1.1 集合的概念 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以分层递进为核心，通过基础巩固、综合应用到创新拓展的设计，实现集合概念从单一辨析到复杂问题解决的知识内化，适配新授课教学目标。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|集合定义、表示方法|单选题1考查确定性（抽象能力），填空题12强化列举法与描述法转换| |中档|集合关系、元素性质|多选题9辨析集合表示规则（推理意识），填空题13结合"孤立元"深化元素特性理解| |提升|新定义、综合应用|解答题19"完美集"问题（创新意识），融合集合运算与逻辑推理|

1.1集合的概念 同步练习卷 一、单选题：共8小题，每题5分，共40分 1. 下列说法中，能构成集合的是（     ） A．无限接近0的实数 B．中国最美乡村 C．高一（2）班成绩优秀的学生 D．2025年度国内GDP超过1万亿的地级市 【答案】D 【详解】对于选项A：“无限接近”没有判定标准，不满足确定性，故A错误； 对于选项B：“最美乡村”没有判定标准，不满足确定性，故B错误； 对于选项C：“优秀的学生”没有判定标准，不满足确定性，故C错误； 对于选项D：“2022年度国内GDP超过1万亿的地级市”有统一的判定标准，满足确定性，故D正确； 故选：D. 2. 集合A＝用列举法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以或2或4或8， 即或4或2或， 即. 故选：D. 3. 集合中的不能取的值是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由集合的互异性可知，，或，或， 得，或，或， 故选：C 4．不等式的解集表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解不等式得，故解集可表示为.故选D 5．若集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，， ． 故选：D. 6．若集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，， ． 故选：D. 7．定义集合，的一种运算：，若，，则中的元素个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 所以，即中的元素个数为4. 故选：C 8．已知集合，则用列举法表示（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得，，即， 又，∴ 故. 故选：C. 二、多选题：共3小题，每题6分，共18分 9．下面四个说法中正确的是（     ） A．10以内的质数组成的集合是 B．由2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解组成的集合是 D．0与表示同一个集合 【答案】AB 【详解】对于A，10以内的质数为，组成的集合是，故A正确； 对于B，由集合中元素的无序性知和表示同一集合，故B正确； 对于C，由集合中元素的互异性可知不存在集合，故C错误； 对于D，由集合的表示方法知0不是集合，故D错误. 故选：AB. 10．已知，且，，，则取值可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】选项A：当时，，，故，A错误； 选项B：当时，，，故，B正确； 选项C：当时，，，故，C正确； 选项D：当时，，，故，D正确. 故答案为：BCD. 11．已知，如果实数满足对任意的，都存在，使得，则称为集合的“开点”，则下列集合中以0为“开点”的集合有（     ） A. ， B. ， C. D. 【答案】AC 【解析】对于，对任意的，存在，使得，故正确； 对于，假设集合，以0为“开点“，则对任意的，存在，， 使得，当时，该式不成立，故错误； 对于，假设集合以0为“开点“，则对任意的，存在， 使得，故正确； 对于，集合，，，当时，， 时，使得不成立，故错误． 故选：AC． 三、填空题：共3小题，每题5分，共15分 12．解集用描述法表示为，解集用列举法表示为 ． 【答案】 【详解】由解得， 所以列举法表示为. 故答案为： 13．设集合是整数集的一个非空子集，对于任意的，如果且，则称为集合的一个“孤立元”，给定集合，，由中的3个元素组成的所有集合中，不含有“孤立元”的集合共有　　个． 【答案】7 【详解】由集合的新定义知，没有与之相邻的元素是“孤立元”，集合不含“孤立元”， 则集合中的三个数必须连在一起， 所以符合题意的集合是，2，，，3，，，4，，，5，，，6，，，7，，，8，，共7个． 故答案为：7． 14．已知集合，，且，则集合 ． 【答案】 【详解】因为，所以或， 由，得到或， 当时，集合不满足集合的互异性，舍去， 当时，，满足题意，此时， 当时，集合不满足集合的互异性，舍去， 故答案为：. 四、解答题：共5小题，共77分 15．已知含有两个元素的集合，其中． (1)实数m不能取哪些数？ (2)若，求实数m的值． 【答案】(1)不能取0和4； (2)． 【详解】（1）根据题意，可得，解得且， 因此，实数m不能取0和4； （2）由（1）的结论，可知m≠4， 若，则，解得（不符合题意）， 因此，实数m的值是． 16．已知. （1）若，求的取值范围； （2）若且，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【详解】解：（1）由，所以，解得， 所以的取值范围为； （2）由，且， 所以，解得. 所以的取值范围为. 17．已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值，并求集合； (2)若中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1)的值为或者，当时，；当时， (2) 【详解】（1）当，集合， 当时，，解得，此时， 综上可知，的值为或者，当时，；当时，. （2）当集合中有两个元素时，方程有两个不相等的实数根， 则且，解得且， 又当中只有一个元素时，或， 故中至少有一个元素时，的范围为， 所以的取值范围为. 18．已知集合中的元素全为实数，且满足：若，则． (1)若，求出中其他所有元素． (2)0是不是集合中的元素？请你取一个实数，再求出中的元素． 【答案】(1)中其他所有元素为，，2； (2)0不是的元素，当，中的元素是：3，，，． 【详解】（1）由题意可知：， 则，，，， 所以中其他所有元素为，，2． （2）假设，则， 而当时，不存在，假设不成立， 所以0不是的元素， 取，则，，，， 所以当，中的元素是：3，，，． 19．已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”． （1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由； （2）是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2； （3）若为正整数，求：“完美集”. 【答案】（1）是，理由见解析 （2）证明见解析 （3） 【详解】（1）由，，则集合是“完美集”， （2）若是两个不同的正数，且是“完美集”， 设， 根据根和系数的关系知，和相当于的两根， 由，解得或（舍去）， 所以，又均为正数， 所以至少有一个大于2. （3）不妨设中， 由，得， 当时，即有，又为正整数，所以， 于是，则无解，即不存在满足条件的“完美集”； 当时，，故只能，，求得， 于是“完美集”只有一个，为． 当时，由，即有， 而， 又，因此，故矛盾， 所以当时不存在完美集， 综上知，“完美集”为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1集合的概念 同步练习卷 一、单选题：共8小题，每题5分，共40分 1. 下列说法中，能构成集合的是（     ） A．无限接近0的实数 B．中国最美乡村 C．高一（2）班成绩优秀的学生 D．2025年度国内GDP超过1万亿的地级市 2. 集合A＝用列举法表示为（     ） A． B． C． D． 3. 集合中的不能取的值是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．不等式的解集表示正确的是（     ） A． B． C． D． 5．若集合，，则（     ） A． B． C． D． 6．若集合，，则（     ） A． B． C． D． 7．定义集合，的一种运算：，若，，则中的元素个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．已知集合，则用列举法表示（     ） A． B． C． D． 二、多选题：共3小题，每题6分，共18分 9．下面四个说法中正确的是（     ） A．10以内的质数组成的集合是 B．由2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解组成的集合是 D．0与表示同一个集合 10．已知，且，，，则取值可能为（     ） A． B． C． D． 11．已知，如果实数满足对任意的，都存在，使得，则称为集合的“开点”，则下列集合中以0为“开点”的集合有（     ） A. ， B. ， C. D. 三、填空题：共3小题，每题5分，共15分 12．解集用描述法表示为，解集用列举法表示为 ． 13．设集合是整数集的一个非空子集，对于任意的，如果且，则称为集合的一个“孤立元”，给定集合，，由中的3个元素组成的所有集合中，不含有“孤立元”的集合共有　　个． 14．已知集合，，且，则集合 ． 四、解答题：共5小题，共77分 15．已知含有两个元素的集合，其中． (1)实数m不能取哪些数？ (2)若，求实数m的值． 16．已知. （1）若，求的取值范围； （2）若且，求的取值范围. 17．已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值，并求集合； (2)若中至少有一个元素，求的取值范围． 18．已知集合中的元素全为实数，且满足：若，则． (1)若，求出中其他所有元素． (2)0是不是集合中的元素？请你取一个实数，再求出中的元素． 19．已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”． （1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由； （2）是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2； （3）若为正整数，求：“完美集”. 学科网（北京）股份有限公司 $