1.4 充分条件与必要条件 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以“概念理解-辨析应用-综合论证”为梯度，分层覆盖充分条件与必要条件核心考点，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（单选+多选）|单一概念辨析（充分/必要/充要条件判断）|通过命题、方程等情境强化概念理解，培养推理意识| |提升层（填空）|条件关系逆向应用（参数范围求解）|结合绝对值、集合知识，发展抽象能力与运算能力| |综合层（解答）|充要条件证明与综合应用（方程根、集合关系）|通过证明题与应用题，提升逻辑推理与模型观念|

1.4充分条件与必要条件 同步练习卷 一、单选题：共8小题，每题5分，共40分 1. 下列命题中的真命题是（    ） A．互余的两个角不相等 B．相等的两个角是同位角 C．若，则 D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角 2. 若，则“”是“”的（ ） 充分条件 必要条件 充要条件 既不充分也不必要条件 3. “a<b”是“a2<b2”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4. “”是“”的（       ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5. 设，命题，命题，则是的 (　　) .充分不必要条件 .必要不充分条件 .充分必要条件 .既不充分也不必要条件 6. 设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 7. =的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 8. 方程与有一个公共实数根的充要条件是（     ） A． B． C． D． 二、多选题：共3小题，每题6分，共18分 9. 若关于的方程至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 10. 已知x∈R，y∈R，下列各结论中正确的是（       ） A．“xy>0”是“”的充要条件 B．“x>y”是“”的充要条件 C．“x≠0”是“xy≠0”的必要不充分条件 D．“x+y=0”是“”的充分不必要条件 11. 下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题：共3小题，每题5分，共15分 12. 若“”是“|x|<1”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是___________ 13. 已知.若是的必要条件，则实数的取值范围是________. 14. “k>4，b<5”是“一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴”的_______条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 四、解答题：共5小题，共77分 15. 设a，b，，求证：关于x的方程有一个根是1的充要条件为. 16. 证明：“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件. 17. 集合． (1)若，求； (2)若是的必要条件，求实数m的取值范围． 18. 已知集合 （1）判断8，9，10是否属于集合A； （2）已知集合，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件； （3）写出所有满足集合A的偶数. 19. 已知集合，集合.若命题，命题，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4充分条件与必要条件 同步练习卷 一、单选题：共8小题，每题5分，共40分 1. 下列命题中的真命题是（    ） A．互余的两个角不相等 B．相等的两个角是同位角 C．若，则 D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角 【答案】C 【详解】对于A，互余的两个角可能相等，比如都为，故A错误； 对于B，相等的两个角可以是对顶角，故B错误； 对于C，若，则，即或，则，故C正确； 对于D，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，故D错误； 故选：C 2. 若，则“”是“”的（ ） 充分条件 必要条件 充要条件 既不充分也不必要条件 【答案】 【详解】当时，成立，因此“”是“”的充分条件；当时，，所以不一定成立，因此“”不是“”的必要条件.所以“”是“”的充分条件， 故答案选. 3. “a<b”是“a2<b2”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】若，，则满足，不满足； 由可得，不能推出， 所以“a<b”是“a2<b2”的既不充分也不必要条件. 故答案选D. 4. “”是“”的（       ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】时或，所以“”是“”的必要而不充分条件， 故选B. 5. 设，命题，命题，则是的（      ） .充分不必要条件 .必要不充分条件 .充分必要条件 .既不充分也不必要条件 【答案】 【详解】若，即有； 若，显然有； 若，则， 而，，所以， 故可以推出． 若，当时，如果，不等式显然成立，此时有； 如果，则有，因而； 当时，，此时有， 因而，故可以推出． 故选：． 6. 设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 【答案】A 【详解】因为集合是集合的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 7.=的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于选项A，因为，显然=没意义，根据充分条件的定义知，选项A不是充分条件； 对于选项B，当时，=成立；而当=成立时，a≥0，b>0. 根据充分条件的定义知，选项B是充分条件； 对于选项C、D，由可知，=没意义，所以选项C、D不是充分条件； 8. 方程与有一个公共实数根的充要条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】方程有实根，故， 解得或. 方程有实根，故， 解得. 综上所述，，只有D选项符合. 若方程与有一个公共实数根，设公共实根为， 则，两式相减得， 由于，所以， 所以. 当时，两个方程分别为、， 方程的两个根为； 方程的两个根为； 即方程与有一个公共实数根. 综上所述，方程与有一个公共实数根的充要条件是. 故选：D 二、多选题：共3小题，每题6分，共18分 9. 若关于的方程至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为方程至多有一个实数根， 所以方程的判别式， 即：，解得， 利用必要条件的定义，结合选项可知，成立的必要条件可以是选项B和选项C. 故选：BC 10. 已知x∈R，y∈R，下列各结论中正确的是（       ） A．“xy>0”是“”的充要条件 B．“x>y”是“”的充要条件 C．“x≠0”是“xy≠0”的必要不充分条件 D．“x+y=0”是“”的充分不必要条件 【答案】AC 【详解】因为与等价，故“xy>0”是“”的充要条件，A正确； 因为，，推不出，故B错误； 因为当，时推不出xy≠0，当时，能推出， 所以“x≠0”是“xy≠0”的必要不充分条件，C正确； 由可得，当满足时，才可得，即推不出， 反之，当时，可得，即，所以“x+y=0”是“”的必要不充分条件，故D不正确. 故选：AC 11. 下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【详解】对于A选项，取，，则，但，即“”不是“”的必要条件； 对于B选项，若，则，即“”是“”的必要条件； 对于C选项，若，则，即“”是“”的必要条件； 对于D选项，若，则，即“”是“”的必要条件. 故选BCD. 三、填空题：共3小题，每题5分，共15分 12. 若“”是“|x|<1”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是___________ 【答案】 【详解】 是的必要不充分条件, , 实数的取值范围是, 故答案为： . 13. 已知.若是的必要条件，则实数的取值范围是________. 【答案】 【详解】设集合， 由是的必要条件，则，即 所以 ，解得 故答案为： 14. “k>4，b<5”是“一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴”的_______条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 【答案】充要 【详解】当k>4，b<5时，函数y=(k-4)x+b-5的图象交 x轴于，交y轴于，因为，，所以图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴． 由一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，即x=0，y=b-5<0，所以b<5．当y=0时，x=>0，因为b<5，所以k>4． 故填：“充要”． 四、解答题：共5小题，共77分 15. 设a，b，，求证：关于x的方程有一个根是1的充要条件为. 【详解】充分性：，， 代入方程得，即． 关于的方程有一个根为； 必要性：方程有一个根为，满足方程， ，即． 故关于的方程有一个根是的充要条件为． 16. 证明：“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件. 【详解】充分性：若，则关于的方程有一正一负根，证明如下： 当时，， 所以方程有两个不相等的实根， 设两根分别为，，则，所以方程有一正一负根， 故充分性成立， 必要性：若“关于的方程有一正一负根”，则，证明如下： 设方程一正一负根分别为，，则， 所以，所以若“关于的方程有一正一负根”，则， 故必要性成立， 所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件. 17. 集合． (1)若，求； (2)若是的必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，；(2) 【详解】(1)当时，，又， 所以，； (2)因为是的必要条件，所以，即， 所以有，解得， 所以实数m的取值范围为. 18. 已知集合 （1）判断8，9，10是否属于集合A； （2）已知集合，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件； （3）写出所有满足集合A的偶数. 【答案】（1），，；（2）证明见解析；（3）所有满足集合A的偶数为． 【详解】（1），，，， 假设，，则，且， ∴，则或，显然均无整数解， ∴， 综上，有：，，； （2）集合，则恒有， ∴，即一切奇数都属于A，又，而 ∴“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件； （3）集合，成立， ①当m，n同奇或同偶时，均为偶数，为4的倍数； ②当m，n一奇，一偶时，均为奇数，为奇数， 综上，所有满足集合A的偶数为． 19. 已知集合，集合.若命题，命题，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】. 【详解】由题意得，⫋，由集合得，.(*) ①当时，由(*)得，， 因为⫋，所以，解得 ②当时，由(*)得， 因为⫋，所以，解得，综上，实数的取值范围是 学科网（北京）股份有限公司 $