专题03正方形的综合问题八类题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版八年级下册

**基本信息** 以八大模型为核心，通过典例-变式体系系统提炼正方形综合题解题方法，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |十字架模型|1典例+3变式|构造全等证明线段关系|从基础垂直模型到对角线综合| |对角互补模型|1典例+2变式|旋转构造全等，结合特殊角|从四边形模型到正方形应用| |手拉手模型|1典例+3变式|旋转全等，夹角度数不变|从静态到动态旋转综合| |半角模型|1典例+2变式|旋转转化，线段和差关系|从正方形到一般四边形拓展| |折叠问题|1典例+3变式|轴对称性质，方程思想|从折叠操作到动态周长问题| |动点问题|1典例+3变式|转化思想，最值模型|从单点运动到多动点综合| |坐标系综合|1典例+2变式|坐标表示，几何性质结合|从静态坐标到动态滚动问题| |函数综合|1典例+2变式|函数建模，数形结合|从一次函数到综合应用|

专题03 正方形的综合题八类题型 典例详解 类型一、正方形的十字架模型 类型二、正方形的对焦互补模型 类型三、正方形的手拉手模型 类型四、正方形的半角模型 类型五、正方形的折叠问题 类型六、正方形的动点问题 类型七、正方形与坐标系综合 类型八、正方形与函数综合 压轴专练 类型一、正方形的十字架模型 【典例1】（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）问题情境：如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为M．那么与相等吗？ (1)直接判断∶______（填“”或“”）； 在“问题情境”的基础上，继续探索： 问题探究： (2)如图2，在正方形中，点E、F、G分别在边、和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论； 问题拓展： (3)如图3，点E在边上，且，垂足为H，当H在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点H落在点处． ①四边形是正方形吗？请说明理由； ②若，点在上，，直接写出的最小值为 ． 【变式1-1】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段检测）问题情境：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题： 如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为．那么与相等吗？ （1）直接判断：______（填“=”或“≠”）； 在“问题情境”的基础上，继续探索： 问题探究： （2）如图2，在正方形中，点、、分别在边、和上，且，垂足为．那么与相等吗？证明你的结论； 问题拓展： （3）如图3，点在边上，且，垂足为，当在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处． ①四边形是正方形吗？请说明理由； ②若，点在上，，直接写出的最小值为_______． 【变式1-2】（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，已知正方形中，在上，在上． (1)如图1，已知，垂足是，求证：； (2)如图2，连接对角线，，若垂足在对角线上，求证：； (3)如图3，，垂足是，若，，，求的长． 【变式1-3】（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为，那么与相等吗？ (1)求证：； (2)如图2，点在边上，且，垂足为，当在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处． ①四边形是正方形吗？请说明理由； ②若，点在上，，求的最小值． 类型二、正方形的对焦互补模型 【典例2】（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）问题背景：“对角互补”是经典的四边形模型，在四边形对角互补的基础上，它的另一个条件是一条对角线是一个内角的平分线或一组邻边相等方法是构造旋转全等，如果问题中有“，”角度出现，一般会和等腰直角三角形、正方形、等边三角形等特殊图形结合起来考查． (1)【问题解决】如图①，，，小明同学从点分别向，作垂线，，请你按照小明同学的思路证明； (2)【问题探究】如图②，若，，，，，求的长； (3)【拓展延伸】如图③，点是正方形外一点，，对角线，交于点，连接，且，求四边形的面积． 【变式2-1】（25-26九年级上·辽宁锦州·阶段检测）我们定义：对角互补且有一组邻边相等的四边形叫做至善四边形．如图1，且，则四边形是至善四边形．          (1)下列四边形一定是至善四边形的有________． ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． (2)如图2，四边形为至善四边形，，，，求的长． (3)如图3，正方形中，，D为中点，在右边作等边，F为中点，连接交于点，交于点G． ①求的度数； ②直接写出线段的长． 【变式2-2】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）定义：一组对角互补，且有一组邻边相等的四边形称为“奇妙四边形”． (1)下列选项中一定是“奇妙四边形”的是________； A．正方形    B．平行四边形    C．菱形    D．矩形 (2)如图，在边长为的正方形中，为边上一动点（不与，重合），交于点，过作交于点． 判断四边形是否为“奇妙四边形，”并说明理由； 若四边形是“奇妙四边形”，连接，请直接写出的面积． 类型三、正方形的手拉手模型 【典例3】（25-26九年级下·河北邯郸·阶段检测）如图1，已知正方形和正方形，点在边上，点在线段的延长线上．将正方形绕点按逆时针方向旋转，连接与直线交于点，如图2所示． (1)如图2，求证：； (2)请在下列①、②中任选一问进行证明． ①在旋转过程中，的度数不变； ②过点作于点于点，在旋转过程中，与之间的数量关系不变． 【变式3-1】（25-26八年级下·广东江门·期中）【问题情境】 同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 【操作发现】 (1)如图1，正方形和正方形，连接，．线段与线段之间的数量关系是__________；直线与直线的夹角度数为__________；（注：两条直线的夹角是指两条直线相交所形成的小于等于的角） (2)如图2，当正方形绕点A旋转时，线段与线段之间的数量关系是__________；直线与直线的夹角度数为__________． 【深入探究】 (3)如图3，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想线段与的数量关系及直线与的夹角度数，并说明理由． 【迁移探究】 (4)如图3，在（3）的条件下，，在菱形绕点A旋转过程中，求线段的最小值． 【变式3-2】（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）问题背景：已知共一个顶点的正方形和正方形，连接，取的中点P，连接，．探究，的数量关系与位置关系． 实践操作：如图①，小明旋转正方形，使正方形的顶点G落在正方形的边的延长线上．通过延长交于点Q，证． 是________三角形，和和数量关系是________，和和位置关系是________． 问题探究：如图②，小亮旋转正方形，使正方形的顶点E落在正方形的边的延长线上，此时线段，还有图①中的关系吗？请证明你的猜想． 拓展延伸：如图③，小红将正方形绕点旋转任意角度后，其他条件不变．线段，还有图①中的关系吗？请证明你的猜想． 【变式3-3】（25-26九年级上·广西玉林·期中）四边形和四边形均为正方形，连接、． (1)如图1，在上，在延长线上，求证：； (2)把正方形绕点旋转，请仅就图2的情形，请你证明，并且； (3)已知，，连接，在正方形绕点旋转一周的过程中，当、、三点共线时，求的长． 类型四、正方形的半角模型 【典例4】（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整 原题：如图1，点、分别在正方形的边、上，，连接，则，试说明理由． (1)【思路梳理】延长至，使， ，， ， ，， 又， ， 根据______，易证______，得 (2)【类比引申】如图2，四边形中，，，点、分别在边、上，．若、都不是直角，则当与满足等量关系______时，仍有． (3)【联想拓展】如图3，在中，，，点、均在边上，且；猜想、、应满足的等量关系，并写出推理过程． 【变式4-1】（22-23八年级下·云南昆明·阶段检测）探究问题： (1)方法感悟：如图甲，在正方形中，点E，F分别为边上的点，且满足，连接，求证：． 感悟解题方法，并完成下列填空： 延长到点G，使，连接． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即______． 又∵， ∴______． ∴______． ∴． (2)方法迁移：如图乙，将沿斜边翻折得到，点E，F分别为边上的点，且．试猜想之间有什么数量关系？并证明你的猜想． (3)问题拓展：如图丙，在四边形中，，E，F分别为上的点，且满足，请问：与满足什么关系，可使得？直接写出答案． 【变式4-2】（24-25九年级上·广东清远·期中）问题背景： 如图1，在正方形中，点E、F分别在边、上，， (1)延长到点P使，连接，求证：； (2)迁移应用：如图2，在正方形中，、交于点G、H，过点A作交于M，交于I，连接，若，，，求的长； (3)联系拓展：如图3，在矩形中，点E、F分别在边、上，，分别取，的中点M，T，连接并延长交于N，连接，若，直接写出与的数量关系． 类型五、正方形的折叠问题 【典例5】（2026·江苏南京·模拟预测）折叠正方形纸片． 通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点P，Q分别在边，上． (1)折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕，（不写作法，保留作图痕迹），其中点E，F分别在边，上．设，的交点为O，则_________； (2)在（1）的条件下，折叠正方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点M，N分别在边，上．设，的交点为G，则点G落在正方形纸片的哪一条对称轴上？请说明理由； (3)如图③，已知正方形纸片的边长为．在（2）的条件下，当点P为边的中点时，则随着点Q位置的改变，的周长是否会发生改变？如果不变，求出的周长；如果改变，求出的周长的最小值，并求出此时折痕的长． 【变式5-1】（2025·江苏苏州·一模）数学实验：折叠正方形纸片． 通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点P，Q分别在边，上． (1)折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕，（不写作法，保留作图痕迹），其中点E，F分别在边，上．设，的交点为O，则_________； (2)在（1）的条件下，折叠正方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点M，N分别在边，上．设，的交点为G，则点G落在正方形纸片的哪一条对称轴上？请说明理由； (3)如图③，已知正方形纸片的边长为．在（2）的条件下，当点P为边的中点时，则随着点Q位置的改变，的周长是否会发生改变？如果不变，求出的周长；如果改变，求出的周长的最小值，并求出此时折痕的长． 【变式5-2】（24-25八年级下·广西河池·阶段检测）综合与实践活动课上，师生们以“利用正方形和矩形纸片折叠特殊角”为主题开展数学活动． 【操作判断】 （1）小明利用正方形纸片进行折叠，过程如下： 步骤一如图1，对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；步骤二连接，．请判定的形状，并说明理由． 【迁移探究】 （2）小华利用矩形纸片进行折叠，过程如下：如图2，先类似小明的步骤一，得到折痕后把纸片展平；在上选一点P，沿折叠，使点B恰好落在折痕上的一点M处，连接．小华得出的结论是：．请你帮助小华说明理由． 【拓展应用】 （3）小敏受小华的启发，打算继续利用矩形纸片进行探究： 如图3，在矩形中，，．点P为上的一点（不与B点重合，可以与C点重合），将沿着折叠，点B的对应点为M落在矩形的内部，连接，当为等腰三角形时，求BP的长． 【变式5-3】（24-25八年级上·广东汕头·期末）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 如图1，正方形纸片，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接． （1）根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且①______； ②线段，，之间的数量关系为______． 【深入探究】 如图2，将沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接，．同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示． （2）小明通过观察图形，得出．请判断其是否正确，并说明理由． （3）小段发现是一个定值．小段同学的发现是否成立?若成立，求出的大小；若不成立，请说明理由． 类型六、正方形的动点问题 【典例6】（24-25八年级下·山东威海·期末）数学研究小组发现，求线段最值问题的解决策略：对两条线段作某种变换（平移、轴对称、旋转等），最终转化为“两点之间线段最短问题”去解决． (1)如图1，已知菱形，，，点E是边中点，点F是对角线边上的动点．连接，，则的最小值为________； (2)如图2，已知矩形，，．点E是上的点，且，点F，G是上的动点，且，连接．则的最小值为________； (3)如图3，已知正方形，，E是上的动点，F是上的动点，且．连接，，求的最小值． 【变式6-1】（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）【发现问题】 （1）如图①，在正方形中，，分别是，边上的动点，且．试判断，之间的数量关系．小明把绕点顺时针旋转至，使与重合，发现．请你给出证明过程． 【类比延伸】 （2）如图②，在正方形中，若，分别是边延长线上的动点，且，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由． （3）如图③，如果分别是边延长线上的动点，且，直接写出之间的数量关系． 【变式6-2】（24-25八年级下·云南德宏·期末）如图，在正方形中，E是上的一个动点（E不与B，C重合），F是上的一个动点（F不与D，C重合）． (1)如图1，当E，F分别是的中点时，连接．求证：； (2)如图2，当时，连接，判断三条线段的数量关系，并说明理由； (3)如图3，M是上的一个动点，连接，当，，时，求的长． 【变式6-3】（2025·广东惠州·一模）已知正方形中，是上一动点，过点作交正方形的外角的平分线于点． (1)【动手操作】 如图①，在上截取，连接，根据题意在图中画出图形，图中_____度． (2)【深入探究】是线段上的一个动点，如图②，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．试判断四边形的形状，并证明． (3)【拓展应用】 是射线上的一个动点，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．若，，求线段的长． 类型七、正方形与坐标系综合 【典例7】（24-25九年级下·四川成都·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，正方形顶点的坐标为，是等边三角形，点坐标是，在正方形内部紧靠正方形的边（方向为做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为，的坐标是；第二次滚动后，的对应点记为，的坐标是；第三次滚动后，的对应点记为，的坐标是；如此下去，……，则的坐标是___________． 【变式7-1】（25-26九年级上·全国·期末）如图，已知点的坐标为，点的坐标为，正方形的对角线交于原点，则点的坐标为________，点的坐标为________． 【变式7-2】（24-25八年级下·广东珠海·期中）已知点A是第二象限的一点，点P是x轴上一动点，以为边作正方形； (1)如图1，当点A的坐标为，点P的坐标为时，则点C的坐标为______； (2)如图2，若点P与原点O重合，与y轴交于点E，连接，点F是线段上一点，连接，，若，①求证；②设的面积为，的面积为，若，求的值（用表示）； (3)如图3，点若A的坐标为，点D的坐标为，在点P的运动过程中，请直接写出的最小值______． 类型八、正方形与函数综合 【典例8】（22-23八年级下·上海·阶段检测）已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图像上的点，当四边形（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，我们称这个正方形为此函数图像的“伴侣正方形”．例如：在图中，正方形是一次函数图像的其中一个“伴侣正方形”，如图，若某函数是一次函数，则它的图像的所有“伴侣正方形”的边长是__________．    【变式8-1】（23-24八年级下·山西忻州·期末）综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，顶点的坐标为，点的坐标为为线段的中点，为线段上的一动点(不与点重合)，直线交的延长线于点． (1)当为的中点时，求直线的函数解析式． (2)求点的坐标(用含的代数式表示)． (3)当点在线段的垂直平分线上时，请直接写出直线的函数解析式． 【变式8-2】（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，直线的函数解析式为．四边形是正方形，直线交轴于点，点在轴上，过点作且交轴于点．求证：． 1.（18-19八年级下·福建福州·期中）完成以下问题 (1)正方形，分别在边上（不与端点重合），，与交于点． 如图（），若平分，直接写出线段，，之间等量关系； 如图（），若不平分，中线段，，之间等量关系还成立吗？若成立请证明；若不成立请说明理由 (2)如图（），矩形，，．点分别在边上，，，求的长度． 2.（25-26八年级下·广东广州·期中）如图1，正方形的边长为1，E为边上一点（不与点B、C重合），垂直于的一条直线分别交、、于点M、P、N．          (1)请直接写出和的数量关系________； (2)如图2，当垂足P在正方形的对角线上时，求证：； (3)如图3，在第（2）题的条件下，作，垂足为H，点E在边上运动过程中，的长度是否变化？若不变，求出的长；若变化，说明变化规律． 3.（21-22八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）如图所示，正方形ABCD和正方形AEFG共顶点A，正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转，连接DG，BE，BE与AC相交于点H． (1)如图1，在旋转过程中，连接BD，与AC交于点M，当G，A，H，C恰好在同一直线上时，若AE=，AB=2，求线段DG的长： (2)如图2，连接HG，在旋转过程中，BE与DG相交于点O，点K为线段AG中点，连接OK，若∠DGH=2∠ABE，求证：AC=2OK； (3)如图3，BE与DG相交于点O，点K为线段AG上一点连接OK，若AE=3，AK=1，在旋转过程中，直接写出线段OK的最小值． 4.（2024·湖南娄底·模拟预测）图是边长分别为的正方形、正方形叠放在一起的图形． 操作与证明： (1)操作：固定正方形，将正方形绕点按顺时针方向旋转，连接(如图)，线段与线段之间的数量关系为 ． (2)证明：若将图中的正方形绕点按顺时针方向旋转，使相交于点，线段与相交于点(如图)，线段与线段之间具有怎样的数量与位置关系？证明你的结论． (3)猜想与发现：在（）的基础上，作于点，作于点，则四边形的形状是 ，请证明你的结论． 5.（23-24八年级下·广东珠海·期中）【问题情境】在综合与实践课上，老师组织同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动．请你解决活动过程中产生的下列问题．如图1，现有正方形纸片，先对折得到对角线，接着折叠使点B落到上的点处，再展开，得到折痕，连接、．    【观察计算】 （1）在图1中，的值是_____． 【操作探究】 （2）如图2，在图1的基础上，折叠正方形纸片，使点C，D分别落到，边上的点E，处，再展开，折痕为，则点在折痕上吗?若在，请加以证明；若不在，请说明理由； （3）如图3，在图2（隐去点和）的基础上，折叠正方形纸片，使点A，D分别落到点E，处，再展开，折痕为，折痕与交于点P，连接，，，猜想和的位置关系，并加以证明； 【操作拓展】 （4）如图4，该图中所有已知条件与图3完全相同，利用图4探索新的折叠方法（图3中产生折痕的方法除外），找出与图3中点P位置相同的点，该点命名为，要求只有一条折痕、请在图4中画出折痕和必要线段，标出点，并简要说明折叠方法．（不需要说明理由） 6.（25-26九年级上·山东枣庄·期末）实践与探究 操作一：如图1，已知正方形纸片，将正方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在正方形的内部，点的对应点为点，折痕为，再将纸片沿过点的直线折叠，使与重合，折痕为，则 度． 操作二：如图2，将正方形纸片沿继续折叠，点的对应点为点，我们发现，当点的位置不同时，点的位置也不同．当点在边的某一位置时，点恰好落在折痕上，则 度． 在图1中，运用以上操作所得结论，解答下列问题： （1）设与的交点为点，求证； （2）若，则线段的长为 ． 7.（24-25八年级下·江苏扬州·阶段检测）（1）如图1，正方形中，E、F分别是、上的动点，且，与交于点G，直接写出与的关系： （不要求证明） （2）利用上述结论解决以下问题： 【问题1】 在（1）的条件下，在上截取的平分线交于点N，连接，如图2，求证：． 【问题2：延伸】 ①如图3，已知正方形的边长为2，点E，F分别是边，上的两个动点，且满足，连接，，则的最小值为 ． ②如图4，在正方形中，M为上一点，且，E、F分别为、上的动点，且，若，求的最小值． 8.（25-26八年级下·江苏苏州·期中）小小的纸片，大大的世界．折纸是同学们十分喜爱的手工活动，通过灵巧的折叠，既能折出精巧别致的图案，又能在操作过程中感受蕴含其中的丰富数学知识． 小亮和小慧将一张边长为4的正方形纸片进行如下折叠操作，请你一起阅读并解决相关问题． 【活动】 小亮：如图1，折叠正方形，使与重合，得到折痕后展开再折叠，使得点A落在的点H上，连接． 小慧：如图2，在边上取点E（E不与A，B重合），连接，将沿翻折． 【理解】 (1)如图1操作，的周长是________． (2)如图2操作，点A的对应点恰好落到对角线上，则的周长是________； 【感悟】 (3)如图3，小慧继续将沿翻折，发现：、B、C三点能构成等腰三角形．请求此时线段的长； 【延伸】 (4)如图4，小慧又在边上取点F（F不与C、D重合），并将四边形沿翻折，使得点A的对应点恰好落在边上，记（为D的对应点）与的交点为G，连接，小亮和小慧探讨发现：线段与的长度之和，即存在最小值，请直接写出该最小值及此时线段的长． 9.（25-26八年级下·湖北武汉·期中）已知，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B，A分别在轴和轴的正半轴上，顶点C的坐标为，点为边上一动点，点为边上一动点，连接，并且． (1)如图1，若a，b满足：，则__________，__________； (2)在（1）的条件下 ①如图1，若点为中点，过点作交轴于点，求点坐标； ②如图2，若坐标为，过点作交的延长线于点，求点横坐标； (3)如图3，若，若点坐标为，求点坐标__________． 10.（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，正方形的顶点A、C分别在x轴与y轴上，已知正方形边长为3，点D为x轴上一点，其坐标为，连接，点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿折线的方向向终点A运动，当点P与点A重合时停止运动，运动时间为t秒．    (1)求线段的函数解析式； (2)连接、，求的面积S关于t的函数解析式． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 正方形的综合题八类题型 典例详解 类型一、正方形的十字架模型 类型二、正方形的对焦互补模型 类型三、正方形的手拉手模型 类型四、正方形的半角模型 类型五、正方形的折叠问题 类型六、正方形的动点问题 类型七、正方形与坐标系综合 类型八、正方形与函数综合 压轴专练 类型一、正方形的十字架模型 【典例1】（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）问题情境：如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为M．那么与相等吗？ (1)直接判断∶______（填“”或“”）； 在“问题情境”的基础上，继续探索： 问题探究： (2)如图2，在正方形中，点E、F、G分别在边、和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论； 问题拓展： (3)如图3，点E在边上，且，垂足为H，当H在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点H落在点处． ①四边形是正方形吗？请说明理由； ②若，点在上，，直接写出的最小值为 ． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)①四边形是正方形，理由见解析；② 【分析】（）证明即可得出结论； （）过点作，证明，由此可得； （）如图， 连接，证明，所以，，由折叠可知，，，由四边形内角和和平角的定义可得，所以，则，所以四边形是菱形，再由“有一个角是直角的菱形是正方形”可得结论； 作交的延长线于点，作于点，可证明，由此可得，易证是等腰直角三角形，所以，则，可得，则，作关于的对称点，则 ，可得， 求出的值即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，过点作交于点，交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：四边形是正方形，理由如下： 如图，连接， 由（）的结论可知，， ∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由折叠可知，，， ∴， ∴四边形是菱形, ∵， ∴菱形是正方形； 如图，作交的延长线于点，作于点， ∴， 由上知四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图，作关于的对称点，则，过点作交延长线于点，则是等腰直角三角形， ∴， ∴当，，三点共线时，最小，最小值为的长， ∵， ∴由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即的最小值为． 【变式1-1】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段检测）问题情境：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题： 如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为．那么与相等吗？ （1）直接判断：______（填“=”或“≠”）； 在“问题情境”的基础上，继续探索： 问题探究： （2）如图2，在正方形中，点、、分别在边、和上，且，垂足为．那么与相等吗？证明你的结论； 问题拓展： （3）如图3，点在边上，且，垂足为，当在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处． ①四边形是正方形吗？请说明理由； ②若，点在上，，直接写出的最小值为_______． 【答案】（1）；（），理由见解析；（）四边形是正方形，理由见解析； ． 【分析】（）证明即可得出结论； （）过点作，证明，由此可得； （）如图， 连接，证明，所以，，由折叠可知，，，由四边形内角和和平角的定义可得，所以，则，所以四边形是菱形，再由“有一个角是直角的菱形是正方形”可得结论； 作交的延长线于点，作于点，可证明，由此可得，易证是等腰直角三角形，所以，则，可得，则，作关于的对称点，则 ，可得， 求出的值即可得出结论． 【详解】解：（）∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 故答案为：； （），理由如下: 如图，过点作交于点，交于点， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （）如图，连接， 由（）的结论可知，， ∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由折叠可知，，， ∴， ∴四边形是菱形, ∵， ∴菱形是正方形； 如图，作交的延长线于点，作于点， ∴， 由上知四边形是正方形， ∴，，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，作关于的对称点，则，过点作交延长线于点，则是等腰直角三角形， ∴， ∴当，，三点共线时，最小，最小值为的长， ∵， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 【变式1-2】（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，已知正方形中，在上，在上． (1)如图1，已知，垂足是，求证：； (2)如图2，连接对角线，，若垂足在对角线上，求证：； (3)如图3，，垂足是，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质以及已知条件，证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）连接，证明得出,，，进而证明得出，即可得证； （3）过点作，则四边形是平行四边形，由（1）可得，则，根据，设，则，，在中得出，进而求得正方形的边长，在中，勾股定理求得，进而得出，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ （2）证明：如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 又 ∴ ∴, ∴ 设 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ （3）解：如图所示，过点作，则四边形是平行四边形， ∴ 由（1）可得 ∴， ∵ 设 ∴， ∴， ∵为的中点，则， 在中，， ∴， ∴ 在中， ∴ ∵ ∴ 即 解得：（负值舍去） ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【变式1-3】（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为，那么与相等吗？ (1)求证：； (2)如图2，点在边上，且，垂足为，当在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处． ①四边形是正方形吗？请说明理由； ②若，点在上，，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)①四边形是正方形，理由见解析；② 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）①如图，连接，证明，所以，，由折叠可知，，，由四边形内角和和平角的定义可得，所以，则，所以四边形是菱形，再由“有一个角是直角的菱形是正方形”可得结论； ②作交的延长线于点，作，可证明，由此可得，易证是等腰直角三角形，所以，则，可得，则，作关于的对称点，则，可得，求出的值即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：①四边形是正方形，理由如下： 如图，连接，过点作交于点， 则四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由（1）的结论可知，， ∴， ∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由折叠可知，，， ∴， ∴四边形是菱形, ∵， ∴菱形是正方形； ②如图，作交的延长线于点，作于点， ∴， 由上知四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图，作关于的对称点，则，过点作交延长线于点，则是等腰直角三角形， ∴， ∴当，，三点共线时，最小，最小值为的长， ∵， ∴由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即的最小值为． 类型二、正方形的对焦互补模型 【典例2】（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）问题背景：“对角互补”是经典的四边形模型，在四边形对角互补的基础上，它的另一个条件是一条对角线是一个内角的平分线或一组邻边相等方法是构造旋转全等，如果问题中有“，”角度出现，一般会和等腰直角三角形、正方形、等边三角形等特殊图形结合起来考查． (1)【问题解决】如图①，，，小明同学从点分别向，作垂线，，请你按照小明同学的思路证明； (2)【问题探究】如图②，若，，，，，求的长； (3)【拓展延伸】如图③，点是正方形外一点，，对角线，交于点，连接，且，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据垂直的定义得到，根据矩形的性质得到，由全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）如图，过点作于，于，先判定，得到，，再判断，根据全等三角形的性质得到，求得，设，则，，求得，得到，在中，由含的直角三角形性质求解即可得到结论； （3）如图，延长到，使，连接，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，求得是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式得到结论． 【详解】（1）证明：，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ； （2）解：过点作于，于，如图所示： ， ， ， ， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， 设，则，， ，解得， ， 在中，，，则， ； （3）解：延长到，使，连接，如图所示： 在四边形中，，， 四边形是正方形， ，， ， 又， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形． 四边形的面积的面积． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、含的直角三角形性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，综合性强，难度较大，熟记相关几何性质及判定，根据问题正确地作出辅助线是解题的关键． 【变式2-1】（25-26九年级上·辽宁锦州·阶段检测）我们定义：对角互补且有一组邻边相等的四边形叫做至善四边形．如图1，且，则四边形是至善四边形．          (1)下列四边形一定是至善四边形的有________． ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． (2)如图2，四边形为至善四边形，，，，求的长． (3)如图3，正方形中，，D为中点，在右边作等边，F为中点，连接交于点，交于点G． ①求的度数； ②直接写出线段的长． 【答案】(1)④ (2)3 (3)①；② 【分析】本题是四边形的综合题，考查了新定义，特殊平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识点．正确理解新定义、通过作辅助线构造全等三角形、直角三角形是解题的关键． （1）根据至善四边形的定义及特殊平行四边形的性质进行判断即可； （2）如图，延长至点，使，根据至善四边形的定义推出，证明，得，，证明为等边三角形，即可得出答案； （3）①延长至点，使得，连接，证明，得，，推出是等腰直角三角形，得，由正方形的性质和等边三角形的性质可得的度数，据此由三角形内角和定理可得答案；②由正方形的性质求出的长，再利用勾股定理和等边三角形的性质求出的长，则可求出，再利用勾股定理即可求出的长。 【详解】（1）解：①平行四边形的对角相等，邻角互补，对边相等，它的对角不一定互补，邻边不一定相等，故平行四边形不是至善四边形； ②矩形四个内角是直角，对边相等，它的对角互补，但邻边不一定相等，故矩形不是至善四边形； ③菱形对角相等邻角互补，它的一组邻边相等，但对角不一定互补，故菱形不是至善四边形； ④正方形四个内角是直角，它的对角互补且有一组邻边相等，故正方形是至善四边形； 故答案为：④； （2）解：如图，延长至点，使，连接 ∴； ∵四边形为至善四边形，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴的长为； （3）解：①延长至点，使得，连接， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∵为等边三角形， ∴， ∵为的中点， ∴，即，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； ②由正方形的性质可得， ∵为等边三角形，为的中点， ∴，， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴。 【变式2-2】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）定义：一组对角互补，且有一组邻边相等的四边形称为“奇妙四边形”． (1)下列选项中一定是“奇妙四边形”的是________； A．正方形    B．平行四边形    C．菱形    D．矩形 (2)如图，在边长为的正方形中，为边上一动点（不与，重合），交于点，过作交于点． 判断四边形是否为“奇妙四边形，”并说明理由； 若四边形是“奇妙四边形”，连接，请直接写出的面积． 【答案】(1)A； (2)四边形是“奇妙四边形”，理由见解析； 或． 【分析】根据“奇妙四边形”的定义进行判断即可； 根据正方形的性质和垂直的定义可得：，根据四边形内角和定理和邻补角定义可证，根据正方形的性质可证，，利用可证，根据全等三角形的性质可证，，等量代换可证，根据等角对等边可证，所以可证结论成立； 因为，所以四边形有一组对角互补，根据“奇妙四边形”的定义还需要有一组邻边相等，所以应分、、、四情况求解． 【详解】（1）解：正方形、矩形的四个角都是直角， 正方形、矩形都满足有一组对角互补， 只有正方形的四条边都相等， 正方形是“奇妙四边形”， 故选：A； （2）解：四边形是“奇妙四边形”， 理由如下： 如下图所示， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 四边形内角和为， ， 又， ， 四边形是正方形， ，， 在和中，， ， ，， ， ， ， 四边形是“奇妙四边形”； 解：四边形是正方形， ， ， ， ， 四边形内角和为， ， 若四边形是“奇妙四边形”， 则需要有一组邻边相等， 当时， 如下图所示，连接， 四边形是正方形， ，， 在和中，， ， ， 由可知， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 在中，， ， ， 解得：， ， 如下图所示，过点作于M， 设， 由可知， ， ， 在中，， 是正方形的对角线， ， ， ， 解得：， ， ， ； 当时，则点是的中点， 则只有当点与点重合时成立， 故不符合题意； 当时， 如下图所示，连接， 在和中，， ， ， 同上； 如下图所示， 当时，则有是等腰直角三角形， ，， 在和中，， ， ， 把绕点顺时针旋转到的位置， ， 由可知， ， ， 在和中，， ， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：，(不符合题意，舍去)， ， 在中，， 在中，， ， ， ， ； 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是理解“奇妙四边形”的定义，根据“奇妙四边形”找出边和角的关系，分情况求解即可． 类型三、正方形的手拉手模型 【典例3】（25-26九年级下·河北邯郸·阶段检测）如图1，已知正方形和正方形，点在边上，点在线段的延长线上．将正方形绕点按逆时针方向旋转，连接与直线交于点，如图2所示． (1)如图2，求证：； (2)请在下列①、②中任选一问进行证明． ①在旋转过程中，的度数不变； ②过点作于点于点，在旋转过程中，与之间的数量关系不变． 【答案】(1)证明见解析 (2)选①证明见解析；选②证明见解析 【分析】（1）由正方形的性质得，进而可证，然后根据可证； （2）选①由对顶角相等得，由全等三角形的性质得，然后利用三角形内角和定理可证； 选②由得，，然后根据三角形面积公式可证结论成立． 【详解】（1）证明：∵在正方形和正方形中，， ，即， ； （2）解：选①证明：设与交于点 ， ， 在和中， ∵， ， 在旋转过程中，的度数不变 选②证明：如图， ， ，， ， ， 在旋转过程中，与之间的数量关系不变． 【变式3-1】（25-26八年级下·广东江门·期中）【问题情境】 同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 【操作发现】 (1)如图1，正方形和正方形，连接，．线段与线段之间的数量关系是__________；直线与直线的夹角度数为__________；（注：两条直线的夹角是指两条直线相交所形成的小于等于的角） (2)如图2，当正方形绕点A旋转时，线段与线段之间的数量关系是__________；直线与直线的夹角度数为__________． 【深入探究】 (3)如图3，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想线段与的数量关系及直线与的夹角度数，并说明理由． 【迁移探究】 (4)如图3，在（3）的条件下，，在菱形绕点A旋转过程中，求线段的最小值． 【答案】(1)， (2)， (3)，直线与的夹角度数为，理由见解析； (4) 【分析】（1）由正方形的性质可得，，，再证明，得出，，延长交于点，求出，即可得出结果； （2）由正方形的性质可得，，，再证明，得出，，延长交于点，求出，即可得出结果； （3）由菱形的性质可得，，，证明，得出，，延长交的延长线于点，交于点，结合三角形内角和定理求出，即可得出结果； （4）由，得出当点在上时，线段取得最小值，连接，交于，由菱形的性质可得，，，求出，由勾股定理可得，则，求出，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵四边形和四边形为正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∴直线与直线的夹角度数为； （2）解：∵四边形和四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，延长交于点，交于点N， ∵，且， ∴， ∴， 即与直线的夹角度数为； （3）解：，直线与的夹角度数为，理由如下： ∵四边形与四边形都为菱形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，延长交的延长线于点，交于点， ∵，，， ∴， ∴直线与的夹角度数为； （4）解：∵， ∴如图，当点在上时，线段取得最小值， 连接，交于， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴线段的最小值为． 【变式3-2】（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）问题背景：已知共一个顶点的正方形和正方形，连接，取的中点P，连接，．探究，的数量关系与位置关系． 实践操作：如图①，小明旋转正方形，使正方形的顶点G落在正方形的边的延长线上．通过延长交于点Q，证． 是________三角形，和和数量关系是________，和和位置关系是________． 问题探究：如图②，小亮旋转正方形，使正方形的顶点E落在正方形的边的延长线上，此时线段，还有图①中的关系吗？请证明你的猜想． 拓展延伸：如图③，小红将正方形绕点旋转任意角度后，其他条件不变．线段，还有图①中的关系吗？请证明你的猜想． 【答案】（1）等腰直角；；；（2）成立；证明见解析；（3）有，证明见解析 【分析】（1）证明，得出，，证明为等腰直角三角形，根据，得出，； （2）延长交于点Q，连接，，证明，得出，，证明，得出，．根据等腰直角三角形的性质得出，； （3）延长至点Q，使，连接并延长交的延长线于点H，证明，得出，证明，得出，，根据等腰直角三角形的性质得出，． 【详解】解：（1）延长交于点Q， ∵四边形，为正方形， ∴，，，，， ∵顶点G落在正方形的边的延长线上， ∴， ∴，， ∵P为线段的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴，； （2）延长交于点Q，连接，，如图所示： ∵P是的中点， ∴， ∵正方形中，，， ∴，， ∵在和中， ∴， ∴，， ∴， ∵正方形中，，，， ∴， ∵在和中 ∴， ∴，． ∴． ∵， ∴，； （3）延长至点Q，使，连接并延长交的延长线于点H，如图所示： ∵P是的中点， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∵在正方形中，，，， ∴，， ∵在正方形中，，，四边形中，，， ∴，， ∵在和中， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 【变式3-3】（25-26九年级上·广西玉林·期中）四边形和四边形均为正方形，连接、． (1)如图1，在上，在延长线上，求证：； (2)把正方形绕点旋转，请仅就图2的情形，请你证明，并且； (3)已知，，连接，在正方形绕点旋转一周的过程中，当、、三点共线时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)或 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理；熟练掌握几何图形的性质是解题的关键 （1）根据正方形的性质可得，，即可证明，即可得出结论； （2）同理证明得出，，设，交于点，，交于点，根据全等的性质等量代换得出，即可得出结论； （3）分两种情况讨论，分别画出图形，证明，得出，设，根据勾股定理建立方程，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形和四边形均为正方形， ，，． 在和中， ． ． （2）证明：四边形和四边形均为正方形， ，，． ，即． 在和中， ． ，． 设，交于点，，交于点，如图2， ，，， ． ，即． （3）如图3，当在正方形内部时，连接， ， ． ，， 是等腰直角三角形． ，． ． ， ，即． 又，， ． ，． 设， ， 在中，， ， 解得：或（舍去）． ． 在中， ． 当在正方形外部时，连接，如图4， 同理可得，， 设， 在中，， ， 解得：或（舍去）． ． 在中，． 综上所述，当、、三点共线时， 的长为或． 类型四、正方形的半角模型 【典例4】（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整 原题：如图1，点、分别在正方形的边、上，，连接，则，试说明理由． (1)【思路梳理】延长至，使， ，， ， ，， 又， ， 根据______，易证______，得 (2)【类比引申】如图2，四边形中，，，点、分别在边、上，．若、都不是直角，则当与满足等量关系______时，仍有． (3)【联想拓展】如图3，在中，，，点、均在边上，且；猜想、、应满足的等量关系，并写出推理过程． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）延长至，使，证明可得，，则，进而根据证明可得，进而即可证明； （2）当时，，同（1）进行证明即可； （3）作，并使，连接，证明，推出是直角三角形，利用勾股定理和等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：延长至，使， ，， 在和中， ， ，， 又， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：，； （2）解：当时，，理由如下： 延长至，使，如图， ∵，， ∴， 在和中， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ； 故答案为：； （3）解：猜想：．理由如下： 作，并使，连接，如图， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∵，， ， ， ， 是直角三角形， ， ． 【变式4-1】（22-23八年级下·云南昆明·阶段检测）探究问题： (1)方法感悟：如图甲，在正方形中，点E，F分别为边上的点，且满足，连接，求证：． 感悟解题方法，并完成下列填空： 延长到点G，使，连接． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即______． 又∵， ∴______． ∴______． ∴． (2)方法迁移：如图乙，将沿斜边翻折得到，点E，F分别为边上的点，且．试猜想之间有什么数量关系？并证明你的猜想． (3)问题拓展：如图丙，在四边形中，，E，F分别为上的点，且满足，请问：与满足什么关系，可使得？直接写出答案． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，折叠的性质： （1）证明，得到，证明，得到，即可； （2）延长到点G，使，同法（1），即可得出结论； （3）当，可得到，证明方法同法（2）． 【详解】（1）证明：延长到点G，使，连接． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即． 又∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：，证明如下： 如图所示，延长到点G，使， 由翻折的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：当，可得到； 延长到点G，使， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式4-2】（24-25九年级上·广东清远·期中）问题背景： 如图1，在正方形中，点E、F分别在边、上，， (1)延长到点P使，连接，求证：； (2)迁移应用：如图2，在正方形中，、交于点G、H，过点A作交于M，交于I，连接，若，，，求的长； (3)联系拓展：如图3，在矩形中，点E、F分别在边、上，，分别取，的中点M，T，连接并延长交于N，连接，若，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先由，证明，得到，，推出，再证明，得到，即可由，得到； （2）先由，得到，即可证明，得到，再根据结合（1）中结论得到，设，则，，在中，利用列方程求解即可； （3）先证明是正方形，即可根据，由（1）知，，设，，则，，，，再在中，由得到，最后求出，即可得到． 【详解】（1）证明：∵正方形， ，， 又， ， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ，， ， ， ， ， 设，则， 由（1）知， ， ， ， 在中，， ， ， ，， 在中，根据勾股定理得，； （3）解：． 证明：，T是，的中点， ∴是中位线， ∴，， ， ∴四边形是矩形， ， 设，， ，，， ， ∴矩形是正方形， ， ， ， 由（1）知，， ， 在中，， ， ， ， ， ． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，利用（1）中夹半角模型处理后面两问是解题的关键． 类型五、正方形的折叠问题 【典例5】（2026·江苏南京·模拟预测）折叠正方形纸片． 通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点P，Q分别在边，上． (1)折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕，（不写作法，保留作图痕迹），其中点E，F分别在边，上．设，的交点为O，则_________； (2)在（1）的条件下，折叠正方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点M，N分别在边，上．设，的交点为G，则点G落在正方形纸片的哪一条对称轴上？请说明理由； (3)如图③，已知正方形纸片的边长为．在（2）的条件下，当点P为边的中点时，则随着点Q位置的改变，的周长是否会发生改变？如果不变，求出的周长；如果改变，求出的周长的最小值，并求出此时折痕的长． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析；点G在边、的垂直平分线上；理由见解析； (3)改变；的周长的最小值为； 【分析】（1）作，的角平分线即可．根据三角形外角的性质得到，再根据角平分线的定义得到，即可得到； （2）延长，交于T，作的角平分线即可．证明得到点G是的中点即可； （3）作的角平分线交于E，连接，先根据折叠的性质求出，可知的最小值为，将向上平移使得M与A重合，证明，得到，即可得到． 【详解】（1）解：如图，作，的角平分线即可， ∵，， ∴， ∵，分别是，的角平分线， ∴， ∴； （2）解：如图，延长，交于T，作的角平分线即可． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ， ∴点G是的中点， ∴点G在边、的垂直平分线上； （3）解：如图，作的角平分线交于E，连接， ∵是折痕， ∴且垂直平分， ∴， ∵为定值即， ∴当A、M、E三点共线时，最小，最小值即为的长， 故的最小值为， 此时E和B重合，将向上平移使得M与A重合，如下图： ∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 【变式5-1】（2025·江苏苏州·一模）数学实验：折叠正方形纸片． 通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点P，Q分别在边，上． (1)折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕，（不写作法，保留作图痕迹），其中点E，F分别在边，上．设，的交点为O，则_________； (2)在（1）的条件下，折叠正方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点M，N分别在边，上．设，的交点为G，则点G落在正方形纸片的哪一条对称轴上？请说明理由； (3)如图③，已知正方形纸片的边长为．在（2）的条件下，当点P为边的中点时，则随着点Q位置的改变，的周长是否会发生改变？如果不变，求出的周长；如果改变，求出的周长的最小值，并求出此时折痕的长． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析；点G在边、的垂直平分线上；理由见解析； (3)改变；的周长的最小值为； 【分析】本题考查了正方形的折叠问题． （1）作，的角平分线即可．根据三角形外角的性质得到，再根据角平分线的性质得到，即可得到； （2）延长，交于T，作的角平分线即可．证明得到点G是的中点即可； （3）作的角平分线交于E，连接，先根据折叠的性质求出，可知的最小值为，将向上平移使得M与A重合，证明，得到，即可得到． 【详解】（1）解：如图，作，的角平分线即可． ∵，， ∴． ∵，分别是，的角平分线， ∴ ∴ 故答案为：； （2）解：如图，延长，交于T，作的角平分线即可． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴点G是的中点， ∴点G在边、的垂直平分线上； （3）解：如图，作的角平分线交于E，连接， ∵是折痕， ∴且垂直平分 ∴， ∵为定值即， ∴当A、M、E三点共线时，最小，最小值即为的长， 故的最小值为， 此时E和B重合，将向上平移使得M与A重合，如下图： ∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴ 即， ∵ ∴ 【变式5-2】（24-25八年级下·广西河池·阶段检测）综合与实践活动课上，师生们以“利用正方形和矩形纸片折叠特殊角”为主题开展数学活动． 【操作判断】 （1）小明利用正方形纸片进行折叠，过程如下： 步骤一如图1，对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；步骤二连接，．请判定的形状，并说明理由． 【迁移探究】 （2）小华利用矩形纸片进行折叠，过程如下：如图2，先类似小明的步骤一，得到折痕后把纸片展平；在上选一点P，沿折叠，使点B恰好落在折痕上的一点M处，连接．小华得出的结论是：．请你帮助小华说明理由． 【拓展应用】 （3）小敏受小华的启发，打算继续利用矩形纸片进行探究： 如图3，在矩形中，，．点P为上的一点（不与B点重合，可以与C点重合），将沿着折叠，点B的对应点为M落在矩形的内部，连接，当为等腰三角形时，求BP的长． 【答案】（1）等腰三角形；（2）见解析（3）或 【分析】（1）由折叠可知，是的垂直平分线，可得是等腰三角形； （2）由折叠得到：，，中，取的中点，连接，利用直角三角形斜边中线性质得到，进而证明为等边三角形得到，由折叠性质可证得结论； （3）由折叠的性质和勾股定理分类讨论，求解即可． 【详解】解：（1）由折叠可知，是的垂直平分线， ， 是等腰三角形； 故答案为：等腰三角形． （2）如图2，由折叠可知：，，， 中，取的中点，连接，则， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ， 由折叠性质得， ． （3）如图①，若， 由折叠可知， ∵， ∴此种情况不存在；    如图②，若，则在的垂直平分线上， 过点作于点，的延长线交于点， 则， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， 设的长为，则，， ∴在中，可有， 即， 解得， 即的长为； 如图③，若，过点作于点，的延长线交于点，则有，    由，得， 解得， ∴， 设的长为，在中，有， 即， 解得， 即的长为：． 综上，的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了勾股定理、矩形的判定与性质、正方形的性质、折叠的性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，灵活运用相关性质解决问题是解题的关键． 【变式5-3】（24-25八年级上·广东汕头·期末）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 如图1，正方形纸片，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接． （1）根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且①______； ②线段，，之间的数量关系为______． 【深入探究】 如图2，将沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接，．同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示． （2）小明通过观察图形，得出．请判断其是否正确，并说明理由． （3）小段发现是一个定值．小段同学的发现是否成立?若成立，求出的大小；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）①45；②；（2）正确，理由见解析；（3）成立， 【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键． （1）①先根据正方形的性质可得，再根据折叠的性质可得，，，，则，由此即可得； ②先证出点三点共线，，再根据线段的和差、等量代换即可得； （2）正确，理由：先根据等腰三角形的判定可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得； （3）根据折叠的性质可得，，从而可得，再根据直角三角形的两个锐角互余求解即可得． 【详解】解：（1）①∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质得：，，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：45； ②∵，， ∴， ∴点三点共线， ∴， 故答案为：． （2）正确，理由如下： 由折叠的性质得：， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由（1）已得：， ∴． （3）小段同学的发现成立，求解过程如下： 由折叠的性质得：，， ∵， ∴， ∵， ∴． 类型六、正方形的动点问题 【典例6】（24-25八年级下·山东威海·期末）数学研究小组发现，求线段最值问题的解决策略：对两条线段作某种变换（平移、轴对称、旋转等），最终转化为“两点之间线段最短问题”去解决． (1)如图1，已知菱形，，，点E是边中点，点F是对角线边上的动点．连接，，则的最小值为________； (2)如图2，已知矩形，，．点E是上的点，且，点F，G是上的动点，且，连接．则的最小值为________； (3)如图3，已知正方形，，E是上的动点，F是上的动点，且．连接，，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）取中点记作点，连接，，，记与的交点为点，连接，，先根据三角形的中位线性质和菱形性质证明点是点E关于的对称点，则，当点F运动到点时，的最小值，即的长， 证明为等边三角形和为等腰三角形，利用等边三角形的性质和勾股定理求解即可求解； （2）在上取点H，使得，连接，证明四边形是平行四边形，得到，在延长线上取点，使得，连接，则，进而利用两点之间线段最短得到的最小值为，然后利用勾股定理求得即可求解； （3）在下方，过C作，且，连接，，证明得到，由，当A、F、P共线时取等号，可得的最小值为的长；过P作于H，延长线于Q，由等腰直角三角形的判定与性质求得，再证明四边形是矩形，得到，，在中利用勾股定理求得即可． 【详解】（1）解：取中点记作点，连接，，， 记与的交点为点，连接，， ∵点E，点分别是，边中点， ∴，，， 在菱形中，，, ∴，， ∴点是点E关于的对称点， ∴， ∴当点F运动到点时，的最小值，即的长， 在菱形中，，， ∴，则为等边三角形， ∴， ∴，则为等腰三角形， ∵点是边中点， ∴，，即， 又，， ∴，则， 在中，， 又∵，，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， 在上取点H，使得，连接，则 ∴四边形是平行四边形， ∴， 在延长线上取点，使得，连接，则， ∴，当H、F、共线时取等号， ∴的最小值为， ∵，． ∴中，，， ∴， ∴的最小值为； （3）解：在下方，过C作，且，连接，， ∵四边形是正方形，， ∴，，， ∴，， ∴，又， ∴， ∴， ∴，当A、F、P共线时取等号， ∴的最小值为的长； 过P作于H，延长线于Q，则， 在中，，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、最短路径问题等知识，熟练掌握特殊四边形的性质，添加辅助线得到最小值时动点的位置是解答的关键． 【变式6-1】（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）【发现问题】 （1）如图①，在正方形中，，分别是，边上的动点，且．试判断，之间的数量关系．小明把绕点顺时针旋转至，使与重合，发现．请你给出证明过程． 【类比延伸】 （2）如图②，在正方形中，若，分别是边延长线上的动点，且，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由． （3）如图③，如果分别是边延长线上的动点，且，直接写出之间的数量关系． 【答案】（1）见解析（2）不成立，理由见解析（3） 【分析】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是旋转三角形，构造全等三角形． （1）由旋转的性质可得，进而证得，从而得出，进一步得出结论； （2）把绕点A顺时针旋转至，使AB与AD重合，可证得，进而证得，进一步得出结果； （3）与（2）的证法类似，可得到结论； 【详解】解：（1）证明：由旋转的性质可得， ． 又，三点共线． ， ， ， ． 又， ， ． （2）不成立． 理由：如图，把绕点A顺时针旋转至，使AB与AD重合． ， F，G，D三点共线． 由旋转的性质可知， ， ． 又， ， ； ∴（1）中的结论不成立． （3）． 理由：如图，把绕点A逆时针旋转至，使与重合． ， B，G，E三点共线． 同理可证：， ∴， ． 【变式6-2】（24-25八年级下·云南德宏·期末）如图，在正方形中，E是上的一个动点（E不与B，C重合），F是上的一个动点（F不与D，C重合）． (1)如图1，当E，F分别是的中点时，连接．求证：； (2)如图2，当时，连接，判断三条线段的数量关系，并说明理由； (3)如图3，M是上的一个动点，连接，当，，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）证明，即可得到； （2）延长至点N，使，连接，证明，得到，，再证明，即可得到； （3）过点A作，与相交于点G，延长到点K，使，连接，证明，得到，，再证明，在、和中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵点E，F分别是的中点， ∴， 在和中，有 ， ∴， ∴； （2）解：三条线段的数量关系为， 理由如下：延长至点N，使，连接． ∵， ∴， 在和中，有 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，有 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴三条线段的数量关系为； （3）解：过点A作，与相交于点G，延长到点K，使，连接． ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵M在上，G，E在上， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，，，由勾股定理得： ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得： ， ∴， 解得， ∴． 在中，由勾股定理得：． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 【变式6-3】（2025·广东惠州·一模）已知正方形中，是上一动点，过点作交正方形的外角的平分线于点． (1)【动手操作】 如图①，在上截取，连接，根据题意在图中画出图形，图中_____度． (2)【深入探究】是线段上的一个动点，如图②，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．试判断四边形的形状，并证明． (3)【拓展应用】 是射线上的一个动点，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．若，，求线段的长． 【答案】(1)； (2)矩形是正方形；见解析； (3)线段的长为或． 【分析】本题考查了正方形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，关键是通过构造辅助线证明三角形全等，推导线段相等关系，结合特殊四边形的判定定理进行推理，并根据动点的位置进行分类讨论． （1）利用正方形的直角性质，结合证为等腰直角三角形，再通过邻补角的和差关系计算的度数； （2）先在上截取，证明得，再构造辅助线证得，结合证平行四边形，再由垂直证矩形，最后由邻边相等证正方形； （3）分点在线段上和点在延长线上两种情况，先证明两种情况下四边形均为正方形，得到，再利用勾股定理分别计算的长度，即可得的长． 【详解】（1）解：根据题意画图如图； ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； （2）解：四边形为正方形，证明如下： 在上截取，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴， 在上截取，连接，则， ∵，， ∴，， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形； （3）解：①当点在线段上时， 由（2）知四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； ②当点在延长线上时，延长至，使得，连接， ∵，，且，， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵，， ∴，即． 延长至点，使，连接， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，且是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 在和中，， ∴， ∴． 结合，可得， 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形． ， 综上所述，线段的长为或． 类型七、正方形与坐标系综合 【典例7】（24-25九年级下·四川成都·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，正方形顶点的坐标为，是等边三角形，点坐标是，在正方形内部紧靠正方形的边（方向为做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为，的坐标是；第二次滚动后，的对应点记为，的坐标是；第三次滚动后，的对应点记为，的坐标是；如此下去，……，则的坐标是___________． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，正方形性质，等边三角形性质，根据三角形的运动方式，依次求出点A的对应点，，，的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：正方形顶点M的坐标为， , 是等边三角形，点B坐标是， 等边三角形高为， 由题知，的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 继续滚动有，的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 不断循环，循环规律为以，，，，12个为一组， ， 的坐标与的坐标一样为， 故答案为：． 【变式7-1】（25-26九年级上·全国·期末）如图，已知点的坐标为，点的坐标为，正方形的对角线交于原点，则点的坐标为________，点的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质及关于原点对称的点的坐标特点，熟练掌握和运用正方形的性质及关于原点对称的点的坐标特点是解决本题的关键．根据正方形的性质可知：点A与点C关于原点对称，点B与点D关于原点对称，据此即可解答． 【详解】解：四边形是正方形， ，即点A与点C关于原点对称，点B与点D关于原点对称， 又点的坐标为，点的坐标为， 点C的坐标是，点D的坐标是， 故答案为：，． 【变式7-2】（24-25八年级下·广东珠海·期中）已知点A是第二象限的一点，点P是x轴上一动点，以为边作正方形； (1)如图1，当点A的坐标为，点P的坐标为时，则点C的坐标为______； (2)如图2，若点P与原点O重合，与y轴交于点E，连接，点F是线段上一点，连接，，若，①求证；②设的面积为，的面积为，若，求的值（用表示）； (3)如图3，点若A的坐标为，点D的坐标为，在点P的运动过程中，请直接写出的最小值______． 【答案】(1) (2)①见详解；② (3) 【分析】（1）过点作轴，过点作轴，证明，得出，即可求解． （2）①过点作交于点，交于点，根据题意可得，得出四边形是矩形，，证明，再证明，得出，即可得，，证出是等腰直角三角形，根据勾股定理可得． ②根据，得出，根据四边形是矩形，得出，表示出， ，得出，根据，得出，结合，根据勾股定理得出，即可得． （3）如图，连接，过点作轴，根据题意得出轴，，证明，得出，证明是等腰直角三角形，得出，故点C在直线上运动，作点D关于直线的对称点，则，故，当点三点共线时，最小，即最小，过点A作轴于点H，则，根据勾股定理即可得出． 【详解】（1）解：过点作轴，过点作轴， 根据题意可得， ∴， ∴， ∴， ∵点A的坐标为，点P的坐标为， ∴， ∴， ∴点C的坐标为． （2）解：①过点作交于点，交于点， 根据题意可得， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ②∵， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， ． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：如图，连接，过点作轴， ∵点A的坐标为，点D的坐标为， ∴轴，， 根据题意可得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故点C在直线上运动， 作点D关于直线的对称点， 则， 故， 当点三点共线时，最小，即最小， 过点A作轴于点H， 则， ∴， 即的最小值为． 【点睛】该题主要考查了矩形的性质和判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，轴对称的性质，正方形的性质，全等三角形的性质和判定，坐标与图形等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 类型八、正方形与函数综合 【典例8】（22-23八年级下·上海·阶段检测）已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图像上的点，当四边形（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，我们称这个正方形为此函数图像的“伴侣正方形”．例如：在图中，正方形是一次函数图像的其中一个“伴侣正方形”，如图，若某函数是一次函数，则它的图像的所有“伴侣正方形”的边长是__________．    【答案】或/或 【分析】先求出一次函数与坐标轴的交点，分在轴正半轴、点在轴负半轴上；点在轴负半轴、点在轴正半轴上，两种情况，正确画出图形，结合正方形的性质以及全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：一次函数， 直线与轴的交点为，与轴的交点为， 当点在轴正半轴、点在轴负半轴上时： 正方形的边长为．    当点在轴负半轴、点在轴正半轴上时： 过D作轴于H点，同上可得：， ∵，， ∴，， ∴，又，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 此时正方形的边长为．   所求“伴侣正方形”的边长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题是一次函数综合题，比较复杂，先要正确理解伴侣正方形的意义，特别要注意的是正方形的顶点所处的位置，因为涉及到相关点的坐标，所以过某一点作坐标轴的垂线是必不可少的，再利用正方形的性质和全等三角形的知识确定相关点的坐标即可求解． 【变式8-1】（23-24八年级下·山西忻州·期末）综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，顶点的坐标为，点的坐标为为线段的中点，为线段上的一动点(不与点重合)，直线交的延长线于点． (1)当为的中点时，求直线的函数解析式． (2)求点的坐标(用含的代数式表示)． (3)当点在线段的垂直平分线上时，请直接写出直线的函数解析式． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3) 【分析】（1）先求出点M、N的坐标，再用待定系数法求解即可； （2）用待定系数法求出直线的函数解析式，再根据点Q的横坐标是2，点Q在直线上求解即可； （3）运用垂直平分线的性质得出，即，再根据两点间的距离公式求出和，从而建立方程求出n，从而代入（2）中结论得解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，顶点的坐标为，点的坐标为， ∴， 又∵为线段的中点， ∴ ∵点的坐标为，为的中点， ∴， 设直线的函数解析式为． 将点代入， 得解得 直线的函数解析式为． （2）设直线的函数解析式为． 将点代入， 得解得 直线的函数解析式为． 将代入上式，得， 点的坐标为． （3）．理由如下： 点在线段的垂直平分线上， ， ， ∵，，， ，， ， 解得， 由（2）可知直线的函数解析式为． 将点代入得：直线的函数解析式为． 【变式8-2】（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，直线的函数解析式为．四边形是正方形，直线交轴于点，点在轴上，过点作且交轴于点．求证：． 【答案】见详解 【分析】根据正方形的性质与一次函数的性质确定的坐标，证明，由全等三角形的性质得到垂直平分，结合垂直平分线与平行线的性质推理解答； 【详解】证明：∵直线的函数解析式为， 令，则， 即， ∵四边形是正方形， ， ∴， 当时，则， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ，， 在和中 ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ． 1.（18-19八年级下·福建福州·期中）完成以下问题 (1)正方形，分别在边上（不与端点重合），，与交于点． 如图（），若平分，直接写出线段，，之间等量关系； 如图（），若不平分，中线段，，之间等量关系还成立吗？若成立请证明；若不成立请说明理由 (2)如图（），矩形，，．点分别在边上，，，求的长度． 【答案】(1) ；成立，证明见解析； (2)． 【分析】（）由四边形是正方形，得，，，证明，则，，所以，然后通过角平分线性质即可求解； 延长到点H，截取，连接，证明和即可求解； （）取，的中点，，连接，连接，证明四边形是正方形，由勾股定理得，由（）同理得：，设，则，，通过勾股定理求出，即，则，过作于点，再证明四边形是矩形，所以，然后证明，所以，再通过线段和差即可求解． 【详解】（1）解：如图（）， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴，， ∴； ，中线段，，之间等量关系还成立：， 如图（），延长到点，截取，连接， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 在与中， ∵， ∴， ∴， （2）解：如图，取，的中点，，连接，连接， ∵，， ∴，， ∴四边形是正方形， 在中，，， ∴， ∴， ∵， 由（）同理得：， 设，则，， 在中，， ∴， ∴，即， ∴， 过作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，角平分线定义等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 2.（25-26八年级下·广东广州·期中）如图1，正方形的边长为1，E为边上一点（不与点B、C重合），垂直于的一条直线分别交、、于点M、P、N．          (1)请直接写出和的数量关系________； (2)如图2，当垂足P在正方形的对角线上时，求证：； (3)如图3，在第（2）题的条件下，作，垂足为H，点E在边上运动过程中，的长度是否变化？若不变，求出的长；若变化，说明变化规律． 【答案】(1) (2)见解析 (3)不变， 【分析】（1）过点B作交于点F，则四边形为平行四边形，得出，，由证得，得出，即可得出结论； （2）过点P作于Q，于G，证明，即可得出结论； （3）延长，使，连接，，，过点N作，交于K，先证是等腰直角三角形，，再证点F，点B，点C三点共线，由等腰三角形三线合一的性质得，由可证，可得，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，，， 过点B作交于点F，如图1所示， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，过点P作于Q，于G， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：的长度不会变化，理由如下： 如图，延长，使，连接，，，过点N作，交于K， 由（2）知，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点F，点B，点C三点共线， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 3.（21-22八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）如图所示，正方形ABCD和正方形AEFG共顶点A，正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转，连接DG，BE，BE与AC相交于点H． (1)如图1，在旋转过程中，连接BD，与AC交于点M，当G，A，H，C恰好在同一直线上时，若AE=，AB=2，求线段DG的长： (2)如图2，连接HG，在旋转过程中，BE与DG相交于点O，点K为线段AG中点，连接OK，若∠DGH=2∠ABE，求证：AC=2OK； (3)如图3，BE与DG相交于点O，点K为线段AG上一点连接OK，若AE=3，AK=1，在旋转过程中，直接写出线段OK的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）如图1所示，过点D作DM⊥AC于M，然后求出AM，DM的长，从而求出GM的长即可利用勾股定理求解； （2）先证明△EAB≌△GAD得到∠ABE=∠ADG，再证△AHB≌△AHB，得到BH=DH，∠ADH=∠ABH，推出∠ADH=∠ADG，即可推出∠HGD=∠HDG，得到HG=HD，再证明∠EOP=∠GAP=90°，即BE⊥DG， 得到OK为△AGD的中位线，由此即可得到答案； （3）如图3所示，连接EG，取EG中点T，连接TK，OT，过点T作TN⊥AG于N，求出，，根据，即可得到的最小值为． 【详解】（1）解：如图1所示，过点D作DM⊥AC于M， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD=AB=2，∠ADC=90°， ∴， ∵DM⊥AC， ∴， ∴， ∵四边形AEFG是正方形， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图2，连接DH， ∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形， ∴∠BAD=∠EAG=90°，AB=AD，AE=AG， ∴∠EAG+∠EAD=∠BAD+∠EAD，即∠EAB=∠GAD， ∴△EAB≌△GAD（SAS）， ∴∠ABE=∠ADG， ∵AB=AD，∠DAH=∠BAH=45°，AH=AH， ∴△AHB≌△AHB（SAS）， ∴BH=DH，∠ADH=∠ABH， ∴∠ADH=∠ADG， ∵∠DGH=2∠ABE=2∠ADG， ∴∠HGD=∠HDG， ∴HG=HD， 设AE与DG交于P， ∵∠PGA=∠PEO，∠EPO=∠APG， ∴∠EOP=∠GAP=90°，即BE⊥DG， ∴O为GD的中点， 又∵K为AG的中点， ∴OK为△AGD的中位线， ∴， 又∵， ∴． （3）解：如图3所示，连接EG，取EG中点T，连接TK，OT，过点T作TN⊥AG于N， 由（2）知∠EOG=90°， ∵四边形AEFG是正方形， ∴AE=AG=3，∠EAG=90°， ∴， ∵TE=TG， ∴， ∵∠TNG=90°，∠TGN=45°， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，三角形中位线定理，三角形三边的关系，熟知相关知识是解题的关键． 4.（2024·湖南娄底·模拟预测）图是边长分别为的正方形、正方形叠放在一起的图形． 操作与证明： (1)操作：固定正方形，将正方形绕点按顺时针方向旋转，连接(如图)，线段与线段之间的数量关系为 ． (2)证明：若将图中的正方形绕点按顺时针方向旋转，使相交于点，线段与相交于点(如图)，线段与线段之间具有怎样的数量与位置关系？证明你的结论． (3)猜想与发现：在（）的基础上，作于点，作于点，则四边形的形状是 ，请证明你的结论． 【答案】(1) (2)，，证明见解析 (3)四边形是正方形，证明见解析 【分析】（）证明即可求证； （）同理（）证明，得到，，进而可得，即可得，即可求证； （）先证明四边形是矩形，再根据三角形的面积可得，即得到四边形是正方形，即可求证； 本题考查了正方形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，矩形的判定等，掌握正方形的性质和判定是解题的关键． 【详解】（1）解：∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，，证明如下： ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：四边形是正方形，证明如下： ∵于点，于点， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， 故答案为：正方形． 5.（23-24八年级下·广东珠海·期中）【问题情境】在综合与实践课上，老师组织同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动．请你解决活动过程中产生的下列问题．如图1，现有正方形纸片，先对折得到对角线，接着折叠使点B落到上的点处，再展开，得到折痕，连接、．    【观察计算】 （1）在图1中，的值是_____． 【操作探究】 （2）如图2，在图1的基础上，折叠正方形纸片，使点C，D分别落到，边上的点E，处，再展开，折痕为，则点在折痕上吗?若在，请加以证明；若不在，请说明理由； （3）如图3，在图2（隐去点和）的基础上，折叠正方形纸片，使点A，D分别落到点E，处，再展开，折痕为，折痕与交于点P，连接，，，猜想和的位置关系，并加以证明； 【操作拓展】 （4）如图4，该图中所有已知条件与图3完全相同，利用图4探索新的折叠方法（图3中产生折痕的方法除外），找出与图3中点P位置相同的点，该点命名为，要求只有一条折痕、请在图4中画出折痕和必要线段，标出点，并简要说明折叠方法．（不需要说明理由） 【答案】（1）；（2）点在折痕上，见解析；（3），见解析；（4）见解析 【分析】（1）根据折叠的性质，正方形的性质，得到，，，根据勾股定理，得到 ，结合，代入计算即可． （2）作于点M，则M是的中点，故直线是线段的垂直平分线． 由图2中的折叠可知：H是的中点，而线段只有一个中点，H与M重合，是线段的垂直平分线．而是线段垂直平分，∴，是同一条直线，证明即可． （3）根据折叠的性质，正方形的判定和性质，三角形的全等判定和性质，等量代换思想证明即可． （4）沿着折叠正方形，使得点C与点A重合，连接折痕，画图即可． 【详解】（1）根据折叠的性质，正方形的性质，    得 ， ， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． （2）点在折痕上，理由如下：    证明如下：四边形是正方形，， 由图1中的折叠可知，，， ∴， ∴， 作于点M， 则M是的中点， 故直线是线段的垂直平分线． 由图2中的折叠可知：H是的中点， 而线段只有一个中点， ∴H与M重合， ∴是线段的垂直平分线． 而是线段垂直平分， ∴，是同一条直线， ∴在折痕上． （3），理由如下： 连接，    根据折叠的性质，得到， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，直线是线段的垂直平分线， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴直线与直线是重合的， ∴， ∴， ∴， 过点P作于点Q，延长交于点K， 根据前面证明，得到，， ， ∴四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （4）沿着折叠正方形，使得点C与点A重合，连接折痕，    则与的交点即为所求． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，折叠的性质，三角形全等的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 6.（25-26九年级上·山东枣庄·期末）实践与探究 操作一：如图1，已知正方形纸片，将正方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在正方形的内部，点的对应点为点，折痕为，再将纸片沿过点的直线折叠，使与重合，折痕为，则 度． 操作二：如图2，将正方形纸片沿继续折叠，点的对应点为点，我们发现，当点的位置不同时，点的位置也不同．当点在边的某一位置时，点恰好落在折痕上，则 度． 在图1中，运用以上操作所得结论，解答下列问题： （1）设与的交点为点，求证； （2）若，则线段的长为 ． 【答案】操作一：；操作二：；（1）证明见解析；（2） 【分析】操作一：直接利用折叠的性质，得出两组全等三角形，从而得出，，从而得出的值； 操作二：根据折叠的性质得出，，从而得出，即可求解； （1）首先利用得出，证明是等腰直角三角形，得到，根据折叠的性质和三角形的内角和定理可得，即可得证； （2）利用勾股定理求出，则，设，则，，在中，利用勾股定理得出，可求得的长，进而可得结果． 【详解】解：操作一： 折叠得到，折叠得到， ，， ，， ， 故答案为：； 操作二： ， ， 又 沿着折叠得到， ， ， ， 故答案为：； （1）证明： 由上述证明得，， ，， ，， ， 是等腰直角三角形，即， 沿着折叠得到， ， 在和中，，， ， 在和中， ， ； （2）由题可知是直角三角形，， ， ， ， ， ，， 设，则，， 在中，， 即， 解得， 则， ， ． 【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练运用折叠的性质，找出全等三角形． 7.（24-25八年级下·江苏扬州·阶段检测）（1）如图1，正方形中，E、F分别是、上的动点，且，与交于点G，直接写出与的关系： （不要求证明） （2）利用上述结论解决以下问题： 【问题1】 在（1）的条件下，在上截取的平分线交于点N，连接，如图2，求证：． 【问题2：延伸】 ①如图3，已知正方形的边长为2，点E，F分别是边，上的两个动点，且满足，连接，，则的最小值为 ． ②如图4，在正方形中，M为上一点，且，E、F分别为、上的动点，且，若，求的最小值． 【答案】（1），；（2）问题1：见解析；问题2：①；② 【分析】（1）根据正方形的性质证明即可得到答案； （2）问题1：如图，过作，与交于点，由正方形的性质结合已知条件证明，是等腰直角三角形，从而可得结论； 问题2：①连接，由（1）可知，，延长至，使得，连接，则垂直平分，得，则，当在上时取等号，再根据勾股定理即可求解； ②设，则， ，最小值可以看作在平面直角坐标系中，点到定点，距离之和最小，进而求得． 【详解】解：（1）在正方形中，，， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴，则， ∴， 故答案为：，； （2）问题1：如图，过作，与交于点，   四边形是正方形，则 ， 由（1）得：， ， ， ，则是的垂直平分线， ，则， 平分 ， ， ， ，则， ， ； 问题2：①在正方形中，， 连接，由（1）可知，， 延长至，使得，连接，则垂直平分， ∴，    则，当在上时取等号， ∵，则， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； ②如图，    作于， ∵，， ∴， 设，则， ∴， 在中，， 在中，， ∴ ， 最小值可以看作在平面直角坐标系中，点到定点，的距离之和最小， 如图，    作J的对称点，连接， 则与x轴的交点是H点，此时最小， 作轴于T， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，轴对称的性质等知识，正确作图和掌握相关图形的判定与性质是解题的关键． 8.（25-26八年级下·江苏苏州·期中）小小的纸片，大大的世界．折纸是同学们十分喜爱的手工活动，通过灵巧的折叠，既能折出精巧别致的图案，又能在操作过程中感受蕴含其中的丰富数学知识． 小亮和小慧将一张边长为4的正方形纸片进行如下折叠操作，请你一起阅读并解决相关问题． 【活动】 小亮：如图1，折叠正方形，使与重合，得到折痕后展开再折叠，使得点A落在的点H上，连接． 小慧：如图2，在边上取点E（E不与A，B重合），连接，将沿翻折． 【理解】 (1)如图1操作，的周长是________． (2)如图2操作，点A的对应点恰好落到对角线上，则的周长是________； 【感悟】 (3)如图3，小慧继续将沿翻折，发现：、B、C三点能构成等腰三角形．请求此时线段的长； 【延伸】 (4)如图4，小慧又在边上取点F（F不与C、D重合），并将四边形沿翻折，使得点A的对应点恰好落在边上，记（为D的对应点）与的交点为G，连接，小亮和小慧探讨发现：线段与的长度之和，即存在最小值，请直接写出该最小值及此时线段的长． 【答案】(1)12 (2) (3)或 (4)的最小值为，此时线段的长为 【分析】（1）根据正方形的性质，折叠的性质，推出，即可求解； （2）根据勾股定理可得的长，再由折叠的性质得：，，可得的周长，即可求解； （3）分和两种情况进行讨论求解即可； （4）连接，，作，易得四边形为矩形，根据折叠性质得到，证明，得到，进而得到，作点关于的对称点，连接，连接交于点，则，，得到，得到当点在上时，即点与点重合时，，值最小，证明，得到，进而得到为的中点，设，则：，在中，由勾股定理，得：，求出的长，进而求出的长，证明，进行求解即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质得：， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 的周长． （2）解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得：，， 的周长 ， ； （3）解：当时，此时落在的垂直平分线上， 如图，连接，则， ∴为等边三角形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ， ∴； 当时，在上取点F，使，此时，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ； 综上所述，的长为或； （4）解：连接，，交于点，作，则：四边形为矩形， ∴，， ∵折叠， ∴，，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 作点关于的对称点，连接，连接交于点，则：，， ∴， ∴当点在上时，即点与点重合时，的值最小，最小值为， 即的最小值为； 如图： ∵，，， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得， ∴． 9.（25-26八年级下·湖北武汉·期中）已知，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B，A分别在轴和轴的正半轴上，顶点C的坐标为，点为边上一动点，点为边上一动点，连接，并且． (1)如图1，若a，b满足：，则__________，__________； (2)在（1）的条件下 ①如图1，若点为中点，过点作交轴于点，求点坐标； ②如图2，若坐标为，过点作交的延长线于点，求点横坐标； (3)如图3，若，若点坐标为，求点坐标__________． 【答案】(1)， (2)①；②点的横坐标为； (3) 【分析】（1）利用二次根式的性质即可求出，进而求出； （2）①先证明四边形是正方形，再证明，连接，证明，设，则，结合点为中点，利用勾股定理即可求解；②过点作轴的垂线交轴于点，证明，即可解答； （3）同理（2）①解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，解得， ∴， ∴； （2）解：①由（1）知， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴，， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵点为中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴， ∴； ②过点作轴的垂线交轴于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴点H的横坐标为， ∴点的横坐标为； （3）解：如图，以为边，在下方构造正方形，过作交延长线于点，延长交于点，连接， ∵， ∴正方形的边长为，即， 同理（2）①得， ∴， 设，则， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴，即， ∴点的纵坐标为， 令，解得， ∴，即， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， ∴． 10.（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，正方形的顶点A、C分别在x轴与y轴上，已知正方形边长为3，点D为x轴上一点，其坐标为，连接，点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿折线的方向向终点A运动，当点P与点A重合时停止运动，运动时间为t秒．    (1)求线段的函数解析式； (2)连接、，求的面积S关于t的函数解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查确定一次函数解析式，直角坐标系内与几何图形有关的动点问题，结合动点运行情况分类讨论是解题的关键． （1）设直线的函数解析式为，经过，，构建方程组求解函数解析式即可； （2）点P运行至点B时，（秒），分情况讨论，当点P在上时，，；当点P运行至点A时，（秒），当点P在上时，，． 【详解】（1）解：设线段的函数解析式为， ∵线段经过，， ∴，解得，， ∴线段的函数解析式为：． （2）如图1，点P运行至点B时，（秒） 当点P在上时， ；    如图2，当点P运行至点A时，（秒）， 当点P在上时，， ． ∴．    1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $