3.2 利用导数研究函数的单调性、极值和最值(精讲册)-【实战高考】2026年高考数学总复习（山东专版）

O专题三导数及其应用 ⊙ 怎么学⊙ 本节压轴归纳 考查内容 即品=2-ha>0. 公切线问题 典例若两曲线y=lnx-1与y=a.x存在公 令g(.x)=2.x2-x21nx,x>0,则g'(x)=3x 切线，则正实数a的取值范围是( 2xln x=x(3-2In x), A.(0,2e] B[e,+ 令g(x)=0,得x=e,当x∈(0，e)时， g'(x)>0,g(x)单调递增； C.(0.e-] D.[2e,+oo) 当x∈(e,十o∞)时，g'(x)<0,g(x)单调递 )答案B 解析：设公切线与曲线y=lnx一1和y=ax 减，所以g(x)m=ged)=2C, 的切，点分别为(c1,lnx1一1)，（x2,ax号)，其中 故0,≥ 1 >0,对于y=1nx-1有y-,则切线方 洗题意图 程为y一(Im-1D-(x-),即y- 让学生清楚公切线问题是该直线是两条曲线 +lnx1-2. 的切线，公切线问题应根据两个函数在切点处 对于y=ax2,有y=2ax,则切线方程为y一 的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上， ax吃=2ax2(x-x2),即y=2ax2x-ax吃， 列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组 1=2ac2' 1 进行求解，或者分别求出两函数的切线，利用 所以x 则一 axi =ln-2, (In x-2=-ax2, 两切线重合列方程组进行求解， 3.2利用导数研究函数的单调性、极值和最值 ⊙ 考什么 高效复习必备 核心知识 ①函数单调性的应用；②求函数的极值及函数极值的应用；③求函数的最值及函数最值的应用 我们结合实例可以总结出求可导函数单调区间、极值和最值的一般步骤和方法，并会应用导数 怎么学 解决求单调区间、比较大小、求参数和解不等式等问题，但要注意解决问题前首先要考虑函数的 定义域 主要思想、 ①待定系数法；②数形结合；③分类讨论；④转化与化归 方法 ①在求函数的单调区间和极值时，首先要考虑函数的定义域；②当求出函数的单调区间有多个 易错警示 时，不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开，③混淆极值与极值点的概念而致错 199 讲解 实战高考·数学 学什么人 考点内容梳理 ⊙ 考点①函数的单调性（高考6年2考） 函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 f(x)>0 f(x)在区间(a,b)上单调递增 函数y=f(x)在 f(x)<0 f(x)在区间(a,b)上单调递减 区间(a,b)上可导 f(x)=0 f(x)在区间(a,b)上是常数函数 注意)讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先” 原则。 知识拓展 1.若函数f(x)在(a,b)上单调递增，则当x∈(a,b)时，f(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a,b)上 单调递减，则当x∈(a,b)时，f(x)≤0恒成立 2.若函数f(x)在(a,b)上存在单调递增区间，则当x∈(a,b)时，f(x)>0有解；若函数f(x)在 (a,b)上存在单调递减区间，则当x∈(a,b)时，f(x)<0有解. 考点2导数与函数的极值、最值（高考6年3考） 1.函数的极值与导数 f'(xo)=0 条件 x附近的左侧f(x)>0,右侧f(x)<0 x附近的左侧f(x)<0,右侧f(x)>0 UA f(co)---- 图象 形如山峰 形如山谷 极值 f(x)为极大值 f(xo)为极小值 极值点 x为极大值点 x为极小值点 注意)f(xo)=0是xo为可导函数f(x)的极值，点的必要不充分条件.如：f(x)=x3,f(0)=0,但 x=0不是极值，点 2.函数的最值与导数 (1)如果在区间[α，b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最 小值； (2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数 f(x)在[a,b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值. 200 O专题三导数及其应用 题型各个击破 题型一利用导数解决函数单调性问题 (2)设a>0,若函数f(x)=xnx一x2十x在区间 题型解读 (a,十∞)上单调，则a的取值范围是 1.利用导数判断函数单调性的步骤 )答案(1)D(2)[1,+∞) 第1步，确定函数f(x)的定义域； 解析：(1)函数定义域为R,且f(一x)= 第2步，求出导数f(x)的零点； }(-)+(-x0sin(-)+s(-x)=}r 第3步，用f(x)的零点将f(x)的定义域划 +xsin x+cos x=f(x), 分为若干个区间，列表给出f(x)在各区间 故函数f(x)为偶函数. 上的正负，由此得出函数y=f(x)在定义域 内的单调性. 又在(o,号x上了(m)=x(侵十osz>0,即 2.由函数的单调性比较大小的方法 (1)若已知函数解析式比较函数值的大小， f)在(0，号x上单调递增， 首先要判断已知函数的单调性，然后根据单 因为a=f(loge)=f(-log2e)=f(log2e),且 调性比较大小。 0sin1<1<loge<lge8=号<号， (2)若是比较数值的大小，其关键是利用题 目条件中的不等关系构造辅助函数，并根据 所以f(sin1)<f(log影e)<f(),即a<c 构造的辅助函数的单调性比较大小 (2)f(x)=lnx+1-2x+1=lnx-2x十2， 3.由函数的单调性求参数的取值范围的方法 (1)函数在区间(a,b)上单调，实际上就是在 设g()=lnx-2z十2，则g(x)=是-2= 该区间上f(x)≥0（或f(x)≤0）恒成立， 1一2江，故g在（分，十∞上单调递减 列出关于参数的不等式，从而转化为求函数 的最值的问题，求出参数的取值范围。 又f(1)=0,可知f(x)在区间(2,1上单调 (2)函数在区间(a,b)上存在单调区间，实际 递增，在区间(1，十∞)上单调递减，故(a 上就是f(x)>0(或f(x)<0)在该区间上 十∞)二(1，十∞)，a的取值范围是[1，十∞). 存在解集，从而转化为不等式问题，求出参 解题技法 数的取值范围， 根据函数单调性求参数的一般思路： (3)若已知f(x)在区间I上的单调性，则当 (1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在 区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单 (a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的 调区间，令I是其单调区间的子集，从而求 子集 出参数的取值范围 (2)f(x)在区间(a,b)上单调递增的充要条件 奥m1)已知函数f(x)=寻2+xsin十 是对任意的x∈(a,b)都有f(x)≥0且在(a, cos x,a=f (loge),b=f (sin 1),c= b)内的任一非空子区间上，f(x)不恒为零，应 注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解 f(2)则( ) 但有时等号取不到或f(x)=0恒成立， A.b>a>c B.abc (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为 C.a>c>b D.c>a>b 不等式有解问题. 201 讲解 实战高考·数学】 题型日利用导数解决函数极（最）值 (1)求a的值； 题型解读 (2)求f(x)的极值： 1.求函数的极值或极值点的步骤 解：(1)因为f(x)=x(a十lnx),x>0, (1)确定函数f(x)的定义域； 所以了(x)=a+lnx+x·是=lnx+a十 (2)求导数f(x),求方程f(x)=0的根； 1,x>0. (3)检查在方程的根的左右两侧f(x)的符 由题意f(e)=4→lne十a十1=4→a=2. 号，确定极值点和函数的极值， (2)因为f(x)=x(2十lnx),x>0, 2.求不含参的函数f(x)在[a,b]上的最值的方法 所以f(x)=lnx十3，x>0. (1)若函数在区间[a,b]上单调递增或单调 由f(x)>0→lnx+3>0→x>e-3; 递减，则f(a)与f(b)中，一个为最大值， 由f(x)<0→lnx+3<0→0<x<e3 一个为最小值 所以函数f(x)在(0，e3)上单调递减，在 (2)若函数在闭区间[a,b]内有极值，则要 (e3,十o∞)上单调递增. 先求出[a,b]内的极值，再与f(a),f(b)比 所以当x=e3时，函数取得极小值，且f(e3) 较，最大的是最大值，最小的是最小值 (3)若函数f(x)在区间(a,b)上有唯一 =e·[2+(-3]=- 个极值点，则函数在该极值点处取得最大或 解题技法 最小值 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义 典例2已知函数f(x)=x(a十nx),曲线 域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的 y=f(x)在点(e,f(e))处的切践与y=4x-1平行. 单调性，从而得到函数f(x)的最值. 题型目三次函数的性质研究 题型解读 a>0 a<0 f(x) 图象 X1 2 A>0 △≤0 △>0 A≤≤0 ↑y f(x) 2 2 图象 增区间为（一∞，x1), 增区间为(x1,x2), (x2,十∞)，减区间为 减区间为（一∞，x1), f(x)≥0恒成立， f(x) (C1,C2), f(x)在R上单调递 (x2,+∞)，f(x)有两f(x)≤0恒成立，f(x)在R 性质 f(x)有两个极值点， 个极值点， 上单调递减，f(x)无极值点 增，f(x)无极值点 极大值为f(x),极小 极大值为f(x2),极小 值为f(x2) 值为f(x1) 202 O专题三导数及其应用 典的已知函数f(x)=号x(x-3)2-a-1 则原不等式等价于f(ln(3-x)<f(xo)台 In(3-x)<xo. (a>0)有两个零点. 考虑到三次函数图象极值点附近的非对称性： (1)求a的值； 令h(x)=f(2-x)-f(x)=-2x3+6x2-6x (2)证明：当1<x<3时，f(ln(3-x))< +2, f(x). 则h'(x)=一6(x一1)2<0，故h(x)在 (1)解：因为f(x)=号x(x-3)2-a-1(a> (1,2)上单调递减，h(x)<h(1)=0. 0), 所以f(2一x)<f(x),所以x>2-x, 故只需证ln(3-x)<2-x<xo,令g(x) 则f)-号x一3》2+号(-3》=ax1)· =In x-x+1, (x-3), 当1<<2时，g(x)=1二<0，故g()在 由于a>0,当x<1或x>3时，f'(x)>0;当 1<x<3时，f(x)<0. (1,2)上单调递减。 所以函数f(x)的单调递增区间为（一∞，1）、 所以g(x)<g(1)=0,所以ln(3-x)<2-x< (3,十∞)，单调递减区间为(1,3). xo,故原不等式得证. 因为函数f(x)有两个零点，则f1)=智-a 解题技法 破解三次函数有关问题的关键： -1=号-1=0或f3)=-a-1=0, (1)会求导，能利用求导法则，求出三次函数的 导数 解得a=3或a=-1(舍)，故a=3. (2)会判断单调性，借助导数的工具性，判断导 (2)证明：当x∈(1,3)时，ln(3-x)<ln2<1, 函数（二次函数）的符号，从而得到单调区间、 结合函数单调性知，当2≤x<3时，ln(3一x) 极值。 ≤0，f(x)>-4,f(1n(3-x)≤-4， (3)会列不等式组，根据零点个数，列出参数满 此时不等式成立 足的不等式组，解不等式组，得到参数的取值 下面证明1<x<2时的情况，设0<x<1,满 范围. 足f(x)=f(xo), ⊙ 怎么学 本节压轴归纳 考查内容 f()-In- 极值点偏移问题 典例已知函数f(x)=(x一a)lnx一x. 因为y=nx,y=一e均在(0，十o∞)上单调 (1)当a=e时，求f(x)的单调区间， 递增， (2)设x1,x2(x1<x2)是f(x)的两个极值点. 则f(x)=lnx一e在(0，十o∞)上单调递增. ①求证：a十x2> e 又f(e)=0, ②求证.21+ae<2-<e2+2a+1, 所以x∈(0，e),f(x)<0,x∈(e,+∞)， e f(x)>0, (1)解：当a=e时，f(x)=(x-e)lnx-x, 所以f(x)在(0，e)上单调递减，在(e,十∞)上 203 讲解册 实战高考·数学 单调递增. 因为g'(1)=1,g'(e2)=1+1ne2=-1,且 (2)证明：①依题意f(x)=lnx一2=0的两 g(1)=0,g(e2)=-2e2, 则g(x)在点(1,0)和(e2,-2e2)处的切线 根为，x2,即a=xlnx的两根为x1,2, 令g(x)=xlnx,g'(x)=1十lnx=0, 分别为y=x一1和y=一x一e2, 得x=日，且x∈(o,）g(x)<0,x∈ 令y=a,得x3=-a-e2,x4=a十1， 再证明xlnx>x一1恒成立， (2,+∞），g(x)>0, 设G(x)=xlnx-x+1,则G(x)=lnx,令 G(x)=0,解得x=1, 则g()在(0，)上单调递减，在（日，+∞）上 且x∈(0,1)时，G(x)<0,此时函数g(x)单调 单调递增，则0<<<<1. 递减； x∈(1，十∞)时，G(x)>0,此时函数g(x)单 令A=g2--g()0<<君)， 调递增。 则()=-ln(-r+是-2>0，所以h() 则G(x)>G(1)=0,则xlnx>x-1恒成立， 再证明xlnx≥一x一e2恒成立， 在(0，是)上单调递增，所以h(x)<n()=0, H(x)=xln x+x+e 2,H'(x)=In x+2, 所以s(急-a)人ga)-g(. 则当x∈(0，e2)时，H'(x)<0,H(x)单调递 减；当x∈(e2,+o∞)时，H'(x)>0,H(x)单 又名->>8在(+∞上单 调递增.则H(x)≥H(e2)=0恒成立，所以 调递增， x2-x1<x4-x3=e2十2a十1，从而右边 所以尽-a<,即十>名 得证， 选题意图 ②由>是-，要证明-4>2a, e 极值点偏移问题的一般题设形式： 只需证名-2>2w中ac, (1)函数f(x)存在两个零点x1,x2且x1≠x2, e 求证：1+x2>2x(x为函数f(x)的极值 即证明l-ex√1+ae,即证明ex-2x1>a 点)； =xlnx1,即证明e一2>lnx1, (2)函数f(x)中存在x1,x2且x≠x2,满足 即证明e1一l>lnex1,设F(x)=x-lnx f(x)=f(x2),求证：x1+x2>2x(x为函数 1,x∈(o,), f(x)的极值点)； 则F()=,则当x(0,)时，F(x)< (3)函数f(x)存在两个零点01，x2且≠x2, 令=西型，求证f(w)>0 0,则F(x)在(0，)上单调递减， 2 (4)函数f(x)中存在1，x2且x卡x2,满足 则F(x)>F()=>0，则x-nx-1>0 f)=f(2),令=西，求证：f() 2 在(0，)上恒成立，从而左边得证 >0. 204