专题06 平行四边形的判定与性质与解题模型【期末复习重难点专题培优六大题型】-2025-2026学年数学浙教版八年级下册

**基本信息** 以“题型分类-模型建构-真题演练”为框架，系统整合平行四边形判定与性质，提炼3类核心题型通法与3个解题模型，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |重点题型分类讲练|3题型（求解/证明/应用）|判定与性质综合应用，格点作图技巧|从性质直接应用到判定推理，构建“概念-应用”基础链| |能力提升拓展拔尖|3模型（中点四边形/梯子/对角互补）|模型特征识别与辅助线添加策略|提炼特殊图形规律，形成“模型-迁移”能力链| |优选真题实战演练|2层次（基础夯实/拓展拔尖）|分层训练与中考真题适配|结合浙江期中期末真题，实现“基础-拔高”备考链|

2025-2026学年浙教版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题06 平行四边形的判定与性质与解题模型『期末复习重难点专题培优』 【3个重点题型+3个解题模型+期末真题实战演练 共38题】 重点题型 分类讲练 1 题型一 利用平行四边形的判定与性质求解 1 题型二 利用平行四边形性质和判定证明 3 题型三 平行四边形性质和判定的应用 5 能力提升 拓展拔尖 7 解题模型一 中点四边形 7 解题模型二 梯子模型 8 解题模型三 对角互补模型 10 优选真题 实战演练 12 【基础夯实 能力提升】 12 【拓展拔尖 冲刺满分】 15 题型一 利用平行四边形的判定与性质求解 【精讲】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）图①、图②均是正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，保留作图痕迹． (1)在图①中找到格点，连接、，使，； (2)如图②，过点作线段且，点是线段上一点，过点作直线平分四边形的面积，交于点． 【精练1】．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期中）如图．在网格中，每个小正方形的边长都是1，每个顶点称为格点．线段的端点都在格点上．按下列要求作图，使所画图形的顶点均在格点上． (1)如图1，画出与关于点成中心对称的图形； (2)如图2，画一个以为边，且面积为12的平行四边形． 【精练2】（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知：如图：在中，，，垂直于D，是上的一个动点，以，为边作，连接，设， (1)探究与的数量关系，并说明理由． (2)设，求S关于t的关系式； (3)Q在内部，当时，求t的值． 题型二 利用平行四边形性质和判定证明 【精讲】（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，对角线，相交于点，，，为直线上的两个动点（点，始终在的外面），连接，，，．，． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若，，求四边形的周长． 【精练1】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在所给网格中按下列要求画出图形． (1)在图1中画一个平行四边形，使边长为（点、都在格点上）； (2)在图2中画一个平行四边形，使点是它的对称中心． 【精练2】（25-26八年级下·浙江金华·月考）请完成证明中的三个填空．并参考小刚同学思考的方法，解决下列问题： (1)问题背景： 小刚遇到一个这样问题：如图1，两条相等的线段交于点，连接，求证：．通过尝试他发现通过平移可以解决这个问题． 证明：过点作且使，连接， 四边形为平行四边形，则___________， ， ___________， 又， 为等边三角形， ___________， ，即． 类比运用： (2)如图2，与相交于点，，求线段的长； 题型三 平行四边形性质和判定的应用 【精讲】（24-25八年级上·浙江·期末）如图，以的三边为边分别作等边，等边，等边，其中，则以下结论：①；②；③四边形的面积是的2倍．其中正确的结论是___________． 【精练1】（24-25八年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，，E、G是边上两点，且，与交于点F，F恰是的中点，，． (1)求证：． (2)求证：四边形是矩形． (3)若，，求的长． 【精练2】（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： (1)操作发现：在等腰中，，分别以为斜边，向的外侧作等腰直角三角形，如图所示，其中于点，于点，是的中点，连结和，则下列结论正确的是 （填序号即可）． ①；②；③整个图形是轴对称图形；④． (2)数学思考：在任意中，分别以为斜边，向的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，是的中点，连结和，则与有怎样的数量关系？请给出证明过程； (3)类比探究：在任意中，仍分别以为斜边，向的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，是的中点，连结和，试判断的形状． 解题模型一 中点四边形 【精讲】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）对凸四边形我们不妨约定：若四边形对角线垂直，叫做“垂对”四边形；若四边形对角线相等，叫做“等对”四边形． (1)判断下列说法的正确性，正确的请在横线处打“√”，错误的打“×”． ①平行四边形一定不是“垂对”四边形；______ ②一组邻边相等的平行四边形一定是“等对”四边形；______ ③顺次连接“垂对”四边形各边中点所得的四边形是“等对”四边形．______ (2)如图1，在四边形中，，、的垂直平分线恰好交于边上一点P，连结、，求证：四边形是“等对”四边形． (3)如图2，在正方形中，点E、点M分别在边、上，点F在的延长线上，且四边形是“垂对”四边形，对角线、相交于点H，与边交于点N． ①若，，，求的长； ②连接，若点M是的中点，且正方形边长为4，请直接写出的最小值． 【精练1】（2025·安徽合肥·三模）如图，在正方形中，点，分别是，的中点，，交于点G，连接，，，则下列说法正确的个数为（   ） ①； ②； ③依次连接，，，的中点，，，，则四边形为正方形； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【精练2】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，点分别是四边形边的中点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则四边形为矩形 B．若，则四边形为菱形 C．若四边形是平行四边形，则与互相平分 D．若四边形是正方形，则与互相垂直且相等 解题模型二 梯子模型 【精讲】如图，一架长的梯子斜靠在墙上，，此时，梯子的底端B离墙底C的距离为． (1)求此时梯子的顶端A距地面的高度； (2)如果梯子的顶端A下滑了，那么梯子的顶端B在水平方向上向右滑动了多远？ 【精练1】如图，一架米长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯足到墙底端的距离为米，如果梯子的顶端沿墙下滑米，，那么梯足将向外移多少米？ 【精练2】一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 解题模型三 对角互补模型 【精讲】回答问题： (1)【初步探索】如图1：在四边形中，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； (2)【灵活运用】如图2，若在四边形中，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，已知在四边形中，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 【精练1】在内有一点D，过点D分别作，垂足分别为B，C．且，点E，F分别在边和上． (1)如图1，若，请说明； (2)如图2，若，猜想具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由． 【精练2】我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“完美四边形”． (1)在①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美”四边形的是 　　（请填序号）； (2)在“完美”四边形中，，，连接． ①如图1，求证：平分； 小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明平分 想法一：通过，可延长到，使，通过证明，从而可证平分； 想法二：通过，可将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，可证，，三点在一条直线上，从而可证平分． 请你参考上面的想法，帮助小明证明平分； ②如图2，当，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，在锐角三角形中，，是边上的中线，以点为圆心，长为半径在的右侧作弧，延长交此弧于点，连接，．四边形是平行四边形的依据是（    ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 2．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，对角线和交于点，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，的四个顶点分别在的四条边上，，分别交、于点、，过点作，分别交、于点、，若四边形面积为，则的面积为（     ） A． B．a C． D． 4．如图，在平行四边形中，相交于点O，点E，F在对角线上，有下列条件：①；②；③；④．其中一定能判定四边形是平行四边形的是______． 5．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在中，对角线相交于点，点在上，且，添加一个适当的条件，使四边形是矩形，这个条件可以是______．（填一个条件即可） 6．一个中，为斜边的中点，E为直角边上的一点，连接，将沿折叠至，交于点F，若是面积的一半，则______． 7．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在所给网格中按下列要求画出图形． (1)在图1中画一个平行四边形，使BC边长为（点C、D都在格点上）． (2)在图2中画一个平行四边形，使平行四边形关于点O成中心对称． 8．如图，在平行四边形中，，分别是边和上的点，且，连接，，求证：四边形是平行四边形． 9．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期中）如图1，在中，，．点是边上的动点，连接，将绕点旋转至，使点与点重合，连接交于点． (1)当点为中点时，线段________； (2)如图2，作交于点，连接交于点．求证：四边形是平行四边形； (3)在（2）的条件下： ①若，求的度数； ②连接，当时，________． 10．（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，在中，点是边的中点，连接并延长，与的延长线交于． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求的周长． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．如图，下列条件中不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，对角线，交于点，过点作于点，为上一点，连接．若，，，则的面积为（   ） A．6 B．7.5 C．8 D．10 3．（25-26八年级下·浙江台州·期中）如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与交于点，若，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·浙江温州·期中）图1的放缩尺是利用“平行四边形的不稳定性”来进行绘图的工具，它由四把直尺用螺栓在点A，B，C，D处连接而成．在绘图过程中，O的位置固定不变，O，A，E始终位于同一水平面，且，．当由（如图2）缩小为（如图3）时，O，E两点的距离减小了，则点C的竖直高度上升了______． 5．（24-25八年级下·全国·期中）如图，是的边上的点，是的中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，则阴影部分的面积为_____． 6．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在等边中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，点F从点B出发沿射线以的速度运动，如果点同时出发，设运动时间为．当_________ 时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 7．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下面的要求画图： (1)在图①中，画出一个格点平行四边形（不能画成长方形），使其面积为3； (2)在图②中，画出一个格点平行四边形（不能画成长方形），使其一条对角线等于5 8．（25-26八年级下·浙江台州·期中）如图，四边形是平行四边形，，是对角线上的两点且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求的度数． 9．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，在的方格中，请按以下要求画图： (1)将线段绕点顺时针旋转，画对应线段． (2)以为边画一个格点（顶点均在格点上的四边形），使所在的直线能平分的面积． 10．（25-26八年级下·浙江金华·期中）定义：若两个端点均在四边形边上的线段平分该四边形的面积，则我们称这条线段为该四边形的“中分线”．例：如图，在中，连结，利用平行四边形的性质可证，则与面积相等，即线段是的“中分线”，同理线段也是． (1)如图1，请再画一条除线段外的“中分线”．（无需证明，保留作图痕迹） (2)如图2，在四边形中，连结．已知是四边形的“中分线”，过点作交于点F． ①若，求的长． ②延长交于点G，如图3所示，当时，请在图中找出一条不同于的四边形的“中分线”，并说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年浙教版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题06 平行四边形的判定与性质与解题模型『期末复习重难点专题培优』 【3个重点题型+3个解题模型+期末真题实战演练 共38题】 重点题型 分类讲练 1 题型一 利用平行四边形的判定与性质求解 1 题型二 利用平行四边形性质和判定证明 5 题型三 平行四边形性质和判定的应用 9 能力提升 拓展拔尖 18 解题模型一 中点四边形 18 解题模型二 梯子模型 26 解题模型三 对角互补模型 28 优选真题 实战演练 35 【基础夯实 能力提升】 35 【拓展拔尖 冲刺满分】 46 题型一 利用平行四边形的判定与性质求解 【精讲】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）图①、图②均是正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，保留作图痕迹． (1)在图①中找到格点，连接、，使，； (2)如图②，过点作线段且，点是线段上一点，过点作直线平分四边形的面积，交于点． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【思路引导】（1）根据网格特点和勾股定理找到格点，再连接、即可； （2）结合网格，先找出格点，使得，再连接，然后过点和的交点作直线，交于点即可． 【规范解答】（1）解：，． 则在图①中找到格点，连接、，如图所示： （2）解：在图②中，过点作线段且，过点作直线平分四边形的面积，交于点，如图所示： 【精练1】．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期中）如图．在网格中，每个小正方形的边长都是1，每个顶点称为格点．线段的端点都在格点上．按下列要求作图，使所画图形的顶点均在格点上． (1)如图1，画出与关于点成中心对称的图形； (2)如图2，画一个以为边，且面积为12的平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）根据中心对称图形的作法直接作图即可； （2）以为边，作底边为4的平行四边形即可． 【规范解答】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：如图所示，四边形即为所求； 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形即为所求． 【精练2】（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知：如图：在中，，，垂直于D，是上的一个动点，以，为边作，连接，设， (1)探究与的数量关系，并说明理由． (2)设，求S关于t的关系式； (3)Q在内部，当时，求t的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【思路引导】本题考查等腰三角形的性质、平行四边形的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，设点P到的距离为，利用三角形面积公式和平行四边形面积公式求出和，进而探究二者的数量关系即可； （2）过点D作于点E，根据勾股定理求出长，利用“等面积法”求出长，进而求出，由（1）知，，据此解答即可； （3）根据平行四边形的性质得到、，进而得到，利用求出，进而求出长，利用，列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：，理由如下： ，垂直于D， ， 设点P到的距离为， 、， ； （2）解：如图，过点D作于点E， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 由（1）知，， ； （3）解：设交于点M， 四边形是平行四边形， 、， ， ， 由（2）知，， ， ， ， ， ， 在内部， ， ， 整理得：， 解得． 题型二 利用平行四边形性质和判定证明 【精讲】（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，对角线，相交于点，，，为直线上的两个动点（点，始终在的外面），连接，，，．，． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)20 【思路引导】（1）由平行四边形的性质，得对角线互相平分：，．根据、，推出，，结合，得．四边形的对角线、互相平分，故为平行四边形． （2）由，得平行四边形的对角线互相垂直，故为菱形（）．在中，且，故为等边三角形，得．菱形周长边长． 【规范解答】（1）证明：在中 ， ， ， ， 四边形为平行四边形 （2）解：， 为的垂直平分线， 【精练1】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在所给网格中按下列要求画出图形． (1)在图1中画一个平行四边形，使边长为（点、都在格点上）； (2)在图2中画一个平行四边形，使点是它的对称中心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）取格点C、D，连接，由可得四边形是平行四边形，由勾股定理可得； （2）取格点C、D，连接，由可得四边形是平行四边形，由网格的特点可得点O既是的中点，又是的中点，即点O是四边形的对称中心． 【规范解答】（1）解：如图所示，四边形即为所求； （2）解：如图所示，四边形即为所求． 【精练2】（25-26八年级下·浙江金华·月考）请完成证明中的三个填空．并参考小刚同学思考的方法，解决下列问题： (1)问题背景： 小刚遇到一个这样问题：如图1，两条相等的线段交于点，连接，求证：．通过尝试他发现通过平移可以解决这个问题． 证明：过点作且使，连接， 四边形为平行四边形，则___________， ， ___________， 又， 为等边三角形， ___________， ，即． 类比运用： (2)如图2，与相交于点，，求线段的长； 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据平行四边形的性质、平行线的性质及等边三角形的性质求解即可； （2）作，两线交于，连接，证是直角三角形，得，过点作于点，根据三线合一，勾股定理得则，根据四边形是平行四边形可得答案； 【规范解答】（1）证明：过点作且使．连接， ∴四边形为平行四边形，则． ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴，即． 故答案为：； （2）解：过作，过作，两直线交于，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴， 过点作于点， ∴，， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴， 四边形是平行四边形， ∴． 题型三 平行四边形性质和判定的应用 【精讲】（24-25八年级上·浙江·期末）如图，以的三边为边分别作等边，等边，等边，其中，则以下结论：①；②；③四边形的面积是的2倍．其中正确的结论是___________． 【答案】①② 【思路引导】此题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键．连接，证明．同理可证，则；即可判断①正确；证明四边形是平行四边形．则，即可判断②；若四边形的面积是的2倍．则，证明三点共线，即，但没法证明，即可判断③． 【规范解答】解：连接， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴． 同理可证，， ∴， 故①正确； 连接， ∵， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∴； 故②正确； 若四边形的面积是的2倍．则， ∵， ∴， ∴， 设的边上的高为，的边上的高为， ∵， ∴， 即点和点到的距离相等， ∴， ∵， ∴三点共线，即， 但没法证明， 故③错误， 故答案为：①②． 【精练1】（24-25八年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，，E、G是边上两点，且，与交于点F，F恰是的中点，，． (1)求证：． (2)求证：四边形是矩形． (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路引导】（1）根据题意证明出，得到，然后证明出四边形是平行四边形，即可得到； （2）由平行四边形的性质得到，，等量代换得到，然后结合即可证明出四边形是矩形； （3）首先证明出，得到，，设，则，，根据列方程求出，得到，然后利用勾股定理求解即可． 【规范解答】（1）解：∵ ∴， 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形 ∴； （2）解：∵由（1）得：四边形是平行四边形 ∴， ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是矩形； （3）解：∵F恰是的中点 ∴ ∵ ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ 设，则， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ 解得或（舍去） ∴ ∴． 【考点剖析】此题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，矩形的判定，平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【精练2】（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： (1)操作发现：在等腰中，，分别以为斜边，向的外侧作等腰直角三角形，如图所示，其中于点，于点，是的中点，连结和，则下列结论正确的是 （填序号即可）． ①；②；③整个图形是轴对称图形；④． (2)数学思考：在任意中，分别以为斜边，向的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，是的中点，连结和，则与有怎样的数量关系？请给出证明过程； (3)类比探究：在任意中，仍分别以为斜边，向的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，是的中点，连结和，试判断的形状． 【答案】(1)①②③④ (2)，证明见解析 (3)为等腰直角三角形 【思路引导】（1）根据等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，图形的对称性，可证①②③都正确，根据全等图形的判定和性质可证④也正确； （2）取的中点、，连接，，，，根据三角形的中位线的性质和等腰直角三角形的性质就可以得出四边形是平行四边形，从而得出，根据其性质就可以得出结论； （3）取、和的中点、、，连接、、、，和相交于，根据三角形的中位线的性质可以得出，由全等三角形的性质就可以得出结论． 【规范解答】（1）解：∵是等腰三角形，，是以为斜边的等腰直角三角形，， ∴，且， ∴， ∴，， 在中， ， ∴， ∴， 在等腰直角中，， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∵点是中点， ∴， ∴， ∴，故②正确； 如图所示，连接， 由上述证明可得， ，即对应边相等，对应角相等， ∴整个图形是轴对称图形，故③正确； ，， ， ∴， ， 四边形四点共圆， ∴， 是对称轴， ∴， ， ，故④正确， 故答案为：①②③④． （2）解：， 理由：如图，取、的中点、，连接，，，， ，， 和是等腰直角三角形， ，，，， ，，． 是的中点， ∴， 四边形是平行四边形， ，，． ，，， ． 在和中， ， ， ； （3）解：如图，取、和的中点、、，连接、、、， ∴，，，， 四边形是平行四边形， ，，， 和是等腰直角三角形， ，，， ，，， 即． 在和中， ， ， ，． ， ， ， ，即， 为等腰直角三角形． 【考点剖析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质、三角形的中位线的性质、直角三角形的斜边上的中线的性质、平行四边形的判定及性质及运用，解答时根据三角形的中位线的性质构造全等三角形是解答本题的关键． 解题模型一 中点四边形 【精讲】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）对凸四边形我们不妨约定：若四边形对角线垂直，叫做“垂对”四边形；若四边形对角线相等，叫做“等对”四边形． (1)判断下列说法的正确性，正确的请在横线处打“√”，错误的打“×”． ①平行四边形一定不是“垂对”四边形；______ ②一组邻边相等的平行四边形一定是“等对”四边形；______ ③顺次连接“垂对”四边形各边中点所得的四边形是“等对”四边形．______ (2)如图1，在四边形中，，、的垂直平分线恰好交于边上一点P，连结、，求证：四边形是“等对”四边形． (3)如图2，在正方形中，点E、点M分别在边、上，点F在的延长线上，且四边形是“垂对”四边形，对角线、相交于点H，与边交于点N． ①若，，，求的长； ②连接，若点M是的中点，且正方形边长为4，请直接写出的最小值． 【答案】(1)①×②×③√ (2)见解析 (3)①2；② 【思路引导】（1）①根据菱形、正方形的性质判断即可； ②根据菱形的判定和性质判断即可； ③根据中位线定理得到，，证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的判定和性质得到，即可证明平行四边形是矩形，进而判断即可； （2）连接，，根据垂直平分线的性质得到，，根据等边对等角得到，，根据三角形外角的性质得到，，可知，证明，得到，即可得到四边形是“等对”四边形； （3）①连接，根据正方形的性质得到，，可得，证明，进而证明，得到，即可求出的长； ②过点E作，过点M作，可知四边形是平行四边形，进而得到，当D，E，K三点共线时，的值最小，作交于点G，证明，得到，根据勾股定理求出，进而求出即可． 【规范解答】（1）解：①特殊的平行四边形即菱形、正方形对角线垂直，是“垂对”四边形，原说法错误， 故答案为：×； ②一组邻边相等的平行四边形是菱形，菱形对角线不一定相等，原说法错误， 故答案为：×； ③构造如图所示“垂对”四边形和其中点四边形， ∵是边中点， ∴是中位线， ∴， 同理可得，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是“垂对”四边形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形， 矩形对角线相等， 故答案为：√； （2）证明：连接，，如图所示： ∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∴，， ∵ ∴， ∴（）， ∴，即四边形是“等对”四边形； （3）①解：连接，在正方形中，，， ∴， ∴， 在和中，， ∴（）， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 在和中，， ∴（）， ∴， ∴； ②解：过点E作，过点M作， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴当D，E，K三点共线时，的值最小， ∵四边形是“垂对”四边形， ∴，即， 作交于点G， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为 【考点剖析】本题考查了菱形的判定和性质，正方形的性质，中位线定理，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【精练1】（2025·安徽合肥·三模）如图，在正方形中，点，分别是，的中点，，交于点G，连接，，，则下列说法正确的个数为（   ） ①； ②； ③依次连接，，，的中点，，，，则四边形为正方形； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【思路引导】根据正方形的性质和全等三角形的判定得到，可判断①；根据全等三角形的性质得出，，进而得到，设正方形的边长为，利用勾股定理表示出、的长，可判断②；根据中点四边形的性质，结合和，利用正方形的判定可判断③；延长和交于点，通过证明，得到，利用斜边中线定理得到，则有，再利用角的和差和等量代换可判断④，即可得出答案． 【规范解答】解：正方形， ，， 点，分别是，的中点， ，， ， ，故①正确； ，， ， ， ，即， 设正方形的边长为，则， ， ， ， ，故②正确； 点，，，分别是，，，的中点， ，，，， ， ， 四边形是菱形， ， ，即， 菱形是正方形，故③正确； 延长和交于点， ，，， ， ，， ，， ，即， ， ， ， ， ，故④正确； 综上所述，说法正确的个数为4个． 故选：D． 【考点剖析】本题考查了正方形的性质和判定、中点四边形、勾股定理、三角形中位线定理、直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定等知识点，结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．本题属于正方形综合题，有一定难度，需要较强的几何推理能力，适合有能力解决几何难题的学生． 【精练2】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，点分别是四边形边的中点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则四边形为矩形 B．若，则四边形为菱形 C．若四边形是平行四边形，则与互相平分 D．若四边形是正方形，则与互相垂直且相等 【答案】D 【思路引导】本题考查了三角形的中位线定理、矩形与菱形的判定、正方形的性质等知识，熟练掌握三角形的中位线定理和特殊四边形的判定与性质是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得，，，，再证出四边形为平行四边形，由此即可判断选项C错误；根据菱形与矩形的判定即可得选项A和B错误；根据正方形的性质可得，则可得，，由此即可判断选项D正确． 【规范解答】解：∵点分别是的中点， ∴， 同理可得：，，， ∴， ∴四边形为平行四边形，无法得出与互相平分，则选项C错误； 若，则， ∴四边形为菱形，则选项A错误； 若，则， 又∵， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形，则选项B错误； 若四边形是正方形，则， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 即若四边形是正方形，则与互相垂直且相等，选项D正确； 故选：D． 解题模型二 梯子模型 【精讲】如图，一架长的梯子斜靠在墙上，，此时，梯子的底端B离墙底C的距离为． (1)求此时梯子的顶端A距地面的高度； (2)如果梯子的顶端A下滑了，那么梯子的顶端B在水平方向上向右滑动了多远？ 【答案】(1) (2)梯子的底端B在水平方向滑动了 【思路引导】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理，是解题关键． （1）直接利用勾股定理求出AC的长，进而得出答案； （2）直接利用勾股定理得出，进而得出答案． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴此时梯子的顶端A距地面的高度为． （2）解：根据题意得：， ∴， ∴， ∴ 答：梯子的顶端B在水平方向上向右滑动了． 【精练1】如图，一架米长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯足到墙底端的距离为米，如果梯子的顶端沿墙下滑米，，那么梯足将向外移多少米？ 【答案】梯足向外移动了 【思路引导】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了勾股定理在直角三角形中的正确运用，本题中求的长度是解题的关键．在直角三角形中，已知,，，根据勾股定理即可求的长度，根据即可求得的长度，在直角三角形中，已知，即可求得的长度，根据即可求得的长度． 【规范解答】解：在直角中，已知,，， 则， ， 在直角中，，且为斜边， ， 梯足向外移动了． 【精练2】一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【答案】(1)梯子顶端距离地面的高度为24米 (2)梯子的底端在水平方向滑动了8米 【思路引导】本题主要考查了勾股定理在解直角三角形中的应用，熟练掌握并正确计算是解题的关键． （1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度； （2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，可以得出梯子的底端在水平方向滑动的距离． 【规范解答】（1）解：根据勾股定理： 梯子顶端距离地面的高度为：； （2）梯子下滑了4米， 即梯子顶端距离地面的高度为：米， 根据勾股定理得：米， ． 即梯子的底端在水平方向滑动了8米． 解题模型三 对角互补模型 【精讲】回答问题： (1)【初步探索】如图1：在四边形中，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； (2)【灵活运用】如图2，若在四边形中，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，已知在四边形中，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 【答案】(1) (2)仍成立，理由见解析 (3)，证明见解析 【思路引导】（1）延长到点G， 使，连接，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案． （2）延长到点G， 使，连接，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案． （3）在延长线上取一点G，使得，连接，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案． 【规范解答】（1）解：延长到点G， 使，连接， 在和中， ， ∴， ， ∵， ， 在和中， ， ∴， ； 故答案为：； （2）解：延长到点G， 使，连接， ∵， ， 在和中， ， ∴， ， ∵， ， 在和中， ， ∴， ； （3）解：，证明如下： 在延长线上取一点G，使得，连接， ∵， 在和中 ， ∴， ， ∵， ， 在和中 ， ∴， ， ∵， ， ∴，即， ∴． 【考点剖析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形． 【精练1】在内有一点D，过点D分别作，垂足分别为B，C．且，点E，F分别在边和上． (1)如图1，若，请说明； (2)如图2，若，猜想具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用、、证明三角形全等成为解题的关键． （1）根据题目中的条件和可证，再根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）如图：过点D作交于点G，从而可以得到，然后即可得到，再证明，即可得到，即可确定具有的数量关系． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴． ∴． （2）解：，理由如下： 如图：过点D作交于点G， 在和中，, ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在和中， ∴． ∴， ∴． 【精练2】我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“完美四边形”． (1)在①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美”四边形的是 　　（请填序号）； (2)在“完美”四边形中，，，连接． ①如图1，求证：平分； 小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明平分 想法一：通过，可延长到，使，通过证明，从而可证平分； 想法二：通过，可将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，可证，，三点在一条直线上，从而可证平分． 请你参考上面的想法，帮助小明证明平分； ②如图2，当，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)④ (2)①见解析；②，证明见解析 【思路引导】（1）由“完美四边形”定义可求解； （2）①想法一：由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质可得结论； 想法二：由旋转的性质可得，，，可证点，，在一条直线上，由等腰三角形的性质可得结论； ②延长使，连接，由①可得为等腰三角形，由，可证为等腰直角三角形，即可得解． 【规范解答】（1）解：由“完美四边形”的定义可得正方形一组邻边相等且对角互补， 正方形是“完美四边形”． 故答案为：④； （2）解：①想法一：延长使，连接 ，， ， ， ． ． 即平分； 想法二：将绕点顺时针旋转，使边与边重合，得到， ． ； ； ． ， ． 点，，在一条直线上． ， 即平分 ② 理由如下： 延长使，连接， 由 ①得为等腰三角形． ， ， ． ． 【考点剖析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，在锐角三角形中，，是边上的中线，以点为圆心，长为半径在的右侧作弧，延长交此弧于点，连接，．四边形是平行四边形的依据是（    ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】D 【规范解答】解：∵在锐角三角形中，是边上的中线 ∴ 由作图得， ∴四边形是平行四边形，依据是对角线互相平分的四边形是平行四边形． 2．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，对角线和交于点，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据平行四边形的判定定理逐项分析，即可得出答案． 【规范解答】A、若添加， 根据，无法证明四边形成为平行四边形，故A选项不符合题意； B、若添加， 根据，无法证明四边形成为平行四边形，故B选项不符合题意； C、若添加， ∵，， ∴四边形成为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），故C选项符合题意； D、若添加， 满足对角线相等、一组对边平行的四边形也可能是等腰梯形，故D选项不符合题意． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，的四个顶点分别在的四条边上，，分别交、于点、，过点作，分别交、于点、，若四边形面积为，则的面积为（     ） A． B．a C． D． 【答案】B 【思路引导】此题重点考查平行四边形的判定与性质、三角形的面积公式与平行四边形的面积公式等知识正确地添加辅助线是解题的关键． 连接，，根据平行四边形的性质可得的面积的面积，再利用平行四边形的性质可得作 ，从而可得 ，进而可得的面积的面积，然后再根据作 ，可证四边形是平行四边形，从而可得的面积的面积，进而可得的面积的面积，即可解答． 【规范解答】解：连接，， 四边形是平行四边形， 的面积的面积， 四边形是平行四边形， ， ， ， 的面积的面积， ， 四边形是平行四边形， 的面积的面积， 的面积的面积， ∵四边形面积为， 的面积为， 故选：B． 4．如图，在平行四边形中，相交于点O，点E，F在对角线上，有下列条件：①；②；③；④．其中一定能判定四边形是平行四边形的是______． 【答案】①④ 【思路引导】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 根据全等三角形的判定与性质和平行四边形的判定与性质分别推理论证，即可得到结论． 【规范解答】解：①∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形； ②∵，不能判定， ∴不能判定四边形是平行四边形； ③添加不能判定四边形是平行四边形； ④∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴四边形是平行四边形； 故答案为：①④． 5．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在中，对角线相交于点，点在上，且，添加一个适当的条件，使四边形是矩形，这个条件可以是______．（填一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【思路引导】本题考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识，熟记平行四边形的判定与性质、矩形的判定是解决问题的关键．先由平行四边形性质，结合题意得到，，进而判定四边形是平行四边形，再由矩形的判定定理：①对角线相等的平行四边形是矩形；②有一个内角是的平行四边形是矩形；分别考虑添加条件即可得到答案． 【规范解答】解：在中，对角线相交于点，则，， ， ， 在四边形中，，，则四边形是平行四边形， ①当时，四边形是矩形， 在此情况下可转化为或者，均可使四边形是矩形； ②当或或或时，四边形是矩形， 在此情况下可转化为或或或，均可使四边形是矩形； 故答案为：（答案不唯一）． 6．一个中，为斜边的中点，E为直角边上的一点，连接，将沿折叠至，交于点F，若是面积的一半，则______． 【答案】 【规范解答】本题主要考查了折叠问题、勾股定理的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 通过勾股定理可得的长度，根据折叠的性质及等高的两个三角形的面积比等于边长比可得，可求，，可得，可证是平行四边形，可求得，根据勾股定理可得的长度． 【解答】解：如图，连接， ∵， ∴ ， ∵D是中点， ∴， ∵将沿折叠至， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 故答案为：． 7．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在所给网格中按下列要求画出图形． (1)在图1中画一个平行四边形，使BC边长为（点C、D都在格点上）． (2)在图2中画一个平行四边形，使平行四边形关于点O成中心对称． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【规范解答】（1）解：如图，，四边形即为所求； （2）解：四边形即为所求； 8．（18-19八年级下·福建泉州·阶段检测）如图，在平行四边形中，，分别是边和上的点，且，连接，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【思路引导】由四边形是平行四边形，可得，，再结合，可得，即可证明结论． 【规范解答】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 9．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期中）如图1，在中，，．点是边上的动点，连接，将绕点旋转至，使点与点重合，连接交于点． (1)当点为中点时，线段________； (2)如图2，作交于点，连接交于点．求证：四边形是平行四边形； (3)在（2）的条件下： ①若，求的度数； ②连接，当时，________． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)①；② 【思路引导】（1）根据旋转的性质求解即可； （2）由等边对等角可得，由旋转的性质可知，，进而推出，则，即可证明； （3）①根据旋转和等边对等角的性质，得出，进而推出，则，再根据平行四边形对角相等求解即可； ②连接交于点，根据同底等高三角形面积相等，推出，由旋转的性质可知，得到，再利用面积的和差计算即可． 【规范解答】（1）解：，点为中点， ， 由旋转的性质可知，， ； （2）证明：， ， 由旋转的性质可知，， ，， ， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （3）解：①由旋转的性质可知，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ； ②如图，连接交于点， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由旋转的性质可知，， ， 设，， ，， ． 10．（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，在中，点是边的中点，连接并延长，与的延长线交于． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)24 【思路引导】（1）此题根据平行四边形的性质得到，由此得到内错角相等：，再结合中点条件，可证, 由全等三角形的性质可得，又因为，再根据平行四边形的判定定理：可证是平行四边形． （2）此题根据角平分线的定义可知，又因为，所以，由等腰三角形的判定定理：是等腰三角形，所以，再根据平行四边形的性质：，进而计算出平行四边形的周长． 【规范解答】（1）解：四边形是平行四边形， ，即 ． 点E是的中点， ． 在和中 ， ． 又 四边形是平行四边形． （2）解：四边形和四边形都是平行四边形， ， 平分， ， ， ， ，， ，， ， 的周长为24． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．如图，下列条件中不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【思路引导】结合已知与平行四边形判定定理依次判断即可． 【规范解答】解：A、两组对边分别平行，能判断四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； B、两组对边分别相等，能判断四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； C、一组对边平行，另一组对边相等，不能判断四边形是平行四边形，故该选项符合题意； D、一组对边平行且相等，能判断四边形是平行四边形，故该选项不符合题意． 2．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，对角线，交于点，过点作于点，为上一点，连接．若，，，则的面积为（   ） A．6 B．7.5 C．8 D．10 【答案】C 【思路引导】根据平行四边形的性质，得，，利用勾股定理，可求，从而，，再根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形，进而可得，，最后根据三角形的面积公式计算即可． 【规范解答】解：在中，对角线，交于点，， ，， ，， ， ， ，即， ，，， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ． 3．（25-26八年级下·浙江台州·期中）如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与交于点，若，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】连接，如图，先根据平行四边形的性质得到，再证明得到，则可判定四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质得到，接着证明四边形为平行四边形，所以，然后计算得到阴影部分的面积． 【规范解答】解：连接，如图， ∵四边形为平行四边形， ， ， ∵是中点， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 即， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴阴影部分的面积． 4．（23-24八年级下·浙江温州·期中）图1的放缩尺是利用“平行四边形的不稳定性”来进行绘图的工具，它由四把直尺用螺栓在点A，B，C，D处连接而成．在绘图过程中，O的位置固定不变，O，A，E始终位于同一水平面，且，．当由（如图2）缩小为（如图3）时，O，E两点的距离减小了，则点C的竖直高度上升了______． 【答案】 【思路引导】本题考查平行四边形的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理，综合运用相关知识是解题的关键． 设，，则，判定四边形是平行四边形，得到．当时，过点C作于点H，根据等腰三角形的性质与勾股定理求得，．当时，过点作于点，根据等腰三角形的性质与勾股定理求得，．根据O，E两点的距离减小了，得到，求得，进而点C的竖直高度上升即可求解． 【规范解答】解：设，， 则，， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 当时，如图， 则， 过点C作于点H， ∴，则， ∴在中，， ， ∵，， ∴． 当时，如图， 则， 过点作于点， ∴，则， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵，， ∴． ∵O，E两点的距离减小了， 即， ∴， ∴， ∴点C的竖直高度上升． 故答案为： 5．（24-25八年级下·全国·期中）如图，是的边上的点，是的中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，则阴影部分的面积为_____． 【答案】18 【思路引导】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，中线平分面积的性质的运用，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键． 如图所示，连接，可证，得到四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质，中线平分面积的计算即可求解． 【规范解答】解：如图所示，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，，即， ∴， ∵点是中点， ∴，且， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴点是中点， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积， 故答案为：18 ． 6．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在等边中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，点F从点B出发沿射线以的速度运动，如果点同时出发，设运动时间为．当_________ 时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 【答案】或5 【思路引导】此题考查了平行四边形的判定．分别从当点F在C的左侧与当点F在C的右侧时去分析，当时，以为顶点的四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案 【规范解答】解：①当点F在C的左侧时，根据题意得： ，， 则， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 即， 解得：； ②当点F在C的右侧时，根据题意得： ，， 则， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形 即， 解得：； 综上所述：当或时，以为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：或5． 7．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下面的要求画图： (1)在图①中，画出一个格点平行四边形（不能画成长方形），使其面积为3； (2)在图②中，画出一个格点平行四边形（不能画成长方形），使其一条对角线等于5 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）画一个底边长为1，高为3的平行四边形即可； （2）取格点E、F、G、H，连接，可得四边形是平行四边形，且． 【规范解答】（1）解：如图所示，四边形即为所求； （2）解：如图所示，四边形即为所求． 8．（25-26八年级下·浙江台州·期中）如图，四边形是平行四边形，，是对角线上的两点且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）首先证明，得出，，再由平行线的判定可得，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证得结论； （2）根据平行四边形的性质得到，，根据平行线的性质得到，，求得，根据平行四边形的性质即可得到结论． 【规范解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ∵ ∴，即 在和中， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接， 四边形是平行四边形，， ，， ，， ， 四边形是平行四边形， ∴， ， ， ， ． 9．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，在的方格中，请按以下要求画图： (1)将线段绕点顺时针旋转，画对应线段． (2)以为边画一个格点（顶点均在格点上的四边形），使所在的直线能平分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）作出点A，B的对应点，，连接即可解答； （2）在直线上取格点，连接，并在的延长线上取格点C，使得，连接，并在的延长线上取格点D，使得，连接，，，即可解答． 【规范解答】（1）解：如图，线段为所求． （2）解：如图，为所求． 由作图可得，， ∴四边形是平行四边形， 设直线交于点E，交于点F， ∵在中，，， 又， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴直线平分的面积． 10．（25-26八年级下·浙江金华·期中）定义：若两个端点均在四边形边上的线段平分该四边形的面积，则我们称这条线段为该四边形的“中分线”．例：如图，在中，连结，利用平行四边形的性质可证，则与面积相等，即线段是的“中分线”，同理线段也是． (1)如图1，请再画一条除线段外的“中分线”．（无需证明，保留作图痕迹） (2)如图2，在四边形中，连结．已知是四边形的“中分线”，过点作交于点F． ①若，求的长． ②延长交于点G，如图3所示，当时，请在图中找出一条不同于的四边形的“中分线”，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①1；②线段是四边形的中分线，见解析 【思路引导】）过对角线与交点的线段即可 (另：作对边的垂直平分线，取对边中点连线也可）． （）①连接，，根据同底等高可知，由中分线定义可得，进而得到代入计算即可． ②连接，，可证得四边形是平行四边形，得到平行线，即可证得，得到即可． 【规范解答】（1） （2）①解：如图，连接，， ∵， ∴ ， ∵ 是四边形中分线， ∴ ， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． ②解：线段是四边形的中分线， 理由如下：如图，连接，， 由①可得， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴线段是四边形的中分线． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $