（预习篇）第四讲 反比例函数章节复习（暑假预习培优讲义）-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

2026-2027学年苏科版数学八升九年级衔接金牌培优讲义『预习篇』 第四讲 反比例函数（章节复习）「暑假预习培优讲义」 【苏科版数学新教材•九年级上册（第1章 反比例函数）】 （思维导图+新知学习+十四大考点讲练+难度分层练 共48题） 同学，你好！该份讲义主要以暑期预习苏科版新教材九年级上册内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，新知学习，高频考点优选题讲练，难度分层练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 反比例函数的概念 （1）定义：形如的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数． （2）形式：反比例函数有以下三种基本形式 ①； ②； ③. 知识点二 反比例函数的图象与性质 y＝ （k为常数，） 图　象[来源:Zxxk.Com] [来 所在象限[来 源:学*科*网Z*X*X*K] 一、三（x，y同号）[ 二、四（x，y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 1.图象是中心对称图形，对称中心为原点； 2.图象是轴对称图形，两条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限的角平分线和二、四象限的角平分线． 知识点三 反比例函数表达式的确定 待定系数法： （1）设：设函数表达式为； （2）代：将已知点的坐标代入函数表达式； （3）解：求出k的值，得到函数表达式． 知识点四 系数k的几何意义 （1）意义：从的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为. 如图①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|； 同理可得S△OPA＝S△OPB＝|xy|＝|k|. （2）常见的面积类型： 易错警示：已知相关面积求反比例函数的表达式时，若函数图象在第二、四象限，则k＜0. （3）越大，双曲线离原点越远. （4）求k的常用方法 ①由面积关系求k值：用含k的代数式表示已知图形的面积； ②设点法列方程求k值：化斜为直，把相似转化为坐标关系. 知识点五 反比例函数与一次函数 （1）确定交点坐标 ①正比例函数与反比例函数图象相交，若其中一个交点坐标为，根据中心对称性，可得另一个交点坐标为. ②一次函数与反比例函数图象相交，可联立两个函数解析式，利用方程思想求解. （2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解. （3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法， 分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可，也可逐一选项判断、排除. （4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 知识点六 反比例函数中的三个模型 考点一 已知反比例函数的图象，判断其解析式 【典例精讲】（25-26九年级下·重庆·阶段检测）如图，为反比例函数图象上一点，垂直于轴于点，若，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的比例系数的几何意义求解即可，要注意图象所在的象限． 【详解】解：由反比例函数的比例系数的几何意义可知， ， ∴， ∵函数图象在第二象限， ∴， ∴． 【变式训练】（2023·河南周口·三模）请写出一个y关于x的反比例函数，使函数图象位于第二、四象限：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据反比例函数图象位于二、四象限，可确定，从而选择恰当的值代入写出即可． 【详解】∵函数图象位于二、四象限， ∴， ∴可选取，那么反比例函数为， 故答案为：（答案不唯一）． 考点二 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【典例精讲】（23-24八年级下·江苏扬州·阶段检测）如图，直线与反比例函数图像交于点，B点，． (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集为______；（直接写出结果，无需解答过程） (3)过点B作轴的垂线，垂足为D，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）先把代入，得，从而得，再把代入，求出k值即可； （2）由反比例函数的对称性可知，根据图像即可求得不等式的解集； （3）利用待定系数法求得直线的解析式，进而求得与轴的交点的坐标和，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 把代入，得， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：由反比例函数的对称性可知， 不等式的解集为或， 故答案为：或； （3）解：∵，轴于D， ∴点坐标为， 设直线的解析式为， 将点坐标代入得，解得， 直线的解析式为， 令得， 设交x轴于F，过点A作轴于E，如图， ， ∴， ∵ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ． 【变式训练】（2024·重庆·三模）在如图所示的平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于，两点，过点作轴于点，已知，，则的值为______． 【答案】12 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的中心对称性，勾股定理，待定系数法求反比例函数的解析式，利用函数的对称性求得的长度是解题的关键．根据对称性可得，利用勾股定理求得，由此可求出点的坐标，然后运用待定系数法即可求得答案． 【详解】反比例函数与正比例函数的图象相交于、两点 轴于点， 反比例函数的图象过点 ，即 故答案为：12． 考点三 已知双曲线分布的象限，求参数范围 【典例精讲】（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）若反比例函数 的图像在第二、四象限，则一次函数的图像经过 （    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】D 【分析】根据一次函数系数的符号判断图像经过的象限． 【详解】解：∵一次函数 ，， ∴一次函数的图像经过第二、三、四象限． 【变式训练】（2025·湖北武汉·中考真题）在平面直角坐标系中，某反比例函数的图象分别位于第一、第三象限．写出一个满足条件的的值是_________． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，即反比例函数的图象分别位于第一、第三象限，则，反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，则，据此作答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象分别位于第一、第三象限， ∴即可， ∴， 故答案为：1（答案不唯一）． 考点四 判断反比例函数的增减性 【典例精讲】（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）已知反比例函数图象经过点． (1)求函数解析式； (2)判断点是否在该函数图象上； (3)当时，随增大如何变化． 【答案】(1) (2)点在该函数图象上 (3)当时，随增大而减小 【分析】（1）利用待定系数法求出的值即可； （2）利用函数图象上点的坐标特点判断即可； （3）利用反比例函数的性质判断即可． 【详解】（1）解：把点代入得，解得， 反比例函数解析式为； （2）解：当时，， 点在该函数图象上； （3）解：， 当时，随增大而减小． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）画出反比例函数的图象，结合图象，解答下列问题： (1)当时，求函数的最大值和最小值； (2)当分别取到和到之间的实数时，描述函数值的变化趋势． 【答案】(1)函数的最大值为，最小值为 (2)当取到之间的实数时，随的增大从而逐渐减小；当取到之间的实数时，随的增大而逐渐减小到 【分析】（1）先求出和时的函数值，再由函数图象与性质得到当时，随的增大而减小，从而确定最大值与最小值； （2）由于，先求出和时的函数值，再由函数图象与性质得到当时，随的增大而减小，则函数的最大值为；当时，随的增大而减小，则函数的最小值为；从而得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 当时，；当时，； 则由函数图象可知，当时，随的增大而减小，则函数的最大值为，最小值为； （2）解：如图所示： ，当时，；当时，； 由函数图象可知，当时，随的增大而减小，则函数的最大值为；当时，随的增大而减小，则函数的最小值为； 则当取到之间的实数时，随的增大而从逐渐减小；当取到之间的实数时，随的增大而逐渐减小到． 考点五 比较反比例函数值或自变量的大小 【典例精讲】（25-26八年级下·河南周口·期中）若点都在反比例函数的图象上，则______（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】先根据反比例函数的比例系数判断函数图象所在象限及增减性，再根据两点横坐标的大小比较纵坐标的大小即可． 【详解】解：对于反比例函数，其比例系数，因此函数图象位于第一、第三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， 点，的横坐标满足， 说明两点都位于第三象限， 所以． 【变式训练】（25-26八年级下·福建泉州·期中）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的性质，先判断三个点所在象限，确定的正负，再比较第四象限内的大小，即可得到结果． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大． ∵点的横坐标， ∴点在第二象限，可得． ∵点，的横坐标满足， ∴都在第四象限， ∴． 综上，． 考点六 已知比例系数求特殊图形的面积 【典例精讲】（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，则平行四边形的面积是___________． 【答案】14 【分析】根据平行四边形的性质证明，进而可得，再根据反比例函数的性质可得，进而可求出的面积，问题随之得解． 【详解】过A作于点M，过C作于点N，如图， ∵在平行四边形中，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∵顶点在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∴，， ∴． 【变式训练】（25-26八年级下·河南周口·期中）过反比例函数图象上任意一点，作坐标轴的垂线，围成矩形的面积为_______ 【答案】 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，设出反比例函数图象上点的坐标，利用反比例函数解析式得到横纵坐标的乘积，再计算矩形面积即可． 【详解】解：设过反比例函数图象上任意一点坐标为， 因为点在反比例函数图象上，所以满足解析式，即． 过作坐标轴的垂线，围成矩形的两条邻边的长度分别为，， 因此矩形的面积 ． 考点七 求反比例函数解析式 【典例精讲】（24-25八年级下·四川遂宁·期中）已知一次函数与反比例函数的图象交于第一象限内的两点，与轴交于点． (1)分别求出这两个函数的表达式； (2)求的值； (3)当x取何值时． 【答案】(1)反比例函数表达式为，一次函数表达式为； (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）设一次函数图象与轴交点为，连接，根据一次函数表达式求出点A、B坐标，由求解即可； （3）根据两函数图象，得出一次函数图象位于反比例函数图象下方的点的横坐标的取值范围即可． 【详解】（1）解：把代入得，， 解得， ∴反比例函数表达式为； ∵点在反比例函数表达式的图象上， ∴， ∴， 把，代入得， ， 解得， ∴一次函数表达式为． （2）解：设一次函数图象与轴交点为，连接， 由一次函数表达式， 令，则； 令，则，解得， ∴，， ∴，， ∴ ； （3）解：由函数图象可得，当或时，一次函数图象位于反比例函数图象下方， ∴当或时，． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知是的反比例函数，且当时，． (1)求这个函数的表达式； (2)求当时，的值； (3)当取何值时，？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）由（1）中所求函数表达式，将代入表达式计算即可； （3）由（1）中所求函数表达式，将代入表达式解方程即可． 【详解】（1）解： 是的反比例函数， 设， 当时，， ，解得， 则这个函数的表达式为； （2）解：由（1）知反比例函数表达式为， 当时，； （3）解：由（1）知反比例函数表达式为， 当时，，解得， 经检验是分式方程的解， 当时，． 考点八 反比例函数与几何综合 【典例精讲】（25-26八年级下·四川内江·期中）如图，在中，在x轴上，，反比例函数与，分别交于点D，E，连接，，若，，则k的值为______． 【答案】 【分析】连接，作交x轴于点F，设，根据题意得出，确定，，再由三角形面积得出方程求解即可． 【详解】解：如图，连接，作交x轴于点F， 设， ∵， ∴， ，， ∵， ∴． 【变式训练】（25-26八年级下·福建泉州·期中）如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线交于点A和C，与x轴交于点B和D，点A和B的刻度分别为和，直尺的宽度为，，（注：平面直角坐标系内一个单位长度为），连接，，求的面积． 【答案】的面积为． 【分析】根据题意可得，，，则，可得反比例函数解析式为，将代入可得，即，利用割补法求解面积即可． 【详解】解：根据题意可得，，，， ∴， 将代入可得， ∴， 将代入可得，即， 如图，作轴于点E，于点F， 则的面积， 答：的面积为． 考点九 根据图形面积求比例系数(解析式) 【典例精讲】（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为C．点B为y轴上的一点，连接．若的面积为8，则k的值是（　　） A．8 B． C．16 D． 【答案】D 【分析】连接，先利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值． 【详解】解：如图，连接， ∵轴， ∴， ∴， 而， ∴， ∵， ∴． 【变式训练】（2026·江苏徐州·一模）如图，点A在双曲线上，轴于B，点C是x轴上的任意点，且，则（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：设点的坐标为，根据轴可知平行于轴，且的长度为；以为底时，高为点的纵坐标；利用三角形面积公式结合反比例函数的几何意义即可求解. 【详解】解：设点的坐标为 ∵点在双曲线上， ∴； ∵轴， ∴轴，且， ∵点在轴上， ∴点到直线的距离等于点的纵坐标； ∴； ∵图像在第二象限，； ∴ ∴ ∵ ∴， 如图可知： 故选：D. 考点十 一次函数与反比例函数图象综合判断 【典例精讲】（25-26八年级下·河南开封·期中）一次函数和在同一平面直角坐标系内的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据解析式得到其函数图象一定过定点，再根据中的k与的一次项系数相同，结合图象解答即可． 【详解】解：∵解析式， ∴的图象一定过定点， ∴排除C，D选项； 对于A、B，双曲线都经过第一、三象限，，对于直线，只有选项A满足，符合题意． 【变式训练】（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）和在同一坐标系内的图像可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数图像，掌握一次函数和反比例函数图像与相关参数的关系是解题的关键． 分别根据各选项的一次函数和反比例函数图像确定m的取值范围，如果不存在矛盾，即符合题意． 【详解】解：A．由一次函数的图像可知，由反比例函数图像可知，存在矛盾，不符合题意； B．由一次函数的图像可知，由反比例函数图像可知，不存在矛盾，符合题意； C．由一次函数的增减性来看，又其与y轴的交点在y轴的负半轴，即，即存在矛盾，不符合题意； D．由一次函数的增减性来看，又其与y轴的交点在y轴的负半轴，即，即存在矛盾，不符合题意． 故选B． 考点十一 一次函数与反比例函数的交点问题 【典例精讲】（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，反比例函数的图象与一次函数图象交于，两点． (1)求反比例函数解析式； (2)求的值及一次函数解析式； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)，一次函数解析式为 (3)或 【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数的解析式求得m的值，即可得到反比例函数的解析式； （2）将点B的坐标代入反比例函数的解析式，即可求得n的值，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式； （3）由函数图象知不等式的解集为反比例函数图象在一次函数图象上方时，自变量x的取值范围，结合两点的坐标即可解答． 【详解】（1）解：把代入中得， 解得， ∴反比例函数解析式为， （2）解：把代入中得：， ∴， 把，代入得， ∴， ∴一次函数解析式为； （3）解：由函数图象可知，当或时，反比例函数图象在一次函数图象上方， ∴不等式的解集为或． 【变式训练】（25-26八年级下·河南洛阳·期中）如图，直线与双曲线相交于，两点，与y轴相交于点C． (1)求k和a的值； (2)若点D与点C关于x轴对称，求的面积； (3)请直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)， (2)8 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法，将点A、点B坐标代入双曲线表达式，即可求出结果； （2）求出直线表达式，点C、点D坐标，以为底，△ABD分成两部分，点A、点B横坐标的绝对值为高，即可求出△ABD的面积； （3）当时，不等式不成立；当时，原式变形为，观察函数的图像，即可得到解集；当时，原不等式变形为，观察函数图象，得到解集，综合上述结果，得到不等式的解集． 【详解】（1）解：将A点坐标代入双曲线，， 解得， ， 将B点坐标代入双曲线得， 解得． （2）解：由（1）可知 将点A、点B坐标代入直线表达式，联立解方程组， 解得 ， ， ， ． （3）解：根据x取值分情况讨论， 当时，原不等式为，不等式不成立； 当时，原不等式变形为，即，观察函数图象，交点B右侧不等式成立，解集为； 当时，原不等式变形为，即，观察函数图象，交点A左侧不等式成立，解集为； 综上所述，不等式解集为或． 考点十二 一次函数与反比例函数的实际应用 【典例精讲】（23-24九年级上·广东江门·期末）通过试验研究发现：一节40分钟的课堂，初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．如图，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．    (1)求反比例函数解析式和点A、D的坐标； (2)陈老师在一节课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32？请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，， (2)陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32，理由见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的实际应用： （1）设反比例函数的解析式为，由求出，可得坐标，从而求出的坐标； （2）求出解析式，得到时，，由反比例函数可得时，，根据，即可得到答案． 【详解】（1）解：设当时，反比例函数的解析式为，将代入得： ，解得， 反比例函数的解析式为， 当时，， ， ； （2）解：陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32，理由如下： 设当时，的解析式为，将、代入得： ， 解得， 的解析式为， 在中，当时，， 在中，当时，， 时，注意力指标都不低于32， ∵， 陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32． 【变式训练】（23-24九年级上·江苏南通·期中）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降，在水温开始下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示．    (1)求当时，y与x之间的函数表达式； (2)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）设反比例函数的表达式为，将点代入可得的值，再求出的值，由此即可得； （2）先求出时，与之间的函数表达式，再求出时，的值，由此即可得． 【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为， 将点代入得：， 则与之间的函数表达式为， 当时，， 即与之间的函数表达式为． （2）解：设当时，与之间的函数表达式为， 将点代入得：，解得， 则， 当时，，解得， 对于， 当时，， 因为， 所以加热一次，水温不低于的时间为． 考点十三 一次函数与反比例函数的其他综合应用 【典例精讲】（24-25八年级下·四川遂宁·期末）如图，是函数的图象上一点，直线分别交轴、轴于点、，过点作轴于点，交于点，作轴于点，交于点，当时，的值为______． 【答案】5 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及反比例函数系数的几何意义，设点坐标为，用表示的坐标，再根据两点距离公式与已知，便可得的方程． 【详解】解：直线分别交轴、轴于点、， 则， 设点坐标为， ∵点分别是直线与的交点， 当时，， ， 当时，， ， ， ， ， 则， 解得，， ， ， 故答案为：5． 【变式训练】（24-25八年级下·山东·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，，依次进行下去，记点的横坐标为，若，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，点坐标规律探索，依次求出各点的坐标，观察出每 3 次变化为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点． 根据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出、、、、、，从而得到每 3 次变化为一个循环组依次循环，用 2025除以 3 ，根据商的情况确定出即可． 【详解】解：当时，的横坐标与的横坐标相等为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 由上可知，个为一组依次循环， ， ， 故答案为：． 考点十四 实际问题与反比例函数 【典例精讲】（25-26八年级下·山西临汾·阶段检测）某算力中心总算力固定不变，完成全部运算任务所需时间：t（单位：）与在线算力节点数（单位：个）成反比例函数关系．已知开启40个算力节点工作时，完成全部任务需．若全部任务需在内完成，则至少需要开启__________个算力节点． 【答案】 【分析】根据题意求出反比例函数解析式即可得解． 【详解】解：根据题意设， 开启40个算力节点工作时，完成全部任务需， ， 解得：， ， 当时，，解得：， 若全部任务需在内完成，则至少需要开启个算力节点． 【变式训练】（25-26八年级下·福建泉州·期末）制作古筝钢丝弦时，需保持琴弦材质、粗细、张力不变，琴弦振动频率（单位：）与弦长（单位：）成反比例．已知弦长时，振动频率为． (1)求与的函数关系式； (2)工匠裁剪两根琴弦，弦长分别为、，对应频率、．若，且，求两根弦长的长度． 【答案】(1)； (2)弦长、的长度分别为和． 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：设． 时，， ． 解得． 与的函数关系式为． （2） 解：∵弦长、，对应频率、，且， ，． ， ． 解得，． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：弦长、的长度分别为和． 【基础通关能力提升】 1．（24-25八年级下·四川遂宁·期中）已知如图，一直线经过原点O，且与反比例函数图象相交于A、B， 过点A作轴，垂足为点C，连接．若，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知两点关于原点对称，则为线段的中点，故的面积等于的面积，都等于 1 ，然后由反比例函数的比例系数的几何意义，可知的面积等于，从而求出的值． 【详解】解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于两点， ∴两点关于原点对称， ， ∴的面积的面积， 又 ∵是反比例函数图象上的点，且轴于点， ∴的面积， ， ， ． 2．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，连接，则的面积是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】把点代入和可求出、的值，即可得到正比例函数和反比例函数的解析式，过点作轴交于点，结合点的坐标即可得出点的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】解：正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点， ，， ，， 正比例函数为，反比例函数为：， 如图，过点作轴交于点， 点是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3， ， ， 点的纵坐标为， 可得， 解得， ， ． ． 3．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）反比例函数 的图象经过点，则下列说法错误的是（    ） A．图象分布在第二、四象限 B． C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】根据点判断出函数的值，结合函数图像和性质进行判断即可． 【详解】解：∵反比例函数 的图象经过点， 故， 解得，故B选项正确； ∵， ∴函数图象分布在第二、四象限，故选项A正确， 在各象限内，随的增大而增大，故C正确，选项D错误． 4．（25-26九年级下·吉林四平·阶段检测）如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点且平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，点在轴正半轴上，以为边作平行四边形，则四边形的面积为_________． 【答案】 【分析】连接、，利用反比例函数的几何意义求出的面积，再结合平行四边形与三角形的面积关系求解． 【详解】解：连接、，设交轴于点，如图， ∵轴， ∴轴． ∵点在反比例函数的图象上， ∴； 点在反比例函数的图象上，同理可得； ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形的面积． 5．（25-26九年级上·广西来宾·期末）为预防冬季流感，某学校采用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成正比例；药物燃烧后，与成反比例（如图所示）．经测量，药物在分钟时燃烧完毕，此时空气中每立方米含药量为毫克．研究表明，当空气中每立方米含药量低于毫克时，学生方可进入教室．那么从消毒开始，至少需要经过_______ 分钟后，学生才能回到教室． 【答案】 【分析】先根据药物燃烧阶段（）的条件，用待定系数法求出正比例函数解析式；再根据药物燃烧后阶段（）的条件，求出反比例函数解析式；最后令含药量，代入反比例函数求解，得到学生可以回到教室的最少时间． 【详解】解：药物燃烧时，，关于的函数是正比例函数，设， 代入得， 解得 ， ∴ ； 药物燃烧完后，，关于的函数是反比例函数， 设 ， 代入得， 解得， ∴ ； 药物燃烧时， ；药物燃烧完后， ， 令 中，即， 结合，解得， ∴从消毒开始，至少需要分钟后学生才能回到教室． 6．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，直线与双曲线交于第一象限的点A，过点A作轴于点C，连接．若的面积为2，则反比例函数的表达式为_____． 【答案】 【分析】本题主要利用反比例函数与一次函数的交点问题，结合几何图形的面积计算来求解k的值，通过分析的面积与矩形面积的关系，利用反比例函数比例系数的几何意义来确定k的值，最终可求得反比例函数的解析式． 【详解】解：如图，作轴于点D， ∵轴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， 而， ∴， ∴反比例函数的表达式为． 7．（25-26九年级下·陕西榆林·开学考试）若点、、均在反比例函数（为常数，且）的图象上，其中，则_______．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】先根据点在反比例函数图象上确定的符号，再结合反比例函数图象的性质判断和的正负，进而比较两者大小． 【详解】解：∵ 点在反比例函数的图象上， ∴ ． ∵ ，， ∴ ， ∴ 反比例函数的图象分别位于第一、三象限，第三象限内点的纵坐标为负，第一象限内点的纵坐标为正． ∵ ， ∴ 点在第三象限，点在第一象限， ∴ ，即． 8．（2026·江苏徐州·二模）如图，一次函数的图象分别与x轴交于点A，与y轴交于点B，轴于点B，交反比例函数的图象于点C，于点A． (1)求点A，B的坐标及k的值； (2)将绕点B逆时针旋转，点A，C的对应点分别为D，E．将点D向右平移m个单位得到点F，若点F恰好在该反比例函数图象上，求m的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）过点C作轴于点F，则四边形为矩形，设，则，根据勾股定理，得到，即可得到，求解即可； （2）过D作于点G，证明，得到；根据点D向右平移m个单位得到点F，设，根据点F在反比例函数的图象上，得到，求解即可． 【详解】（1）解： 点A，B在一次函数的图象上， 令， 解得， 令，解得， 如图1，过点C作轴于点F， 则四边形为矩形， ， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 在中，， 在中，， ， 即， 解得，即， 点C在反比例函数的图象上， ； （2）解：如图2，过D作于点G，则， 由题意得，， ∵， ∴， 在和中， ， ，， ； 点D向右平移m个单位得到点F， 设， 点F在反比例函数的图象上， 则， 解得， m的值为． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）由下列条件求反比例函数的表达式： (1)当时，； (2)图象经过点． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为， 当时，， ∴， 解得， ∴反比例函数的表达式为： （2）解：设反比例函数解析式为， 图象经过点． ∴， 解得， ∴反比例函数解析式为． 10．（25-26八年级下·四川遂宁·期中）设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当时，有，我们就称此函数是闭区间上的“闭函数”． (1)反比例函数是闭区间上的“闭函数”吗？请判断并说明理由； (2)若一次函数是闭区间上的“闭函数”，求此函数的解析式． 【答案】(1)是，见解析 (2)或 【分析】（1）根据“闭函数”的定义以及反比例函数的性质解答即可； （2）根据“闭函数”的定义可得当时，，然后分两种情况，结合一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：反比例函数是闭区间上的“闭函数”，理由如下： ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， 当时，；当时，， ∴此时， ∴反比例函数是闭区间上的“闭函数”； （2）解：∵一次函数是闭区间上的“闭函数”， ∴当时，， 当时，此时满足时，，时，， 即， 解得：， 此时函数的解析式为； 当时，此时满足时，，时，， 即， 解得：， 此时函数的解析式为； 综上所述，此函数的解析式为或． 【思维拓展拔尖训练】 1．（25-26九年级下·江西·开学考试）如图，已知直线分别与轴、轴相交于，两点，与反比例函数的图象相交于，两点，连接，．给出下列结论：①；②；③；④当时，的取值范围为或．其中正确结论的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合、一次函数的图像与性质、反比例函数的图像与性质．根据直线的走向和反比例函数所在象限可知，，根据有理数的乘法法则可知；根据反比例函数的解析式可知，，可得；根据一次函数的解析式可以求出，可得，，可知成立；由图像可知当时，的取值范围为或． 【详解】解：直线的走向是随的增大而减小， ， 反比例函数的图象在第二、四象限， ， ， 故①正确； 反比例函数的图象相交于，两点， ，， ， 故②正确； 当时，可得：， 点的坐标是， ， ，， ， 故③正确； 由函数图像可知，在第二象限中点的左侧， 此时， 在第四象限中点的左侧， 此时， 当时，的取值范围为或， 故④正确． 综上所述，正确结论的个数是. 故选：D． 2．（25-26九年级上·山东·期末）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点，反比例函数的图象经过点，是等腰直角三角形，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，全等三角形的判定和性质，先利用一次函数可得，，即得，，过点作轴于点，可证，得到，，进而求出点坐标即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象与坐标轴分别交于点， ∴，， ∴，， 如图，过点作轴于点，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， 故选：． 3．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）反比例函数的图象如图所示，以下结论： ①常数； ②随的增大而减小； ③若，在图象上，则； ④若在图象上，则不一定在图象上．其中正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．根据反比例函数的性质得到在每一象限内，y随x的增大而减小，，则可对①②进行判断；根据反比例函数图象上点的坐标特征对③④进行判断． 【详解】解：观察图象得：函数图象位于第一、三象限， ∴在每一象限内，y随x的增大而减小，，故①②错误； 当时，， 当时，， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∴， ∴若在图象上，则一定在图象上，故④错误． 故选：C． 4．（2025·陕西·中考真题）一个反比例函数的图象经过两点，若，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质，不等式的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．反比例函数的图象经过两点，则，，由可求得的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过两点， 则， 即， ∵， ∴， 即． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，、是反比例函数图象上的两点，，两点的横坐标分别为，，线段的延长线交轴于点，若的面积为，则的值为 ________ ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合、用待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据、两点的横坐标分别为，，用含的代数式把两点的纵坐标表示出来，利用待定系数求出直线的解析式，利用一次函数的解析式求出点的坐标，根据的面积为，可列方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：根据题意知，点的坐标是，点的坐标是， 设直线的解析式为， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 当时， 可得：， 解得：， 点的坐标是， ， 的面积为， ， 解得：． 故答案为：． 6．（2023八年级下·浙江宁波·竞赛）如图，四边形为矩形，点A在第三象限，点A关于的对称点为D，点B，D都在函数上，轴于点E．若的延长线交y轴于点F，当矩形的面积为6时，的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形性质，轴对称性质，反比例函数的“k”的几何含义等知识，如图，连接，．首先证明，推出，推出． 【详解】解：如图，连接，． ∵四边形是矩形 ∴， ∵点A关于的对称点为D， ∴, ∴， 又， ∴， ∴，， ∵点A在第三象限，且， ∴， ∴四边形是等腰梯形， ∴， ∴， ∵点B在函数上，轴, ∴, ∴． 故答案为：． 7．（2023八年级下·浙江宁波·竞赛）如图，点，点，…点在函数的图象上，，，…都是等边三角形，边、、…都在轴上（是大于或等于2的正整数），点的坐标是_________（用含的式子表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征及点的坐标变化规律，根据题意，依次求出点的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：过点作x轴的垂线，垂足为M， 令， 因为是等边三角形，且， 所以， 所以， 则点的坐标可表示为． 将点坐标代入得， ， 解得（舍负）， 所以点的坐标为； 同理可得，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，…， 所以点的坐标可表示为． 故答案为：． 8．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，点绕点旋转得到点，我们称点是点的“影射点”． (1)若，则点的“影射点”，的坐标是_____；点的“影射点”的坐标是_____； (2)若点在一次函数的图象上，其“影射点”在一次函数的图象上，则的值是__________； (3)如图，已知点是点的“影射点”，点是反比例函数图象上一点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据“影射点”的定义，将，绕点旋转，根据中心对称即可求得； （2）先确定两直线与轴的交点，根据是轴上一点，可得两直线与轴的交点互为“影射点”即可求得； （3）过点作轴，过点作于点，过点作于点，可证得， 得到，， 根据“影射点”的定义可得点的坐标，最后根据点是反比例函数图象上一点，即可得解． 【详解】（1）解：， ， 设的坐标是，的坐标是， ，绕点旋转得到，， ，，即点是，的中点， ，，，， ，，，， ，； （2）解：由可知，是轴上一点， 对于一次函数， 令，即，解得， 一次函数与轴的交点为， 对于一次函数， 令，即，解得， 一次函数与轴的交点为， 由“影射点“的定义可得，，解得；   （3）解：如图，过点作轴，过点作于点，过点作于点， ， 是以为直角顶点的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， 点是点的“影射点”，， ， 设， ， ， ， ， ， ，， ，， 点的横坐标为，点的纵坐标为， 即， 点是反比例函数图象上一点， ， 解得． 9．（25-26八年级下·福建漳州·期中）已知反比例函数和的图象如图1所示，点D为函数图像上一点，过点D作x、y轴平行线，交函数图像于点A、B．点C在延长线上，且． (1)若点，，求的值． (2)若点，且点C在y轴上，求的值； (3)如图2，以、为邻边作，且，证明：点三点共线． 【答案】(1)10 (2)2 (3)见解析 【分析】（1）由，，轴，可得，即可求得的值； （2）由，可得，再由轴，轴，可得，即可求解； （3）设，求出点、的坐标，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵，，轴， ∴， 把代入得：， ∴的值为10． （2）解：由，得， ∵点C在y轴上， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴． （3）证明：设， 把代入得：， 解得， ∵， ∴， ∴，， 由（2）可知， ∴， 把代入得：， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 设的函数表达式为， 把代入得：， 解得， ∴的函数表达式为， 把代入得：， ∴点E在直线OC上， ∴点C、E、O三点共线． 10．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和B两点． (1)_________； (2)若，直接写出x的取值范围； (3)点P为反比例函数图象上位于第四象限内一点，过点P作x轴的垂线，交函数的图象于点Q，若的面积为4，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)点Q的坐标为或或 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键． （1）先把点A代入一次函数解析式，求出m的值，得出点A的坐标，然后代入反比例函数解析式求出k的值即可； （2）根据函数图象的交点坐标和图象的上下的位置关系即可求出答案； （3）设点的横坐标为，则，，根据的面积可求出，解关于a的方程即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于， ， ， ； （2）当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方， ∴时x的取值范围是或； （3）解：设点的横坐标为，则， ∴ 的面积为4 ． 当时解得， 当时解得， （不合题意，舍去） 综上所述点或或 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年苏科版数学八升九年级衔接金牌培优讲义『预习篇』 第四讲 反比例函数（章节复习）「暑假预习培优讲义」 【苏科版数学新教材•九年级上册（第1章 反比例函数）】 （思维导图+新知学习+十四大考点讲练+难度分层练 共48题） 同学，你好！该份讲义主要以暑期预习苏科版新教材九年级上册内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，新知学习，高频考点优选题讲练，难度分层练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 反比例函数的概念 （1）定义：形如的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数． （2）形式：反比例函数有以下三种基本形式 ①； ②； ③. 知识点二 反比例函数的图象与性质 y＝ （k为常数，） 图　象[来源:Zxxk.Com] [来 所在象限[来 源:学*科*网Z*X*X*K] 一、三（x，y同号）[ 二、四（x，y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 1.图象是中心对称图形，对称中心为原点； 2.图象是轴对称图形，两条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限的角平分线和二、四象限的角平分线． 知识点三 反比例函数表达式的确定 待定系数法： （1）设：设函数表达式为； （2）代：将已知点的坐标代入函数表达式； （3）解：求出k的值，得到函数表达式． 知识点四 系数k的几何意义 （1）意义：从的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为. 如图①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|； 同理可得S△OPA＝S△OPB＝|xy|＝|k|. （2）常见的面积类型： 易错警示：已知相关面积求反比例函数的表达式时，若函数图象在第二、四象限，则k＜0. （3）越大，双曲线离原点越远. （4）求k的常用方法 ①由面积关系求k值：用含k的代数式表示已知图形的面积； ②设点法列方程求k值：化斜为直，把相似转化为坐标关系. 知识点五 反比例函数与一次函数 （1）确定交点坐标 ①正比例函数与反比例函数图象相交，若其中一个交点坐标为，根据中心对称性，可得另一个交点坐标为. ②一次函数与反比例函数图象相交，可联立两个函数解析式，利用方程思想求解. （2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解. （3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法， 分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可，也可逐一选项判断、排除. （4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 知识点六 反比例函数中的三个模型 考点一 已知反比例函数的图象，判断其解析式 【典例精讲】（25-26九年级下·重庆·阶段检测）如图，为反比例函数图象上一点，垂直于轴于点，若，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【变式训练】（2023·河南周口·三模）请写出一个y关于x的反比例函数，使函数图象位于第二、四象限：______． 考点二 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【典例精讲】（23-24八年级下·江苏扬州·阶段检测）如图，直线与反比例函数图像交于点，B点，． (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集为______；（直接写出结果，无需解答过程） (3)过点B作轴的垂线，垂足为D，求的面积． 【变式训练】（2024·重庆·三模）在如图所示的平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于，两点，过点作轴于点，已知，，则的值为______． 考点三 已知双曲线分布的象限，求参数范围 【典例精讲】（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）若反比例函数 的图像在第二、四象限，则一次函数的图像经过 （    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【变式训练】（2025·湖北武汉·中考真题）在平面直角坐标系中，某反比例函数的图象分别位于第一、第三象限．写出一个满足条件的的值是_________． 考点四 判断反比例函数的增减性 【典例精讲】（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）已知反比例函数图象经过点． (1)求函数解析式； (2)判断点是否在该函数图象上； (3)当时，随增大如何变化． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）画出反比例函数的图象，结合图象，解答下列问题： (1)当时，求函数的最大值和最小值； (2)当分别取到和到之间的实数时，描述函数值的变化趋势． 考点五 比较反比例函数值或自变量的大小 【典例精讲】（25-26八年级下·河南周口·期中）若点都在反比例函数的图象上，则______（填“”“”或“”）． 【变式训练】（25-26八年级下·福建泉州·期中）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 考点六 已知比例系数求特殊图形的面积 【典例精讲】（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，则平行四边形的面积是___________． 【变式训练】（25-26八年级下·河南周口·期中）过反比例函数图象上任意一点，作坐标轴的垂线，围成矩形的面积为_______ 考点七 求反比例函数解析式 【典例精讲】（24-25八年级下·四川遂宁·期中）已知一次函数与反比例函数的图象交于第一象限内的两点，与轴交于点． (1)分别求出这两个函数的表达式； (2)求的值； (3)当x取何值时． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知是的反比例函数，且当时，． (1)求这个函数的表达式； (2)求当时，的值； (3)当取何值时，？ 考点八 反比例函数与几何综合 【典例精讲】（25-26八年级下·四川内江·期中）如图，在中，在x轴上，，反比例函数与，分别交于点D，E，连接，，若，，则k的值为______． 【变式训练】（25-26八年级下·福建泉州·期中）如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线交于点A和C，与x轴交于点B和D，点A和B的刻度分别为和，直尺的宽度为，，（注：平面直角坐标系内一个单位长度为），连接，，求的面积． 考点九 根据图形面积求比例系数(解析式) 【典例精讲】（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为C．点B为y轴上的一点，连接．若的面积为8，则k的值是（　　） A．8 B． C．16 D． 【变式训练】（2026·江苏徐州·一模）如图，点A在双曲线上，轴于B，点C是x轴上的任意点，且，则（   ） A．2 B． C．4 D． 考点十 一次函数与反比例函数图象综合判断 【典例精讲】（25-26八年级下·河南开封·期中）一次函数和在同一平面直角坐标系内的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）和在同一坐标系内的图像可能是（   ） A． B． C． D． 考点十一 一次函数与反比例函数的交点问题 【典例精讲】（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，反比例函数的图象与一次函数图象交于，两点． (1)求反比例函数解析式； (2)求的值及一次函数解析式； (3)直接写出不等式的解集． 【变式训练】（25-26八年级下·河南洛阳·期中）如图，直线与双曲线相交于，两点，与y轴相交于点C． (1)求k和a的值； (2)若点D与点C关于x轴对称，求的面积； (3)请直接写出关于x的不等式的解集． 考点十二 一次函数与反比例函数的实际应用 【典例精讲】（23-24九年级上·广东江门·期末）通过试验研究发现：一节40分钟的课堂，初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．如图，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．    (1)求反比例函数解析式和点A、D的坐标； (2)陈老师在一节课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32？请说明理由． 【变式训练】（23-24九年级上·江苏南通·期中）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降，在水温开始下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示．    (1)求当时，y与x之间的函数表达式； (2)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 考点十三 一次函数与反比例函数的其他综合应用 【典例精讲】（24-25八年级下·四川遂宁·期末）如图，是函数的图象上一点，直线分别交轴、轴于点、，过点作轴于点，交于点，作轴于点，交于点，当时，的值为______． 【变式训练】（24-25八年级下·山东·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，，依次进行下去，记点的横坐标为，若，则_____． 考点十四 实际问题与反比例函数 【典例精讲】（25-26八年级下·山西临汾·阶段检测）某算力中心总算力固定不变，完成全部运算任务所需时间：t（单位：）与在线算力节点数（单位：个）成反比例函数关系．已知开启40个算力节点工作时，完成全部任务需．若全部任务需在内完成，则至少需要开启__________个算力节点． 【变式训练】（25-26八年级下·福建泉州·期末）制作古筝钢丝弦时，需保持琴弦材质、粗细、张力不变，琴弦振动频率（单位：）与弦长（单位：）成反比例．已知弦长时，振动频率为． (1)求与的函数关系式； (2)工匠裁剪两根琴弦，弦长分别为、，对应频率、．若，且，求两根弦长的长度． 【基础通关能力提升】 1．（24-25八年级下·四川遂宁·期中）已知如图，一直线经过原点O，且与反比例函数图象相交于A、B， 过点A作轴，垂足为点C，连接．若，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 2．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，连接，则的面积是（    ） A．2 B． C． D． 3．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）反比例函数 的图象经过点，则下列说法错误的是（    ） A．图象分布在第二、四象限 B． C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 4．（25-26九年级下·吉林四平·阶段检测）如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点且平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，点在轴正半轴上，以为边作平行四边形，则四边形的面积为_________． 5．（25-26九年级上·广西来宾·期末）为预防冬季流感，某学校采用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成正比例；药物燃烧后，与成反比例（如图所示）．经测量，药物在分钟时燃烧完毕，此时空气中每立方米含药量为毫克．研究表明，当空气中每立方米含药量低于毫克时，学生方可进入教室．那么从消毒开始，至少需要经过_______ 分钟后，学生才能回到教室． 6．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，直线与双曲线交于第一象限的点A，过点A作轴于点C，连接．若的面积为2，则反比例函数的表达式为_____． 7．（25-26九年级下·陕西榆林·开学考试）若点、、均在反比例函数（为常数，且）的图象上，其中，则_______．（填“”“”或“”） 8．（2026·江苏徐州·二模）如图，一次函数的图象分别与x轴交于点A，与y轴交于点B，轴于点B，交反比例函数的图象于点C，于点A． (1)求点A，B的坐标及k的值； (2)将绕点B逆时针旋转，点A，C的对应点分别为D，E．将点D向右平移m个单位得到点F，若点F恰好在该反比例函数图象上，求m的值． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）由下列条件求反比例函数的表达式： (1)当时，； (2)图象经过点． 10．（25-26八年级下·四川遂宁·期中）设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当时，有，我们就称此函数是闭区间上的“闭函数”． (1)反比例函数是闭区间上的“闭函数”吗？请判断并说明理由； (2)若一次函数是闭区间上的“闭函数”，求此函数的解析式． 【思维拓展拔尖训练】 1．（25-26九年级下·江西·开学考试）如图，已知直线分别与轴、轴相交于，两点，与反比例函数的图象相交于，两点，连接，．给出下列结论：①；②；③；④当时，的取值范围为或．其中正确结论的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（25-26九年级上·山东·期末）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点，反比例函数的图象经过点，是等腰直角三角形，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）反比例函数的图象如图所示，以下结论： ①常数； ②随的增大而减小； ③若，在图象上，则； ④若在图象上，则不一定在图象上．其中正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 4．（2025·陕西·中考真题）一个反比例函数的图象经过两点，若，则的取值范围是_____． 5．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，、是反比例函数图象上的两点，，两点的横坐标分别为，，线段的延长线交轴于点，若的面积为，则的值为 ________ ． 6．（2023八年级下·浙江宁波·竞赛）如图，四边形为矩形，点A在第三象限，点A关于的对称点为D，点B，D都在函数上，轴于点E．若的延长线交y轴于点F，当矩形的面积为6时，的值为_______． 7．（2023八年级下·浙江宁波·竞赛）如图，点，点，…点在函数的图象上，，，…都是等边三角形，边、、…都在轴上（是大于或等于2的正整数），点的坐标是_________（用含的式子表示）． 8．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，点绕点旋转得到点，我们称点是点的“影射点”． (1)若，则点的“影射点”，的坐标是_____；点的“影射点”的坐标是_____； (2)若点在一次函数的图象上，其“影射点”在一次函数的图象上，则的值是__________； (3)如图，已知点是点的“影射点”，点是反比例函数图象上一点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，求的值． 9．（25-26八年级下·福建漳州·期中）已知反比例函数和的图象如图1所示，点D为函数图像上一点，过点D作x、y轴平行线，交函数图像于点A、B．点C在延长线上，且． (1)若点，，求的值． (2)若点，且点C在y轴上，求的值； (3)如图2，以、为邻边作，且，证明：点三点共线． 10．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和B两点． (1)_________； (2)若，直接写出x的取值范围； (3)点P为反比例函数图象上位于第四象限内一点，过点P作x轴的垂线，交函数的图象于点Q，若的面积为4，求点Q的坐标． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull