第二章 导数 第6节 利用导数证明不等式讲义-2026-2027学年度高三数学一轮总复习

该高中数学讲义聚焦利用导数证明不等式这一高考核心考点，按构造差函数、分而治之、直接放缩等七种方法系统架构知识，通过知识要点梳理、典例精讲（如作差构造函数证题）、分层针对练习，帮助学生构建解题逻辑，突破难点，体现复习的系统性和针对性。 资料创新融入“对数单身狗，指数找基友”等解题策略，结合泰勒展开式放缩工具，培养学生数学思维（推理能力）与数学语言（模型观念）。如典例7分离对数函数简化求导，设置基础到综合练习，确保高效复习，提升学生应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第二章导数 第6节利用导数证明不等式 一、知识要点 1.构造差函数，利用导数研究函数的单调性，求出其值域. 如证八x<8,,x∈(a,b)时，可构造函数《)=八)-8)，若h(<0,则 A)在(a,b)上递减，若Ha<0,则当x∈(a,b)时，有A<0,即证明了 fx)<gx) 欲证八)≥8)，x∈D,只需证下列三者之一： ol-]m≥0，x∈D:②m≥8以ms,x∈D:③曲线 y=几刊不在直线（如公切线）方，且曲线'=利在直线（如公切线）上方，如图 所示. y=foo) =g(x) 2.不等式放缩：①由泰勒展开式 h得e≥x+1( x=0时取等号)，继而有e≥1-x(x=0时取等号)，e≥x,或e*≥ex(x=1 时取等号)； nx≥1-I ②在e≥x+l中，x用lnx代，得lhx≤x-l;x用-lnx代，得 x,故 1 1-1≤lnx≤x- 有x ,当且仅当x=1时取等号. 二、应用举例 1.作差构造函数 【典例1】(1)当x∈R时，证明：e≥x+l;(2)当>0时，证明： 1-1≤lnx≤x-1 【针对练习1-1】(1)当x>-1时，求证：x≥ln(x+1): (2)求证：e≥ex(x∈R): e≥x+1+(x≥0 (3 2 π 0≤x< 【针对练习1-2】当2时，求证：sinx≤x≤tanx. 2 x-号<m1+对 【针对练习1-3】当>0时，求证：2 【针对练习1-4】当x≥1时，求证： 2D≤nx≤-】 x+1 2.分而治之 【典例2】设函数 x)=e'mx+2e x,证明：)>1 【针对练习2-1】已知函数x)=e-2-a(a∈R) (1)讨论函数)的单调性： (2)当a≤0时，求证>lnx. 3.直接放缩 e'lnx1 e1+2 【典例3】当x>1时，求证：(1) x:(2)Inx x-1 【针对练习3-1】求证：当x(0+∞)时，都有 -lnx心lnx 【针对练习3-2】已知函数()=e-2lnx-x+x-2,证明：八)>0 【针对练习3-3】已知函数不)=e,g(x)=lnx (1)求过点0，-)且与曲线y=)相切的直线I的方程； 又 (2)求证：x)-g(x>2 【针对练习3-4】已知函数)=e-lMx+m) (1)设x=0是几)的极值点，求m,并讨论的单调性： (2)当m≤2时，证明：x>0」 4.参数放缩 【典例4】己知函数)=e+ax2-2x,a∈R (1)当a=0时，求)的单调区间： ②若a三-2，求证：x≥0，有几≥1- 5 【针对练习4-1】已知函数)=me-lhx-l,当m≥1时，证明：八x)>l. 【针对练习4-2】已知函数八)=xlnx-2x,g(x)=-ax2+ax-Xa>1) (1)求函数八的单调区间和最小值；(2)证明：几)≥8)在[l,+∞)上恒成 立 【针对练习4-3】已知函数)=ae-lnx-1 (1)设x=2是几)的极值点，求a,并求几)的单调区间； ≥1 (2)证明：当e时，()≥0， 5.先放缩后再构造函数 fx)=Inx+4-1 【典例5】已知函数 ,a∈R 6 (1)若对定义域内的任意x,都有八)≥0，求Q的取值范围： e+n>x2_1+2 (2)求证： )=nx+1-1 【针对练习5】已知函数 (1)求的最小值：(2)当x∈(0，时，证明：e1-lhn)sinx. 6.对数均值不等式证双变量不等式 =2+nx 【典例6】已知函数 ,如果≠，且x)=八)，证明： x1+x2>4 【变式6】已知函数 =xhx-2am-x, ,a∈R,且)在其定义域上有两个 极值点，x2 (1)若求a的取值范围；(2)证明：xx2>e2 7.对数单身狗，指数找基友 在证明或处理含对数函数的不等式时，通常要将对数型的函数“独立分离”出来，这 样再对新函数求导时，就不含对数了，只需一次就可以求出它的极值点，从而避免了多次 求导 xlnx+s>0台lnr+{>o x+)= 必 尺)（设不>0），则 孔x) 1+「sx)7 xL几)不含超越函数，求解过程简单. 在证明或处理含指数函数的不等式时，通常要将指数型的函数“结合”起来，即让指 数型的函数乘以或除以一个多项式函数，这样再对新函数求导时，只需一次就可以求出它 e+x>0台1+四>0 的极值点，从而避免多次求导·由 e ,则 e* 是一个多项式函数，变形后可大大简化运算. 小 【典例7】求证：e-2x>x2lnx 【针对练习7】已知函数)=e-r.证明：当x≥0时，几≥1. 第二章 导数 第6节 利用导数证明不等式 一、知识要点 1．构造差函数，利用导数研究函数的单调性，求出其值域． 如证，时，可构造函数，若，则在上递减，若，则当时，有，即证明了. 欲证，，只需证下列三者之一： ①，；②，；③曲线不在直线（如公切线）下方，且曲线不在直线（如公切线）上方，如图所示． 2．不等式放缩：①由泰勒展开式得（时取等号），继而有（时取等号），，或（时取等号）； ②在中，用代，得；用代，得，故有，当且仅当时取等号． 二、应用举例 1．作差构造函数 【典例1】（1）当时，证明：；（2）当时，证明：． 【证明】（1）令，则.当时，，递增；当时，，递减，所以在处有极小值，也是最小值，所以，故． （2）令，则.当时，，递增；当时，，递减，所以在处有极小值，也是最小值，所以，故． 令，则.当时，，递增；当时，，递减，所以在处有极小值，也是最小值，所以，故． 综上，． 【针对练习1-1】（1）当时，求证：；（2）求证：； （3）． 【证明】（1）令，则.当时，，递增；当时，，递减，所以在处有极小值，也是最小值，所以，故． （2）令，则.当时，，递增；当时，，递减，所以在处有极小值，也是最小值，所以，故． （3）令，则，.由的符号知，，所以在上递增，所以，故． 【针对练习1-2】当时，求证：． 【证明】令，则，所以在上递增，所以，故．令，则. 所以在上递增，所以，故． 故当时，． 【针对练习1-3】当时，求证：． 【证明】令，则当时，， 所以在上递减，所以，即． 【针对练习1-4】当时，求证： ． 【证明】令，则，所以在上为增函数，所以，即． 令，则，所以在上为增函数，所以，即． 故． 2．分而治之 【典例2】设函数，证明：． 【解析】证法1：，令，则，由的符号知，…①， 令，则，由的符号知，…②. 又①②式中的等号不能同时取得，所以，即原式得证． 证法2：因为时，(当且仅当时取等号)…①，故要证，只需证，令，则，令，得时，单调递增，令，得时，单调递减，所以(当且仅当时取等号)…②，由于①和②式不能同时取等号，所以． 【针对练习2-1】已知函数． （1）讨论函数的单调性；（2）当时，求证． 【解析】（1）． ①当时，，所以在上递增． ②当时，令，得，所以递增；令，得，所以递减． 综上，当时，在上递增；当时，在上递增；在上递减． （3）． 令，则，，当且时取等号． 令，则，，所以，当时取等号． 故，即． 3．直接放缩 【典例3】当时，求证：（1）；（2）． 【证明】（1）当时，易证: ，，两式相乘得. （2）易证: ，，所以，所以. 【针对练习3-1】求证：当时，都有． 【证明】证法1（放缩法）：当时，易证，所以，要证，只需证，即证，而显然成立，故原命题成立． 证法2（转化为最值问题）：令，则，由的符号知， .令，则，由的符号知， .因为，所以当时，，即. 【针对练习3-2】已知函数，证明：． 【解析】证明：易知（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号），所以，得证． 【针对练习3-3】已知函数，． （1）求过点且与曲线相切的直线的方程； （2）求证：． 【解析】（1）设切点坐标为，则切线的斜率，切线的方程为． 所以，又，得，所以，得切线． （2）方法1：，即． 设，则，因为，所以，在上为增函数，所以，即．故只需证，即证． 令，则．当时，，在上为增函数；当时，，在上为减函数，所以，所以，所以，原命题得证． 方法2：令，则，，所以在上递增，又，，所以在内有唯一零点，设该零点为，，所以，，当时，，当时，，所以，又，故，得． 注：证法1中，与两式相加（等号不能同时取到），得． 【针对练习3-4】已知函数． （1）设是的极值点，求，并讨论的单调性； （2）当时，证明：． 【解析】（1），由，得，所以． 当时，，为减函数；当时，，为增函数． （2）证法1：由知，，则只需证明时的情形，即证． 此时，显然在上递增，且，，所以在上有唯一零点，设该零点为，则，得，当时，，递减；当时，，递增，所以，显然，所以，所以． 故当时，． 证法2：易证：（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号），所以（当且仅当时取等号），故， 从而，即时，． 4．参数放缩 【典例4】已知函数，． （1）当时，求的单调区间； （2）若，求证：，有． 【解析】（1）当时，，，当时， ，递增；当时，，递减．故的增区间为，减区间为． （2）当时，，要证，有 ，只需证，即证：，． 令，，则，，所以 在上递增，所以，在上递增，所以，即，故，有． 【针对练习4-1】已知函数，当时，证明：． 【证明】易知，（时取等号），（时取等号），所以 当时，，由于以上等号不同时成立，故． 【针对练习4-2】已知函数，． （1）求函数的单调区间和最小值；（2）证明：在上恒成立． 【解析】（1），当时，，递增；当时，，递减，所以的增区间为，减区间为，最小值为． （2）证法1：当时，，所以 ．令，则 ，当且仅当时取等号，所以在上递增，所以，即在上恒成立． 证法2：易知，当且仅当时取等号，所以 ，因为，，所以，，所以，当且仅当时取等号，故在上恒成立． 【针对练习4-3】已知函数． （1）设是的极值点，求，并求的单调区间； （2）证明：当时，． 【解析】（1），因为是的极值点，所以,解得，所以，当时，，当时，，故的单调递减是，单调递增是． （2）证明：当时，只需证，即证，设,则，由，得，令，，当时，，当时，，所以是的最大值点，故当时，，所以当时，． 5．先放缩后再构造函数 【典例5】已知函数，． （1）若对定义域内的任意，都有，求的取值范围； （2）求证：． 【解析】（1）即，得． 令，则只需．由知，当时，，为减函数；当时，，为增函数，所以在处有最大值，所以的取值范围是． （2）由（1）知，当时，，所以要证“”只需证“”，即，令，则，令，则，当时，为增函数；当时，为减函数 ，所以，即，所以在上为增函数，所以，即，从而． 【针对练习5】已知函数． （1）求的最小值；（2）当时，证明：． 【解析】（1）由，得，当时，，递增；当时，，递减；当时，．所以在有极小值，也是最小值，此最小值为． （2），因为，所以只需证明 ，即证． 令，则，所以递增，所以，即，故原命题得证． 6．对数均值不等式证双变量不等式 【典例6】已知函数，如果，且，证明：． 【证明】 ，所以，从而． 【变式6】已知函数，，且在其定义域上有两个极值点，． （1）若求的取值范围；（2）证明：． 【解析】（1），因为在其定义域上有两个极值点，，所以方程即有两个不等实根，，令，则，由的符号知，有极大值，当时，，而，故． （2）证法1：由题意得，，两式相减，得，不妨设，则由对数均值不等式，得，所以． 两式相加，得，所以． 证法2：由（1）知，，所以，即 ，所以，所以． 7．对数单身狗，指数找基友 在证明或处理含对数函数的不等式时，通常要将对数型的函数“独立分离”出来，这样再对新函数求导时，就不含对数了，只需一次就可以求出它的极值点，从而避免了多次求导． 由（设），则不含超越函数，求解过程简单． 在证明或处理含指数函数的不等式时，通常要将指数型的函数“结合”起来，即让指数型的函数乘以或除以一个多项式函数，这样再对新函数求导时，只需一次就可以求出它的极值点，从而避免多次求导．由，则是一个多项式函数，变形后可大大简化运算． 【典例7】求证： 【证明】方法1（对数单身狗）：因为，则原式等价于，即 ．设，，又，令，解得，所以当时，，递减，当时，，递增，则． 综上所述：． 方法2（指数找基友）：由，得． 设，则， 又，令，解得，所以当时，，递增，当时，，则递减，则． 综上所述：． 【针对练习7】已知函数．证明：当时，． 【解析】方法1（指数找朋友）：等价于．设函数，则．，所以在单调递减，而，故当时，，即． 方法2（通性通法，二次求导）：，，令，，令，得．则函数在区间内单调递减，在区间内单调递增，从而，所以函数在区间内单调递增，有． 方法3（指对转化）：当时，．令，，函数在区间上单调递增，故，有，故当时，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $