云南文山州马关县第一中学校2025-2026学年高二下学期第二次月考数学试卷

马关县第一中学2026年春季学期高二年级第二次月考试卷 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．集合，，则 A． B． C． D． 2．复数满足，则在复平面内，复数对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．如图1，在正方形中，为的中点，若，则的值为 A． B． C．-2 D．2 4．函数在区间内的取值不可能为 A．2 B．1 C． D．1.8 5．不良的习惯往往会对学习成绩造成一定的影响．一到周末，李明同学就会在电子游戏、看小说、追网剧三项中等可能的选择一个项目沉浸进去．若三个项目对下一次考试成绩造成下降的概率分别为、、，则李明同学在下一次考试中成绩下降的概率为 A． B． C． D． 6．已知函数与的图象在处的切线重合，则 A． B． C． D． 7．已知双曲线C：，其一条渐近线被圆截得的弦长为 A． B． C． D． 8．已知数列满足，，则 A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列各叙述正确的为 A．数据1，3，5，7，9的第40百分位数为4 B．甲乙等5个人站成一排拍照，则甲乙不相邻的站法数为72种 C．若随机变量X~，则， D．已知函数和的定义域相同，则“函数与均为增函数”是“函数为增函数”的充要条件 10．已知抛物线C：，过焦点的直线交于点，，则 A．的坐标为 B． C．的最小值为3 D． 11．若数列满足：存在正整数，使得时，恒有（为常数），则称数列为“阶等和数列”，其中为该数列的“阶和”．已知无穷数列是“3阶等和数列”，，，，且“阶和”，记数列的前项和为，则下列说法正确的是 A． B．任给正整数，都有 C．存在无穷多个正整数，使得 D．当，且的前项和为2026时， 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．在的展开式中，的系数是_____（用数字作答） 13．已知随机变量~，且，若（，），则的最小值为_____． 14．在三棱锥中，为正三角形，，，平面平面，则三棱锥外接球的体积为_____． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 已知内角，，的对边分别为，，，若，且． （1）求角及边的值； （2）求的最大值． 16．（本小题满分15分） 某市共有10所重点大学可供考生选择，其中3所为985高校，5所为211高校，另外2所为特色专业高校．一位考生准备从这10所高校中随机选择4所进行志愿填报，每所高校被选中的概率相同． （1）求该考生恰好选到2所985高校的概率； （2）若该考生选到985高校的数量为，求随机变量的分布列和数学期望． 17．（本小题满分15分） 如图2，已知平面，底面为矩形，，，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 18．（本小题满分17分） 已知函数，． （1）求的极值； （2）若在上单调递增，求实数的取值范围； （3）当时，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 19．（本小题满分17分） 已知椭圆C：（）的离心率为，且点在上，为坐标原点． （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于A，B两点． （ⅰ）若点的坐标为，证明：； （ⅱ）若，当时，求弦长的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 马关县第一中学2026年春季学期高二年级第二次月考试卷 数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A B B C A D 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 题号 9 10 11 答案 ABC BD ABC 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 10 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 解：（1）因为， 所以由余弦定理得．（2分） 因为，解得．（4分） 由，结合正弦定理得，（6分） 所以．（7分） （2）由（1）知，（9分） 两边都加上，可得， 即，当且仅当时等号成立，（11分） 所以时，取得最大值为8．（13分） 16．（本小题满分15分） 解：（1）从10所高校中，任取4所，共有种取法， 恰有2所985高校的取法为：， 该考生恰好选到2所985高校的概率为．（6分） （2）设为该考生选到985高校的个数，则的取值为0，1，2，3． ， ， ， ，（12分） 则 X 0 1 2 3 P ．（15分） 17．（本小题满分15分） （1）证明：如图2所示：∵取的中点，连接，， 又M、N为、的中点，底面为矩形， 且．（2分） 又且， 且，为平行四边形， ．（4分） 又平面，平面， 平面．（6分） （2）解：由题意，可构建如3图示的空间直角坐标系， 根据题意可得： ，，，，（8分） ，，．（10分） 设是平面的一个法向量， 则，取．（12分） 又是平面的一个法向量，（13分） ， 故平面与平面的夹角的余弦值．（15分） 18．（本小题满分17分） 解：（1），求导得，，（2分） 因为时，，所以在上单调递增．（3分） 因为时，，所以在上单调递减．（4分） 又，故在处取极小值0，无极大值．（5分） （2）函数， 求导得，（6分） 由在单调递增，得在上恒成立， 即在上恒成立， 因此，．（8分） 设，，， 则在上单调递增，于是， 即，（10分） 所以a的取值范围为．（11分） （3）若对任意的，总存在，使得， 则当时，．（12分） 当时，， 即在上单调递增，，（14分） 函数，，， 求导得． 由，得，函数在上单调递减， 则．（16分） 因此，解得， 所以的取值范围为．（17分） 19．（本小题满分17分） （1）解：根据已知条件可得，（2分） 解得，（4分） 所以椭圆C为．（5分） （2）（ⅰ）证明：如图4，当直线与轴重合时，显然成立；（6分） 当直线与轴不重合时，设直线为，，， 联立那么可得，（7分） 根据韦达定理可得，， 那么根的判别式． ，（9分） 由于， 因此， 因此，的倾斜角互补，因此．（11分） （ⅱ）解：（1）由，那么． 那么可得， 由于，因此．（13分） 又由于， 因此，，（14分） ．（16分） 令，那么， ．（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $