第二章 导数 第1节 导数的概念（几何意义）与计算 讲义-2026-2027学年度高三数学一轮总复习

该高中数学讲义聚焦导数的概念、几何意义与计算等高考核心考点，按基本计算（求导公式、法则、复合函数）到几何意义（切线斜率、方程求解）的逻辑架构展开，通过考点梳理、方法指导（如复合函数求导步骤、切线问题三环节）、真题训练（含2024年全国甲卷等真题）帮助学生突破难点，体现复习的系统性和针对性。 资料采用分层教学策略，典例引领结合梯度练习（如基础切线方程到综合公切线问题），注重培养数学思维（逻辑推理求导法则）和数学语言表达（规范书写切线方程）。设计“拐点”探究等创新活动，通过即时反馈和真题演练，确保学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

2026-2027学年度高三数学总复习 第二章 导数 第1节 导数的概念（几何意义）与计算 一、导数的基本计算 1．求导公式 (1)(为常数)；(2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)； (11) ． 2．求导法则 (1)； (2)； (3)(为常数)； (4)； (5)． 3.复合函数的求导方法： 令，则． 【典例1】计算：（1） ；（2） ． 【解析】（1），（2）． 【针对练习1-1】已知，求方程的实数根． 【解析】由，得，又，所以． 【针对练习1-2】等比数列中，，，，则（ ） A． B． C． D． 【解析】，其中，，，为的系数，则，所以．因为是等比数列，所以，所以．故选C． 【针对练习1-3】已知的导函数为，且满足，则 ． 【解析】由，得，则，所以，所以． 【针对练习1-4】已知函数，且，求的最大值． 【解析】，由，得，即，所以，当且仅当时取等号． 【针对练习1-5】对于三次函数，定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数根，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数的图象都有对称中心，且函数的“拐点”就是其图象的对称中心．现给定函数． （1）根据该同学的发现，求函数图象的对称中心坐标； （2）请根据图象的对称中心计算的值． 【解析】（1）依题意，得，，令，解得，所以，即得图象的对称中心坐标为． （2）设，是图象上关于点对称的两点，由中点公式得即所以由，得， 由，得， 由，得， …… 由，得， 所以． 二、导数的几何意义 1.函数在处的导数 曲线在点处的切线的斜率即为函数在处的导数，即． 2.求解切线问题的一般步骤： （1）求导，得在处的导数即斜率； （2）考虑切点； （3）由点斜式得切线方程为． 技巧：①；②切点在切线上，有； ③切点在曲线上，有． 【典例2】已知为非零常数，若曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，则 ． 【解析】，，又，所以切线方程为 ，令，得；令，得，所以，即，又，所以． 【针对练习2-1】曲线在点处的切线恰好是轴，则实数（ ） A． B． C． D．无法确定 【解析】，则，得．故选A． 【针对练习2-2】求曲线在点处的切线的倾斜角． 【解析】，则，即，所以倾斜角． 【针对练习2-3】求曲线在点处的切线方程． 【解析】，则，所以，即曲线在点处的切线方程为． 【针对练习2-4】求曲线在点处的切线方程． 【解析】，则，所以，即曲线在点处的切线方程为． 【针对练习2-5】（2024年全国甲卷）设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 则，得该切线方程为，令，则，令，则，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积．故选A． 【针对练习2-6】已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是 ． 【解析】当时，，则曲线在点处的切线的斜率，因为为偶函数，所以曲线在点处的切线的斜率为，所以曲线在点处的切线方程是，即． 【针对练习2-7】设曲线在点处的切线的斜率为，则的最小值为 ． 【解析】，，所以，当且仅当即时，取“”号． 【典例3】求过点且与曲线相切的直线方程． 【解析】设切点为，由，得，则，从而切线方程为，由切点在切线上，得，由切点在曲线上，得，所以，解得，所以切线方程为． 【针对练习3-1】曲线在点处的切线与曲线上点处的切线垂直，则点的坐标为 ． 【解析】由，得，所以曲线的切线斜率，所以曲线上点处的切线的斜率为，设，由，得，则，得，所以，即点的坐标为． 【针对练习3-2】过坐标原点作曲线的切线，则此切线的方程为 ． 【解析】设切点为，由，得，则，所以切线方程为，由切点在切线上，得；由切点在曲线上，得，所以，得，故切线方程为． 【针对练习3-3】已知直线与曲线相切，求实数的值． 【解析】设切点为，则，由切点在切线上，得，由切点在曲线上，得，所以，所以． 【针对练习3-4】（由曲线和斜率求切点和切线）若曲线在点处与直线相切，求与的值． 【解析】由，及直线与曲线在点处相切，所以，因为，所以，由切点在曲线上，得，即切点为，由切点在切线上，得． 【针对练习3-5】（2025年新课标1卷）若直线是曲线的一条切线，则_______. 【答案】 【解析】设切点为，由，得，由切线的斜率为，，解得，由切点在切线上，得，所以切点坐标为，又切点在曲线上，所以，解得． 【针对练习3-6】（2024年新课标1卷）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 ． 【答案】 【解析】由，得，所以，故曲线在处的切线方程为．由，得，设切线与曲线相切于点，由两曲线有公切线得，解得，由切点在切线上，得，即切点为，由切点在曲线上，得，解得． 【针对练习3-7】（2022年新高考2卷）曲线过坐标原点的两条切线的方程为　 　，　 　． 【答案】， 【解析】当时，，设切点坐标为，由，得切线的斜率，故切线方程为．由切点在切线上，得；由切点在曲线上，得，所以，解得，所以切线方程为，即． 当时，与的图像关于轴对称，所以切线方程也关于轴对称，所以切线方程为． 综上所述，曲线经过坐标原点的两条切线方程分别为，． 【针对练习3-8】（2022年新高考1卷）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是　　 ． 【答案】 【解析】设切点为，由，得，所以切线方程为，由切点在切线上，得，由切点在曲线上，得，所以，即，因为切线存在两条，所以关于的该方程有两个不等实根，所以，解得或，即的取值范围是． 【针对练习3-9】求过点且与曲线相切的直线方程． 【解析】设切点为，由，得，则，所以切线的方程为，由切点在切线上，得，由切点在曲线上，得，所以，解得，或． 当时，切线的方程为，即． 当时，切线的方程为，即． 【针对练习3-10】求过点且与曲线相切的直线方程． 【解析】设切点为，由，得，则 ，所以切线的方程为，由切点在切线上，得 ，由切点在曲线上，得，所以或，所以切线方程为或． 【针对练习3-11】已知曲线，过点作曲线的切线，求此切线方程． 【解析】设切点为，由，得，则，所以切线的方程为，由切点在切线上，得，由切点在曲线上，得，所以，解得，所以切线方程为． 【典例4】若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ） A． B． C． D． 【解析】设与直线平行且与曲线相切的直线为，则点到直线的最小距离为切点到直线的距离，由，得，则，得，所以，即，所以点到直线的最小距离为．故选D． 【针对练习4-1】已知直线与抛物线相交于，两点，试在抛物线的弧上求一点，使的面积最大． 【解析】设与直线平行且与抛物线相切的直线为，当为切点时，点到直线的距离最大，此时的面积最大．设切点，由，得，则，得，所以，即所求的点为． 【针对练习4-2】若点在函数的图象上，点在函数的图象上，则的最小值为 ． 【解析】由题意，得，设与直线平行且与曲线相切的直线为，则两平行间的距离是的最小值，此时为切点，的最小值亦等于切点到直线的距离．由，得，由，得，所以，所以，则． 【针对练习4-3】求证：过曲线上任何一点的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是一个常数． 【解析】证明：由，得．设切点为，则，则切线的方程为，由切点在切线上，得 ，由切点在曲线上，得，所以，化为，所以，所以切线的方程为，令，得；令，得．所以三角形的面积，即过曲线上任何一点的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是一个常数． 【针对练习4-4】已知曲线，是否存在实数，使得经过点能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解析】方法1：假设存在实数，使得经过点能够作出该曲线的两条切线． 设切点为，由，得，所以，所以切线的方程为，与联立，消去，整理得，由，得，若，则切点与重合，不合题意，所以且，所以，故存在实数，使得经过点能够作出该曲线的两条切线． 方法2：假设存在实数，使得经过点能够作出该曲线的两条切线．设切点为，由，得，所以，所以切线的方程为． 由切点在切线上，得，由切点在曲线上，得，所以，即，因为经过点能够作出该曲线的两条切线，所以关于的方程有两个不等实根，所以，解得，即存在实数，使得经过点能够作出该曲线的两条切线． 【针对练习4-5】若过点可作曲线的三条切线，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设切点为，，所以切线方程为 ，因为切线过点，所以，整理得，令，，由，得或，由，得，所以函数在和上单调递增，在上单调递减，所以，，解得，故的取值范围为．故选A． 【典例5】已知直线经过坐标原点且与曲线相切于点，则 ，若也与曲线相切，则实数 ． 【解析】设直线，由，得，因为与曲线相切，所以消去，得，解得． 设与曲线相切于点，由，得，即，因为是与曲线的公共点，所以消去，得，即，解得． 【针对练习5-1】若函数，的图象存在唯一的相同的切线，则的值为________. 【解析】由函数，的图象存在唯一的相同的切线，易知，的图象存在唯一的公共点，且在点处的切线重合，所以所以，. 【典例6】（2020年新课标3卷理科第10题）若直线与曲线和圆都相切，则的方程为（ 　）　 A． B． C． D． 【解析】方法1：直线与圆相切，那么直线到圆心的距离等于半径，四个选项中，只有A，D满足题意； 对于A选项，与联立，得，此时无解； 对于D选项，与联立，得，解得； 所以直线与曲线和圆都相切，方程为．故选D． 方法2：设切点为，令，由，得，所以，所以，该点不在直线和上，排除A，B． 令，由，得，所以，所以，该点不在直线上，但在直线上，故排除C，选D． 方法3：设，则…①，设直线与曲线切点为，则…②，…③，由②③得，代入①，得或（舍去），所以． 【针对练习6-1】若直线是曲线和圆的公切线，则的斜率为________． 【解析】设直线与曲线相切于点，由，得，，因为与圆相切，所以圆到的距离，即，解得，所以． 【针对练习6-2】（贵州省适应性考试数学试题）已知曲线和，点和都在上，平行于的直线与，都相切，则的焦点为（ ） A． B． C． D． 【解析】设直线与曲线相切于点，由，得，所以，得，所以，，即，由圆心到切线距离等于半径，得，解得，所以的焦点为．故选B． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度高三数学总复习 第二章 导数 第1节 导数的概念（几何意义）与计算 一、导数的基本计算 1．求导公式 (1)(为常数)；(2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)； (11) ． 2．求导法则 (1)； (2)； (3)(为常数)； (4)； (5)． 3.复合函数的求导方法： 令，则． 【典例1】计算：（1） ；（2） ． 【针对练习1-1】已知，求方程的实数根． 【针对练习1-2】等比数列中，，，，则（ ） A． B． C． D． 【针对练习1-3】已知的导函数为，且满足，则 ． 【针对练习1-4】已知函数，且，求的最大值． 【针对练习1-5】对于三次函数，定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数根，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数的图象都有对称中心，且函数的“拐点”就是其图象的对称中心．现给定函数． （1）根据该同学的发现，求函数图象的对称中心坐标； （2）请根据图象的对称中心计算的值． 二、导数的几何意义 1.函数在处的导数 曲线在点处的切线的斜率即为函数在处的导数，即． 2.求解切线问题的一般步骤： （1）求导，得在处的导数即斜率； （2）考虑切点； （3）由点斜式得切线方程为． 技巧：①；②切点在切线上，有； ③切点在曲线上，有． 【典例2】已知为非零常数，若曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，则 ． 【针对练习2-1】曲线在点处的切线恰好是轴，则实数（ ） A． B． C． D．无法确定 【针对练习2-2】求曲线在点处的切线的倾斜角． 【针对练习2-3】求曲线在点处的切线方程． 【针对练习2-4】求曲线在点处的切线方程． 【针对练习2-5】（2024年全国甲卷）设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A． B． C． D． 【针对练习2-6】已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是 ． 【针对练习2-7】设曲线在点处的切线的斜率为，则的最小值为 ． 【典例3】求过点且与曲线相切的直线方程． 【针对练习3-1】曲线在点处的切线与曲线上点处的切线垂直，则点的坐标为 ． 【针对练习3-2】过坐标原点作曲线的切线，则此切线的方程为 ． 【针对练习3-3】已知直线与曲线相切，求实数的值． 【针对练习3-4】（由曲线和斜率求切点和切线）若曲线在点处与直线相切，求与的值． 【针对练习3-5】（2025年新课标1卷）若直线是曲线的一条切线，则_______. 【针对练习3-6】（2024年新课标1卷）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 ． 【针对练习3-7】（2022年新高考2卷）曲线过坐标原点的两条切线的方程为　 　，　 　． 【针对练习3-8】（2022年新高考1卷）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是　　 ． 【针对练习3-9】求过点且与曲线相切的直线方程． 【针对练习3-10】求过点且与曲线相切的直线方程． 【针对练习3-11】已知曲线，过点作曲线的切线，求此切线方程． 【典例4】若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ） A． B． C． D． 【针对练习4-1】已知直线与抛物线相交于，两点，试在抛物线的弧上求一点，使的面积最大． 【针对练习4-2】若点在函数的图象上，点在函数的图象上，则的最小值为 ． 【针对练习4-3】求证：过曲线上任何一点的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是一个常数． 【针对练习4-4】已知曲线，是否存在实数，使得经过点能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【针对练习4-5】若过点可作曲线的三条切线，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例5】已知直线经过坐标原点且与曲线相切于点，则 ，若也与曲线相切，则实数 ． 【针对练习5-1】若函数，的图象存在唯一的相同的切线，则的值为________. 【典例6】（2020年新课标3卷理科第10题）若直线与曲线和圆都相切，则的方程为（ 　）　 A． B． C． D． 【针对练习6-1】若直线是曲线和圆的公切线，则的斜率为________． 【针对练习6-2】（贵州省适应性考试数学试题）已知曲线和，点和都在上，平行于的直线与，都相切，则的焦点为（ ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $