2025～2026学年浙教版数学八年级下册期末几何专题复习： 第5章 5.2～5.3 正方形的性质、菱形的性质等知识点

**基本信息** 聚焦正方形与菱形性质，通过例题-同步练模式，覆盖线段长、面积计算及综合证明，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |正方形性质求线段长|1例+3练|选择/填空，结合中点、对角线|从性质应用到最值问题，培养空间观念| |正方形性质求面积|1例+2练|选择/解答，涉及网格与规律探究|从图形面积到动态变化，发展抽象能力| |菱形性质与斜边中线|1例+3练|选择/解答，含中点与角度计算|性质与定理结合，提升推理意识| |全等与正方形性质|1例+3练|选择/解答，多结论判断与证明|综合性质与全等，强化逻辑推理| |三角形外角综合|1例+3练|选择/填空，角度计算与摆放问题|外角性质与图形性质融合，培养应用意识|

期末几何专题复习：第5章 5.2~5.3 正方形的性质、菱形的性质等知识点 知识点一：根据正方形的性质求线段长 例题： （选择题）如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC的最小值是（    ）。 A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解。 【详解】解：如图，连接AE，AP。 ∵四边形ABCD是正方形，且BD是对角线， ∴点C关于BD的对称点为点A， ∴PE+PC=PE+AP， 根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值， ∵正方形ABCD的边长为2，E是BC边的中点， ∴BE=1， ∴AE=， 故选：D。 同步练： （选择题）1.如图，在正方形中，点E在对角线上，于点，于点，连接，若，，则的长度为（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图所示，连接交于点，根据正方形的性质可得，是等腰直角形，可求出的长，同时可证，是等腰直角三角形，四边形是矩形，可求出的长，在中，根据勾股定理即可求解。 【详解】解：如图所示，连接交于点， ∵四边形是正方形，线段是对角线， ∴，，， ∴是等腰直角形，则， ∴， ∵， ∴，是等腰直角三角形，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，且， ∴，， ∴，   ∴， 在中，，， ∴， 故选：。 （填空题）2.如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，点F是CB延长线上一点，且△ADE≌△ABF，四边形AECF的面积为8，DE＝1，则AE的长为 。 【答案】3 【分析】由：△ADE≌△ABF，可得正方形ABCD的面积等于四边形AECF的面积，从而可得AD2＝8，在Rt△ADE中，由勾股定理可求得答案。 【详解】解：∵△ADE≌△ABF， ∴△ADE的面积等于△ABF的面积， ∴正方形ABCD的面积等于四边形AECF的面积， ∵四边形AECF的面积为8， ∴正方形ABCD的面积为8， ∴AD2＝8， 在Rt△ADE中， ， 故答案为：3。 （填空题）3.如图，在中，，以，为边分别作正方形和正方形，若，，则图中阴影部分的面积为 。 【答案】16 【分析】本题考查了正方形的性质，设正方形和正方形的边长分别为，，根据已知可得，然后根据三角形的面积公式可得，最后利用正方形的面积公式，以及完全平方公式，进行计算即可解答。 【详解】解：设正方形和正方形的边长分别为，， ， ， ，， ， ， 图中阴影部分的面积为， ， 故答案为：16。 知识点三：根据正方形的性质求面积 例题： （选择题）如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积之和为（    ）。 A．36 B．42 C．55 D．25 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用以及根据正方形的性质求面积，设阴影部分的小正方形边长为a， 阴影部分的大正方形边长为b， 白色正方形的边长为C。根据题意有，又，即可得出答案。 【详解】解：设阴影部分的小正方形边长为a， 阴影部分的大正方形边长为b， 白色正方形的边长为C。 则阴影部分的面积为：, 根据题意有：， 又∵， ∴， 故阴影部分的面积之和为：。 故选：D。 同步练： （选择题）1.如图，四边形是边长为1的正方形，以对角线为边作第二个正方形，连接，得到；再以对角线为边作第三个正方形，连接，得到；再以对角线为边作第四个正方形，连接，得到设的面积分别为，如此下去，则的值为（    ）。 A． B． C． D．1012 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、规律型等知识，首先求出、、，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题。 【详解】四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可求：，，， ， ∴ 故选：B。 （解答题）2.如图，在边长均为1的小正方形网格中，线段的端点都在格点上。（小正方形的顶点叫格点）。 以为一边作正方形；（点C，D画在格点上） 则线段的长为 ，正方形的面积为 。 【答案】图见解析，，13 【分析】根据要求，结合网格特点画出正方形即可，利用勾股定理计算线段的长，从而得到面积。 【详解】解：如图，正方形即为所求；  ， 。 知识点三：结合菱形的性质、斜边的中线等于斜边的一半的知识点解题 例题： （选择题）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点，且，则菱形ABCD的周长为（    ）。 A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】先由菱形的性质得出，结合已知条件，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半得出AB长，根据菱形周长公式进行求解即可。 【详解】四边形ABCD是菱形， ， ， E为AB的中点且， ， 菱形ABCD的周长， 故选：D。 同步练： （选择题）1.如图，菱形的对角线，相交于点O，点E为的中点，若，则菱形的周长是（    ）。 A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【分析】根据菱形的性质，得到，结合点E为的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，计算，根据周长为计算即可。 【详解】∵菱形的对角线，相交于点O， ∴， ∵点E为的中点，， ∴， ∴， 故菱形的周长为16， 故选C。 （选择题）2.如图，在菱形中，，，分别是边和的中点，连接，于点，则的度数为（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识。延长交的延长线于点G。根据已知可得的度数，再根据余角的性质可得到的度数，进而求得的度数。 【详解】解：延长交的延长线于点G．如图所示： ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵F是边的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴F为中点． 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵四边形为菱形， ∴， ∵E，F分别为的中点， ∴ ∴， 故选：B。 （解答题）3.（1）计算：； （2）如图，在四边形中，为中点，连结，求证：四边形为菱形。 【答案】（1）；（2）见解析。 【分析】（1）根据绝对值、零指数幂及二次根式的性质与化简即可得答案； （2）证四边形是平行四边形，再由直角三角形的性质推出，然后由菱形的判定即可得出结论。 【详解】解：（1） （2）证明：为中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形 在中，为中点， ， 平行四边形为菱形。 知识点四：根据全等的性质、正方形的性质解相关问题 例题： （选择题）如图，正方形中，点是边的中点，，交于点，、交于点，则下列结论：①；②；③；④。其中正确的是（　 　）。 A．①③ B．①②③④ C．①②③ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质。根据正方形的性质，可证，，，，由此即可求解。 【详解】解：正方形中，点是边的中点， ∴，，， ∴， ∴，故结论①正确； ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，故结论②正确； ∵与是等底等高的两个三角形， ∴与的面积相等，即， ∵，， ∴，故结论③正确； 由结论①，②可知，， ∵， ∴， ∴，故结论④正确； 综上所述，正确的有①②③④； 故选：。 同步练： （选择题）1.如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE。过点A作AE的垂线交DE于点P。若AE=AP=2，PB=。下列结论：①PD=PB；②EB⊥ED；③△APD≌△AEB；④点B到直线AE的距离为；⑤。其中正确结论的序号是（    ）。 A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．①③⑤ 【答案】B 【分析】根据正方形的性质可得AB＝AD，再根据同角的余角相等求出∠BAE＝∠DAP，然后利用“边角边”证明△APD和△AEB全等，从而判定③正确，根据全等三角形对应角相等可得∠AEB＝∠APD＝135°，然后求出∠BEP＝90°，判定②正确，①错误，根据等腰直角三角形的性质求出PE，再利用勾股定理列式求出BE的长，然后根据S△APB+S△APD＝S△APB+S△AEB＝S△APE+S△BEP列式计算即可判断出⑤正确；过点B作BF⊥AE交AE的延长线于F，先求出∠BEF＝45°，从而判断出△BEF是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出BF的长为2，判断出④错误。 【详解】解：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°， ∵AP⊥AE， ∴∠BAE+∠BAP＝90°， 又∵∠DAP+∠BAP＝∠BAD＝90°， ∴∠BAE＝∠DAP， 在△APD和△AEB中， ， ∴△APD≌△AEB（SAS），故③正确； ∴PD＝EB， ∵AE＝AP，AP⊥AE， ∴△AEP是等腰直角三角形， ∴∠AEP＝∠APE＝45°， ∴∠AEB＝∠APD＝180°﹣45°＝135°， ∴∠BEP＝135°﹣45°＝90°， ∴EB⊥ED，故②正确； ∴PB＞EB， 即PB＞PD，故①错误； ∵AE＝AP＝2， ∴PE＝AE＝2， 在Rt△PBE中，BE＝＝＝4， ∴S△APB+S△APD＝S△APB+S△AEB ＝S△APE+S△BEP ＝×2×2+×2×4， ＝2+4，故⑤正确； 过点B作BF⊥AE交AE的延长线于F， ∵∠BEF＝180°﹣135°＝45°， ∴△BEF是等腰直角三角形， ∴BF＝×4＝2， 即点B到直线AE的距离为2，故④错误； 综上所述，正确的结论有②③⑤； 故选：B。 （选择题）2.如图，在正方形中，E、F分别是和上的动点，且，交和于M、N两点。下列结论： ①；②；③平分；④当E为中点时，。其中正确的结论是（    ）。 A．②④ B．①②③ C．①③ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，延长到G，使得，连接，可证明得到，，再证明，得到，据此可判断①③；将绕点A顺时针旋转90度得到，连接，可证明，得到，根据，可得，据此可判断②；设正方形的边长为，，则，由勾股定理可得，解方程即可判断④。 【详解】解：如图所示，延长到G，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即平分，故③正确； ∵， ∴，故①正确； 如图所示，将绕点A顺时针旋转90度得到，连接， 由旋转的性质可得， 同理可得证明， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②错误； 不妨设正方形的边长为，，则， ∵E为中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 故选：D。 （解答题）3.如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AB、BC的中点，连接AF、DE交于点G，连结BG。 （1）试判断AF与DE的数量关系与位置关系，并证明； （2）求证：BG平分∠EGF。 【答案】（1），，证明见解析 （2）证明见解析 【分析】（1）先根据正方形的性质、三角形全等的判定证出，再根据全等三角形的性质可得，，从而可得，由此即可得出； （2）过点作于点，设，则，先利用勾股定理可得，再利用三角形的面积公式可得，然后利用勾股定理可得，从而可得，最后根据等腰直角三角形的性质可得，由此即可得证。 【详解】（1）解：，，证明如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵、分别为边、的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，过点作于点， 设，则， ， ， ， 同理可得：， 在中，， ， ， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由（1）已证：， ， ， ∴平分。 知识点五：三角形的外角的定义及性质的综合运用 例题： （选择题）如图，正方形的对角线相交于点，的平分线交于点，下列结论不正确的是（　 　）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质得出，，则，根据角平分线的定义得出，根据等角的余角相等得出，可判断A选项不符合题意；根据正方形的性质得出，根据等边对等角和角平分线的定义得出，根据三角形的外角性质即可推得，可判断B选项不符合题意；作于点，由等边对等角和三角形内角和定理得出，，根据等角对等边得出，根据勾股定理求出，根据角平分线的性质得，可判断C选项符合题意；由，，得，可判断D选项不符合题意，即可得到答案。 【详解】解：∵四边形是正方形，对角线与交于点， ∴，， ∴， ∴，， ∵的平分线交于点， ∴， ∴，故A选项结论正确，不符合题意； ∵四边形是正方形，对角线与交于点， 故，，， ∴， ∴， ∴，故B选项结论正确，不符合题意； 作于点，如图： 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵平分，，， ∴， ∴，故C选项结论错误，符合题意； ∵，， ∴，故D选项结论正确，不符合题意， 故选：C。 同步练： （选择题）1.如图，在正方形中，点，点分别是对角线，上的点，连接，若，且，则的度数为（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明，从而证得，再证明，得，然后利用三角形外角性质求解即可。 【详解】解：四边形是正方形，对角线、相交于点， ， ， ， ， ，， ， ∴， 在和中， ， ， ， ∴，　 故选：B。 （填空题）2.将等边三角形、正方形和长方形如图所示摆放，则∠1＋∠2＝ °。 【答案】120 【分析】利用平角定义解得∠1=180°-90°-∠3，∠2＝180°-90°-∠4，结合三角形外角性质得到∠3+∠4=∠5，再根据等边三角形、正方形的每个内角度数进行解答。 【详解】解：如图 ∵等边三角形的每个内角60°，正方形的每个内角90°， ∴∠1＋∠2＝180°-90°-∠3+180°-90°-∠4 =180°-（∠3+∠4） =180°-∠5 =180°-60° =120°， 故答案为：120。 （填空题）3.如图，在菱形中，，连接，在的延长线上有点，且，连接，则的度数是 。 【答案】/35度 【分析】本题考查菱形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质和三角形外角的性质。由菱形性质求得即可求出。根据等边对等角即得出。最后根据三角形外角性质得出，即可求出的度数。 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴。 ∵， ∴。 ∵， ∴， 故答案为：。 试卷第23页，共23页 学科网（北京）股份有限公司 $期末几何专题复习：第5章5.25.3正方形的性质、菱形 的性质等知识点 巴知识点一：根据正方形的性质求线段长 同 例题： (选择题)如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线 BD上移动，则侧P件PC的最小值是( )。 D B E C A.2 B.3 C.5 D.5 1同步练： (选择题)1.如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，EF⊥AB于点F, EGLC于点G,连接DE,若4B=0,EF:BG=1:4,则BD的长度为( 试卷第1页，共9页 A D E B G A.217 B.2V15 C.8v2 D.7 (填空题)2.如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，点F是CB延长线上一点， 且△AD≌△ABF,四边形AECF的面积为8，DE=1,则AE的长为 y D E c B (填空题)3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC,BC为边分别作正方形 ACDE和正方形BCGF,若4G=6,c=5, ，则图中阴影部分的面积为 试卷第2页，共9页 D G A B 色知识点三：根据正方形的性质求面积 例题： (选择题)如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直 角三角形，则阴影部分的面积之和为( )。 12 13 A.36 B.42 C.55 D.25 1同步练： (选择题)1.如图，四边形OA4B是边长为1的正方形，以对角线OA为边作第 二个正方形OAA,B,连接A4,得到△AAA;再以对角线OA,为边作第三个正方 形0A,4B,连接A4,得到△A44；再以对角线04为边作第四个正方形 试卷第3页，共9页 04AB,连接4，得 △44A“设 △444△A44,△444“的面积分别 为SSS,…,如此下去，则S4的值为( B2 B B3 B4 1 A. 2202 B.2202 c.2+号 D.1012 (解答题)2.如图，在边长均为1的小正方形网格中，线段AB的端点都在格点 上。（小正方形的顶点叫格点）。 以AB为一边作正方形ABCD;(点C,D画在格点上) 则线段AB的长为 正方形ABCD的面积为 试卷第4页，共9页 色知识点三：结合菱形的性质、斜边的中线等于斜边的一半的知识 点解题 家题· (选择题)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,E为AB的中点， 且OE=2,则菱形ABCD的周长为( )。 A.6 B.8 C.12 D.16 1同步练： (选择题)1.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点Q,点E为AD的 中点，若OE=2，则菱形ABCD的周长是( )。 B 试卷第5页，共9页 A.8 B.12 C.16 D.20 (选择题)2.如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E,F分别是边AB和BC的中 点，连接EF,EP⊥CD于点P,则∠PEF的度数为( )。 E B A.30° B.359 C.40° D.45° (解答题)3.(1)计算：W5-2+(π-o-2, (2)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AB=2CD,∠ACB=90°，E为AB中点， 连结CE,求证：四边形AECD为菱形。 E B 试卷第6页，共9页 马知识点四：根据全等的性质、正方形的性质解相关问题 羽题· (选择题)如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，BD,CE交于点H, BE、H交于点G,则下列结论：O∠ABE=∠DCE:②B=∠BHD,③ SBHE=SCD:④AG1BE。其中正确的是（ )。 E D B C A.①③ B.①②③④ C.①②③ D.①③④ 试卷第7页，共9页 简同步练： (选择题)1.如图，在正方形ABCD外取一点E,连接AE、BR、DE。过点A作AE 的垂线交DE于点P。若AEAP2,PB2V6。下列结论：①PPB:②B⊥ED: ③△P2△4，④点B到直线D的距离为25：⑤5m+Sm=2+4 。其 中正确结论的序号是( D B A.①②③ B.②③⑤ C.②③④ D.①③⑤ (选择题)2.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD上的动点，且 ∠BAF=45”,BD交ME和4于从N两点。下列结论： ①EF=BE+DF;②MN=BM+DN;③AE平分∠BEF;④当E为BC中点时， CF=2DF。其中正确的结论是（ )。 试卷第8页，共9页 N F M B E A.②④ B.①②③ C.①③ D.①③④ (解答题)3.如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AB、BC的中点，连接 AF、DE交于点G,连结BG。 D G E (1)试判断AF与DE的数量关系与位置关系，并证明： (2)求证：BG平分∠EGF。 试卷第9页，共9页 色知识点五：三角形的外角的定义及性质的综合运用 家睡· (选择题)如图，正方形ABCD的对角线相交于点O,∠ACD的平分线交BD于点 E,下列结论不正确的是( B A. ∠BEC=∠BCE B.∠BEC=3∠DCE C.DEOE D.BE=AB 1同步练 (选择题)1.如图，在正方形ABCD中，点E,点F分别是对角线BD,AC上的 点，连接CE,EF,DF,若EF∥BC,且∠EDF=a,则∠CEF的度数为( )。 试卷第10页，共9页 A E B C A.a B.45°- C.60°-2a D.90°-3a (填空题)2.将等边三角形、正方形和长方形如图所示摆放，则∠1十∠2= 2 (填空题)3.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=140°，连接AC,在BC的延长线上 有点E,且CE=AC,连接AE,则∠E的度数是 试卷第11页，共9页 A B C E 试卷第12页，共9页