专题01 二次根式的性质、运算与应用【期末复习重难点专题培优十三大题型】-2025-2026学年数学浙教版八年级下册

**基本信息** 以“概念-性质-运算-应用”为逻辑主线，通过8类重点题型夯实基础运算能力，5类难点题型培养推理意识，结合真题演练提升应用意识，构建二次根式全维度突破体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |重点题型|8题型+精讲精练|最简根式判定法、乘除运算法则、分母有理化技巧|从概念（最简/同类根式）到基础运算（乘除/混合），形成递进式认知| |难点题型|5题型+精讲精练|复合根式平方法、构造对偶式、分子有理化比较法、均值不等式应用|从运算深化（混合运算）到代数推理（化简求值）再到实际应用，培养高阶思维| |真题演练|15道期末真题|综合运算策略、几何与实际问题建模|覆盖期末高频考点，强化知识迁移与问题解决能力|

2025-2026学年浙教版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题01 二次根式的性质、运算与应用『期末复习重难点专题培优』 【8个重点题型+5个难点题型+期末真题实战演练 共52题】 重点题型 分类讲练 1 题型一 化为最简二次根式 1 题型二 已知最简二次根式求参数 3 题型三 二次根式的乘法 5 题型四 二次根式的除法 6 题型五 分母有理化 7 题型六 二次根式的乘除混合运算 10 题型七 复合二次根式的化简 13 题型八 同类二次根式 16 难点题型 拓展拔尖 18 题型一 二次根式的混合运算 18 题型二 已知字母的值，化简求值 21 题型三 已知条件式，化简求值 23 题型四 比较二次根式的大小 26 题型五 二次根式的应用 29 优选真题 实战演练 33 题型一 化为最简二次根式 【精讲】（25-26八年级上·浙江·寒假作业）如果一个三角形的三边的比例是，我们称它是“阶梯根式三角形”，比如：三角形的三边为“”或“”的都是“阶梯根式三角形”． (1)已知下列三角形的三边，分别判断是否为“阶梯根式三角形”． ①     ② (2)“阶梯根式三角形”是直角三角形吗？判断并说明你的理由． 【答案】(1)①和②都是“阶梯根式三角形” (2)是直角三角形，理由见详解 【思路引导】本题考查二次根式的化简、勾股定理的逆定理等知识，关键是紧扣“阶梯根式三角形”的定义，通过化简变形验证三边比例；利用勾股定理的逆定理，通过设参数表达式验证三角形是否为直角三角形． （1）①先将三边、、按从小到大排序，再将三边同时除以最小边，化简比例后验证是否符合的定义． ②先对三边化简为最简二次根式，再化简比例，验证是否符合“阶梯根式三角形”的定义． （2）根据定义设三边为、、，分别计算三边的平方，验证两小边的平方和是否等于最大边的平方，从而利用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形． 【规范解答】（1）解：①将三边、、按从小到大排列为，，． (两边同除以)，符合“阶梯根式三角形”的定义，故①是阶梯根式三角形； ②将三边、、化简为、、，按从小到大排列为，，． ，符合定义，故②是阶梯根式三角形； （2）解：是直角三角形．理由如下： 设“阶梯根式三角形”的三边为，，． ，且， ，满足勾股定理的逆定理， “阶梯根式三角形”是直角三角形； 【精练1】（25-26八年级下·浙江金华·月考）下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】最简二次根式需满足：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【规范解答】解：A、，被开方数含能开得尽方的因数4，∴不是最简二次根式． B、，被开方数含分母，∴不是最简二次根式． C、，被开方数是能开得尽方的平方数，∴不是最简二次根式． D、是最简二次根式． 【精练2】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列二次根式的化简结果是不是最简二次根式？若不是，请进一步化简． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是最简二次根式，化简为 (2)不是最简二次根式，化简为 (3)不是最简二次根式，化简为 【思路引导】本题考查最简二次根式，掌握化简二次根式的方法是解题的关键． （1）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简； （2）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简； （3）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简． 【规范解答】（1）解：被开方数中含有开得尽方的因数4， 不是最简二次根式，则不是最简二次根式． ． （2）被开方数中含有分母， 不是最简二次根式． ． （3）被开方数中含有分母， 不是最简二次根式． ． 题型二 已知最简二次根式求参数 【精讲】（25-26八年级上·陕西安康·期中）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，若是正整数，则的最小值为_____． 【答案】 【思路引导】本题考查了二次根式的性质；由，被开方数为，故化简后被开方数也应为，即是的倍数且为完全平方数的倍，列出可能值求． 【规范解答】解：，被开方数为2．二次根式与化成最简二次根式后被开方数相同，故化简后被开方数也为2． 设（k为正整数），则． 由，得，，为正整数， 故，，． 当时，； 时， 时，． 综上所述：的最小值为． 故答案为：． 【精练1】（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）若最简二次根式与可以合并，则的值是（   ） A．7 B．21 C．5 D．6 【答案】C 【思路引导】本题考查了最简二次根式的概念及可合并二次根式的条件，解题的关键是明确可合并的二次根式需满足被开方数相同，且均为最简二次根式，需先将非最简二次根式化为最简形式再分析． 先将化为最简二次根式，得到其被开方数；因是最简二次根式且能与合并，故两者被开方数相同，由此确定m的值． 【规范解答】解：，其被开方数为2． ∵最简二次根式与可以合并， ∴，则 故选：C． 【精练2】（23-24八年级下·河南漯河·月考）已知n为正整数，且是整数，则n的最小值是（    ） A．20 B．5 C．4 D．2 【答案】B 【思路引导】本题考查了二次根式的定义和性质，首先根据二次根式的性质化简为最简二次根式，然后再确定n的值． 【规范解答】解：∵ 是整数，n是正整数， ∴n的最小值为5， 故选B 题型三 二次根式的乘法 【精讲】（25-26八年级下·浙江温州·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【规范解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意． 【精练1】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）估算的值在（    ） A．3与4之间 B．4与5之间 C．5与6之间 D．6与7之间 【答案】B 【思路引导】先根据二次根式的乘法运算法则化简原式，再估算的取值范围，由此即可得． 【规范解答】解：， ∵， ∴，即， ∴， 即． 【精练2】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）已知，则代数式的值为（   ） A．12 B．16 C． D．4 【答案】D 【思路引导】先计算和的值，再利用完全平方公式将转化为，代入计算后求算术平方根． 【规范解答】∵， ∴， ， 所以， 因此． 题型四 二次根式的除法 【精讲】（25-26八年级下·浙江金华·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【思路引导】（1）先利用二次根式的性质进行化简，再计算加减即可得出结果； （2）先计算二次根式的乘除，再计算加减即可得出结果． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【精练1】（25-26八年级下·浙江温州·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【规范解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式运算错误，不符合题意； B、，原式运算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式运算错误，不符合题意； 【精练2】（25-26八年级下·浙江温州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）直接化简二次根式进而计算得出答案； （2）直接利用二次根式的乘法、除法运算法则求出答案． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． 题型五 分母有理化 【精讲】（25-26八年级下·浙江台州·期中）小鹏在解决问题：已知，求的值时，他是这样分析与解决的： ， ， ， ． 请你根据小鹏的分析过程，解决如下问题： (1)计算：； (2)若， ①求的值； ②求的值． 【答案】(1) (2)①4；②1 【思路引导】（1）先将各项分母有理化，然后前后相消，即可计算； （2）①仿照例题解答即可； ②将所求式子变形为即，再计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴； ②由①知， ∴ ． 【精练1】（24-25八年级下·浙江温州·期中）形如与（a、b为正有理数）的两个代数式，它们的积不含有根号，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：因为，所以与互为有理化因式． (1)判断与是不是互为有理化因式，并说明理由． (2)化简（n为正有理数）． (3)请比较大小： （填“>”或“<”）． 【答案】(1)是互为有理化因式 (2) (3) 【思路引导】（1）计算出的结果即可得到答案； （2）结合分母有理化进行运算化简； （3）可通过比较两个式子倒数的大小，来判断原式的大小，即可作答． 【规范解答】（1）解：与互为有理化因式，理由如下： ∵， ∴与互为有理化因式； （2）解：依题意，； （3）解：依题意，； ， ∵， ∴ 故 ∴． 【精练2】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）阅读下列解题过程： 请回答下列问题： (1)利用上面所提供的解法，请化简： (2)不计算近似值，利用上面提供的方法比较与的大小，并说明理由． (3)若，请用a的代数式表示______．（要求表示的代数式中不含根号） 【答案】(1)2 (2)，理由见解析 (3) 【思路引导】（1）根据题干中的计算方法进行解答即可； （2）计算两个数的倒数的值，再进行比较即可； （3）求出，和已知条件相加即可求出答案． 【规范解答】（1）解： ； （2）解：，， ∵， ∴， ∴， ∴ （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 题型六 二次根式的乘除混合运算 【精讲】（25-26八年级下·浙江·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）先化简二次根式，再按顺序计算即可； （2）先利用完全平方公式和平方差公式计算，然后再计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【精练1】（25-26八年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【思路引导】本题考查二次根式的混合运算，涉及根式化简、除法与乘法的运算顺序．解题的关键是先对各个根式进行化简，再按照从左到右的顺序依次进行除法和乘法运算，注意约分与有理化处理，最终化简得到最简形式． 本题考查实数的混合运算，涉及立方根、分母有理化、平方运算以及绝对值的处理．解题的关键是按照运算顺序逐步化简每一项，注意符号处理和有理化方法的应用，最后合并同类项得出结果． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： 【精练2】（25-26八年级下·全国·周测）计算： (1)． (2)（，）． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】（1）利用二次根式的乘法法则，先将系数相乘，再将被开方数相乘，最后化简； （2）结合幂的运算和二次根式乘法法则，系数与系数相乘，根式部分按法则计算； （3）先将二次根式化为最简形式，再按乘除法则计算； （4）先将系数和根式部分分开运算，再结合二次根式的乘除法则化简． 【规范解答】（1）解： 原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：先化简各根式： ，， 原式 ． 【考点剖析】本题考查了二次根式的乘除运算，解题关键是熟练掌握二次根式的乘除法则，并结合最简二次根式的化简方法进行计算． 题型七 复合二次根式的化简 【精讲】（25-26八年级下·浙江金华·期中）阅读材料：小敏在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方． 例如：，善于思考的小敏进行了以下探索： 当a、b、m、n均为整数时，若，则有．，．这样小敏就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 例如：化简． 解：因为， 所以． 请你仿照小敏的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为整数时，若，用含、的式子分别表示a、b，则： ， ； (2)化简：； (3)已知，化简：． 【答案】(1)， (2) (3) 【思路引导】（1）利用完全平方公式将展开，再对应相等即可得出结果； （2）将被开方数，变形为，再结合二次根式的性质化简即可； （3）由，得出，再将根号里面的变成完全平方式，最后根据二次根式的性质化简即可得出结果． 【规范解答】（1）解：∵，且， ∴，； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 【精练1】（25-26八年级上·广西桂林·期末）阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 （1）填空： ① ② （2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方； 【拓展提升】 （3）如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 【答案】（1）①；；②；；（2）；（3） 【思路引导】本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式． （1）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （2）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （3）设小正方形的边长为，大正方形的边长为，根据题意得：，，即可得x、y的值，再根据剩余部分的面积为，代值计算即可． 【规范解答】解：（1）①； ②； 故答案为：①；；②；； （2）； （3）设小正方形的边长为，大正方形的边长为， 根据题意得：，， ∴，， 剩余部分的面积为：． 【精练2】（25-26八年级上·江苏扬州·月考）阅读并回答问题:为了化简，我们尝试找到两个数、，使且，则可将化为，即，从而使得化简． 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式。 (1)______； (2)_______； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，利用二次根式的性质化简，分母有理化等知识点． （1）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简； （2）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简； （3）先将被开方数化为完全平方数，然后利用二次根式的性质化简，再分母有理化计算即可． 【规范解答】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ． 题型八 同类二次根式 【精讲】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）先由二次根式性质化简，再合并同类二次根式即可； （2）先由完全平方公式、平方差公式展开，再由二次根式性质化简，最后由实数加减运算计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【精练1】（25-26八年级下·浙江金华·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【精练2】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据二次根式的乘除、加减运算法则，逐一计算判断即可． 【规范解答】选项A：，计算正确； 选项B：与不是同类二次根式，无法合并，故，计算错误； 选项C：，故计算错误； 选项D：，故计算错误． 题型一 二次根式的混合运算 【精讲】（25-26八年级下·浙江温州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【规范解答】（1）解： （2）解： 【精练1】（25-26八年级下·浙江台州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)2 【规范解答】（1）解：原式； （2）解：原式． 【精练2】（25-26八年级上·福建福州·期末）【问题初探】 小菲在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，…，在学习二次根式运算时，小菲根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：；特例2：； 特例3：________________________（填写一个符合上述运算特征的式子） 【发现规律】 ______．（，且n为整数） 【应用规律】 （1）计算：； （2）如果（，且为整数）的小数部分是，求出整数部分． 【答案】问题初探： 发现规律： 应用规律：（1）；（2）9 【思路引导】问题初探：直接通过计算求解即可； 发现规律：通过计算，化去根号即可； 应用规律：（1）利用规律求解； （2）先利用规律化简，再根据小数部分求得，进而求出整数部分． 【规范解答】问题初探：解： 故答案为：； 发现规律：解： 故答案为：； 应用规律：（1）解： （2）解： 当小数部分是时， ， 解得：， 经检验是分式方程的根， ∴整数部分是． 【考点剖析】本题考查了数字类规律探索，分式加减混合运算，二次根式的混合运算，解分式方程（化为一元一次）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 题型二 已知字母的值，化简求值 【精讲】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知，． (1)求的值； (2)若a，b恰好是图中大长方形纸板的长和宽，在该纸板中裁出一个阴影正方形和一个阴影长方形，若正方形的面积为28，求图中阴影长方形的面积． 【答案】(1) (2)20 【思路引导】（1）根据题意求出和的值，再根据计算求解即可； （2）根据正方形的面积公式求出阴影正方形的边长，进而求出阴影长方形的长和宽，再根据长方形的面积公式求解即可． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴，， ， ∴ ； （2）解：由题意可得阴影正方形的边长为， ∴阴影长方形的长为，宽为， ∴阴影长方形的面积为． 【精练1】已知，，求代数式的值． 【答案】 16 【思路引导】由题可得，，根据完全平方公式即可求解． 【规范解答】解：由题可知，， ， ∴． 【精练2】【阅读理解】 爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ，． ，即． ． ． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： (1)计算： ； (2)计算： ； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）仿照题目的方法利用平方差公式分母有理化即可； （2）利用分母有理化可得，然后合并同类二次根式即可； （3）利用分母有理化可得，进而得到，，然后将所求代数式变形，代入计算即可． 【规范解答】（1）解：； （2）解：， ， ， ， ； （3）解：， ， ，即， ． 题型三 已知条件式，化简求值 【精讲】（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）小芳在解决问题：已知，求的值．她是这样分析与解的： ，， ，，， ． 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： (1)计算：． (2)若． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1) (2)①; ② 【思路引导】（1）结合题意进行分母有理化即可得解； （2）分母有理化后推得， ①将原式化为后代入求解即可； ②将原式化为，代入推得原式后，再代入即可得解． 【规范解答】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ，， ， ①； ②， ， ， ， ， ． 【精练1】（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）已知对，，求的值． 【答案】 3 【思路引导】根据异分母分式的加减先化简，再代入求值即可． 本题考查了二次根式的加减法和分式运算，掌握的取值范围是解题关键． 【规范解答】解：∵, ∴, ． 【精练2】（24-25八年级下·山东泰安·期末）解方程： 阅读材料，解答下列问题． 材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 这种方法称为“构造对偶式”． 问题：已知． (1)求的值； (2)求x的值． 【答案】(1)2 (2) 【思路引导】本题考查二次根式的运算，熟练掌握题干给定的方法，是解题的关键： （1）根据题干给定的方法，进行求解即可； （2）将两式相加后，利用平方法解方程即可． 【规范解答】（1）解： ， ， ， 的值为2； （2）由（1）得：，， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解． 题型四 比较二次根式的大小 【精讲】（25-26八年级上·江西抚州·期中）课本再现：我们已经知道，因此将的分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，这就是分母有理化． 方法应用： (1)化简：______________； (2)若，求的值； (3)若，比较a和b的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查分母有理化，二次根式的化简求值，实数比较大小，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键． （1）根据题干给定的方法进行求解即可； （2）先将进行分母有理化得到，再将化简为，最后代入计算即可； （3）将、进行分母有理化，再比较即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：，， ， ， ． 【精练1】（24-25八年级上·甘肃白银·期中）阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求的最大值．做法如下： 解：由，可知，而，当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)由材料可知，； (2)比较和的大小； (3)式子的最大值是________． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查二次根式的混合运算，分子有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据分子有理化的方法进行求解即可； （2）模仿题干过程，进行整理，即可作答． （3）模仿题干过程，进行整理，即可作答． 【规范解答】（1）解：， 故答案为：． （2）解：依题意，， ∴，， ∵， ∴ ∴； （3）解：， ∵， ∴由，可知， 则 当时，分母有最小值， ∴的最大值是． 【精练2】（25-26九年级上·全国·月考）阅读材料与综合实践：   通过分子、分母同乘一个式子把分母的根号化去或根号中的分母化去，叫做分母有理化． 如：，． 解决问题： (1)将下列式子分母有理化： ， ， ； (2)比较大小： （直接填“或或”）； (3)定义：两个二次根式满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”．若与是关于的“友好二次根式”，求的值． 【答案】(1)，， (2) (3) 【思路引导】本题考查了分母有理化，二次根式的大小比较，新定义运算等知识点，正确地完成分母有理化是解题的关键． （）根据题意分母有理化即可求解． （）先分母有理化，再比较大小即可求解． （）由新定义可得，即可求解． 【规范解答】（1）解：， ； ； 故答案为：，，； （2）解：； ； ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：∵与是关于的“友好二次根式”， ∴， ∴， ∴． 题型五 二次根式的应用 【精讲】（25-26八年级下·浙江温州·期中）某数学学习兴趣小组研究摆钟的“滴答”声与摆长的关系．查阅资料得知：摆钟的摆球来回摆动一次的时间叫做一个周期，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声．摆钟的周期计算公式是，其中T表示周期（单位：），表示摆线长（单位：），g取取3．若已知一台摆钟原来的摆线长为． (1)求这台摆钟正常工作时的摆动周期； (2)该摆钟长期使用后零件老化，摆动周期变为1.5秒，请问这台摆钟需要返厂维修吗？请说明理由．（注：当实际摆线长与原摆线长相差超过时，需要返厂维修．） 【答案】(1) (2)该摆钟需要返厂维修，见解析 【思路引导】（1）把代入求解即可． （2）把代入求出，然后与相比即可求解． 【规范解答】（1）解：把代入得：． （2）解：把代入得：， 解得， ∵， 所以该摆钟需要返厂维修． 【精练1】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）阅读理解：已知，为非负实数，因为 ，所以 ，当且仅当时，等号成立，这个结果就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例如：已知，求代数式的最小值． 解：令， ，则由，得 当且仅当 ，即正数时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)当时，求代数式的最小值，并求出此时的值． (2)已知，则当 时，代数式取到最小值，最小值为 ． (3)某物流公司的一辆货车要从甲地匀速开往乙地，两地相距千米．根据经验，该货车每小时的耗油成本 与行驶速度 的平方成正比，比例系数为 ；而司机的工资、车辆折旧等其他固定成本为每小时元．设货车从甲地到乙地的总成本为元，为了使总成本最低，货车的行驶速度应为多少千米小时？此时的最低总成本是多少元？(注：假设道路限速允许该速度行驶) 【答案】(1)正数时，代数式有最小值，最小值为 (2)， (3)当货车的行驶速度为时，总成本最低，最低成本是元 【思路引导】（1）根据例题求得代数式的最小值； （2）根据，进而求得，即可求解． （3）根据题意得出，进而求得最小值，即可求解． 【规范解答】（1）解：令 ，则由，得 当且仅当 ，即正数时，代数式有最小值，最小值为8． （2）解： 当且仅当时， ∴， 又∵ ∴ ∴当时，代数式取到最小值，最小值为． （3）由题意得： 当且仅当时，即 当货车的行驶速度为时，总成本最低，最低成本是120元． 【精练2】（25-26八年级上·江苏南通·月考）如图，甲和乙均是容积为V且高为h的长方体盒子（不计制造材料的厚度），甲盒子底面是边长为a的正方形，乙盒子底面是长为b，宽为c的长方形（）． (1)若，则甲盒子的侧面积为________； (2)若，甲，乙两个盒子侧面积的和为40.5，求c的长； (3)甲，乙两个盒子中，哪个的侧面积的更小？请说明理由．（提示：） 【答案】(1) (2) (3)甲的侧面积更小，理由见解析 【思路引导】本题考查了整式的加减运算、完全平方公式以及因式分解等知识点，掌握长方体的体积和侧面积公式是解题关键． （1）由题意得甲、乙底面积相同，可得，据此即可求解； （2）由题意可得，根据甲，乙两个盒子侧面积可推出，结合即可求解； （3）由题意可得甲的侧面积为：，乙的侧面积为：．作差，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵长方体体积相同，高相同， ∴甲、乙底面积相同． ∴． ∴， ∴甲盒子的侧面积为：， 故答案为： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵甲，乙两个盒子侧面积和为， ∴， 又， ∴． ∴． （3）解：甲的侧面积为：，乙的侧面积为：． ∴ ∵（） ∴ 又 ∴ ∴，即 ∴当时，甲的侧面积更小， 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据同类二次根式合并法则、二次根式乘除运算法则，逐一判断选项即可． 【规范解答】解：A、∵与不是同类二次根式，不能合并， ∴该选项错误； B、∵与不是同类二次根式，不能合并， ∴该选项错误； C、∵， ∴该选项正确； D、∵， ∴该选项错误． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）将化简，正确的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查二次根式的化简，需利用二次根式的性质将被开方数分解出完全平方数，同时注意算术平方根的非负性． 【规范解答】解：； 故选：A． 3．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）下列式子化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查算术平方根的定义及二次根式的化简，解决本题的关键是明确算术平方根为非负数． 根据算术平方根的定义以及二次根式的化简方法逐一判断选项即可． 【规范解答】解：∵算术平方根的结果为非负数， ∴，故A错误． ∵，故B错误． ∵，故C错误． ∵，故D正确． 故选：D． 4．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【规范解答】解：A．，故不是最简二次根式；     B．，故不是最简二次根式；     C．，故不是最简二次根式； D．是最简二次根式．． 5．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图1，在中，，点从点出发沿着运动，记点运动的路径长为的面积为与的函数图象如图2所示，则下列说法正确的是（    ） A．的长度为6 B．的面积为6 C．的周长为9 D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，二次根式的计算，解题的关键在于根据动点问题的函数图象获取需要的信息． 由题意可知，，设，则，结合图象得到，进而求出，利用勾股定理，以及函数图象中的信息逐项分析求解，即可解题． 【规范解答】解：由题意可知，， 设，则， 当点运动到点时，， 解得或， 或， 故A选项错误，不符合题意； 由图知，当点运动到点时，的面积 的面积， 故B选项错误，不符合题意； 的周长为， 故C选项错误，不符合题意； 当，则， ； 当，则， ； 故D选项正确，符合题意； 故选：D． 6．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）二次根式中，字母的取值范围是______． 【答案】 【思路引导】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数即可求解，熟记二次根式有意义的条件是解题的关键． 【规范解答】解：由题意得， ， ， 故答案为：． 7．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为__________． 【答案】 【思路引导】本题考查的知识点是二次根式有意义的条件，解题关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 由二次根式有意义的条件：被开方数必须大于或等于零即可得解． 【规范解答】解：由二次根式有意义的条件，得被开方数 ， 解得 ． 故答案为：． 8．二次根式有意义，则x的取值范围是______________． 【答案】 【思路引导】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数列出关于x的不等式，然后解不等式即可． 【规范解答】解：要使二次根式有意义，则， 解得． 故答案是：． 9．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）已知，，，则的值为 _____． 【答案】1 【思路引导】先利用完全平方公式求出的值，再结合绝对值的性质得到的值，最后代入所求代数式计算结果． 【规范解答】解：已知，， 将两式分别平方，根据完全平方公式得： ①；②， ①②得：， 化简得，， ∴， ∵， ∴若，则，整理得，即； 若，则，整理得，即， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）观察下列各式：①；②；③；④；…，则第7个等式是__________． 【答案】 【思路引导】本题考查数式规律探究，总结归纳出数式变化规律是解题的关键． 通过观察，归纳总结出规律为，再把代入即可求解． 【规范解答】解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：， … 第n个等式∶ 当时，． 故答案为： 11．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）先化简为最简根式，再合并同类二次根式即可； （2）先去括号再合并即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： 12．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键． （1）先根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则，进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则，进行计算即可． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． 13．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）如图，在中，为锐角，作交的延长线于点． (1)若，则的度数为_____． (2)求证：． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【思路引导】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据题意求出的度数，再根据，得出即可求出； （2）设，根据题意表示出的度数，再根据，表示出，即可求出； （3）过C作于E，可证明为等腰直角三角形，则可求出和，再利用勾股定理计算即可． 【规范解答】（1）解： ∵， ∴， 又∵     ，   ∴， ∴； （2）证明：设， ∵， ∴， 又∵，   ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过C作于E， ∵， ∴由（2）得， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，     又∵ ，     ∴， 又∵ ，           ∴， ∴． 14．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于A、B两点，平分交y轴于E，点C为直线上在第一象限内一点．求： (1)求的长； (2)点E的坐标，并求出直线的解析式； (3)若将直线沿射线方向平移个单位，请直接写出平移后的直线解析式． (4)求直线关于直线对称的直线解析式 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【思路引导】（1）先求解，，结合，可得； （2）如图，过作于，证明，可得，再进一步求解即可； （3）如图，过作轴于，证明，当时，求解，可得将直线沿射线方向平移个单位，相当于将直线向右平移了个单位，向上平移了4个单位，进一步可得答案； （4）先求解，关于直线的对称点为，，设直线为：，再进一步解答即可. 【规范解答】（1）解：∵直线交坐标轴于A、B两点， ∴当时，， 当时，， 解得：， ∴，， ∵， ∴. （2）解：如图，过作于， ∵平分交y轴于E，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为. （3）解：如图，过作轴于， ∵在直线上， ∴， 当时， ∴，而， ∴， ∴将直线沿射线方向平移个单位，相当于将直线向右平移了个单位，向上平移了4个单位， ∴平移后的直线为. （4）解：如图，∵，， ∴，关于直线的对称点为，， 设直线为：， ∴， 解得：， ∴直线为：， ∴直线关于直线对称的直线解析式为：. 【考点剖析】本题考查的是求解一次函数的解析式，一次函数图象的平移，一次函数与坐标轴的交点坐标，角平分线的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，作出合适的辅助线是解本题的关键. 15．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图1，在中，，，平分交于点，为中点，连结． (1)①求证：． ②求的长． (2)如图2，点为上一点，连结交于点，当时，求的长． (3)如图3，作，交的延长线于点，连结，则_______．（直接写出答案） 【答案】(1)①见解析；② (2) (3) 【思路引导】（1）①利用证明，再根据全等三角形的性质即可证明；②作于点，根据中点的定义和全等三角形的性质得到，利用三角形面积公式可得，再证明是等腰直角三角形，得到，最后利用勾股定理即可求解； （2）连接，由得到，，进而得到，结合（1）中的结论得到，则有，即可求解； （3）作交延长线于点，作使得，作于点，连接、，证明得到，，证明得到，利用勾股定理得到，即，设，列出方程求出的值，得到，再证明是等腰直角三角形，得到，最后在中利用勾股定理即可求解． 【规范解答】（1）①证明：∵为中点， ∴， 由题意得，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； ②解：如图1，作于点， 则， ∵为中点， ∴， ∴， 由①得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴； （2）解：如图2，连接， ∵， ∴，， ∴，即， 由（1）得，，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图3，作交延长线于点，作使得，作于点，连接、， 则， ∴，即， 由（1）得，， ∴是等腰直角三角形，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，； ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得，， 设，则， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴． 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的性质与判定、勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定、三角形面积公式、二次根式的运算，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年浙教版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题01 二次根式的性质、运算与应用『期末复习重难点专题培优』 【8个重点题型+5个难点题型+期末真题实战演练 共52题】 重点题型 分类讲练 1 题型一 化为最简二次根式 1 题型二 已知最简二次根式求参数 2 题型三 二次根式的乘法 2 题型四 二次根式的除法 2 题型五 分母有理化 3 题型六 二次根式的乘除混合运算 4 题型七 复合二次根式的化简 5 题型八 同类二次根式 7 难点题型 拓展拔尖 7 题型一 二次根式的混合运算 7 题型二 已知字母的值，化简求值 9 题型三 已知条件式，化简求值 10 题型四 比较二次根式的大小 11 题型五 二次根式的应用 12 优选真题 实战演练 14 题型一 化为最简二次根式 【精讲】（25-26八年级上·浙江·寒假作业）如果一个三角形的三边的比例是，我们称它是“阶梯根式三角形”，比如：三角形的三边为“”或“”的都是“阶梯根式三角形”． (1)已知下列三角形的三边，分别判断是否为“阶梯根式三角形”． ①     ② (2)“阶梯根式三角形”是直角三角形吗？判断并说明你的理由． 【精练1】（25-26八年级下·浙江金华·月考）下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【精练2】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列二次根式的化简结果是不是最简二次根式？若不是，请进一步化简． (1) ； (2)； (3)． 题型二 已知最简二次根式求参数 【精讲】（25-26八年级上·陕西安康·期中）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，若是正整数，则的最小值为_____． 【精练1】（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）若最简二次根式与可以合并，则的值是（   ） A．7 B．21 C．5 D．6 【精练2】（23-24八年级下·河南漯河·月考）已知n为正整数，且是整数，则n的最小值是（    ） A．20 B．5 C．4 D．2 题型三 二次根式的乘法 【精讲】（25-26八年级下·浙江温州·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【精练1】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）估算的值在（    ） A．3与4之间 B．4与5之间 C．5与6之间 D．6与7之间 【精练2】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）已知，则代数式的值为（   ） A．12 B．16 C． D．4 题型四 二次根式的除法 【精讲】（25-26八年级下·浙江金华·期中）计算： (1)； (2)． 【精练1】（25-26八年级下·浙江温州·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【精练2】（25-26八年级下·浙江温州·期中）计算： (1) ； (2)． 题型五 分母有理化 【精讲】（25-26八年级下·浙江台州·期中）小鹏在解决问题：已知，求的值时，他是这样分析与解决的： ， ， ， ． 请你根据小鹏的分析过程，解决如下问题： (1)计算：； (2)若， ①求的值； ②求的值． 【精练1】（24-25八年级下·浙江温州·期中）形如与（a、b为正有理数）的两个代数式，它们的积不含有根号，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：因为，所以与互为有理化因式． (1)判断与是不是互为有理化因式，并说明理由． (2)化简（n为正有理数）． (3)请比较大小： （填“>”或“<”）． 【精练2】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）阅读下列解题过程： 请回答下列问题： (1)利用上面所提供的解法，请化简： (2)不计算近似值，利用上面提供的方法比较与的大小，并说明理由． (3)若，请用a的代数式表示______．（要求表示的代数式中不含根号） 题型六 二次根式的乘除混合运算 【精讲】（25-26八年级下·浙江·期中）计算： (1) (2) 【精练1】（25-26八年级上·全国·期末）计算： (1) ； (2)． 【精练2】（25-26八年级下·全国·周测）计算： (1) ． (2)（，）． (3)． (4)． 题型七 复合二次根式的化简 【精讲】（25-26八年级下·浙江金华·期中）阅读材料：小敏在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方． 例如：，善于思考的小敏进行了以下探索： 当a、b、m、n均为整数时，若，则有．，．这样小敏就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 例如：化简． 解：因为， 所以． 请你仿照小敏的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为整数时，若，用含、的式子分别表示a、b，则： ， ； (2)化简：； (3)已知，化简：． 【精练1】（25-26八年级上·广西桂林·期末）阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 （1）填空： ① ② （2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方； 【拓展提升】 （3）如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 【精练2】（25-26八年级上·江苏扬州·月考）阅读并回答问题:为了化简，我们尝试找到两个数、，使且，则可将化为，即，从而使得化简． 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式。 (1)______； (2)_______； (3)计算：． 题型八 同类二次根式 【精讲】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）计算： (1) ； (2)． 【精练1】（25-26八年级下·浙江金华·期中）计算： (1) (2) 【精练2】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 题型一 二次根式的混合运算 【精讲】（25-26八年级下·浙江温州·期中）计算： (1) (2) 【精练1】（25-26八年级下·浙江台州·期中）计算： (1) ； (2)． 【精练2】（25-26八年级上·福建福州·期末）【问题初探】 小菲在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，…，在学习二次根式运算时，小菲根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：；特例2：； 特例3：________________________（填写一个符合上述运算特征的式子） 【发现规律】 ______．（，且n为整数） 【应用规律】 （1）计算：； （2）如果（，且为整数）的小数部分是，求出整数部分． 题型二 已知字母的值，化简求值 【精讲】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知，． (1)求的值； (2)若a，b恰好是图中大长方形纸板的长和宽，在该纸板中裁出一个阴影正方形和一个阴影长方形，若正方形的面积为28，求图中阴影长方形的面积． 【精练1】已知，，求代数式的值． 【精练2】【阅读理解】 爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ，． ，即． ． ． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： (1)计算： ； (2)计算： ； (3)若，求的值． 题型三 已知条件式，化简求值 【精讲】（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）小芳在解决问题：已知，求的值．她是这样分析与解的： ，， ，，， ． 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： (1)计算：． (2)若． ①求的值； ②求的值． 【精练1】（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）已知对，，求的值． 【精练2】（24-25八年级下·山东泰安·期末）解方程： 阅读材料，解答下列问题． 材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 这种方法称为“构造对偶式”． 问题：已知． (1)求的值； (2)求x的值． 题型四 比较二次根式的大小 【精讲】（25-26八年级上·江西抚州·期中）课本再现：我们已经知道，因此将的分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，这就是分母有理化． 方法应用： (1)化简：______________； (2)若，求的值； (3)若，比较a和b的大小． 【精练1】（24-25八年级上·甘肃白银·期中）阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求的最大值．做法如下： 解：由，可知，而，当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)由材料可知，； (2)比较和的大小； (3)式子的最大值是________． 【精练2】（25-26九年级上·全国·月考）阅读材料与综合实践：   通过分子、分母同乘一个式子把分母的根号化去或根号中的分母化去，叫做分母有理化． 如：，． 解决问题： (1)将下列式子分母有理化： ， ， ； (2)比较大小： （直接填“或或”）； (3)定义：两个二次根式满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”．若与是关于的“友好二次根式”，求的值． 题型五 二次根式的应用 【精讲】（25-26八年级下·浙江温州·期中）某数学学习兴趣小组研究摆钟的“滴答”声与摆长的关系．查阅资料得知：摆钟的摆球来回摆动一次的时间叫做一个周期，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声．摆钟的周期计算公式是，其中T表示周期（单位：），表示摆线长（单位：），g取取3．若已知一台摆钟原来的摆线长为． (1)求这台摆钟正常工作时的摆动周期； (2)该摆钟长期使用后零件老化，摆动周期变为1.5秒，请问这台摆钟需要返厂维修吗？请说明理由．（注：当实际摆线长与原摆线长相差超过时，需要返厂维修．） 【精练1】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）阅读理解：已知，为非负实数，因为 ，所以 ，当且仅当时，等号成立，这个结果就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例如：已知，求代数式的最小值． 解：令， ，则由，得 当且仅当 ，即正数时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)当时，求代数式的最小值，并求出此时的值． (2)已知，则当 时，代数式取到最小值，最小值为 ． (3)某物流公司的一辆货车要从甲地匀速开往乙地，两地相距千米．根据经验，该货车每小时的耗油成本 与行驶速度 的平方成正比，比例系数为 ；而司机的工资、车辆折旧等其他固定成本为每小时元．设货车从甲地到乙地的总成本为元，为了使总成本最低，货车的行驶速度应为多少千米小时？此时的最低总成本是多少元？(注：假设道路限速允许该速度行驶) 【精练2】（25-26八年级上·江苏南通·月考）如图，甲和乙均是容积为V且高为h的长方体盒子（不计制造材料的厚度），甲盒子底面是边长为a的正方形，乙盒子底面是长为b，宽为c的长方形（）． (1)若，则甲盒子的侧面积为________； (2)若，甲，乙两个盒子侧面积的和为40.5，求c的长； (3)甲，乙两个盒子中，哪个的侧面积的更小？请说明理由．（提示：） 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）将化简，正确的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）下列式子化简正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图1，在中，，点从点出发沿着运动，记点运动的路径长为的面积为与的函数图象如图2所示，则下列说法正确的是（    ） A．的长度为6 B．的面积为6 C．的周长为9 D． 6．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）二次根式中，字母的取值范围是______． 7．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为__________． 8．二次根式有意义，则x的取值范围是______________． 9．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）已知，，，则的值为 _____． 10．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）观察下列各式：①；②；③；④；…，则第7个等式是__________． 11．计算 (1) (2) 12．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）计算： (1)； (2)． 13．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）如图，在中，为锐角，作交的延长线于点． (1)若，则的度数为_____． (2)求证：． (3)已知，求的值． 14．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于A、B两点，平分交y轴于E，点C为直线上在第一象限内一点．求： (1)求的长； (2)点E的坐标，并求出直线的解析式； (3)若将直线沿射线方向平移个单位，请直接写出平移后的直线解析式． (4)求直线关于直线对称的直线解析式 15．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图1，在中，，，平分交于点，为中点，连结． (1)①求证：． ②求的长． (2)如图2，点为上一点，连结交于点，当时，求的长． (3)如图3，作，交的延长线于点，连结，则_______．（直接写出答案） 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $