山东济南市济南高新技术产业开发区2025-2026学年九年级上学期11月期中测试数学试题

济南高新区2025至2026学年度第一学期九年级期中学业水 平测试数学试题 本试题分第舡卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷共2页，满分为 40分；第Ⅱ卷共4页，满分为110分.本试题共6页，满分为150分、考试时 间为120分钟.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的考点、姓 名、准考证号、座号填写在答题卡上和试卷规定的位置上.考试结束后，将本 试卷和答题卡一并交回.本考试不允许使用计算器. 第缸卷（选择题共40分） 注意事项：第卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案 写在试卷上无效. 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.下列各组线段中，属于成比例线段的一组是() A.1,2,3,4 B.2,3,4,6 C.1,3,5,7 D.2,4,6,8 2.在反比例函数y=-的图形上的一个点是() A.(2,2.5) B.(-2.5,2.5) C.(-2.5,2) D.(2.5,2.5) 3.2025年9月3日，中国战略反击体系中的重要组成一东风-5C液体洲际战略核导弹亮 相纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，一句打击范围覆盖全球， 给所有人都留下了极为深刻的印象.如图为东风-5C洲际导弹的部分图片及其示意图，关于 它的三视图，下列说法正确的是() 东风5C DF-5C DF-5C A.主视图与左视图相同 B.主视图与俯视图相同 C.左视图与俯视图相同 D.三种视图都不相同 4.已知△ABC∽△DEF,且AB=3,DE=6,若△ABC的周长为20，则△DEF的周长为 () A.5 B.10 C.40 D.80 试卷第1页，共7页 5.在Rt△4BC中，∠C=90,若ta4=3,则sin4的值是（) 4 c. n.} 6.如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调.通过 实验发现，当水面高度BC与瓶高AC之比为黄金比时，可以发出“sol”的音符.若AC=12cm, 则水面高度BC为() B 12cm A.4.6cm B.6.4cm C.7.2cm D.7.4cm 7.反比例函数y=心+1的图象上3个点的坐标分别为(-2，)(2，)3，)，则为 的大小关系为() A.y<y2<y3 B.y<y<y2 C.y<2< D.y3<<y2 8.下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是() B D 9.如图，在△ABC中，AC=√10，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当的长为半 径画弧，交BC于点D,交AB于点E,连接DE;以点C为圆心，以BD长为半径画弧，交 AC于点F;以点F为圆心，以DE的长为半径画弧，在△ABC内与前一条弧相交于点G: 连接CG并延长交AB于点H,若点H恰好为AB的中点，则AB的长为() 试卷第2页，共7页 A B D A.25 B.2V5 C.5 D.4o 3 10、如图，△A0B和△4CD均为正三角形，且顶点8、D均在双曲线)兰>0上，若图中 SsP=2V3,则k的值为() VA A.2V3 B.4 C.35 D.6 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 注意事项： 1.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区 域内相应的位置，不能写在试卷上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写 上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无 效. 2填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.） 11.匡衡凿壁借光”借灯光读书的影子属于 投影.（填平行或“中心”） 12.若反比例函数y=3-k 的图象经过一，三象限，则k的取值范围为 13.河堤横断面如图所示，斜坡AB的坡度=1：√3，AB=6,则BC的长是 14.2025年湖南某城市引入了智能交通管理系统，该系统通过实时监控交通流量来优化信 试卷第3页，共7页 号灯的配时.假设某条主干道的交通流量Q(单位：辆/小时)与车辆的平均速度ⅴ（单位： 千米/小时)之间的关系可以用反比例函数来描述.已知当车辆的平均速度为40千米/小时， 交通流量Q为1200辆/小时.如果交通管理部门希望将交通流量控制在1000辆/小时以内， 车辆的平均速度应至少达到」 千米小时. 15.如图，E是正方形ABCD的边CD上一点，连结AE,将△ADE顺时针旋转90°得到 △ABP,连结BF,分别交AB,AC于点G,日.若△ARG与△ABC相似，则AC BG D 三、解答题：（本大题共10个小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤.) 16.计算：√27-2sim60°+(-1)2025--2√5-（元-3.14）° 17.(1)由大小相同的小立方块搭成的几何体，请在方格中画出该几何体的三视图. 主视图 左视图 俯视图 (2)楼房、旗杆在路灯下的影子如图所示.试确定路灯灯泡的位置，再作出小树在路灯下 的影子.（不写作法，保留作图痕迹） 18.如图，在△ABC中，DE∥BC,AD=3,DB=5,AE=2.求AC的长. 试卷第4页，共7页 C A D 19.在如图的方格纸中，△OAB,与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形， (1)在图中标出位似中心P的位置： (2)以原点O为位似中心，在第三象限画出△OAB的一个位似△OA,B,使它与△OAB的位 似比为2：1： (3)己知S04s的面积为2.5，则△OA,B2的面积为 20.如图，已知△1BC中，4B=8C=5m∠A8C=子，求nC的值。 B 21.如图，AB∥CD,AC与BD交点E,连接BC,若AB=8,AE=4,CD=24. A C (1)求AC的长： (2)求证：△ABE∽△ACB. 22.如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距 试管口的三分之一处.现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管AB=30c, 试卷第5页，共7页 BB=AB,试管倾斜角∠ABG为12，(sml2°≈0.208，c0s12°≈0.978，V2≈1.414.结果 31 保留一位小数) 高锰酸钾 蓬松的棉花团 (I)求试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度： (2)实验时，导气管紧靠水槽壁MW,延长BM交CN的延长线于点F,且MNLCF于点N (点C,D,N,F在一条直线上)，经测得：DE=28Cm,∠BFD=45°，求导气管BF的 长度 23.教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时水温上升，加热到100℃，停止 加热，水温开始下降，直至水温降至30℃，饮水机自动开始加热，重复上述程序.值日生 小明7点钟到校后接通饮水机电源，在水温下降的过程中进行了水温检测，记录如下表： 时间x 7:00 7:02 7:05 7:07 7:10 7:14 7:20 水温y 30C 50C 80C 100C 70°C 50°C 35C ()在下图的平面直角坐标系，画出水温y关于饮水机接通电源时间x的函数图象。 4y水温（单位：℃） 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 10 15 20x时间（单位：分） (2)借助(1)所画的图象，判断从7：00开始加温到水温第一次降到30C°为止，水温y和时 间x之间存在怎样的函数关系？试求出函数关系并写出自变量x取值范围， (3)上午第一节下课时间为8：25，同学们能不能喝到不超过50℃的水？请通过计算说明. 24.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，OA=2,点B 在反比例函数y=(k>0)的图象上，△OBA为等边三角形，延长B0与反比例函数y-冬的 1北 1 试卷第6页，共7页 图象在第三象限交于点C.连接CA并延长与反比例函数y=的图象在第一象限交于点D. (1)求反比例函数的表达式： (2)求点D的坐标及△OAD的面积： (3)在x轴上是否存在点Q,使得以A,D,Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请直 接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由. 25.(1)问题引入：如图1，△ABC,点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC. 如图1，将△ADE绕点A旋转任意角度a(0°<a<360°且au≠180°)，仅就图2位置. 图1 图2 ①求证：△ADB∽△AEC: ②在第一问图2中，作直线CE、BD交于点F,∠BFC与∠BAC的数量关系是什么？并说 明理由， (2)如图3所示，已知∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC=6,AD=AE,BE=3, ∠ABE=45°，求线段BD的长. 图3 图4 (3)如图4，在Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=5,AC=12.以BC为斜边作等腰 Rt△BCD(点A、D在直线BC同侧)，连接AD,求线段AD的长. 试卷第7页，共7页 1.B 【分析】本题考查了成比例线段，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解. 根据成比例线段的意义，对四组线段逐一计算，再作判断， 【详解】解：1：2≠3：4，故A不符合： 4:6=2:3,故B符合： 1:3≠5：7，故C不符合： 2:4=1:2,6:8=3:4,而1：2≠3：4，故D不符合， 故选：B. 2.C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的特征，解题的关键是直接代入验证.把各选项点 的横纵坐标相乘，看是不是等于-5，若等于-5，则说明在函数图象上，否则不在函数图象 上 【详解】解：y) y=-5, A、因为2×2.5=5≠-5，所以不在函数图形上，此选项错误： B、因为-2.5×2.5=-6.25≠-5，所以不在函数图形上，此选项错误： C、因为-2.5×2=-5，所以在函数图形上，此选项正确； D、因为2.5×2.5=6.25≠-5，所以不在函数图形上，此选项错误； 故选C. 3.B 【分析】本题考查简单组合体的三视图，根据简单组合体三视图的画法画出它的三视图即可. 【详解】解：东风-5C洲际导弹的三视图为： 左视图 主视图 俯视图 所以主视图与俯视图相同，左视图与俯视图和主视图不相同. 故选：B. 4.C 【分析】本题考查的是相似三角形的性质.根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可. 【详解】解：△ABC∽△DEF, 答案第1页，共19页 △ABC的周长：△DEF的周长=AB:DE=3:6=1:2, :△ABC的周长为20， ∴.△DEF的周长为40. 故选：C. 5.D 【分析】本题主要考查了解直角三角形，掌握其相关知识点是解题的关键.根据正切的定义 先表示出BC,AC,再根据勾股定理求出AB,然后根据正弦的定义解答即可 【详解】解：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，ta4=BC=3 ΓAC4 设CB=3x,AC=4x,根据勾股定理得： AB=BC2+AC2=5x, .sinA=BC=3x3 AB 5x 5 故选：D. 6.D 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键。 根据黄金分割的定义进行计算即可. 【详解】解：由题知， :BC与AC之比为黄金比， BC 5-1 AC2 AC =12cm, BC-5-x12≈0618×12=741674m. 2 故选：D. 7.B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数y=(k≠0)的 答案第2页，共19页 性质：当k>0时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当k<0时， 图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大. 根据反比例函数的性质得到反比例函数图象分布在第一、三象限，然后利用x<0<x2<x? 得到4<0，y2>3>0. 【详解】解：m2≥0 m2+1>0, .反比例函数图象在第一、三象限， 在每一象限内，y随x的增大而减小 .-2<0<2<3, .4<0,y2>3>0, 乃<乃3<2， 故选B. 8.B 【详解】根据勾股定理，AB=√2？+22=2√2， BC=√？+1P=√， AC=1?+32=V10, 所以△ABC的三边之比为√2：2√2√10=1：2√5， A、三角形的三边分别为2，√？+32=V10,V32+32=3√5，三边之比为2：V103√2=√2√53， 故本选项错误，不符合题意； B、三角形的三边分别为2,4，√22+42=2√5，三边之比为2：4：2V5=1:2:√5，故本 选项正确，符合题意； C、三角形的三边分别为2,3，√22+32=√3，三边之比为2：3：V3,故本选项错误， 不符合题意； D、三角形的三边分别为V22+1P=√5，√22+32=√3,4，三边之比为V5W13:4,故本 选项错误，不符合题意. 故选：B. 答案第3页，共19页 9.A 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，根据题意可知， BE=BD=CG=CF,DE=FG,进而利用SSS证明△BED与△CGF全等，得到 ∠B=∠ACH,再证明ABCVAACH,AC-AH, 代入计算即可 AB AC 【详解】解：连接FG, B 根据题意可知，BE=BD=CG=CF,DE=FG, 在ABED与△CGF中， 「BE=CG BD=CF, ED=FG ·△BED≌ACGF(SSS), ∠B=∠ACH, .∠A=∠A, ∴.△ABC∽△ACH, AC、AB =云、则A=H AB AC 点H恰好为AB的中点， AC=10, 小可-号a, ·AB=2N5（舍负)， 故选：A. 答案第4页，共19页 10.A 【分析】本题考查的是等边三角形的性质及反比例函数系数k的几何意义，求得 SA0B=SBP=2√3是解题的关键.先根据△AOB和△ACD均为正三角形可知 ∠AOB=∠CAD=60°，故可得出AD∥OB,所以S.ABP=SAoP,故S.AB=S.o8P=2W5，过 点B作BE⊥OA于点E,由反比例函数系数k的几何意义即可得出结论. 【详解】解：如图： B :△AOB和△ACD均为正三角形， 0 .∠AOB=∠CAD=60°， .∴.AD∥OB, .S.ABP=S.AOP, S.408=S.OBp=213, 过点B作BB⊥OA于点B,则S:=SB=)SA=V5, 21 :点B在反比例函数y=的图象上， ∴So8=5k, 2 ·k=25, 故选：A. 11.中心 【分析】本题考查投影，投影分为平行投影和中心投影，区别的关键是看光线是由一点发出 的，还是平行的.熟练掌握由一点发出的光线，形成的投影是中心投影：由平行发出的光线， 形成的投影是平行投影是解题的关键. 【详解】解：匡衡借用的灯光是从一点发出的，光线呈放射状，因此形成的影子属于中心投 影 故答案为：中心 12.k<3 答案第5页，共19页 【分析】考查的是反比例函数的性质，先根据反比例函数的性质列出关于k的不等式，求出 k的取值范围即可， 【详解】解：由题意得：3-k>0,则k<3 故答案为：k<3. 13.3m 【分析】本题考查了坡度的定义、锐角三角函数（正切函数）的应用以及直角三角形中30° 角的性质，解题的关键是理解坡度与直角三角形两直角边的比例关系，将坡度转化为正切值 求出锐角角度，再利用特殊角的直角三角形性质计算直角边长度 Rt△ABC中，斜坡AB的坡度=1：√3，求出∠BAC=30°，由直角三角形的性质即可得出答 案 【详解】解：Rt△ABC中，tam∠BAC=斜坡AB的坡度-1：V5=5 ·∠BAC=30°， BC⊥AC, :BC=LAB=3m 2 14.48 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式.设Q=，根据题意求出飞，然后代 1) 入Q=1000即可求得答案 【详解】解：设Q=飞 由题可知，当v=40时，9=1200， .k=40×1200=48000, 当2≤1000时，v≥48000÷1000=48， 即交通管理部门希望将交通流量控制在1000辆/小时以内，车辆的平均速度应至少达到48 千米/小时， 故答案为：48. 15.22+2 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的性质，角平分线的性质，勾 股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键 作EM⊥AC于点M,根据旋转的性质得到AE=AF,∠BAF=∠DAE,由△AFG∽△ACE 答案第6页，共19页 ∠8M6=Rc,积.得到D8-a,得品D=5-AD.进而得出 AG=(2N2-2)AD,BG=(3-2V2)AD,计算即可得到答案. 【详解】解：如图，作EM⊥AC于点M, D E:正方形ABCD, G .AB=BC=CD=AD, ∠D=∠BAD=90°， AC=2AD :△ADE顺时针旋转90°得到△ABF, AE=AF,∠BAF=∠DAE, .'△AFG∽△ACE, .∠BAF=∠EAC, AG AF AE AC .∠EAC=∠DAE,AG= AE2 AC ∴AE平分∠CAD, .DE=EM, .S.ACD=S.AD+S.ACE DE=(-1)AD, AE2=DE2+AD2, ∴AE2=(4-2V2)AD2, ..AG= 4-2W2)AD2 =(22-2AD, 2AD :.BG=AB-AG=AD-AG=(3-22)AD, 4G(22-2)AD BG (3-22AD 万+2 答案第7页，共19页 故答案为：2√2+2. 16.-2 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键， 利用特殊锐角三角函数值，有理数的乘方法则，零指数幂，二次根式及绝对值的性质计算后 再算加减即可. 【详解】解：原式-5-2x5(--25-1 2 =3w5-3-1-25-1 =-2. 17.(1)图见解析(2)图见解析 【分析】本题考查三视图和中心投影，熟练掌握三视图的画法，中心投影的定义，是解题的 关键： (1)根据三视图的画法，画出三视图即可： (2)根据中心投影的定义，画图即可. 【详解】解：(1)画出三视图，如图所示： 主视图 左视图 俯视图 (2)由题意，作图如下： 189 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得出 C2DB,代入数据求出CB,即可求出AC. AE AD 【详解】解：DB∥BC, E AD CE DB 又AD=3,DB=5,AE=2, 答案第8页，共19页 2、3 CE=10 AC=AE+CE-16 19.(1)见解析 (2)见解析 (3)10 【分析】本题考查作图-位似变换，位似变换的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换 是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k. (1)连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心： (2)延长OA、OB,并使OA=2OA、OB2=2OB,连接A,B2即可； (3)根据位似比得出面积比，即可求解. 【详解】(1)解：如图所示，点P为所作： ○ B B (2)解：如图所示，△OA,B2为所作： 答案第9页，共19页 y (3)解：△OAB2与△OAB的位似比为2：1， S0=4, SAOAB Sa4B的面积为2.5， S%0%,=4S△0aB=4×2.5=10, 故答案为：10. 20. 3i0#30 10 10 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用， 先作AD1BC,设AD=3x,BD=4x,再根据勾股定理求出x=1,进而得出AD,BD,及CD, 然后根据勾股定理求出AC,最后根据正弦的定义得出答案 【详解】解：过点A作AD L BC,垂足为D. B 0 在Rt△ABD中，tan∠ABC=AD=3 =5, 设AD=3.x,BD=4x, 根据勾股定理，得AD+BD=AB2, (3x)2+(4x)2=52, 答案第10页，共19页 解得x=1（负值舍去)， AD=3,BD=4,CD=BC-BD=5-4=1. 在Rt△ACD中，AC=VAD+CD2=V32+1=V10 .sinc=4D=3310 AC-1010 21.(1)16 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，关键是根据题目灵活选取相似三角形的判定 方法. (I)由AB∥CD可得△ABE∽△CDB,由相似三角形的性质即可求得结果； (2)证明ABAC 2B,再根据∠BAB=∠BAC,即可证明A1BBA4CB. 【详解】(I)解：AB∥CD, ∠A=∠ACD,∠ABE=∠D ∴.△ABE△CDE, AB、AB “CDCE AB=8,AE=4,CD=24, .84 24 CE .CE=12, AC=AE+CE=4+12=16: （2)证明：AB=8,AE=4,AC=16, B-8=2,4C=16 2, AE 4 AB 8 ..AB_Ac AE AB :∠BAE=∠BAC, ∴.△ABE∽△ACE. 22.(1)试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度为9.8cm (2)导气管BF的长度为36.7cm 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题关键. 答案第11页，共19页 (1)在RIA BGE中，根据cos∠ABG=cos12°=BC 即可求解： BE (2)过点B作BH⊥CF,交CF于点H,则四边形GBHD是矩形，在Rt△BGE中，求得 EG≈2.08cm,可得BH=GD=DE-EG=25.92cm,在Rt△BHF中，通过BF= BH即可 sin45° 求解， 【详解】(1)解：4B=30cm,8E=AB, 3 .BE=10cm, “在Rt△BGE中，cOs∠ABG=cOS12°=BC BE .BG=BE.cos∠ABG=10×cos12°≈9.8cm, 即试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度为9.8cm: (2)解：如图，过点B作BH⊥CF,交CF于点H,则四边形GBHD是矩形， E B 在Rt△BGB中，EG=10×sinl2°≈2.08cm, .DE 28cm, ∴.GD=DE-EG=28-2.08=25.92cm, .BH=GD=25.92cm, 在Rt△BHF中，∠BFD=45°， 25.92 :BF= BH sin450 ≈36.7cm 2 即导气管BF的长度为36.7cm. 23.(1)见解析 10.x+30(0≤x≤7} (2)y= 700 x (3)可以喝到不超过50C的水，理由见解析 【分析】本题主要考查的是一次函数与反比例函数的实际应用问题，根据题意和函数图象得 出函数解析式是解决问题的关键。 答案第12页，共19页 (1)根据表格描点、连线即可： (2)根据图象可得：在加热过程中，y是x的一次函数，经过点的坐标为(0,30)，(7,100)： 降温过程中，y是x的反比例函数，经过点(14,50)；然后利用待定系数法求出两个函数解析 式： (3)先求出上午7：00-8：25之间有85分钟，是3个周期多15分钟，令x=15,代入函数解 析式求得=140<50，即可求解. 3 【详解】(1)解：如图， y水温（单位：℃） 100 90 80 70 60 50 30 1 0 10 15 20时间（单位：分）》 (2)在加热过程中，y是x的一次函数： 设一次函数关系式为：y=kx+b, 将（(0,30)，(7,100)代入y=kx+b,得 [7k+b=100 1b=30 ∫k=10 解得b=30 y=10x+30(0≤x≤7)， 降温过程中，y是x的反比例函数：设关系为y=《,将点(14,50)代入得k=14×50=700, J=- 00 70 7≤x≤ 3) 10x+30(0≤x≤7} y=700 0(7<x≤3 70、 (3)上午700-825之间有85分钟，85-70x3=15, 3 答案第13页，共19页 70 15位于7≤x≤时间段内， 15代入707≤x）可得v=0 所以8：25分时同学们可以喝到不超过50C的水. 24四y=5 (2)点D的坐标为 33 √3 3 S△OAD= 3 (3)点Q的坐标为(3,0)或 1 30 【分析】(I)作BF⊥x轴于点F,利用等边三角形的性质结合直角三角形的性质求得点B 的坐标为1√5)，再利用待定系数法求解即可： (2)根据题意得到点C与点B关于原点对称，求得点C的坐标为(-1，-V3),利用待定系 数法求得直线AC的解析式，联立求得点D的坐标，再利用三角形面积公式求解即可： (3)先求得∠ACB=30°，∠BAC=90°，分当DO⊥x轴和当DQ⊥AD时两种情况讨论，据 此求解即可. 【详解】(1)解：作BF⊥x轴于点F, VR △OBA为等边三角形，OA=2, ..OB=2,OF=AF=1, ∴BF=VOB2-OF2=√5， 点B的坐标为1，V), 点B在反比例函数y=(k>0)的图象上， k=1×5=3, 答案第14页，共19页 反比例函数的表达式为y=5 (2)解：延长BO与反比例函数y=二的图象在第三象限交于点C, 点C与点B关于原点对称， 点C的坐标为(1，-V3), OA=2, ∴点A的坐标为(2,0)， 设直线AC的解析式为y=x+b, ∫-k+b=-√ ,解得 3 2k'+b=0 b=- 25 3 ∴直线AC的解析式为y= V52W5 -x- 3 联立得55,25 3 3 解得x=3或x=-1(舍去)，经检验，x=3是原方程的解， 3 ∴点D的坐标 3,3 4.y 3 (3)解：△OBA为等边三角形，点C与点B关于原点对称， ∴.OA=OB=OC,∠BOA=∠BAO=60°， ∠0AC=∠0CA=1∠B0A=30°， 2 .∠BAC=90°， 当D2⊥x轴时， ∠DAQ=∠OAC=30°=∠BCA,∠DQA=∠BAC=90°， 答案第15页，共19页 △DOA∽△BAC, 点D的坐标为 3 3 点Q的坐标为(3,0)： 当D2⊥AD时， D ∠DAQ=∠OAC=30°=∠BCA,∠QDA=∠BAC=90°， A ·△QDAP△BAC, 点D的坐标为35 3 点A的坐标为(2,0)， AD=2 3, AQ=AD 4 c0s30°3， 00=2+410 9 33 10 点的坐标为3 综上，点0的坐标为0)或〔号 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解直角三角形，相似三角形的性质， 等边三角形的性质，第3问分情况讨论是解题的关键， 25.(1)①证明见解析；②∠BFC=∠BAC,理由见解析：(2)BD=9:(3)AD=7N2 2 【分析】本题属于相似形综合题，主要考查平行线的性质、相似三角形的判定和性质、全等 三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质以及四点共圆的应用， 证C,由旋 (1)①油平行线的性质得出△ADB△ABC,由相似三角形的性质得出4D-4B 转的性质得出∠EAC=∠DAB,即可得出△ACE∽△ABD; ②由相似三角形的性质得出∠ABD=∠ACE,再由对顶角相等得出∠FGB=∠AGC,最后由 答案第16页，共19页 三角形内角和定理得出∠BFC=∠BAC; (2)连接CE,先得出∠CBE=90°，由勾股定理求出CE,再证明△CAE≌△BAD,最后根 据全等三角形的性质求解即可； (3)延长AB至点R,使得A=AC,连接AD,根据直角三角形得4C-5 FC 2 BF=AF-AB,BC=√AB+AC2,进一步证明∠ACD=∠BCF,以及点B、点A、点D和 点C四点共圆，即可证明△ADCAFBC,有AD-AC-V ,可得AD. FB FC 2 【详解】(1)①证明：图1中DE∥BC, .△ADE△ABC, .AD AB AB AC 即AD、AB AE AC 将△ADE绕点A旋转任意角度a, .∠EAC=∠DAB, ∴.△ACE∽△ABD. ②解：∠BFC=∠BAC;理由如下： 如图2，作直线CE、BD交于点F,设CF,AB交于点G, B 图2 △ACE∽△ABD, .∠ABD=∠ACE, .∠FGB=∠AGC, ∴.∠BFC=∠BAC: (2)解：连接CE, 答案第17页，共19页 图3 ∠BAC=90°，AB=AC, ∠ABC=45°，BC=√AC2+AB2=6√2， ∠ABE=45°， .∠CBE=∠ABC+∠ABE=90°， ∴CE=VBC2+BE2=9, .∠BAC=∠DAE=90°， .∠CAB+∠BAE=∠DAE+∠BAE, 即∠CAE=∠BAD, 又AB=AC,AD=AE, ·△CAE≌△BAD(SAS), ∴BD=CE=9: (3)解：延长AB至点F,使得AF=AC,连接AD,如图4， D B 图4 ∠BAC=90°， ..CF2=AC2+AF2=2AC2, .CF=√2AC, AC FC2 AB=5,AC=12, ∴BF=AF-AB=7,BC=V√AB2+AC2=V5+122=13, 答案第18页，共19页 ∠BAC=90°， ∠ACF=∠DCB=45°， ,△BCD为等腰直角三角形， .∠DCB=45°，∠BDC=90°， ∴∠ACB+∠ACD=∠ACB+∠BCF=45°， 则∠ACD=∠BCF, ∠BDC=90°，∠BAC=90°， ∴点B、点A、点D和点C四点共圆， 则∠ABC+∠ADC=180°， .∠ABC+∠FBC=180°， ∠ADC=∠FBC, △ADC∽△FBC, 则AD-AC√巨 FB FC 2 则AD=2 72 解得：AD=7V2 2 答案第19页，共19页