精品解析：山东省聊城市东昌府区部分校2024——2025学年第一学期期中考试九年级 数学试题

2024—2025学年第一学期期中考试 九年级数学试题 时间：120分钟 分值：120分 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（　　） A. B. 2 C. 2或 D. 4或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，由一元二次方程的定义可得，由题意又知，联立不等式组，求解可得答案． 【详解】解：根据题意可得： ， 解得． 故选：A． 2. 一元二次方程配方可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的配方，正确掌握完全平方式的特点是正确配方的前提．方程两边都加上4，即可将原方程配方． 【详解】解：， ∴， ∴， 故选：A． 3. 以原点为位似中心，作的位似图形，与的相似比为，若点的坐标为，则点的坐标为( ) A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】解以原点为位似中心，与的相似比为，点的坐标为 点的坐标为或，即或 4. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，点D在的外接圆上，则等于（　　） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得，再利用勾股定理证明是等腰直角三角形，即可求解得出答案． 【详解】解：， ， ， ，即是等腰直角三角形， ， 故选：D 【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理逆运用以及解直角三角形，熟练掌握这些知识点的性质是解题的关键． 5. 如图，在边长为1的正方形网格上有两个相似和，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是找到相似三角形中的对应关系．根据相似三角形的对应角相等和三角形内角和等于，即可得出． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选B． 6. 如图，是某商店售卖的花架简图，其中，，，，则长为（ ） A. B. C. 80 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】根据，得，继而得到求解即可； 【详解】解：， ， ， ，，， 解得； 7. 我们知道方程的解是，现给出另一个方程，它的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把方程看作关于的一元二次方程，用换元法解题即可得到结果． 【详解】把方程看作关于的一元二次方程， ∴或， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程求解方法中的换元法,熟悉换元法的解题步骤是解题关键． 8. 筒车（如图1）是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图2是其示意图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且被水面截得的弦，的半径是．若C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 连接、，交于，由垂径定理得（米），再由勾股定理得（米），然后求出的长即可． 【详解】解：如图，连接、，交于， 由题意得：米，，米， （米），， （米）， 米， 即点到弦所在直线的距离是米， 故选：C． 9. 图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为(　　) A. (54+10) cm B. (54+10) cm C. 64 cm D. 54cm 【答案】C 【解析】 【分析】过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度． 【详解】如图所示， 过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则 Rt△ACE中，AE=AC=×54=27（cm）， 同理可得，BF=27cm， 又∵点A与B之间的距离为10cm， ∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27=64（cm）， 故选C． 【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 10. 如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面的距离为1.6米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是6米，则车宽的长度为（　　）米． A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查视点、视角、盲区的意义，此类问题可以转化为相似三角形的知识进行解答． 通过作高，利用相似三角形的对应高的比等于相似比，列方程求解即可． 【详解】解：如图，过点P作，垂足为M，交于点N， 则， 设米，由得，， ∵四边形是矩形， ， ， ， 即， ， ， ， 解得，， 故选：B． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 若是的一个内角，且有，则等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数问题，先由题中条件，结合特殊角的三角函数值得到，从而确定，再由特殊角的三角函数值求解即可得到答案，熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键． 【详解】解：是的一个内角，且有， ，则， ， 故答案为：． 12. 设m，n是方程的两个实数根，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，先根据根与系数的关系得到，再由进行整体代入计算即可．对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． 【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根， ∴， ∴ ， 故答案为：． 13. 如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，由此列式求解即可． 【详解】解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：小路的宽是． 14. 在小提琴的设计中，经常会引入黄金分割的概念．如图，一架小提琴中AC，BC，AB各部分长度的比满足．若，则的长为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】先依据列方程求解即可． 【详解】解：， ，， ， 解得：，（不合题意舍去） 故选：． 【点睛】本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是根据线段比列方程求解． 15. 如图，将纸片按如图所示的方式折叠，使点落在边上，记为点，折痕为，已知，，，若以为直角三角形，那么的长度是______ ． 【答案】或 【解析】 【分析】根据折叠得到，根据相似三角形的性质得到或，设，则，即可求出的长，得到的长． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴是直角三角形，， 沿折叠和重合， ， 设，则， 当时，， ，， ， 解得：， 则， 当时，，即， 解得：， 则． 故CF或， 故答案是：或． 【点睛】本题主要考查了翻折变换折叠问题，相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解此题的关键． 16. 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为__． 【答案】 【解析】 【详解】试题解析：过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F． ∵AB、BC是⊙O的切线， ∴点E、F是切点， ∴OE、OF是⊙O的半径； ∴OE=OF； 在△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10， ∴由勾股定理，得BC=8； 又∵D是BC边的中点， ∴S△ABD=S△ACD， 又∵S△ABD=S△ABO+S△BOD， ∴AB•OE+BD•OF=CD•AC，即10×OE+4×OE=4×6， 解得OE=， ∴⊙O的半径是． 【点睛】本题考查了切线的性质与三角形的面积．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先将特殊角的三角函数值代入，然后根据二次根式混合法则计算即可求解； （2）先将特殊角的三角函数值代入，然后根据二次根式混合法则计算即可求解； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解下列关于的一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程； （2）用因式分解法解一元二次方程． 【小问1详解】 解：， 移项得：， 提公因式得：， 可得：或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 分解因式得：， 可得：或， 解得：，． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的位似比为； （2）画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； （3）判断和是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点，并写出点的坐标． 【答案】（1）解：如图为所求： （2）解：如图为所求： （3）和是位似图形； 点M的坐标为． 【解析】 【分析】（1）根据位似变换的性质找出对应点即可求解． （2）根据平移变换的性质找出对应点即可求解． （3）根据位似图形的定义即可判断，连接对应点的交点即为位似中心点，写出坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：和是位似图形；图略， 由图可得点M的坐标为． 20. 如图所示，它是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……，第行有个点，…… （1）第一行有1个点，前两行点数和是3，前三行点数和是6，请问前四行的点数和是 ，前行的点数和是 ； （2）探究发现，120是前 行的点数和； （3）三角点阵中前行的点数和能是60吗？如果能请求出；如果不能，试用一元二次方程说明理由． 【答案】（1）10； （2）15 （3）解：不能，理由如下： 根据题意可得：，整理得，． ，即方程的两根均为无理数． 三角形点阵中前行的点数和不能是60． 【解析】 【分析】（1）利用倒序相加求和来解决第二空； （2）根据一元二次方程有正整数解即可判断； （3）根据一元二次方程没有正整数解即可判断． 【小问1详解】 解：前四行的点数分别是：1,2,3,4； 前四行的点数和是：； 前行的点数分别是：1,2,3,4，，, 前行的点数和是：； 【小问2详解】 解：设， 整理得到：， ， 解得：（舍去）， 所以120是前行的点数和； 【小问3详解】 略 21. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）50 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用， （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【小问1详解】 解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得 解得，（不合题意，舍去） 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得 整理，得 解得 因尽可能让顾客得到实惠 所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 22. 为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法． （1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； （2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； （3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下： 如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 【答案】（1） （2）旗杆高度为； （3）雕塑高度为． 【解析】 【分析】本题考查平行投影，相似三角形的应用． （1）根据同一时刻物高与影长对应成比例，进行求解即可； （2）根据镜面反射性质，可求出，得出，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案； （3），由题意得：，，利用相似三角形的性质列出式子，计算即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，由题意得：， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，由题意得，， 根据镜面反射可知：， ，， ， ， ，即， ， 答：旗杆高度为； 【小问3详解】 解：设， 由题意得：，， ∴，， 即，， ∴， 整理得， 解得，经检验符合他 ∴， 答：雕塑高度为． 23. 如图，在四边形中，，，．以点为圆心，以为半径作交于点，以点为圆心，以为半径作所交于点，连接交于另一点，连接． （1）求证：为所在圆的切线； （2）求图中阴影部分面积．（结果保留） 【答案】（1） 解：连接如图， 根据题意可知：， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴在以为直径的圆上， ∴， ∴为所在圆的切线． （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，圆的性质，扇形面积，等边三角形的性质等知识点，证明四边形是平行四边形是解题关键． （1）根据圆的性质，证明，即可证明四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，再根据圆的切线判定定理即可证得结果． （2）先求出平行四边形的高，根据扇形面积公式三角形面积公式，平行四边形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作于点， 由图可得：， 在中，，， ∴， ∴， 由题可知：扇形和扇形全等， ∴， 等边三角形的面积为：， ∴ 24. 【问题发现】 （1）如图1，在等腰直角中，点D是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，使，，连接，则和的数量关系为 　 　； 【拓展延伸】 （2）如图2，在等腰中，，点D是边上任意一点（不与点B，C重合），在的右侧作等腰，使，，连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； 【归纳应用】 （3）在（2）的条件下，若，，点D是射线上任意一点，请直接写出当时的长． 【答案】（1）相等 （2）成立， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴∠； （3）6或2 【解析】 【分析】（1）利用证明 ，得； （2）先证明，再证明得，从而，然后再证明可证结论成立； （3）先证明，再证明得，从而，然后再证明可证结论成立． 【详解】解：（1）相等，∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：相等； （2）略 （3）当点D在线段上时，如图2， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴． 当点D在线段的延长线上时，如图3， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴∠BAD＝∠CAE， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上可知，的长为2或6． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，证明是解（1）的关键，证明是解（2）（3）的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期期中考试 九年级数学试题 时间：120分钟 分值：120分 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（　　） A. B. 2 C. 2或 D. 4或 2. 一元二次方程配方可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 以原点为位似中心，作的位似图形，与的相似比为，若点的坐标为，则点的坐标为( ) A. B. 或 C. D. 或 4. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，点D在的外接圆上，则等于（　　） A. 1 B. C. D. 5. 如图，在边长为1的正方形网格上有两个相似和，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是某商店售卖的花架简图，其中，，，，则长为（ ） A. B. C. 80 D. 30 7. 我们知道方程的解是，现给出另一个方程，它的解是（ ） A. B. C. D. 8. 筒车（如图1）是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图2是其示意图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且被水面截得的弦，的半径是．若C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（） A. B. C. D. 9. 图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为(　　) A. (54+10) cm B. (54+10) cm C. 64 cm D. 54cm 10. 如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面的距离为1.6米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是6米，则车宽的长度为（　　）米． A. B. C. D. 2 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 若是的一个内角，且有，则等于__________． 12. 设m，n是方程的两个实数根，则的值为_______． 13. 如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是_______． 14. 在小提琴的设计中，经常会引入黄金分割的概念．如图，一架小提琴中AC，BC，AB各部分长度的比满足．若，则的长为___________． 15. 如图，将纸片按如图所示的方式折叠，使点落在边上，记为点，折痕为，已知，，，若以为直角三角形，那么的长度是______ ． 16. 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为__． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解下列关于的一元二次方程： （1）； （2）． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的位似比为； （2）画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； （3）判断和是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点，并写出点的坐标． 20. 如图所示，它是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……，第行有个点，…… （1）第一行有1个点，前两行点数和是3，前三行点数和是6，请问前四行的点数和是 ，前行的点数和是 ； （2）探究发现，120是前 行的点数和； （3）三角点阵中前行的点数和能是60吗？如果能请求出；如果不能，试用一元二次方程说明理由． 21. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 22. 为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法． （1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； （2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； （3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下： 如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 23. 如图，在四边形中，，，．以点为圆心，以为半径作交于点，以点为圆心，以为半径作所交于点，连接交于另一点，连接． （1）求证：为所在圆的切线； （2）求图中阴影部分面积．（结果保留） 24. 【问题发现】 （1）如图1，在等腰直角中，点D是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，使，，连接，则和的数量关系为 　 　； 【拓展延伸】 （2）如图2，在等腰中，，点D是边上任意一点（不与点B，C重合），在的右侧作等腰，使，，连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； 【归纳应用】 （3）在（2）的条件下，若，，点D是射线上任意一点，请直接写出当时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $