第二章 导数 第4节 利用极值研究函数的零点讲义-2026-2027学年度高三数学一轮总复习

该高中数学讲义聚焦导数应用中“利用极值研究函数零点”这一高考核心考点，以典例为引领，通过基础零点个数判断、参数范围求解、区间限制下零点问题等层级构建知识网络，结合考点梳理、方法指导、真题训练（含2020新课标3卷等高考题）的教学环节，帮助学生系统掌握函数零点与极值关系的分析方法。 资料采用“典例建模—分层突破—真题验证”的创新教学策略，如典例1通过求导分析函数极值点，引导学生用数学思维构建零点个数与极值正负的逻辑关系，培养模型观念与应用意识。设置从基础到综合的9道针对练习及变式题，配合即时反馈，确保高效突破难点，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第4节 利用极值研究函数的零点 【典例1】已知函数有两个零点，求实数的取值范围． 【解析】（方法1）:令，即，设，则． 当时，，为减函数； 当时，，为增函数． 所以在处有极大值，也是最大值.易知，当且时，，当时，．因为函数有两个零点，所以曲线与直线有两个交点，所以，即实数的取值范围是． （方法2）:.当时，，为减函数；当时，，为增函数，所以在处有极大值，也是最大值.当且时，，当时，，因为函数 有两个零点，当时，， 只有一个零点，不合题意，所以． 综上，实数的取值范围是． （方法3）:令，得，设，则，若，则，在上为增函数，最多一个零点，不合题意． 故，当时，，为增函数； 当时，，为减函数，所以在处有极大值 ，也是最大值.当且时，，当 时，.因为函数有两个零点，即有两个零点，所以，得． 综上，实数的取值范围是． （方法4）:令，得，设，当直线与曲线相切时，设切点为，则，，由消去，得，所以，因为有两个零点， 所以直线与曲线有两个交点，所以 实数的取值范围是． 【针对练习1-1】已知函数 有两个零点，则非零实数的值为 ． 【解析】，当，或时，，为增函数；当时，，为减函数，所以在处有极大值，在处有极小值.因为函数有两个零点，所以极大值或极小值为，所以，或，即或，解得（舍去），或． 【针对练习1-2】若函数在上有两个零点，则实数的取值范围是 ． 【解析】方法1：，令，即，解得，此时为增函数；令，即，解得，此时为减函数； 所以在处有极小值，也是最小值． 又时，，时，，， 所以，因为函数在上有两个零点，所以 ，解得，即实数的取值范围是． 方法2：令，得，设，则， 令，即，解得，此时为增函数； 令，即，解得，此时为减函数； 所以在处有极小值.又时 ，，时，，，所以，因为函数在上有两个零点，直线与曲线有两个交点，所以，即实数的取值范围是． 【针对练习1-3】若函数有唯一零点，求实数的取值范围． 【解析】，由，得，或，此时为增函数；由，得，此时为减函数.所以在处取得极小值，在处取得极大值.因为有且只有一个零点，所以，或，得或，即实数的取值范围是． 【针对练习1-4】设三次函数有个零点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【解析】． 若，由，得，或，此时为增函数；由，得，此时为减函数.所以在处取得极大值，在处取得极小值.因为函数有个零点，所以，得． 若，由，得，此时为增函数； 由，得，，或，此时为减函数． 所以在处取得极小值，在处取得极大值，此时函数只有个零点，不合题意． 综上，实数的取值范围是．故选C． 【针对练习1-5】已知函数有个零点，求实数的取值范围． 【解析】令，即，令，则，当或时，，单调递增；当时，，单调递减，所以有极大值，极小值.因为有个零点，所以曲线与直线有个交点，所以实数的 取值范围是． 【针对练习1-6】若函数有个零点，求实数的取值范围． 【解析】方法1（分离参数法）：令，得，令，则 ，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以有极大值.又且时，；时，.由题意，函数有个零点，所以曲线 与直线有个交点，所以实数的取值范围是． 方法2（参数讨论法）：. 当时，，在上为增函数，至多一个零点，不合题意. 当时，令，得，此时为增函数；令，得，此时为减函数；当时，.所以有极大值． 因为函数有个零点，且时，；时，，所以，即，解得． 方法3（切线法，数形结合）：令，得，作出函数与的图象，当直线与曲线相切时，设切点为，则，由得，所以，因为函数有个零点，所以直线与曲线有两个交点，由图易知，． 【针对练习1-7】若函数在上恰有个零点，则实数的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 【解析】. 当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以在处有极小值，因为在上有个零点，所以解得因为 ，所以，所以.故选 C． 【针对练习1-8】已知函数，，. （I）若时，在上恒成立，求的取值范围； （II）若时，函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围. 【解析】（I）当时，“在上恒成立”等价于“恒成立”.令，则只需.因为，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以 ，所以，即实数的取值范围是. （II））当时，，，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以有极小值.又，，则 ，所以，因为函数在区间上恰有两个零点，所以即解得的取值范围是. 【针对练习1-9】（2020新课标3卷，文科）已知函数． （1）讨论的单调性；（2）若有三个零点，求的取值范围． 【解析】（1）．，时，，在递增，时，令，解得或，令，解得，所以在上递增，在上递减，在上递增． 综上，时，在递增，时，在上递增，在上递减，在上递增． （2）由（1）得：，的极小值为，极大值为，若有三个零点，只需解得，故． 【针对练习1-10】（2021甲卷，文科）设函数，其中． （1）讨论的单调性；（2）若的图像与轴没有公共点，求的取值范围． 【解析】（1），，因为，所以，所以在上，，单调递减，在上，，单调递增． 综上所述，在上单调递减，在上单调递增． （2）由（1）可知，，因为的图像与轴没有公共点，所以，所以，所以的取值范围为． 【例2】已知函数，若有两个零点，求的取值范围． 【解析】方法1：（讨论参数法）：． 若，，在上递增，最多一个零点，不合题意． 若，当时，，在上递增；当时，，在上递减．所以的极小值，得，又时，，时，，此时有两个零点． 故有两个零点时，的取值范围是． 方法2（分离参数法）：令，显然不是的零点，所以，令，则，当，或，，递减，当时，，递增，有极小值． 当且时，；当且时， ；当时，．因为有两个零点，所以的取值范围是． 方法3（利用切线）：令，得，设直线与曲线相切于点，则，得，因为有两个零点，所以，故的取值范围是． 【变式2-1】已知函数，讨论的零点个数. 【解析】方法1（分离参数法）：由，得，由，得时，，递增；当时，，递减，所以有极小值．当时，；当时， ． 所以当时，无零点；当或时，有唯一零点；当时，有两个零点． 方法2（利用切线）：当时，显然有唯一零点． 当时，由，得，设直线与相切于点，则，所以，得，所以，当即时，无零点；当或即或时，有唯一零点；当即时，有两个零点． 综上知， 当时，无零点；当或时，有唯一零点；当时，有两个零点． 【变式2-2】已知函数，，讨论的零点个数． 【解析】方法1（讨论参数法）：． 当时，，在上递增，且当时，；当时，，所以有唯一零点． 当时，由，得，递增；由，得，递减，所以有极大值，得．当时，；当时，．所以当时，无零点，当或时，有唯一零点，当时，有两个零点． 方法2（分离参数法）：由，得，令，则，当时，，递减；当时，，递增，所以有极大值． 当时，；当时，．所以当时，无零点，当或时，有唯一零点，当时，有两个零点． 方法3（利用切线）：当时，显然有唯一零点． 当时，由，得，设直线与相切于点，则，所以，得，所以．当即时，无零点；当或即或时，有唯一零点；当即时，有两个零点． 综上知， 当时，无零点，当或时，有唯一零点，当时，有两个零点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $第二章导数 第4节利用极值研究函数的零点 几刘=血x+1 【典例1】已知函数 x有两个零点，求实数的取值范围. 【针对练习1-1】已知函数人)=r-3r-0有两个零点，则非零实数Q的值为 【针对练习1-2】若函数)=e-2x-k在R上有两个零点，则实数k的取值范围是 动=-9x+6r+ 【针对练习1-3】若函数 2 有唯一零点，求实数a的取值范围. 【针对练习1-4】设三次函数)=r-3ar+l有3个零点，则实数a的取值范围是( a（》ege保 D.(0,2) 【针对练习1-5】已知函数 132+5- fx)=。x3 32 有3个零点，求实数m的取值范 围 【针对练习1-6】若函数)=血x-c有2个零点，求实数k的取值范围. )=nx+x2-3x 【针对练习1-7】若函数 4一2-“在，4利上拾有2个零点，则实 a的 取 值 范 围 是 A. 2-2引g2-2)a2-2 p2-2别 23 【针对练习1-8】已知函数(=x2-mlnx,)=x2-x+a,m,a∈R (1)若a=0时，()≥8)在(1，+∞)上恒成立，求m的取值范围： (I)若m=2时，函数{刈=()-8)在区间[1,3]上恰有两个零点，求a的取值 范围. 【针对练习1-9】(2020新课标3卷，文科)已知函数)=x-cx+K2 (1)讨论八)的单调性：(2)若)有三个零点，求k的取值范围. 【针对练习1-10】(2021甲卷，文科)设函数八)=Q2x+a-3血x+1,其中 a>0. (1)讨论)的单调性；(2)若y=()的图像与x轴没有公共点，求口的取值范 围. 【例2】已知函数儿x)=e'-(x+2),若八)有两个零点，求a的取值范围. 【变式2-1】己知函数八)=e+e,讨论8)=几)-(a∈R)的零点个数 【变式2-2】已知函数)=x-ae,a∈R,讨论八)的零点个数. 4