AM交BC于G,如图①， 图① 四边形ABCD为菱形，AC-4, ∴.OB=OD,BO⊥AC, ∴.A0=C0=2, 在RIB0C中，B0=VBC-C0-2i,SecC0-B0-2i, 5.e-28.oc=21 .MN∥BC, S.we =S.woc =21 :9 ..OM=OC, ∴.∠OMC=∠OCM, .MN∥BC, ∴.∠GCM=∠NMC, ∴.∠ACM=∠GCM, 又：四边形AMCN为矩形， ∴.∠AMC=∠GMC=90°，CM=CM, 、△AMC≌aGMC(ASA) .AC=CG=4,AM=MG .5.w5.w. 1 ..BG=BC-CG=1=IBC 5 √2I 、S.AMB 5 :② 5, .825: (3)解：连接OB,如图②， M 图② :四边形ABCD为正方形， ∴.∠BAC=459,OB=0A,∠A0B=90,AC2=AB2+BC2=2AB2 .MN过AB中点， ∴.OM平分∠AOB, ∴.∠AOM=∠BOM, ..OM =OM,OA=OB △AOM≌△BOM(SAS) ∴.AM=BM, 由(1)知四边形AMCN为矩形， .∠AMC=90°， ∴.AC2=AM2+MC2, .AM =BM,AC2=AB2+BC2=2AB2 .2BC2=BM2+MC2. 26.(1)解：四边形ABCD为矩形， .∠BAD=∠ADC=90°， ,CH⊥AE, .∠AHC=90°， CH∥BF, ∴.∠AGB=∠AHC=90°， ∴.∠ABF+∠AFB=∠DAE+∠AFB=90°， ∴.∠ABF=∠DAE, AF=DE, .△ABF≌aDAE(AAS) .AB=AD, ∴矩形ABCD为正方形； (2)解：①过点D作DM⊥AE于点M,如图所示： .四边形ABCD为正方形， ∴·AB=BC=CD=AD=6,∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°， AF 1 :DF=2,AD=6, :AF=3AD=2,DF=24D=4 3 3 ∴.DE=AF=2, BF-VAF+AB-2+6=20 .'△ABF≌△DAE, ∴.AE=BF=2N10, 根据解析(1)可知：∠AGB=90°， AG⊥BF, 1 Ss=号AFXAB=BFXAG 2 :4G=482x63i0 BF2√105， 同理得：DM=DDE6x23而 AE2105, 在Rt△ADM中，根据勾股定理得： AM=AD2-DM2 62 3V10 9√10 5 5, GM=AM-AG=6V 5, 中，根据勾股定理得：DG=VGM+DM 6W10 在 310 (5 =32 tAGDM 5 ②过点C作CN⊥BF于点N,如图所示： 则∠CNG=∠CNB=90°， ,'∠CBN+∠BCN=∠CBN+∠ABG=9O°， ∴.∠BCN=∠ABG, ∠AGB=∠CNB=90°，AB=BC, ,△ABG≌△BCN(AAS) :8N=AG=3i0 5, 在RtABCN中，根据勾股定理得： CN=BC2-BN2 910 5, 910 即CH与BF之间的距离为5· 27.(1)解：AB=AC,∠BAC=60°， .△ABC是等边三角形， AB=6, ∴.AB=BC=AC=6, .平行四边形ABCD是菱形， :BD-20B.04-1AC=3,AC LBD ∴.∠AOB=90°， OB=AB-O4=33 .BD=6N3; (2)证明：如图，过点A作AH⊥BD,垂足为H, A D E H ∴.∠AH0=90°， .AB⊥AC, .∠BAC=90°， .∠EAF=90°=∠BAC, ∴.∠BAC-∠EAO=∠EAF-∠EAO,即∠BAE=∠CAF, ,△AEF为等腰直角三角形， ∴AE=AF,∠AEF=45, ∴.∠AEH=∠EAH=45°， ∴.AH=EH, AB=AC, ,△ABE≌△ACF(SAS) ∴.BE=CF,∠ABE=∠ACF .∠AOB=∠COF, ∴.∠BAO=∠CFO=90°， ∴.∠AH0=∠CFO, ,四边形ABCD是平行四边形， ..OA=OC, △AOH≌△COF(AAS) ..AH =CF,OH=OF, .'.CF=EH, .OB=BE+EH+OH=CF+CF+OF =2CF+OF (3)解：连接BP,CP, D △APP是等边三角形， .AP=AP',∠PAP'=60° ,∠BAC=60°， .∠BAC-∠P'AC=∠PAP'-∠P'AC,即∠BAP'=∠CAP, AB=AC=8, :△1BPa1CP(SAS),△ABC是等边三角形. ∴BP=CP,AB=BC, 四边形ABCD是菱形， AD=CD,∠AD0=∠CD0,AC⊥BD,OA=AC=4 0B-AB-O-43-OD DP=DP, .△ADP≌aCDP(SAS) 。 ∴.AP=CP, ∴.AP=CP=BP'=AP', ∴.AP+DP=BP+DP≥BD,即当点P在线段BD上时，AP'+DP'的值最小， 如图， D B C Z04P-ZPAP-30.OP-OP .'PP'=2OP=AP', .OA2+OP2=AP"2 :0p4g =OP 3 :DP=0D-0P=45-4W58V5 33, :8me-DP40=×85x4165 2 23 3 28.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形 ∴.AB=CD,∠ABC+∠DCB=180°， 在△ABC和△DCB中， .AB=CD,BC=CB,AC=BD, ∴.AABC≌△DCB(SSS), ∴∠ABC=∠DCB, .∠ABC=90°， .平行四边形ABCD是矩形； (2)证明：GF=GC, 理由如下：如图，连接GE, D G E ,E是BC的中点， ∴.BE=EC, .△ABE沿AE折叠后得到△AFE, ∴.BE=EF,∠B=∠AFE=90°， ∴.EF=EC,∠EFG=90° .四边形ABCD是矩形， .∠C=∠B=90°， ,在RtAGFE和Rt△GCE中， ..EF=EC.EG=EG ∴.Rt△GFE≌Rt△GCE(HL), ∴.GF=GC; (3)证明：(2)中的结论仍然成立. 理由如下：如图，连接FC, A F B E是BC的中点， .BE=CE, .将△ABE沿AE折叠后得到△AFE, ∴.BE=EF,∠B=∠AFE, .'EF =EC, ∴.∠EFC=∠ECF; .:四边形ABCD为平行四边形， ∴.∠B=∠D, ,∠ECD=180°-∠D,∠EFG=180°-∠AFE=180°-∠B=180°-∠D, ∴.∠ECD=∠EFG, ∴.∠GFC=LGFE-LEFC=∠ECG-∠ECF=∠GCF ∴.∠GFC=∠GCF, ..FG=CG: 即（2)中的结论仍然成立. (4)解：在平行四边形ABCD中，CD=AB=2, 由(2)可知GF=GC, G点是CD的中点， GF-GC-GD-2CD-3x2-1, 由折叠的性质，则AF=AB=2, .AG=2+1=3, AD2+DG2=AG2. .AD=V32-P=2W2 ∴.矩形ABCD的面积为： 2W2×2=4V2