期末培优：利用导数研究函数恒成立问题、利用导数研究函数能成立问题专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 聚焦导数应用核心，通过恒成立与能成立问题专项训练，构建导数研究函数性质的逻辑体系，培养数学思维的推理能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |利用导数研究函数恒成立问题|3例+3变式|结合单调性、极值求参数范围，含分类讨论|导数应用→函数最值→恒成立条件转化| |利用导数研究函数能成立问题|3例+3变式|存在性参数求解，涉及切线、极值点|导数应用→函数值域→能成立条件转化|

期末培优：利用导数研究函数恒成立问题、利用导数研究函数能成立问题专项训练 期末培优：利用导数研究函数恒成立问题、利用导数研究函数能成立问题专项训练 考点目录 利用导数研究函数恒成立问题 利用导数研究函数能成立问题 例125-26高二下江苏无锡月考)已知函数/()=am-产+4红+3 考点一 利用导数研究函数恒成立问题 ①当0=-之到，求⊙在区间2上的大查 ②当∈2,0时，关于×的不等式/)20恒成立，求实数“的取值范周。 例2，(2526高二下江苏连云港月考)已知函数()-r+(a-r-l,aR· Q)当a=1时，求曲线f在点L0)处的切线方程： (②讨论西数（的单调性： 3)若f()>2m对x∈[e,+切恒成立，求o的取值范围。 期末培优：利用导数研究函数恒成立问题、利用导数研究函数能成立问题专项训练 例3.(25-26高二下江苏盐城月考)已知函数 f(x)=2Inx g(x)=x2 (1)求函数h(x)=f(x)-g(x)的单调区间： (2)证明：有且仅有两条直线与曲线y=(),y=g)均相切： (3)若xeL,+o),恒有x” g)-1-f)>0,求实数m的取值范围. 变式1，(2s26商=下江苏苏州月考)已知函数f()=(x+-xe,(aeR）. 1)当a=1时，求（的单调区间； 2当a>0时，若存在极小值点，证明：f)>0 ®)若对任意x1,+四，都有f()≤，求，的取值范国。 2 期末培优：利用导数研究函数恒成立问题、利用导数研究函数能成立问题专项训练 变式2.(25-26高二下河北衡水·月考)已知函数 f(x)=2Inx-mx (mR). ④)若☒)在x=2处取得极值，求m的值： ②四求函数儿因的最值： 3)设8(x)=e-mr+ x,若x,:3∈(0，+0)，f(:)sg(:)恒成立，求实数m的取值范围. 变式3.(25-26高二下河南阶段检测)已知函数 ()=xe-a(mx+x+),其中aeR,e为自然对数的底数. 当0=1时，求曲线"=在点0)处的切线方程； (2)当a>0时，证明：f(2-lna (③)若对任意>0，不等式()≥0恒成立，求实数“的取值范围. 期末培优：利用导数研究函数恒成立问题、利用导数研究函数能成立问题专项训练 考点二 利用导数研究函数能成立问题 例1，(2425商二下江苏徐州期末)已知函数f)-m+(a为常数)， ①)当a=1时，求曲线=/四在点(2f(2刃处的切线方程， 个学e31r号E,水表数。作h园 例2.(2026辽宁模拟预测)已知函数/（闪=ec0sx,8()=sinx+1 (①)求f(:)在2)内的单调性： (2)若存在 刘.使料o创g20,求实数0的取长家 期末培优：利用导数研究函数恒成立问题、利用导数研究函数能成立问题专项训练 例3.(2026山东滨州二模)已知函数 f(x)=x2-2alnx ax0 (1)若a=2,求曲线y=f(x)在点A,f()处的切线方程： ②若存在名∈0+w）,使水a+血a,求“的取值范围 变式1.（25-26高二下黑龙江齐齐哈尔期中)已知函数/()x-a血r-a )时论/（的单调性： ②)若四存在小于0的极小值，求“的取值范围， 期末培优：利用导数研究函数恒成立问题、利用导数研究函数能成立问题专项训练 (0,1 变式2.(2525高=下吉林延边'阶段检测)(1)若曲线'=e+在点 处的切线也是曲线'=n(x+)+0的 切线，求a; (2)从点4(a）可向曲线"=-”引三条不同切线，求“的取值范围； (3)已知f()=-3x+3。g()=lh(x+)+a,3斯e[0,2],x∈[0,2]，使得f()sg,)成立，求实数n的取 值范围 变式3。(25-26高三下重庆阶段检测)已知()=-2r+a ,其中a>0 )考“=2，求函数=在点，0)处的切线方程： 2对任忘的∈(6+切），总存在∈(2，+)，使得儿)f)=2,求a的取值范国. 6期末培优：利用导数研究函数恒成立问题、利用导数研究函数能成立问题专项训练 期末培优：利用导数研究函数恒成立问题、利用导数研究函数能成立问题专项训练 考点目录 利用导数研究函数恒成立问题 利用导数研究函数能成立问题 考点一 利用导数研究函数恒成立问题 例1．（25-26高二下·江苏无锡·月考）已知函数． (1)当时，求在区间上的最大值； (2)当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过求导确定函数在给定区间上的极值点与端点，并比较各点的函数值，从而判定最值； （2） 将恒成立不等式转化为参数与函数最值的关系，通过分离变量将问题化为求函数的最小值，运用换元法简化函数形式，再利用导数分析新函数在定义域内的单调性与极值，最终确定参数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 求导得，令，得和， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，故为极小值点，为极大值点， 计算极大值，端点值，， 故在区间上的最大值为. （2）当时，恒成立； 当时，不等式变形，由于， 可得， 令，由得，，设， 求导得， 令，得定义域内临界点（舍去）： 时，，单调递减；时，，单调递增， 因此在处取最小值，要使恒成立，得， 综上，实数的取值范围为. 例2．（25-26高二下·江苏连云港·月考）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若对恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增. (3) 【分析】（1）直接由导数的几何意义求切线方程可得； （2）先对函数求导，再对实数分两类讨论：和，并结合导数与函数单调性关系可得； （3）对不等式进行参数分离可得，再构造函数，利用导数求函数的最大值可得. 【详解】（1）当时，，函数定义域为， 所以， ，切线斜率， 则曲线在点处的切线方程为. （2）因为函数，函数定义域为， 所以， 因为，故，导数符号由决定，分情况讨论： 若时，恒成立，，在上单调递减； 若时，令，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由不等式化简得：，因，变形得：. 所以对，不等式恒成立. 令，求导得， 当时，，，故，在上单调递减， 因此的最大值为， 故， 即的取值范围为. 例3．（25-26高二下·江苏盐城·月考）已知函数，． (1)求函数的单调区间； (2)证明：有且仅有两条直线与曲线，均相切； (3)若，恒有，求实数的取值范围． 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为 (2)证明：设与曲线，均相切的直线的切点依次为， 因，则曲线在处的切线方程为，即①； 因，则曲线在处的切线方程为，即② 依题意，①与②为同一条直线，则，消去，可得， 设，则， 由可得，由可得， 即函数在上单调递减，在上单调递增，则， 且，故方程在区间和上各有1个实根， 也即有且仅有两条直线与曲线，均相切，得证； (3) 【分析】（1）将函数求导，根据导函数的正负即可确定函数的单调区间； （2）先设出两曲线与公切线的切点，分别写出切线方程，列出方程组，消元后推得，令，求导判断其单调性和图象性质，得出其有两个零点即可得证； (3)由化简得，设，求导得，设，根据参数分类考查该函数的单调性，检验原不等式是否恒成立，即得参数的范围. 【详解】（1）因的定义域为，则， 由可得，由可得， 即函数的单调递增区间为，单调递减区间为 （2）略 （3）依题意，，恒有， 设，则， 设，则，且， ①当时，，因，则函数在上单调递增， 故，即在上恒成立，符合题意； ②当时，，令，则记， 显然该函数在上单调递增，故，则，即函数在上单调递增， 则，故，即函数在上单调递增，则， 即在上恒成立，符合题意； ③当时，因， 根据导数的连续性，必存在，当时，有， 即函数在上单调递减，则，即， 则函数在上单调递减，故，不合题意. 综上分析，可得实数的取值范围为. 变式1．（25-26高二下·江苏苏州·月考）已知函数，（）． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，若存在极小值点，证明：； (3)若对任意，都有，求的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减；在上单调递增；在上单调递减 (2)由， 令，解得，或， 当时，， 当时，，，则，所以在上单调递减； 当时，，，则，所以在上单调递增； 当时，，，则，所以在上单调递减， 此时是的极小值点，而是的极大值点； 则，所以，得证； 当时，，， 当时，，，则，所以在上单调递减； 当时，，，则，所以在上单调递减， 此时无极值点，更无极小值点； 当时，， 当时，，，则，所以在上单调递减； 当时，，，则，所以在上单调递增； 当时，，，则，所以在上单调递减， 此时是的极小值点，而是的极大值点； 则，所以，得证． 综上，当时，若存在极小值点，必有，得证． (3) 【分析】（1）将代入解析式，求导，再结合导数的符号即可得到的单调区间； （2）先求，再令，求出，或，再分，，三种情况讨论的极小值点，再证是否大于即可证明； （3）分和两种情况，再结合参数分离，构造函数，分析函数的单调性，求出函数的最值即可求解． 【详解】（1）当时，， 则， 令，解得，或， 当时，，，则，所以在上单调递减； 当时，，，则，所以在上单调递增； 当时，，，则，所以在上单调递减， 综上，在上单调递减；在上单调递增；在上单调递减． （2）略 （3）对任意，有，即， 当时，恒成立，此时的取值范围为， 当时，， 令，，则， 令，，则， 所以在上单调递增，且， 所以当时，，即，所以在上单调递减； 当时，，即，所以在上单调递增， 所以，即， 综上，当时，；当时，． 故对任意，都有时，的取值范围为． 变式2．（25-26高二下·河北衡水·月考）已知函数（）． (1)若在处取得极值，求的值； (2)求函数的最值； (3)设，若，，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，函数无最值；当时，函数的最大值为，无最小值 (3) 【分析】（1）利用求得，并进行检验. （2）对进行分类讨论，根据的单调性确定的最值. （3）将问题转化为，结合导数分别求得的最大值和的最小值，由此列不等式求得的取值范围. 【详解】（1）因为，所以，其中． 因为函数在处取得极值，所以，解得． 经检验，符合题意，所以． （2）由（1）知． 当时，，所以函数在上单调递增，无最值． 当时，，所以函数在上单调递增，无最值． 当时，令，得；令，得． 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值，也是最大值为，无最小值． 综上，当时，函数无最值； 当时，函数的最大值为，无最小值． （3）因为， 恒成立， 所以． 由（2）知，只有当时，． 因为，其中， 所以． 令，其中，则， 所以函数在区间上单调递增． 因为， 所以由零点存在定理可知，存在唯一的， 使得，即，即． 令，其中，则， 所以函数在上单调递增． 因为，所以． 由，可得，则，所以． 又当时，，即； 当时，，即． 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以． 因为， 所以实数的取值范围是． 变式3．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知函数，其中， 为自然对数的底数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明：； (3)若对任意 ，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)由于，故， 令，由于在上单调递增，则， 则可化为函数， 则，由于，令，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故的极小值也即最小值为， 故，即. (3) 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案； （2）令，将可化为函数，利用导数求出该函数的最小值，即可证明； （3）将对任意 ，不等式恒成立，化为对任意恒成立，分情况讨论a的取值情况，即可求解. 【详解】（1）当时，， 则， 则，， 故曲线在处的切线方程为， 即． （2）略 （3）由（2）知，对任意 ，不等式恒成立， 等价于对任意恒成立，分情况讨论： 当时，恒成立，在R上单调递增， 当时，存在t使，不满足条件； 当时，对恒成立，满足条件； 当时，由（2）知的最小值为，令，得， 即， 综上，a的取值范围为. 考点二 利用导数研究函数能成立问题 例1．（24-25高二下·江苏徐州·期末）已知函数（a为常数）， (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)不等式在上有解，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数的意义可得； （2）分离参数后构造函数，利用导数分析单调性和最值可得. 【详解】（1）当时，，， ，，         曲线在点处的切线方程． （2）在上有解在上有解， 在上有解，         令，，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减，     因为，，     所以当时，取最小值，，         所以，故实数a的取值范围是． 例2．（2026·辽宁·模拟预测）已知函数，． (1)求在内的单调性； (2)若存在，使得，求实数的取值范围； 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减． (2) 【分析】（1）利用函数导数与单调性分析求解即可； （2）将问题转化为等式成立问题，构造新函数结合函数导数与单调性、函数导数与最值分析求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递减． （2）若存在，使得， 即存在，使得成立， 因为时，，故存在，使得， 令，其中， 则， 且不恒为零，故函数在上单调递减， 则，故， 所以实数的取值范围为：. 例3．（2026·山东滨州·二模）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，根据导数求得函数，结合题意可得成立，令，求导，根据导数计算即可求解. 【详解】（1）若，则，， 则，， 所以过点的切线方程为，即； （2）函数的定义域为， ， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，函数有最小值，即， 若存在，使，则成立， 即，即， 令， ， 令，则， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，函数有最小值，即， 所以在区间恒成立， 所以函数在区间上单调递增， 因为， 所以当 时， 成立，故的取值范围为. 变式1．（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若存在小于0的极小值，求的取值范围. 【答案】(1)当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. (2) 【分析】（1）利用导数，讨论 和两种情况下，函数的单调性； （2）结合（1）的结论，根据在处取得极小值，由极小值小于，得关于的不等式，构造函数，并分析函数的单调性，可求出的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为，且 ①当时，则，所以在区间上单调递增； ②当时，，令，可得， 时，时，， 故在区间上单调递减，在区间上单调递增. 综上，当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. （2）由（1）可知若在区间上单调递增，没有极值点， 故在区间上单调递减，在区间上单调递增， 则在处取得极小值， 则，即. 令，由可得，是单调递增函数， 因为，所以，即的取值范围为. 变式2．（25-26高二下·吉林延边·阶段检测）（1）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，求a； （2）从点可向曲线引三条不同切线，求的取值范围； （3）已知，使得成立，求实数的取值范围 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据导数的几何意义先求得切线方程，进而得到，可得，进而求解即可； （2）设曲线在点处的切线过点，根据导数的几何意义结合题意可得有三个不同的解，设，利用导数分析其单调性，进而求解即可； （3）由题意可得，利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【详解】（1）由，求导得，令得切线斜率， 故曲线在点处的切线方程为，即， 由，求导得， 设的切点为， 根据题意可得，即， 又，解得. （2）设曲线在点处的切线过点， 由，求导得，所以， 所以曲线在处的切线方程为， 因为从点可向曲线引三条不同切线， 所以有三个不同的解，即有三个不同的解， 设，该函数有三个不同零点，求导得， 令，则或， 当或，当， 所以函数在区间上单调递减，在和区间上单调递增， 所以函数在和处分别取得极大值和极小值，要想函数有三个不同零点， 则，解得， 则的取值范围为. （3）因为，使得成立等价于在上，. 易得，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在上的最小值为，易知在上单调递增， 所以函数在上的最小值为，则， 即实数的取值范围是. 变式3．（25-26高三下·重庆·阶段检测）已知，其中． (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)对任意的，总存在，使得，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出、后可得切线方程； （2）根据的符号得的单调性，再求出在、在上的值域，根据它们的包含关系可求参数的取值范围. 【详解】（1）因为，， 所以，则，， 故点处的切线方程为，即． （2）由题意得， 0 0 0 递减 极小值0 递增 极大值 递减 所以的单调增区间是，单调减区间是和． 由，当时，，当时，． 因为对于任意的，总存在，使得， 故，所以，所以． 设，，问题转化为． 下面分两种情况讨论：                  情形一：当，即时，有，在上单调递减， 故在上的取值范围，故， 而在上的取值范围，故， 所以，不符合题意； 情形二：当时，，在上单调递减， 故的取值范围，故， 而，在上单调递减，故， 满足，故符合题设要求. 情形三：当，即时，此时， 故此时在上的取值范围，故， 而在上的取值范围，即， 而，故成立， 综上，a的取值范围为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $