第03讲 用反比例函数解决问题7大题型（暑假预习讲义）新九年级数学新教材苏科版

第03讲 用反比例函数解决实际问题 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 工程问题 题型2 行程问题 题型3 图形面积问题 题型4 销售利润单价问题 题型5 物理、化学类问题 题型6 容积体积问题 题型7 与生活相关的反比例函数问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 反比例函数的实际应用 1. 结合生活常见情境，认识反比例函数实际模型，理解变量间反比例变化关系。 2. 学会从实际问题中提取已知条件，准确列出反比例函数解析式并规范书写。 3. 掌握实际问题自变量取值范围，能结合实际意义判断变量合理取值。 4. 利用反比例函数性质求解实际最值、比较大小，提升数学解题应用能力。 5. 培养数学建模思想，体会函数与生活的联系，提高分析解决问题素养。 学习重点：能从实际情境中建立反比例函数模型，列解析式并解决基础实际应用问题。 学习难点：准确结合实际限制确定自变量范围，利用函数性质分析解决综合性问题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 反比例函数的实际应用 反比例函数的实际应用 1. 用反比例函数解决问题的两种思路： （1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系式； （2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题. 2. 列反比例函数解决问题的步骤： （1）审：审题，找出题目中的常量和变量，以及它们之间的关系； （2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数表达式； （3）求：根据题中条件列方程，求出待定系数的值； （4）写：写出函数表达式，并注意表达式中自变量的取值范围； （5）解：用函数解析式去解决实际问题． 利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1、能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2、注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3、问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图像解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 即时即练 1．某汽车从市到市行驶的里程为，假设该汽车匀速行驶，行驶的时间为，速度为，且速度限定不超过． (1)与之间的函数表达式为________，自变量的取值范围是________； (2)汽车从市开出，要在内（含）到达市，汽车的行驶速度至少为多少？ 2．人蒙上眼睛后行走的路径近似看作一个圆圈，小明和几位小伙伴据此做蒙眼转圈游戏．已知圆圈的半径是其两腿迈出的步长差的反比例函数． (1)求R与d的函数表达式； (2)规定蒙上眼睛走出的圆圈半径小于即为输，若小明想不输则他两腿迈出的步长差d的范围． 3．研究发现：初中生在数学课上的注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生注意力直线上升，中间一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散，注意力与时间呈反比例关系降回开始时的水平．学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示． (1)求反比例函数的关系式，并求点A对应的指标值； (2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 题型1 工程问题 1．一工程中，某工程队工人每天需要挖掘20吨土的深沟，整个工程完毕恰好用了6天. (1)在工程结束后，工人需要把所有的土进行回填，在整个回填过程中，平均回填速度v（单位：吨/天）与回填天数t之间有怎样的函数关系? (2)由于遇到紧急情况，要求整个回填工程不超过4天完毕，那么平均每天至少要回填多少吨土? 2．某运输公司有甲、乙两个车队，甲车队承担了某工程运送土石方的任务，已知需运送的土石方总量为立方米，甲车队每天运送的土石方为V（立方米/天），完成任务所需要的时间为t． (1)求V与t的函数关系式？当时，求V的取值范围； (2)若甲车队派出全部的20辆卡车，每辆卡车每天可运送土石方100立方米，工程进行了8天后，因车队接到了其它任务，需要提前4天完成，则乙车队至少需要派出多少辆同样的卡车才能按时完成任务？ 3．在伊通河治理工程实验过程中，某工程队接受一项开挖水架的工程，所需天数（单位：天）与每天完成的工程量（单位：m/天）之间的函数关系图象是如图所示的双曲线的一部分．    (1)请根据题意，求关于的函数解析式； (2)若该工程队有台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠，则该工程队需用多少天才能完成此项任务？ 4．在工程实施过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y(天)与每天完成工程量x(米)是反比例函数关系，图象如图所示： (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若该工程队有4台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米，问该工程队需要用多少天才能完成此项任务？ 5．在工程实施过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y（天）与每天完成工程量x米的函数关系图像如图所示，是双曲线的一部分． (1)请根据题意，求y与x之间的函数表达式； (2)若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米，问该工程队需要用多少天才能完成此项任务？ (3)工程队在（2）的条件下工作5天后接到防汛紧急通知，最多再给5天时间完成全部任务，则最少还需调配几台挖掘机？ 题型2 行程问题 6．超越公司将某品牌农副产品运往新时代市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．根据经验，v，t的一组对应值如下表： v（千米/小时） 60 75 80 90 t（小时） 5.00 4.00 3.75 (1)根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式； (2)汽车上午7：30从超越公司出发，能否在上午10：00之前到达新时代市场？请说明理由． 7．某公司将A地生产的农副产品运往B地市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时(汽车行驶速度不超过100千米/小时且不低于60千米/小时)．根据经验，v，t的一组对应值如下表： v（千米/小时） 75 80 85 90 95 t（小时） 4.00 3.75 3.53 3.33 3.16 (1)请你根据表中的数据建立适当的平面直角坐标系并描出对应的点，由此判断v与t之间成什么函数关系； (2)求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式并写出自变量t的取值范围 (3)若汽车到达B市场的行驶时间t满足，求平均速度v的取值范围． 8．某公司将特色农副产品运往邻市市场进行销售，设汽车的行驶时间为小时，平均速度为千米/时（汽车行驶速度不超过110千米/时）．根据经验，，的部分对应值如下表： （千米/时） 75 80 90 时 4.80 4.50 4.00 (1)根据表中的数据，求出平均速度（千米/时）关于行驶时间（时）的反比例函数表达式；（不用写自变量的取值范围） (2)汽车上午6∶00出发，能否在上午9∶00之前到达邻市市场？请说明理由． 9．越来越多的人选择骑自行车这种低碳方便又健身的方式出行．某日，一位家住宝山的骑行爱好者打算骑行去上海蟠龙天地，记骑行时间为t小时，平均速度为v千米/小时（骑行速度不超过40千米/小时）．根据以往的骑行经验，v、t的一些对应值如下表： v（千米/小时） 15 20 25 30 t（小时） 2 1 (1)根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式； (2)如果这位骑行爱好者上午8：30从家出发，能否在上午9：10之前到达上海蟠龙天地？请说明理由； (3)若骑行到达上海蟠龙天地的行驶时间t满足，求平均速度v的取值范围． 10．汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为小时，平均速度为千米/小时（汽车行时速度不超过千米/小时），根据经验，，的一组对应值如下表； （千米/小时） （小时） (1)根据表中的数据，分析说明平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系，并求出其表达式； (2)汽车上午从甲地出发，能否在上午之前到达乙地？请说明理由． 题型3 图形面积问题 11．如图，科技小组准备用材料围建一个面积为的长方形科技园，其中一边靠墙，墙长，设的长为，的长为． (1)求关于x的函数关系式； (2)y与x是什么函数关系？ 12．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线与相交于A，B两点（点A在点B的左侧）． (1)当时，求k的值； (2)点B关于y轴的对称点为C，连接； ①判断的形状，并说明理由； ②当的面积等于16时，双曲线上是否存在一点P，连接，使的面积等于面积？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 13．如图1，木匠陈师傅现有一块五边形木板，它是矩形木板用去后的余料，，，，是边上一点．陈师傅打算利用该余料截取一块矩形材料，其中一条边在上． (1)[初步探究] 当时． ①若截取的矩形有一边是，则截取的矩形面积的最大值是______； ②若截取的矩形有一边是，则截取的矩形面积的最大值是______； (2)[问题解决] 如图2，陈师傅还有另一块余料，，，，，，且和之间的距离为4，若以所在直线为轴，中点为原点构建直角坐标系，则曲线是反比例函数图象的一部分，陈师傅想利用该余料截取一块矩形材料，其中一条边在上，所截矩形材料面积是．求的长． 14．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求函数的表达式； (2)根据图象写出使一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围； (3)点C是反比例函数的图象上第一象限内的一个动点，当的面积等于的面积时，求C点的坐标． 15．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在y轴正半轴上，点C的坐标为，反比例函数的图象经过点B． (1)求反比例函数的表达式； (2)在反比例函数的图象上是否存在点P，使得的面积等于菱形的面积？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【易错警示】 求解反比例函数相关图形面积，易忽略面积对应 | k|，直接用面积当作 k 值。三角形面积忘记乘 2，未结合图象象限判断 k 正负。同时容易看错垂线构成的图形，计算坐标时忽略符号，最终导致 k 取值、图形面积计算出现错误。 题型4 销售利润单价问题 16．某商场出售一批进价为120元/件的商品311件，为寻求合适的销售价格，商场营销部进行了4天试销活动，发现此商品的日销售单价（元/件）与日销售量（件）之间有如下关系：观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种商品的日销售量（件）与日销售单价（元/件）之间的关系 第1天 第2天 第3天 第4天 日销售单价（元/件） 150 200 240 250 日销售量（件） 40 30 25 24 (1)写出这个反比例函数的解析式（不必写的取值范围）； (2)在试销4天后，若商场决定将这种商品的销售单价定为250元/件，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些商品预计再用多少天可以全部售出； (3)设商品的日销售利润为元，试求出与之间的函数关系式，物价局规定此商品的售价最高不超过300元/件，若商场按获得最大日销售利润的销售单价出售该商品，能否在试销后的10天内售完该商品？ 17．某公司今年推出一款产品．根据市场调研，发现如下信息． 信息1：每月的销售总量y（件）和销售单价x（元/件）存在函数关系，其图象由部分双曲线和线段组成． 信息2：该产品2月份的单价为66元/件，3月份的单价降低至45元/件，在生产成本不变的情况下，这两月的销售利润相同． 根据以上信息，解答下列问题： (1)求该产品的生产成本； (2)该公司计划在4月份通过技术改造，使生产成本降低，同时继续降低销售价格，使得4月份的销售利润不低于3月份．求4月份该产品销售单价的范围． 18．某淘宝商家出售一种零食，在销售过程中，该商家发现这种零食的日销售量y（单位：）与日销售单价x（单位：元）之间成反比例函数关系，它的图象如图所示， (1)求y与x的函数表达式，并根据图象写出自变量x的取值范围； (2)求当日销售单价为15元时，日销售量为多少？ 19．某玩具厂生产一种玩具，本着控制固定成本，降价促销的原则，使生产的玩具能够全部售出．据市场调查，若按每个玩具280元销售时，每月可销售300个．若销售单价每降低1元，每月可多售出2个．据统计，每个玩具的固定成本Q（元）与月产销量y（个）满足如下关系： 月产销量y（个） … 160 200 240 300 … 每个玩具的固定成本Q（元） … 60 48 40 32 … （1）每月产销量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式为______；从上表可知．每个玩具的固定成本Q（元）与月产销量y（个）之间满足反比例函数关系式，求出Q与y之间的关系式； （2）若每个玩具的固定成本为30元，求它的销售单价是多少元？ （3）若该厂这种玩具的月产销量不超过400个，求此时销售单价是多少元？ 20．商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品日销售单价x（元）与日销售量y（张）之间有如下关系： x/元 3 4 5 6 y/张 20 15 12 10 (1)写出y关于x的函数解析式 ______； (2)设经营此贺卡的日销售利润为W（元），试求出W关于x的函数解析式，若物价局规定此贺卡的日销售单价最高不能超过10元/张，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润，并求出最大日销售利润． 题型5 物理、化学类问题 21．项目式学习·测量盒子质量 问题背景：日常生活中的各种称重仪器大多都可以测出一定范围内的物体质量，当物体质量太轻或太重时便无法直接测量出结果，在数学活动课上，老师让同学们测空牛奶盒的质量． 实验操作：如图，兴趣小组的同学利用所学知识，制作了一个简易天平，左侧托盘固定在点A处，且托盘上放置了一个的砝码，右侧托盘可以在段滑动，已知，，通过往牛奶盒里加入水或倒出水，并移动右侧托盘使天平保持平衡，得到下表中的实验数据． 实验数据： 实验序号 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 总质量m（牛奶+水） 120 60 50 40 150 的距离 12.5 25 30 37.5 10 问题解决    (1)任务一：根据表中数据可知，的长度随着总质量m的增大而________，并依此猜想：l与m满足怎样的函数关系：________（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”）； (2)任务二：某同学给空牛奶盒里加入了的水，移动托盘使天平保持平衡，此时，求这个空牛奶盒的质量； (3)任务三：在任务二的情况下，天平达到平衡，此时将含水的牛奶盒与砝码的位置互换，要使天平仍保持平衡，则右边托盘应怎样移动． 22．【知识背景】杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，如图1，即．小明利用杠杆原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图2）． 【方案设计】第一步：在一根长度为的匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度），在左侧末端处固定一个金属吊钩，作为秤钩，在离左侧末端处确定支点，并用细麻绳固定； 第二步：取一个质量为的金属物体作为秤砣．（备注：秤钩与秤砣绳长的质量忽略不计） 任务一：在图2中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点右侧的处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物的质量为，的长为．    (1)关于的函数关系式是________； (2)若，则的取值范围是________． 任务二：如图3，调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点右侧的处，使秤杆平衡．设重物的质量为，的长为，完成下列问题： (3)关于的函数关系式是________； (4)完成下表： … 0.5 1 2 4 … … ________ ________ ________ ________ … 任务三：如图4，在离左侧末端处确定第二个支点．现有重物约，可选用支点，和秤砣（）、（）进行称量． (5)请通过计算确定：应选择哪个支点和哪个秤砣？并说明如何判断重物是否正好为． 23．某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时，把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中．如图，在实验中发现，水对容器底部的压强（单位：）与容器底面积（单位：）成反比例函数关系． (1)把一定质量的水放入底面积为的容器时，压强是，求压强关于底面积的函数关系式； (2)在（1）的条件下，实验小组计划更换不同规格的同类型容器，底面积的调节取值范围是，请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强的取值范围． 24．如图1，小丽设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：取一根匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点处，并将其吊起．在中点左侧固定位置处悬挂重物，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，直至木杆平衡，改变弹簧秤与点的距离，重复上述步骤，观察弹簧秤的示数的变化情况．实验数据记录如下： (1)把表中，的各组对应值作为点的坐标，在如图2所示的平面直角坐标系中描出相应的点，用平滑的曲线连接这些点并观察所得的图象，求出与之间的函数关系式； (2)当弹簧秤的示数为5N时，弹簧秤与点的距离是多少？在弹簧的弹性限度内，随着弹簧秤与点的距离逐渐减小，弹簧秤的示数将发生怎样的变化？ 25．浮力式密度计是测量液体密度的仪器（如图1），通常是一个密封的玻璃管，底部有重物，上部有刻度，把它放入液体中，它会竖直漂浮．密度计上与液面平齐的刻度为浸没深度（单位：），且液体密度（单位：）是浸没深度（单位：）的反比例函数．小明在家里制作简易浮力式密度计（如图2），经过测量与查阅资料得到浸没深度与液体密度的对应关系（如下表）． 酒精 水 蜂蜜 浸没深度 8.5 14 10 1 (1)__________，__________； (2)如果该简易密度计能竖直漂浮的最小浸没深度为，最大浸没深度为，求该密度计能测量的液体密度的范围． 【易错警示】 理化类反比例应用题易忽略变量物理意义，遗漏自变量大于 0 的取值范围。分不清正反比例等量关系，列错函数式，计算时忽视单位统一。不会结合实际情境取舍结果，单纯代数求解，未检验数值是否符合客观实际，造成答题疏漏失分。 题型6 容积体积问题 26．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压和气体的体积存在一定的函数关系．下表是几组气体的气压与气体的体积的对应值． 气体的体积 气体的气压 (1)试确定气体的气压关于气体的体积的函数解析式； (2)当气体的体积为时，求气体的气压． 27．在项目化学习活动上，同学们研究温度不变时，气缸内气体压强与体积的关系通过实验发现，加压后气体对气缸壁所产生的压强是气缸内气体的体积的反比例函数，图象如图所示． (1)求出压强与体积的反比例函数表达式． (2)点的实际意义是______． (3)若压强由加压到，则气体体积压缩了多少？ 28．儿童游乐场有一个大游泳池，打开1个进水管，需要24小时才能把空游泳池注满水；打开2个进水管，需要12小时才能把空游泳池注满水．如图，设进水管为x（个），将游泳池注满水所需的时间为t（）． (1)求t与x之间的函数关系式； (2)要想2个小时把游泳池注满水，需要同时打开多少个进水管？ (3)已知一个进水管的注水速度为，则此游泳池的容积是多少？若要注入的水，需要同时打开6个进水管多长时间？ 29．某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：m2） 与其深度（单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求储存室的容积V的值； (2)受地形条件限制，储存室的深度需要满足16≤≤25，求储存室的底面积S的取值范围． 30．某蓄水池的排水管每小时排水，6小时可将满池水全部排空． (1)求蓄水池的容积． (2)如果增加排水管，使每小时排水量达到Q（），那么将满池水排空所需时间t（）将如何变化，写出t与Q之间的函数关系式． (3)如果计划在5小时内将满池水排空，那么每小时排水量至少是多少？ 题型7 与生活相关的反比例函数问题 31．如图是某饮水机通电开机后，水温与开机时间（分）之间的关系图象，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间（分）成反比例，当水温降至时，饮水机又自动开始加热……，重复上述过程． (1)当时，求水温关于开机时间（分）的一次函数解析式． (2)求的值． (3)上午（水温），饮水机开机通电后到中午，水温共有几次达到? 32．打铁是中国传统手工锻造工艺，以铁砧、火炉、风箱等工具将铁料经煅烧、锻造、淬火等工序制成农具或生活器具，该工艺始于汉代，作为一项老祖先的传承，小明某次旅游中，观看了一次打铁的非遗表演．并发现了以下现象，请帮他解决问题： 打铁要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由烧到1000后立即开始锻造操作，当材料温度低于500时，须停止锻造并立即进行再次煅烧．每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度y（）与时间x（）成一次函数关系，第一次锻造时温度y（）与时间x（）成反比例函数关系． (1)求第一次煅烧和锻造的函数解析式； (2)求第一次锻造操作的时长； (3)求第二次开始锻造的时间（精确到0.1）． 33．为了预防流感，大庆市第三十六中学对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段室内每立方米空气中的含药量y（）与燃烧时间x（）成正比例．燃烧完毕后，y与x成反比例（如图）．根据图中信息解答下列问题： (1)请求出药物燃烧时及药物燃烧后，y与x函数关系式及自变量的取值范围； (2)当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒副作用．那么从有人开始消毒，至少经过多长时间后学生才可以回教室． 34．研究发现：初中生在数学课上的注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生注意力直线上升，中间一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散，注意力与时间呈反比例关系降回开始时的水平．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示． (1)求反比例函数的解析式，并求点对应的指标值； (2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要15分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 35．某种型号的温控水箱的工作过程是：接通电源后，在初始温度下加热水箱中的水；当水温达到设定温度时，加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到时，再次自动加热水箱中的水至时，加热停止；当水箱中的水温下降到时，再次自动加热，按照以上方式不断循环． 小明根据学习函数的经验，对该型号温控水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究．发现水温是时间的函数，其中（单位：）表示水箱中水的温度．（单位：min）表示接通电源后的时间．下面是小明的探究过程，请补充完整： 下表记录了内14个时间点的温控水箱中水的温度随时间的变化情况 接通电源后的时间（单位：min） 0 1 2 3 4 5 8 10 16 18 20 21 24 32 水箱中水的温度（单位：℃） 20 35 50 65 80 64 40 32 20 50 64 40 20 (1)的值为___________； (2)①如图，在平面直角坐标系中，描出了上表中部分数据对应的点，根据描出的点，画出当时，温度随时间变化的函数图象； ②求出当时最符合表中数据的函数解析式； (3)如果水温随时间的变化规律不变，预测水温第9次达到时，距离接通电源___________min． 1．某项工作，一个人单独完成需10天．若m个人共同完成需n天，每人每天完成的工作量相同，选取数对，在坐标系中进行描点，下列选项正确的是（　　） A． B． C． D． 2．在综合实践课上，小明利用恒定的压力测定压强与受力面积的关系．经测定，当时，，则与之间的函数图像可能是（　　） A． B． C． D． 3．在压力不变的情况下，某物体所受到的压强与它的受力面积之间成反比例函数关系，其图象如图所示．当时，物体所受到的压强是（　　） A． B． C． D． 4．如图机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度是（   ） A．8 B．3 C．9 D．4 5．如图①为亮度可调节的台灯，在电压一定的情况下，该台灯的电流与电阻之间的函数关系如图②所示，则下列说法正确的是（   ） A．与的函数解析式是 B．当时， C．随的增大而增大 D．当时，的取值范围是 6．验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（   ）度． A．150 B．200 C．250 D．300 7．驾驶员血液中每毫升的酒精含量大于或等于200微克即为酒驾，某研究所经实验测得：成人饮用某品牌38度白酒后血液中酒精浓度y（微克/毫升）与饮酒时间x（小时）之间函数关系如图所示（当时，y与x成反比例）．下列说法不正确的是（　　） A．饮酒时间4小时以内，饮酒时间x越长，血液中酒精浓度y越大 B．当时，血液中酒精浓度y的值为320 C．当时，该驾驶员为非酒驾状态 D．血液中酒精浓度不低于200微克/毫升的持续时间7小时 8．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，关于的函数图象如图所示，若压强由加压到，则气体体积压缩了（    ）    A． B． C． D． 9．根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示，下列结论中错误的是（     ） A．当时，； B．当受力面积S大于时，压强p 小于 C．S每增加，p减小 D．当时，压强p的变化范围为 10．某康复中心对房间进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间的变化如图所示，消毒效果y（单位：效力）与时间x（单位：分钟）呈现两段函数图象（部分图象），其中段为渐深消毒阶段，用一次函数刻画，段是反比例函数（）图象的一部分，为降解消毒阶段．下列结论错误的是（    ） A．当，y随x的增大而增大 B．当消毒后60分钟时，消毒效果为3效力 C．消毒过程中消毒效果为4效力及以上的持续时长为28分钟 D．当消毒后20分钟时，消毒效果为效力 11．如图，在压力不变的情况下，某物体承受的压强（单位：）与它的受力面积（单位：）成反比例函数关系．当时，则压强__________． 12．某物理实验小组在探究“杠杆平衡条件”时，记录了动力臂与对应动力的部分数据如下表： 动力臂 0.1 0.2 0.4 0.8 动力 20 10 5 2.5 观察表中数据发现，与的乘积始终为定值2．若该定值保持不变，当动力臂时，所需的动力______． 13．金属的延展性是指金属可被拉成细丝或压成薄片的特性，其中金的延展性在金属中表现尤为突出．现将某颗金豆拉成金丝，已知金丝的横截面积S（单位：）是长度L（单位：m）的反比例函数．当时，．若最终金丝的横截面积变为，则此时金丝的长度为_____m． 14．某玩具汽车的功率P（单位：W）为定值，行驶速度V（单位：m/s）与所受阻力F（单位：N）成反比例函数关系，它的图象如图所示．当该玩具汽车受到的阻力为时，玩具汽车的速度为_______． 15．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过，那么用电器可变电阻R应控制的范围是________． 16．验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例．如图所示，已知小雪的镜片焦距为米时，眼镜度数为500度，若小雪的镜片焦距为米，则此时眼镜的度数为________度． 17．快递运载机器人是一种应用于配送领域的智能机器人，它的最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款快递运载机器人载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度________． 18．随着科技的迅猛发展，智能机器人已融入人们的日常生活中．如图，是某酒店的智能送餐机器人，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知此款智能送餐机器人载重前的质量时，它的最快移动速度，当其载重后总质量时，它的最快移动速度v是_______． 19．某市举行中学生数学知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）与该校参加竞赛人数的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，关于这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数有以下三种说法：①甲优秀的人数最多；②丙优秀的人数最多；③乙比丁优秀的人数多．其中说法正确的是______．（填写序号）    20．某气球内充满了一定质量的气体，在一定条件下，气球内的气压是气球体积的反比例函数，其图像如图所示．已知当气球内的气压大于40000时，气球将爆炸，为确保安全，气球的体积V的取值范围是________． 21．某班级篮球队计划采购一批护腕，保护队员手腕以防受伤．已知本次可采购的护腕数量y（单位：副）与每副护腕的采购费用x（单位：元）之间满足反比例函数关系，且当每副护腕的采购费用为8元时，本次可采购的护腕数量为20副． (1)求y关于x的函数表达式； (2)为保证护腕质量，要求每副护腕的采购费用为10元，请问可以采购多少副护腕? 22．政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为，某运输公司承担了运送土石方的任务． (1)运输公司平均运送速度（单位：/天）与完成运送任务所需时间（单位：天）之间具有怎样的函数关系？ (2)若这个运输公司每天可运送土石方，公司完成全部运输任务需要多长时间？ 23．如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻来控制电流实现灯光亮度的变化，电流与电阻之间成反比例函数关系，如图2所示． (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求对应的的取值范围． 24．我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系．现有某学生利用一个最大电阻为72欧姆的滑动变阻器及一电流表测电源电压，结果如图所示，当电阻为12欧姆时，电流为12安培． (1)求电流（安培）关于电阻（欧姆）的函数表达式； (2)若，求电流的变化范围． 25．燃气公司要在地下修建一个容积为的圆柱形燃气储存室． (1)储存室的底面积与其深度之间的函数表达式是_______________． (2)公司决定把储存室的底面积S定为，施工队施工时应该向下掘进多少米？ (3)当施工队按（2）中的计划掘进到地下时，碰上了坚硬的岩石．为了节约资金，公司临时改变计划，把储存室的深度改为，则储存室的底面积应该改为多少才能满足需要？ 26．某生物小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒毫升后，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（小时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求图中线段所在直线的函数表达式； (2)当时，与成反比例关系．假设某人晚上喝完毫升低度白酒，那么此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由． 27．“道路千万条，安全第一条”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试． 【数据收集】下表是测试所得的数据： 行车速度（） 视野角度（度） (1)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点． 【数学表达】 (2)请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度（度）与行车速度（）之间关系的函数表达式． 【问题解决】 (3)在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于80度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范围？ 28．某海洋保护区使用监测无人机巡查生态环境，以海岸线为x轴，垂直海岸线方向为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，无人机主巡航航线是直线，需与一条洋流边界线交汇以采集水样．无人机与洋流边界在交汇点相遇． (1)求无人机航线参数b和洋流边界参数k； (2)一架无人机在A处采集水样后，转向沿西北方向航行，到达洋流边界上的点P投放浮标，求点P的坐标． 29．某教育测量专家研究初中生在数学课堂上听课注意力指标数与上课时间的函数关系时，用如下表格和图象来表示这两个变量的变化规律． 上课时间 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 24 32 40 指标数 28.8 33.6 38.4 43.2 48 48 48 48 48 48 40 30 (1)由表格和图象可知，当时，是的__________函数；当时，是的__________函数；（填“一次”“二次”或“反比例”） (2)求的值； (3)科学研究表明，当注意力指标数不低于30时，学生学习解综合题的效果会更好．请你根据图表中给出的信息，结合测量学，求出学生学习解综合题效果显著的状态能持续多长时间？ 30．为保障学生饮水健康安全，鹿鸣路初中配备了智能全自动饮水机．八年级数学兴趣小组研究发现：饮水机接通电源后加热时，水温匀速上升，每分钟上升，加热到时停止加热；随后水温自然回落，此阶段水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，开始下一轮循环．若初始水温在时接通电源，八年级数学兴趣小组绘制了水温随通电时间变化的部分函数图象（如图所示），请结合图象解答下列问题． (1)图象中停止加热后水温自然回落至的过程中，水温与通电时间x（min）之间的函数关系式是______，自变量x的取值范围是_____； (2)图象中从接通电源开始，到水温首次回落至为止，求这一过程中水温不低于时长为多少分钟？ (3)早晨7：40接通电源启动加热（此时水温为），当天上午9：20下课时同学们______（填“能”或“不能”）接到的温开水，此时水温为______． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 用反比例函数解决实际问题 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 工程问题 题型2 行程问题 题型3 图形面积问题 题型4 销售利润单价问题 题型5 物理、化学类问题 题型6 容积体积问题 题型7 与生活相关的反比例函数问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 反比例函数的实际应用 1. 结合生活常见情境，认识反比例函数实际模型，理解变量间反比例变化关系。 2. 学会从实际问题中提取已知条件，准确列出反比例函数解析式并规范书写。 3. 掌握实际问题自变量取值范围，能结合实际意义判断变量合理取值。 4. 利用反比例函数性质求解实际最值、比较大小，提升数学解题应用能力。 5. 培养数学建模思想，体会函数与生活的联系，提高分析解决问题素养。 学习重点：能从实际情境中建立反比例函数模型，列解析式并解决基础实际应用问题。 学习难点：准确结合实际限制确定自变量范围，利用函数性质分析解决综合性问题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 反比例函数的实际应用 反比例函数的实际应用 1. 用反比例函数解决问题的两种思路： （1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系式； （2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题. 2. 列反比例函数解决问题的步骤： （1）审：审题，找出题目中的常量和变量，以及它们之间的关系； （2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数表达式； （3）求：根据题中条件列方程，求出待定系数的值； （4）写：写出函数表达式，并注意表达式中自变量的取值范围； （5）解：用函数解析式去解决实际问题． 利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1、能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2、注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3、问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图像解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 即时即练 1．某汽车从市到市行驶的里程为，假设该汽车匀速行驶，行驶的时间为，速度为，且速度限定不超过． (1)与之间的函数表达式为________，自变量的取值范围是________； (2)汽车从市开出，要在内（含）到达市，汽车的行驶速度至少为多少？ 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据路程、速度和时间的关系即可列出表达式，再计算出速度最高时的时间，可得自变量的范围； （2）令，求出速度，结合反比例函数的性质得到，即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：， 其中，， ∴自变量的取值范围是； （2）∵汽车内（含）到达市， ∴当时，． ∵随的增大而减小， ∴由，得． ∴汽车的行驶速度至少为． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出函数关系式并运用反比例函数的增减新解决问题． 2．人蒙上眼睛后行走的路径近似看作一个圆圈，小明和几位小伙伴据此做蒙眼转圈游戏．已知圆圈的半径是其两腿迈出的步长差的反比例函数． (1)求R与d的函数表达式； (2)规定蒙上眼睛走出的圆圈半径小于即为输，若小明想不输则他两腿迈出的步长差d的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设与之间的函数表达式为，解方程即可得到结论； （2）根据题意令，求出d，再根据反比例函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， ， ， ∴与之间的函数表达式为； （2）当时，即， ， ∵， ∴在时，随的增大而减小， ∴， 若小明想不输则他两腿迈出的步长差d的范围是． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，正确的理解题意是解题的关键． 3．研究发现：初中生在数学课上的注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生注意力直线上升，中间一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散，注意力与时间呈反比例关系降回开始时的水平．学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示． (1)求反比例函数的关系式，并求点A对应的指标值； (2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 【答案】(1)，A点对应的指标值为； (2) 不能，理由如下： 由图知学生的注意力指标最高为15， 故注意力指标达不到36． 【分析】（1）设反比例函数解析式为，然后把点代入求解即可得到反比例函数解析式，然后令，求出的值，即可求得点A对应的指标值； （2）由图知学生的注意力指标最高为15，由此解答即可． 【详解】（1）解：设反比例函数的关系式为， 由图知，反比例函数过点， 代入解析式得， 解得， ∴反比例函数的关系式为， 当时，， 则A点对应的指标值为； （2）略 【点睛】本题主要考查了函数图像的应用，一次函数与反比例函数综合，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数与反比例函数的相关知识． 题型1 工程问题 1．一工程中，某工程队工人每天需要挖掘20吨土的深沟，整个工程完毕恰好用了6天. (1)在工程结束后，工人需要把所有的土进行回填，在整个回填过程中，平均回填速度v（单位：吨/天）与回填天数t之间有怎样的函数关系? (2)由于遇到紧急情况，要求整个回填工程不超过4天完毕，那么平均每天至少要回填多少吨土? 【答案】(1) (2)平均每天至少要回填30吨土 【分析】本题考查反比例函数的应用，根据题意列出反比例函数解析式是解题关键. （1）首先根据题意可知总工作量为吨不变，故回填速度v与回填天数t之间为反比例关系，即，变形即可得出v关于t的函数关系式； （2）由得出，再将代入，即可求出v的取值范围． 【详解】（1）设总工作量为k吨，根据已知条件得， ∴v关于t的函数表达式为； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 那么平均每天至少要回填30吨土． 2．某运输公司有甲、乙两个车队，甲车队承担了某工程运送土石方的任务，已知需运送的土石方总量为立方米，甲车队每天运送的土石方为V（立方米/天），完成任务所需要的时间为t． (1)求V与t的函数关系式？当时，求V的取值范围； (2)若甲车队派出全部的20辆卡车，每辆卡车每天可运送土石方100立方米，工程进行了8天后，因车队接到了其它任务，需要提前4天完成，则乙车队至少需要派出多少辆同样的卡车才能按时完成任务？ 【答案】(1) (2)乙车队需要派出10辆同样的卡车才能按时完成任务 【分析】此题主要考查了反比例函数和一元一次不等式的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出函数解析式． （1）根据工作量时间土石方总量可得，进而可得函数解析式，再根据，即可解答； （2）20辆卡车完成任务需20天，工程进行了8天后，需要提前4天完成任务，设需要增加辆卡车，根据题意列出不等式即可． 【详解】（1）解：根据题意：解：， ，， 随的增大而减小，当时，有最小值， ； （2）解：设乙车队需要派出x辆同样的卡车才能按时完成任务． 则原计划需要的天数为： 解得， 答：乙车队需要派出10辆同样的卡车才能按时完成任务． 3．在伊通河治理工程实验过程中，某工程队接受一项开挖水架的工程，所需天数（单位：天）与每天完成的工程量（单位：m/天）之间的函数关系图象是如图所示的双曲线的一部分．    (1)请根据题意，求关于的函数解析式； (2)若该工程队有台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠，则该工程队需用多少天才能完成此项任务？ 【答案】(1) (2)天 【分析】（1）将点代入反比例函数的解析式，即可求得反比例函数的解析式； （2）用工作效率乘以工作时间即可得到工作量，然后除以工作效率即可得到工作时间． 【详解】（1）解：设解析式为， ∵点在其图象上， 将代入反比例函数的解析式，得, 解得：， ∴所求函数关系式为． （2）解：由题意知，台挖掘机每天能够开挖水渠（米）， 当时，， 故该工程队需要用天才能完成此项任务． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从中整理出解决实际问题的函数模型． 4．在工程实施过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y(天)与每天完成工程量x(米)是反比例函数关系，图象如图所示： (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若该工程队有4台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米，问该工程队需要用多少天才能完成此项任务？ 【答案】(1) (2)天 【分析】（1）将点代入反比例函数的解析式，即可求得反比例函数的解析式； （2）用工作效率乘以工作时间即可得到工作量，然后除以工作效率即可得到工作时间． 【详解】（1）解：设， ∵点在其图象上， ∴， ∴， ∴所求函数关系式为． （2）由题意知，4台挖掘机每天能够开挖水渠(米)， 当时， 答：该工程队需要用天才能完成此项任务． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从中整理出解决实际问题的函数模型． 5．在工程实施过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y（天）与每天完成工程量x米的函数关系图像如图所示，是双曲线的一部分． (1)请根据题意，求y与x之间的函数表达式； (2)若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米，问该工程队需要用多少天才能完成此项任务？ (3)工程队在（2）的条件下工作5天后接到防汛紧急通知，最多再给5天时间完成全部任务，则最少还需调配几台挖掘机？ 【答案】(1) (2)该工程队需要20天才能完成此项任务 (3)最少还需调配4台挖掘机 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）将x＝60代入，求解即可； （3）先求出5天后还剩余的工作量，用这个剩余的工作量除以时间5天，得到每天应完成的工作量，再减去已有的两台挖机一天完成的要作量，得到还应凋入挖机一天要完成的工作量，用这个一天要完成的工作量除以每台完成任务的工作量，即可求得要调配的挖机数． 【详解】（1）解：设y=，由图可知，点(24，50)在图像上， 把(24，50)代入y=，得 50=，解得：k=1200， ∴； （2）解：∵该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米， ∴该工程队每天完成60米， 将x＝60代入，得 y=＝20(天), ∴该工程队需要20天才能完成此项任务； （3）解：5天后还剩1200－60×5＝900(米) 900÷5－60＝120(米) 120÷30＝4（台） ∴最少还需调配4台挖掘机． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，求出反比例函数解析式是解题的关键． 题型2 行程问题 6．超越公司将某品牌农副产品运往新时代市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．根据经验，v，t的一组对应值如下表： v（千米/小时） 60 75 80 90 t（小时） 5.00 4.00 3.75 (1)根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式； (2)汽车上午7：30从超越公司出发，能否在上午10：00之前到达新时代市场？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见详解 【分析】（1）根据表格中数据，可知是的反比例函数，设，利用待定系数法即可求解； （2）上午出发，到上午之前，可知时间为小时，根据（1）中的函数关系，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，即每一对与的对应值乘积为一定值，在减小，在增大， ∴与成反比关系，设， 把，代入反比例函数得，， ∴与的表达式为， ∵汽车行驶速度不超过千米/小时， ∴， ∴， ∴平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系是反比例函数，表达式为． （2）解：∵（小时）， ∴（千米/小时）， ∵汽车行驶速度不超过千米/小时，， ∴不能． 7．某公司将A地生产的农副产品运往B地市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时(汽车行驶速度不超过100千米/小时且不低于60千米/小时)．根据经验，v，t的一组对应值如下表： v（千米/小时） 75 80 85 90 95 t（小时） 4.00 3.75 3.53 3.33 3.16 (1)请你根据表中的数据建立适当的平面直角坐标系并描出对应的点，由此判断v与t之间成什么函数关系； (2)求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式并写出自变量t的取值范围 (3)若汽车到达B市场的行驶时间t满足，求平均速度v的取值范围． 【答案】(1)根据图象判断为反比例函数，画图见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据表格建立直角坐标系，描点，画出图象，根据图象进行判断即可； （2）待定系数法求函数解析式，根据汽车行驶速度不超过100千米/小时且不低于60千米/小时，求出自变量t的取值范围； （3）根据反比例函数的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示：    由图可知：v与t之间成反比例函数； （2）设，将代入，得：， ∴； ∵， ∴； （3）由图象可知，时，随着的增大而减小； ∴当时，取最大值为：；当时，取最小值为：； ∴． 【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，正确的求出函数解析式． 8．某公司将特色农副产品运往邻市市场进行销售，设汽车的行驶时间为小时，平均速度为千米/时（汽车行驶速度不超过110千米/时）．根据经验，，的部分对应值如下表： （千米/时） 75 80 90 时 4.80 4.50 4.00 (1)根据表中的数据，求出平均速度（千米/时）关于行驶时间（时）的反比例函数表达式；（不用写自变量的取值范围） (2)汽车上午6∶00出发，能否在上午9∶00之前到达邻市市场？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能， 理由： ， 当时，． 汽车不能在上午9∶00之前到达邻市市场． 【分析】（1）设．根据时，，得到，即得反比例函数表达式． （2）根据汽车上午6∶00出发，要在上午9∶00之前到达邻市市场，得到行驶时间为3小时，求得速度，判定汽车不能在上午9∶00之前到达邻市市场． 【详解】（1）根据表格中数据，可设． 时，， ， ． （2）略 【点睛】本题主要考查了反比例函数．解决问题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，根据自变量值求出函数值，与函数值限制范围比较作判断． 9．越来越多的人选择骑自行车这种低碳方便又健身的方式出行．某日，一位家住宝山的骑行爱好者打算骑行去上海蟠龙天地，记骑行时间为t小时，平均速度为v千米/小时（骑行速度不超过40千米/小时）．根据以往的骑行经验，v、t的一些对应值如下表： v（千米/小时） 15 20 25 30 t（小时） 2 1 (1)根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式； (2)如果这位骑行爱好者上午8：30从家出发，能否在上午9：10之前到达上海蟠龙天地？请说明理由； (3)若骑行到达上海蟠龙天地的行驶时间t满足，求平均速度v的取值范围． 【答案】(1) (2)不能，理由详见解析 (3) 【分析】本题考查反比例函数的应用，关键是求出反比例函数解析式． （1）由表中数据可得，从而得出结论； （2）把代入（1）中解析式，求出v，从而得出结论； （3）根据和t的取值范围得出结论． 【详解】（1）解：根据表中数据可知，， ， 平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式； （2）骑行者在上午9：10之前不能到达上海蟠龙天地，理由： 从上午8：30到上午9：10，骑行者用时40分钟，即小时， 当时，（千米/时）， 骑行速度不超过40千米/小时， 骑行者在上午9：10之前不能到达上海蟠龙天地； （3）， 当时，， 解得， 平均速度v的取值范围为． 10．汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为小时，平均速度为千米/小时（汽车行时速度不超过千米/小时），根据经验，，的一组对应值如下表； （千米/小时） （小时） (1)根据表中的数据，分析说明平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系，并求出其表达式； (2)汽车上午从甲地出发，能否在上午之前到达乙地？请说明理由． 【答案】(1)平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系是反比例函数，表达式为 (2)不能，理由见详解 【分析】（1）根据表格中数据，可知是的反比例函数，设，利用待定系数法即可求解； （2）上午出发，到上午之前，可知时间为小时，根据（1）中的函数关系，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，即每一对与的对应值乘积为一定值，在减小，在增大， ∴与成反比关系，设， 把，代入反比例函数得，， ∴与的表达式为， ∵汽车行时速度不超过千米/小时， ∴， ∴， ∴平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系是反比例函数，表达式为． （2）解：∵（小时）， ∴（千米/小时）， ∵汽车行时速度不超过千米/小时，， ∴不能． 【点睛】本题主要考查反比例函数的实际运用，理解和掌握反比例函数的定义，待定系数法求反比例函数是解题的关键． 题型3 图形面积问题 11．如图，科技小组准备用材料围建一个面积为的长方形科技园，其中一边靠墙，墙长，设的长为，的长为． (1)求关于x的函数关系式； (2)y与x是什么函数关系？ 【答案】(1) (2)反比例函数关系 【分析】用长方形的面积建立和的关系式，即可求得函数关系式，根据关系式即可确定函数关系． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴ ∵墙长，靠墙边为， ∴，即 ∴ ∴； （2）∵符合反比例函数的形式， ∴y与x是反比例函数关系． 12．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线与相交于A，B两点（点A在点B的左侧）． (1)当时，求k的值； (2)点B关于y轴的对称点为C，连接； ①判断的形状，并说明理由； ②当的面积等于16时，双曲线上是否存在一点P，连接，使的面积等于面积？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①为直角三角形，理由见解析；②点P的坐标为或或或． 【分析】（1）设点B的坐标为，则点，则，即可求解； （2）①点A、C的横坐标相同，轴，点B关于y轴的对称点为C，故轴，即可求解；②过点C作直线，交反比例函数于点P，则点P符合题设要求，同样在下方等间隔作直线交反比例函数于点P，则点P也符合要求，进而求解． 【详解】（1）解∶设点B的坐标为，则点，则： ， 解得（负值已舍去）， 故点B的坐标为， 将点B的坐标代入反比例函数表达式得∶， 解得∶； （2）解：①为直角三角形，理由∶ 设点，则点， ∵点A、C的横坐标相同， ∴轴， ∴点B关于y轴的对称点为C， ∴轴， ∴， ∴为直角三角形； ②由①得∶， 则的面积， 解得（负值已舍去）， ∴点B的坐标为，C的坐标为， 将点B的坐标代入反比例函数表达式得∶，解得， ∴反比例函数表达式为①； 过点C作直线，交反比例函数于点P，则点P符合题设要求， 同样在AB下方等间隔作直线交反比例函数于点P，则点P也符合要求． ∵， ∴设直线m的表达式为， 将点C的坐标代入，解得， 故直线m的表达式为②， 根据图形的对称性，则直线n的表达式为③， 联立①②并解得∶ 或， 联立①③并解得∶ 或， ∴点P的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合运用，涉及到待定系数法求函数解析式，同底等高的三角形的面积等知识，综合性较强． 13．如图1，木匠陈师傅现有一块五边形木板，它是矩形木板用去后的余料，，，，是边上一点．陈师傅打算利用该余料截取一块矩形材料，其中一条边在上． (1)[初步探究] 当时． ①若截取的矩形有一边是，则截取的矩形面积的最大值是______； ②若截取的矩形有一边是，则截取的矩形面积的最大值是______； (2)[问题解决] 如图2，陈师傅还有另一块余料，，，，，，且和之间的距离为4，若以所在直线为轴，中点为原点构建直角坐标系，则曲线是反比例函数图象的一部分，陈师傅想利用该余料截取一块矩形材料，其中一条边在上，所截矩形材料面积是．求的长． 【答案】(1)①4；②10 (2) 【分析】（1）①当为矩形一条边，为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大； ②当为矩形一条边，为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大； （2）由题意可知，，，，再由点在函数图象上，求出反比例函数的解析式为，再求点，，用待定系数法求出直线的解析式，设，则，再由方程，求出的值即可求的长． 【详解】（1）解：①当为矩形一条边，为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大， ，， ， 截取的矩形面积的最大值4； 故答案为：4； ②当为矩形一条边，为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大， ，， ， 截取的矩形面积的最大值10； 故答案为：10； （2）解：， ，， ， ，， 点在函数图象上， ， 反比例函数的解析式为， 和之间的距离为4，， ， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 设，则， ， 解得， 的长为． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象及性质，矩形的性质，矩形的面积，熟练掌握知识点是解题的关键． 14．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求函数的表达式； (2)根据图象写出使一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围； (3)点C是反比例函数的图象上第一象限内的一个动点，当的面积等于的面积时，求C点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）点，在一次函数上，求出的值，待定系数法求出的表达式即可； （2）找到直线在双曲线上方时，的取值范围即可； （3）的面积等于的面积，得到点到直线的距离等于点到直线的距离，根据平行线间的距离处处相等，将直线向上或向下平移1个单位，得到直线，直线与双曲线在第一象限的交点即为点，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：由图象可知： 当或时，直线在双曲线上方， ∴一次函数值大于反比例函数值时的取值范围为：或； （3）解：∵的面积等于的面积， ∴点到直线的距离等于点到直线的距离， ∴将直线向上或向下平移1个单位，得到直线，直线与双曲线在第一象限的交点即为点，如图： ∵， ∴，， 联立，解得：或（不合题意，舍去）； ∴； 联立，解得：或（不合题意，舍去）； ∴； 综上：点的坐标为：或． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 15．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在y轴正半轴上，点C的坐标为，反比例函数的图象经过点B． (1)求反比例函数的表达式； (2)在反比例函数的图象上是否存在点P，使得的面积等于菱形的面积？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在；或， 【分析】（1）延长交轴于点，易得轴，根据菱形的性质，求出点坐标，即可求出反比例函数的解析式； （2）求出菱形的面积，再利用进行计算即可． 【详解】（1）解：延长交轴于点， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴轴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点在双曲线上， ∴， ∴反比例函数的表达式为：； （2）解：存在；设点的横坐标为， ∵， ∴， ∴， 当时，，即：， 当时，，即：； 综上，存在点或，使的面积等于菱形的面积． 【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合应用．正确的求出反比例函数的解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 【易错警示】 求解反比例函数相关图形面积，易忽略面积对应 | k|，直接用面积当作 k 值。三角形面积忘记乘 2，未结合图象象限判断 k 正负。同时容易看错垂线构成的图形，计算坐标时忽略符号，最终导致 k 取值、图形面积计算出现错误。 题型4 销售利润单价问题 16．某商场出售一批进价为120元/件的商品311件，为寻求合适的销售价格，商场营销部进行了4天试销活动，发现此商品的日销售单价（元/件）与日销售量（件）之间有如下关系：观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种商品的日销售量（件）与日销售单价（元/件）之间的关系 第1天 第2天 第3天 第4天 日销售单价（元/件） 150 200 240 250 日销售量（件） 40 30 25 24 (1)写出这个反比例函数的解析式（不必写的取值范围）； (2)在试销4天后，若商场决定将这种商品的销售单价定为250元/件，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些商品预计再用多少天可以全部售出； (3)设商品的日销售利润为元，试求出与之间的函数关系式，物价局规定此商品的售价最高不超过300元/件，若商场按获得最大日销售利润的销售单价出售该商品，能否在试销后的10天内售完该商品？ 【答案】(1) (2)8天 (3)能 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的定义和性质是解题的关键． （1）设出反比例函数解析数，找一点代入即可； （2）根据题意计算即可； （3）根据，可表示出与之间的函数关系式，再根据求出最大利润，再进行计算即可． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， 把代入得， 解得， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：（天）， ∴商场按销售价格250元/件出售该商品，余下的商品预计再用8天全部售出． （3）解：依题意， 整理得：， ∵， ∴当时，最大， ∴当时，， ∴（天）， ∴商场按获得最大日销售利润的销售单价出售该商品，能在试销后的10天内售完该商品． 17．某公司今年推出一款产品．根据市场调研，发现如下信息． 信息1：每月的销售总量y（件）和销售单价x（元/件）存在函数关系，其图象由部分双曲线和线段组成． 信息2：该产品2月份的单价为66元/件，3月份的单价降低至45元/件，在生产成本不变的情况下，这两月的销售利润相同． 根据以上信息，解答下列问题： (1)求该产品的生产成本； (2)该公司计划在4月份通过技术改造，使生产成本降低，同时继续降低销售价格，使得4月份的销售利润不低于3月份．求4月份该产品销售单价的范围． 【答案】(1)该产品的生产成本为38元/件 (2)4月份该产品销售单价的范围是 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解不等式，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． （1）根据题意得到．把代入解析式得到，设该产品的生产成本为元件，列方程即可得到结论； （2）根据题意得到3月份利润为元．由题意得4月份成本为元件，列不等式即可得到结论． 【详解】（1）解：由图象得曲线解析式为． 令，则， 即3月份销售量为400件， 设该产品的生产成本为元件，则， 解得， 答：该产品的生产成本为38元件； （2）解：3月份利润为：元． 由题意得4月份成本为元件， 则， 解得， 月份该产品销售单价的范围是． 18．某淘宝商家出售一种零食，在销售过程中，该商家发现这种零食的日销售量y（单位：）与日销售单价x（单位：元）之间成反比例函数关系，它的图象如图所示， (1)求y与x的函数表达式，并根据图象写出自变量x的取值范围； (2)求当日销售单价为15元时，日销售量为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及求反比例函数的函数值． （1）设反比例函数的解析式为，将点P代入解析式求解，即可解题； （2）将代入（1）中求出的解析式求解，即可解题． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， 由图象知反比例函数经过点P， 即：， 所以反比例函数的解析式为； （2）解：令得， 答：日销售单价为15元时，日销售量为． 19．某玩具厂生产一种玩具，本着控制固定成本，降价促销的原则，使生产的玩具能够全部售出．据市场调查，若按每个玩具280元销售时，每月可销售300个．若销售单价每降低1元，每月可多售出2个．据统计，每个玩具的固定成本Q（元）与月产销量y（个）满足如下关系： 月产销量y（个） … 160 200 240 300 … 每个玩具的固定成本Q（元） … 60 48 40 32 … （1）每月产销量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式为______；从上表可知．每个玩具的固定成本Q（元）与月产销量y（个）之间满足反比例函数关系式，求出Q与y之间的关系式； （2）若每个玩具的固定成本为30元，求它的销售单价是多少元？ （3）若该厂这种玩具的月产销量不超过400个，求此时销售单价是多少元？ 【答案】（1），；（2）270元；（3）230元 【分析】（1）设y=kx+b，把（280，300），（279，302）代入解方程组即可；观察函数表可知两个变量的乘积为定值，所以固定成本Q（元）与月产销量y（个）之间存在反比例函数关系，不妨设Q=，由此即可解决问题； （2）求出销售价即可解决问题； （3）根据条件分别列出不等式即可解决问题． 【详解】解：（1）由于销售单价每降低1元，每月可多售出2个，所以月产销量y（个）与销售单价x （元）之间存在一次函数关系， 不妨设y=kx+b，则（280，300），（279，302）满足函数关系式， 得， 解得， 故产销量y（个）与销售单价x（元）之前的函数关系式为； 因为固定成本Q（元）与月产销量y（个）之间存在反比例函数关系， 不妨设， 将，代入得到， 此时； （2）当时，． 由（1）可知，所以，即销售单价为270元； （3）若，则，即，则固定成本至少是24元， ，解得，即销售单价最低为230元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、反比例函数的应用、不等式，成本，销售价、销售量之间的关系，解题的关键是理解题意，灵活应用待定系数法解决问题． 20．商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品日销售单价x（元）与日销售量y（张）之间有如下关系： x/元 3 4 5 6 y/张 20 15 12 10 (1)写出y关于x的函数解析式 ______； (2)设经营此贺卡的日销售利润为W（元），试求出W关于x的函数解析式，若物价局规定此贺卡的日销售单价最高不能超过10元/张，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润，并求出最大日销售利润． 【答案】(1) (2)W＝60﹣，当日销售单价x定为10元时，才能获得最大日销售利润，最大日销售利润为48元 ． 【分析】（1）通过观察，发现x与y之间存在反比例关系，然后根据待定系数法可以得到解答； （2）由（1）和已知可以得到W关于x的函数解析式，然后根据函数的增减性可以得到最终解答． 【详解】（1）解：设， 把x＝3，y＝20代入得， 解得k＝60， ∴． （2）解：W＝（x﹣2）y＝（x﹣2）•＝60﹣， ∵W随x增大而增大，x≤10， ∴x＝10时，W＝60﹣12＝48（元）为最大值， ∴当日销售价为10元时，最大日销售利润为48元． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数解析式的求法和性质是解题关键 ． 题型5 物理、化学类问题 21．项目式学习·测量盒子质量 问题背景：日常生活中的各种称重仪器大多都可以测出一定范围内的物体质量，当物体质量太轻或太重时便无法直接测量出结果，在数学活动课上，老师让同学们测空牛奶盒的质量． 实验操作：如图，兴趣小组的同学利用所学知识，制作了一个简易天平，左侧托盘固定在点A处，且托盘上放置了一个的砝码，右侧托盘可以在段滑动，已知，，通过往牛奶盒里加入水或倒出水，并移动右侧托盘使天平保持平衡，得到下表中的实验数据． 实验数据： 实验序号 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 总质量m（牛奶+水） 120 60 50 40 150 的距离 12.5 25 30 37.5 10 问题解决    (1)任务一：根据表中数据可知，的长度随着总质量m的增大而________，并依此猜想：l与m满足怎样的函数关系：________（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”）； (2)任务二：某同学给空牛奶盒里加入了的水，移动托盘使天平保持平衡，此时，求这个空牛奶盒的质量； (3)任务三：在任务二的情况下，天平达到平衡，此时将含水的牛奶盒与砝码的位置互换，要使天平仍保持平衡，则右边托盘应怎样移动． 【答案】(1)减小，反比例函数； (2)这个空牛奶盒的质量为； (3)右边托盘应向左边移动 【分析】（1）根据表格数据可知，的长度随着总质量m的增大而减小，根据，猜想：l与m满足怎样的函数关系：反比例函数； （2）先设l关于m的函数解析式为，运用待定系数法，求出反比例函数的解析式为，再设空牛奶盒的质量为，根据题意得：，解方程，从而求出这个空牛奶盒的质量； （3）含水的牛奶盒质量为，牛奶盒与砝码的位置互换后，要使天平左边与右边平衡，则有，求出l，并根据任务二，求出右边托盘应向左边移动． 【详解】（1）解：任务一：根据表中数据可知，的长度随着总质量m的增大而减小， ∵， ∴依此猜想：l与m满足：反比例函数； （2）解：设l关于m的函数解析式为， 则，将代入， 得：， 即l关于m的函数解析式为， 设空牛奶盒的质量为， 根据题意得：， 解得：， 答：这个空牛奶盒的质量为． （3）解：由任务二得，含水的牛奶盒总质量为， ∵将含水的牛奶盒与砝码的位置互换， ∴要使天平左边与右边平衡，可列式为：， 解得：， ∵， ∴要使天平仍保持平衡，右边托盘应向左边移动． 22．【知识背景】杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，如图1，即．小明利用杠杆原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图2）． 【方案设计】第一步：在一根长度为的匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度），在左侧末端处固定一个金属吊钩，作为秤钩，在离左侧末端处确定支点，并用细麻绳固定； 第二步：取一个质量为的金属物体作为秤砣．（备注：秤钩与秤砣绳长的质量忽略不计） 任务一：在图2中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点右侧的处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物的质量为，的长为．    (1)关于的函数关系式是________； (2)若，则的取值范围是________． 任务二：如图3，调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点右侧的处，使秤杆平衡．设重物的质量为，的长为，完成下列问题： (3)关于的函数关系式是________； (4)完成下表： … 0.5 1 2 4 … … ________ ________ ________ ________ … 任务三：如图4，在离左侧末端处确定第二个支点．现有重物约，可选用支点，和秤砣（）、（）进行称量． (5)请通过计算确定：应选择哪个支点和哪个秤砣？并说明如何判断重物是否正好为． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)见解析； (5)选择支点Q和秤砣来秤重物，当秤砣移动到离支点Q的距离为处时，秤杆平衡说明重物正好为，如果不平衡说明重物不是 【分析】（1）根据即可求出关系式； （2）根据y的范围即可求得x的范围； （3）根据即可求出关系式； （4）将x的值分别代入求解即可； （5）根据题意分别选择支点O和Q计算，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴； （2）解：∵ ∴ ∴； （3）解：∵ ∴ ∴； （4）解：根据题意得， … 0.25 0.5 1 2 4 … … 40 20 10 5 2.5 … （5）解：如图所示， 由题意知，，， 如果用支点O，则， （），不合题意，舍去； 如果用支点Q，则， ， 选择支点Q和秤砣来称重物，当秤砣移动到离支点Q的距离为处时，秤杆平衡说明重物正好为，如果不平衡说明重物不是． 23．某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时，把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中．如图，在实验中发现，水对容器底部的压强（单位：）与容器底面积（单位：）成反比例函数关系． (1)把一定质量的水放入底面积为的容器时，压强是，求压强关于底面积的函数关系式； (2)在（1）的条件下，实验小组计划更换不同规格的同类型容器，底面积的调节取值范围是，请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由待定系数法进行求解即可； （2）由反比例函数的性质，算出临界值，即可得出对应的取值范围； 【详解】（1）解：由题可知，设（）， 当时，，代入得， ∴， ∴． （2）解：已知且， ∵， ∴在第一象限内，随的增大而减小， 当时，； 当时，； ∴． 24．如图1，小丽设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：取一根匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点处，并将其吊起．在中点左侧固定位置处悬挂重物，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，直至木杆平衡，改变弹簧秤与点的距离，重复上述步骤，观察弹簧秤的示数的变化情况．实验数据记录如下： (1)把表中，的各组对应值作为点的坐标，在如图2所示的平面直角坐标系中描出相应的点，用平滑的曲线连接这些点并观察所得的图象，求出与之间的函数关系式； (2)当弹簧秤的示数为5N时，弹簧秤与点的距离是多少？在弹簧的弹性限度内，随着弹簧秤与点的距离逐渐减小，弹簧秤的示数将发生怎样的变化？ 【答案】(1) 如图所示： (2)当弹簧秤的示数为时，弹簧秤与O点的距离是，随着弹簧秤与O点的距离逐渐减小，弹簧秤的示数将不断增大． 【分析】（1）根据表格数值描点、连线即可画出图形 ，根据图象特点判断出y与x之间的函数关系，最后利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）把代入（1）所得函数解析式即可求出x，根据函数的性质即可判断弹簧秤示数的变化情况； 【详解】（1）图略 由函数图象可得，y是x的反比例函数，设，把代入得， ， 解得， ∴； （2）解∶把代入，得， 解得， 即当弹簧秤的示数为时，弹簧秤与O点的距离是， ∵，在第一象限内，y的值随着x的值的增大而减小， ∴随着弹簧秤与O点的距离逐渐减小，弹簧秤的示数将不断增大． 25．浮力式密度计是测量液体密度的仪器（如图1），通常是一个密封的玻璃管，底部有重物，上部有刻度，把它放入液体中，它会竖直漂浮．密度计上与液面平齐的刻度为浸没深度（单位：），且液体密度（单位：）是浸没深度（单位：）的反比例函数．小明在家里制作简易浮力式密度计（如图2），经过测量与查阅资料得到浸没深度与液体密度的对应关系（如下表）． 酒精 水 蜂蜜 浸没深度 8.5 14 10 1 (1)__________，__________； (2)如果该简易密度计能竖直漂浮的最小浸没深度为，最大浸没深度为，求该密度计能测量的液体密度的范围． 【答案】(1); (2) 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再利用求函数值的方法解答即可； （2）根据反比例函数的增减性进行解答即可． 【详解】（1）液体密度（单位：）是浸没深度（单位：）的反比例函数， 设反比例函数解析式为， 把 ，代入得， ， 当 时， ； 当时， ； （2）当时， ， 当时， ， ， 当时，随着的增大而减小， ． 【易错警示】 理化类反比例应用题易忽略变量物理意义，遗漏自变量大于 0 的取值范围。分不清正反比例等量关系，列错函数式，计算时忽视单位统一。不会结合实际情境取舍结果，单纯代数求解，未检验数值是否符合客观实际，造成答题疏漏失分。 题型6 容积体积问题 26．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压和气体的体积存在一定的函数关系．下表是几组气体的气压与气体的体积的对应值． 气体的体积 气体的气压 (1)试确定气体的气压关于气体的体积的函数解析式； (2)当气体的体积为时，求气体的气压． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的实际应用； （1）先通过表格数据判断与的乘积为定值，确定二者是反比例函数关系，进而求出函数解析式， （2）代入指定的体积值计算对应的气压． 【详解】（1）解：由表格中的对应数据计算 可得 所以 结合实际背景，气体体积不能为0， 因此自变量的取值范围是即气体的气压关于气体的体积的函数解析式为； （2）解：当时 答：气体的气压为． 27．在项目化学习活动上，同学们研究温度不变时，气缸内气体压强与体积的关系通过实验发现，加压后气体对气缸壁所产生的压强是气缸内气体的体积的反比例函数，图象如图所示． (1)求出压强与体积的反比例函数表达式． (2)点的实际意义是______． (3)若压强由加压到，则气体体积压缩了多少？ 【答案】(1) (2)当气缸内气体的体积是时，加压后气体对气缸壁所产生的压强是 (3)气体体积压缩了 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质． （1）待定系数法求函数解析式即可； （2）根据实际问题解释点坐标的意义即可； （3）根据函数解析式求出函数值，然后求解即可． 【详解】（1）解：设压强与体积的函数表达式为， 将代入得：， ， ∴压强与体积的函数表达式为； （2）解：当气缸内气体的体积是时，加压后气体对气缸壁所产生的压强是； （3）解：当时，，解得． 当时，，解得． ， 答：气体体积压缩了． 28．儿童游乐场有一个大游泳池，打开1个进水管，需要24小时才能把空游泳池注满水；打开2个进水管，需要12小时才能把空游泳池注满水．如图，设进水管为x（个），将游泳池注满水所需的时间为t（）． (1)求t与x之间的函数关系式； (2)要想2个小时把游泳池注满水，需要同时打开多少个进水管？ (3)已知一个进水管的注水速度为，则此游泳池的容积是多少？若要注入的水，需要同时打开6个进水管多长时间？ 【答案】(1) (2)12个 (3)此游泳池的容积是，注入的水需要同时打开6个进水管3.2小时 【分析】（1）由图象知，t是x的反比例函数，当时，，设，进而求解即可； （2）将代入反比例函数关系式求解即可； （3）根据“打开1个进水管，需要24小时才能把空游泳池注满水”及“一个进水管的注水速度为”可知此游泳池的容积；用注入量除以6个进水管的总效率即可． 【详解】（1）解：由图象知，t是x的反比例函数，当时，， 设， ， 解得：， ； （2）解：当时，， 解得． ∴需要同时打开12个进水管； （3）解：∵， ∴此游泳池的容积是． ． 答：此游泳池的容积是，注入的水需要同时打开6个进水管3.2小时． 29．某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：m2） 与其深度（单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求储存室的容积V的值； (2)受地形条件限制，储存室的深度需要满足16≤≤25，求储存室的底面积S的取值范围． 【答案】(1) (2)当16≤≤25时，400≤S≤625 【分析】（1）利用体积等于等面积乘以深度即可得到答案； （2）先求解反比例函数的解析式为，再利用反比例函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：由图知：当深度=20米时，底面积S=500米2， ∴=500米2×20米=10000米3； （2）由（1）得： ， 则（），S随着的增大而减小， 当时，S=625； 当时，S=400； ∴当16≤≤25时，400≤S≤625． 【点睛】本题考查的是反比例函数的应用，反比例函数的性质，熟练的利用反比例函数的性质求解函数值的范围是解本题的关键． 30．某蓄水池的排水管每小时排水，6小时可将满池水全部排空． (1)求蓄水池的容积． (2)如果增加排水管，使每小时排水量达到Q（），那么将满池水排空所需时间t（）将如何变化，写出t与Q之间的函数关系式． (3)如果计划在5小时内将满池水排空，那么每小时排水量至少是多少？ 【答案】(1)蓄水池的容积为 (2)排水时间t与排水速度Q成反比， (3)每小时排水量至少是 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，一元一次不等式组的应用． （1）根据“容积排水速度时间”计算即可； （2）根据总容积V是定值可知排水时间t与排水速度Q成反比；根据“时间蓄水总量平均排水量”即可求出函数关系式； （3）根据和解不等式组即可． 【详解】（1）解：∵某蓄水池的排水管每小时排水，小时可将满池水全部排空， ∴蓄水池的容积； （2）解：∵总容积V是定值， ∴排水时间t与排水速度Q成反比． 函数关系式为：； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴每小时排水量至少是． 题型7 与生活相关的反比例函数问题 31．如图是某饮水机通电开机后，水温与开机时间（分）之间的关系图象，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间（分）成反比例，当水温降至时，饮水机又自动开始加热……，重复上述过程． (1)当时，求水温关于开机时间（分）的一次函数解析式． (2)求的值． (3)上午（水温），饮水机开机通电后到中午，水温共有几次达到? 【答案】(1) (2) (3)水温共有次达到 【分析】本题考查一次函数、反比例函数的实际应用与周期规律探究，熟练运用待定系数法求函数解析式、结合周期计算次数是解答本题的关键． （1）利用一次函数待定系数法，代入图像已知两点坐标、，求解，确定时的一次函数解析式； （2）水温下降阶段为反比例函数变化，先用定点求出反比例函数表达式，再代入，算出对应的自变量数值即为t； （3）先算出单次循环周期时长，再计算到的总时长，通过除法求周期个数与剩余时间，结合周期规律统计水温达到的总次数． 【详解】（1）解：由图象可知，当时间时，；当时间时，， 当时，设， 将、分别代入， 得， 解得， 所以温度关于开机时间（分）的函数关系式为； （2）解：由图象知当时，在水温下降过程中，水温是关于开机时间（分）的反比例函数， 设， 把点代入，得 解得， ， 当时，， 解得， ∴； （3）解：结合图象，可知每分钟图象重复出现一次，到经历分钟， ， 共经历了个周期余分钟， 所以水温共有次达到． 32．打铁是中国传统手工锻造工艺，以铁砧、火炉、风箱等工具将铁料经煅烧、锻造、淬火等工序制成农具或生活器具，该工艺始于汉代，作为一项老祖先的传承，小明某次旅游中，观看了一次打铁的非遗表演．并发现了以下现象，请帮他解决问题： 打铁要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由烧到1000后立即开始锻造操作，当材料温度低于500时，须停止锻造并立即进行再次煅烧．每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度y（）与时间x（）成一次函数关系，第一次锻造时温度y（）与时间x（）成反比例函数关系． (1)求第一次煅烧和锻造的函数解析式； (2)求第一次锻造操作的时长； (3)求第二次开始锻造的时间（精确到0.1）． 【答案】(1)（）；（） (2)10 (3)25.1 【分析】（1）根据题意分别设第一次煅烧和锻造的函数解析式为与，再结合图象找出其经过的点，最后利用待定系数法求解即可； （2）利用（1）中求出的第一次锻造的函数解析式，分别算出与时的自变量取值，再作差求解即可； （3）设第二次煅烧时的函数解析式为，根据每次煅烧温度上升的速度相同，得到，再结合图象利用待定系数法求出第二次煅烧时的函数解析式，最后求出当时，自变量的值，即可解题． 【详解】（1）解：第一次煅烧时温度y（）与时间x（）成一次函数关系， 设此时函数解析式为，由图象可知，该函数经过和两点， 即，解得， 即（）， 第一次锻造时温度y（）与时间x（）成反比例函数关系， 设此时函数解析式为， 由图象可知，该函数经过点，即，解得， 即（）； （2）解：当时，，解得：， 当时，， （）， 所以第一次锻造操作的时长是10； （3）解：每次煅烧温度上升的速度相同， 设第二次煅烧时温度y（）与时间x（）的函数解析式为， 由题意得，即函数解析式为，此函数经过点， 代入可得，， ，即， 当时，， 所以第二次开始锻造的时间约为第25.1． 33．为了预防流感，大庆市第三十六中学对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段室内每立方米空气中的含药量y（）与燃烧时间x（）成正比例．燃烧完毕后，y与x成反比例（如图）．根据图中信息解答下列问题： (1)请求出药物燃烧时及药物燃烧后，y与x函数关系式及自变量的取值范围； (2)当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒副作用．那么从有人开始消毒，至少经过多长时间后学生才可以回教室． 【答案】(1)药物燃烧时；，药物燃烧后 (2)至少经过分钟后学生才可以回教室 【分析】（1）设，将点代入函数解析式求出即可；设，将点代入函数解析式求出即可； （2）令，然后结合图象进一步求解可得答案．． 【详解】（1）解：设， ∵函数经过点， ∴，， ∴； 根据函数图象可得 ∴药物燃烧时；， 设， ∵函数经过点， ∴，， ∴； 根据函数图象可得 ∴药物燃烧后； （2）解：∵当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒害作用， ∴当时，， 经检验，是原分式方程的解， 由函数图象可知，至少经过分钟后学生才可以回教室． 34．研究发现：初中生在数学课上的注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生注意力直线上升，中间一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散，注意力与时间呈反比例关系降回开始时的水平．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示． (1)求反比例函数的解析式，并求点对应的指标值； (2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要15分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 【答案】(1)，A点对应的指标值为20 (2)能，见解析 【分析】（1）设反比例函数解析式为，然后把点代入求解即可得到反比例函数解析式，然后令，求出的值，即可求得点A对应的指标值； （2）求解上升阶段解析式为，结合注意力指标都不低于36，进一步解答即可． 【详解】（1）解：设反比例函数的关系式为， 由图知，反比例函数过点， 代入解析式得， 解得， ∴反比例函数的关系式为， 当时，， 则A点对应的指标值为； （2）解：能．理由： 设上升阶段的表达式为， 将代入得：， 解得， 上升阶段解析式为， 当时，， 解得：， 在下降阶段：，解得， ， 能安排． 35．某种型号的温控水箱的工作过程是：接通电源后，在初始温度下加热水箱中的水；当水温达到设定温度时，加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到时，再次自动加热水箱中的水至时，加热停止；当水箱中的水温下降到时，再次自动加热，按照以上方式不断循环． 小明根据学习函数的经验，对该型号温控水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究．发现水温是时间的函数，其中（单位：）表示水箱中水的温度．（单位：min）表示接通电源后的时间．下面是小明的探究过程，请补充完整： 下表记录了内14个时间点的温控水箱中水的温度随时间的变化情况 接通电源后的时间（单位：min） 0 1 2 3 4 5 8 10 16 18 20 21 24 32 水箱中水的温度（单位：℃） 20 35 50 65 80 64 40 32 20 50 64 40 20 (1)的值为___________； (2)①如图，在平面直角坐标系中，描出了上表中部分数据对应的点，根据描出的点，画出当时，温度随时间变化的函数图象； ②求出当时最符合表中数据的函数解析式； (3)如果水温随时间的变化规律不变，预测水温第9次达到时，距离接通电源___________min． 【答案】(1)80 (2)①图象如下： ② (3)66 【分析】（1）根据表格数据，可以得出加热的阶段，水温y与时间x呈一次函数关系，由表格可知，每分钟水温上升，16分钟的时候为，，故20分钟的时候刚好； （2）①根据表格数据描点，再通过加热阶段和降温阶段分别是一次函数关系和类反比例关系，画出图象即可； ②根据表格数据，确定函数解析式即可； （3）由表格可知，每16分钟一循环，找到第一个16分钟中水温为时对应的时间，再通过循环确定第9次即可． 【详解】（1）解：由题意可知，阶段，为加热，且每分钟水温上升， 又， ∴20分钟时，对应的水温为，即； （2）解：①略 ②由表格，可知， ∴当时，， 由表格，可知，当，y是x的一次函数，由题意，， 设， 代入，得， ∴， ∴； （3）解：由表格和图象可知，每16分钟一循环， 在第一个16分钟，当和时，水温为， 故每个16分钟，有2次水温为，第9次为第5个16分钟的第1次， 此时（分钟）． 1．某项工作，一个人单独完成需10天．若m个人共同完成需n天，每人每天完成的工作量相同，选取数对，在坐标系中进行描点，下列选项正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据工作量相同，建立等式解答即可． 本题考查了反比例函数的意义，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵一个人完成需10天， ∴一人一天的工作量为， ∵m个人共同完成需n天， ∴一人一天的工作量为， ∵每人每天完成的工作量相同， ∴． ∴， ∴n是m的反比例函数， ∴选取数对，在坐标系中进行描点，则正确的是C． 故选：C． 2．在综合实践课上，小明利用恒定的压力测定压强与受力面积的关系．经测定，当时，，则与之间的函数图像可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据压强公式，代入，即可求出反比例函数，进而判断出函数图像． 【详解】解：根据压强公式，可知当，时， 故， 即， 与的函数关系式为， 当时，， 故B，C选项不符合题意； 当时，， 故D选项不符合题意； P与S之间的函数图像可能是选项A中的图像． 故选：A． 3．在压力不变的情况下，某物体所受到的压强与它的受力面积之间成反比例函数关系，其图象如图所示．当时，物体所受到的压强是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的应用，先根据待定系数法求出反比例函数解析式，再把代入，问题得解． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 由图象得反比例函数经过点， ， 反比例函数的解析式为， 当时，． 即当时，物体所受到的压强是， 故选：A． 4．如图机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度是（   ） A．8 B．3 C．9 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意求出反比例函数的解析式是解题的关键； 利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将代入计算即可． 【详解】设反比例函数解析式为， 机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度； ， 反比例函数解析式为， 当时，． 故选：D． 5．如图①为亮度可调节的台灯，在电压一定的情况下，该台灯的电流与电阻之间的函数关系如图②所示，则下列说法正确的是（   ） A．与的函数解析式是 B．当时， C．随的增大而增大 D．当时，的取值范围是 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，由待定系数法求出反比例函数的解析式是解决问题的关键．由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质逐项分析即可得到答案． 【详解】解：设与的函数关系式为：， 该图像经过点， ， ， 与的函数关系式是，故选项A不符合题意； 当时，，解得，故选项B不符合题意； ，随的增大而减小，故选项C不符合题意； 当时，，当时，， 当时，的取值范围是，故选项D符合题意； 故选：D． 6．验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（   ）度． A．150 B．200 C．250 D．300 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，读懂题意，掌握课本知识是解决问题的关键．由已知设，则由图象知点满足解析式，代入求，则解析式为：，令，时，分别求的值后作差即可． 【详解】解：设， 在图象上， ， 函数解析式为：， 当时，， 当时，， 度数减少了（度）， 故选：B 7．驾驶员血液中每毫升的酒精含量大于或等于200微克即为酒驾，某研究所经实验测得：成人饮用某品牌38度白酒后血液中酒精浓度y（微克/毫升）与饮酒时间x（小时）之间函数关系如图所示（当时，y与x成反比例）．下列说法不正确的是（　　） A．饮酒时间4小时以内，饮酒时间x越长，血液中酒精浓度y越大 B．当时，血液中酒精浓度y的值为320 C．当时，该驾驶员为非酒驾状态 D．血液中酒精浓度不低于200微克/毫升的持续时间7小时 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数与正比例函数的实际应用，先利用待定系数法求解两个函数解析式，再利用函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：当时， 设直线解析式为（正比例函数）：， 将代入得：， 解得：，故直线解析式为：， 因此饮酒时间4小时以内，饮酒时间x越长，血液中酒精浓度y越大， 故A正确，不符合题意； 当时，设反比例函数解析式为：， 将代入得：， 解得：，故反比例函数解析式为：； 当时，，故B正确，不符合题意； 当时，， ∵， ∴该驾驶员为非酒驾状态，故C正确，不符合题意； 当，则， 解得：， 当，则， 解得：， ∵（小时）， ∴血液中药物浓度不低于200微克/毫升的持续时间6小时， 故D错误，符合题意． 故选：D． 8．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，关于的函数图象如图所示，若压强由加压到，则气体体积压缩了（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图象可得关于的函数解析式为，然后问题可求解． 【详解】解：设关于的函数解析式为，由图象可把点代入得：， 关于的函数解析式为， 当时，则， 当时，则， 压强由加压到，则气体体积压缩了； 故选：C． 【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的应用是解题的关键． 9．根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示，下列结论中错误的是（     ） A．当时，； B．当受力面积S大于时，压强p 小于 C．S每增加，p减小 D．当时，压强p的变化范围为 【答案】C 【分析】先根据图象上的点求出反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质及解析式逐项判断即可． 【详解】解：设， 图像经过点即， ∴． A．当时，，故A正确； B．由，则该函数在第一象限内p随S的增大而减小， 当时，， 即当时，，故B正确； C．当S从增加到时，p从1000减小到500，减小了500， 当S从增加到时，p从500减小到，减小量不为1000，故C错误，符合题意； D．当时，，当时，， 即当时，压强p的变化范围为，故选项D正确． 10．某康复中心对房间进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间的变化如图所示，消毒效果y（单位：效力）与时间x（单位：分钟）呈现两段函数图象（部分图象），其中段为渐深消毒阶段，用一次函数刻画，段是反比例函数（）图象的一部分，为降解消毒阶段．下列结论错误的是（    ） A．当，y随x的增大而增大 B．当消毒后60分钟时，消毒效果为3效力 C．消毒过程中消毒效果为4效力及以上的持续时长为28分钟 D．当消毒后20分钟时，消毒效果为效力 【答案】C 【分析】从函数图象获取信息，求出反比例函数的解析式，再逐一进行判断即可． 【详解】观察函数图象可知，当，y随x的增大而增大，∴A选项正确，不符合题意； 对于，当时，解得， ∴点B的坐标为， ∴，解得， ∴ 当时，解得， ∴当消毒后60分钟时，消毒效果为3效力，∴B选项正确，不符合题意； 当时，，解得，当时，， ∴持续时长为（分钟），∴C选项错误，符合题意； 将代入，解得，∴D选项正确，不符合题意． 11．如图，在压力不变的情况下，某物体承受的压强（单位：）与它的受力面积（单位：）成反比例函数关系．当时，则压强__________． 【答案】50 【分析】本题考查了图象与点的关系，代入解析式，计算判断即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数， 当时， 故． 12．某物理实验小组在探究“杠杆平衡条件”时，记录了动力臂与对应动力的部分数据如下表： 动力臂 0.1 0.2 0.4 0.8 动力 20 10 5 2.5 观察表中数据发现，与的乘积始终为定值2．若该定值保持不变，当动力臂时，所需的动力______． 【答案】8 【分析】根据，代入即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴当时，． 13．金属的延展性是指金属可被拉成细丝或压成薄片的特性，其中金的延展性在金属中表现尤为突出．现将某颗金豆拉成金丝，已知金丝的横截面积S（单位：）是长度L（单位：m）的反比例函数．当时，．若最终金丝的横截面积变为，则此时金丝的长度为_____m． 【答案】10000 【分析】求出反比例函数的解析式，进而求出对应的自变量的值即可. 【详解】解：设， 由题意，， ∴， 当时，. 14．某玩具汽车的功率P（单位：W）为定值，行驶速度V（单位：m/s）与所受阻力F（单位：N）成反比例函数关系，它的图象如图所示．当该玩具汽车受到的阻力为时，玩具汽车的速度为_______． 【答案】4 【分析】利用待定系数法求出反比例函数解析式，再求出自变量为5时的函数值即可． 【详解】解：设， 由图象可知，反比例函数经过点， ， 解得：， ， 当时，， 即当该玩具汽车受到的阻力为时，玩具汽车的速度为． 15．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过，那么用电器可变电阻R应控制的范围是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确求出是解题的关键． 设电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系为，利用待定系数求出，再求出当，，最后根据反比例函数的增减性进行求解即可． 【详解】解：设电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系为， 把点代入中得，， ∴， ∴， 当时，，解得， ∵， ∴电流I随电阻R的增大而减小， ∴限制电流不能超过，那么用电器可变电阻应控制的范围是， 故答案为：． 16．验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例．如图所示，已知小雪的镜片焦距为米时，眼镜度数为500度，若小雪的镜片焦距为米，则此时眼镜的度数为________度． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是求出反比例函数的解析式，设，将代入计算即可求解． 【详解】解：设， 将代入中，得， 解得：， ， 当，则， 则此时眼镜的度数为度， 故答案为：． 17．快递运载机器人是一种应用于配送领域的智能机器人，它的最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款快递运载机器人载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用．利用待定系数法求出反比例函数解析式，后再将代入计算即可． 【详解】解：∵智能机器人的最快移动速度是载重后总质量的反比例函数，机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度， 设反比例函数解析式为，代入得： ， ∴反比例函数解析式为， 当时，， 故答案为：． 18．随着科技的迅猛发展，智能机器人已融入人们的日常生活中．如图，是某酒店的智能送餐机器人，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知此款智能送餐机器人载重前的质量时，它的最快移动速度，当其载重后总质量时，它的最快移动速度v是_______． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法，反比例函数的应用，设，求出，当时，代入计算，即可求解；理解实际意义，并能用待定系数法求出解析式是解题的关键． 【详解】解：设， ， 解得：， 当时 （）， 故答案为：． 19．某市举行中学生数学知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）与该校参加竞赛人数的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，关于这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数有以下三种说法：①甲优秀的人数最多；②丙优秀的人数最多；③乙比丁优秀的人数多．其中说法正确的是______．（填写序号）    【答案】② 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，根据乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，得到乙、丁两所学校优秀的人数相同，丙在双曲线的上方，得到的值最大，进而得到丙优秀的人数最多，即可． 【详解】解：由题意：的值即为学校优秀人数的个数， ∵乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上， ∴乙、丁两所学校优秀的人数相同，故③错误； ∵甲在双曲线的下方，丙在双曲线的上方，故丙的的值最大，即丙优秀的人数最多，故①错误，②正确； 故答案为：②． 20．某气球内充满了一定质量的气体，在一定条件下，气球内的气压是气球体积的反比例函数，其图像如图所示．已知当气球内的气压大于40000时，气球将爆炸，为确保安全，气球的体积V的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用．利用待定系数法求出比例函数解析式，再利用反比例函数的性质求解，即可得到答案． 【详解】解：设反比例函数解析式， 由图象可知，反比例函数经过点， ， ， 在第一象限内，P随V的增大而减小， 当时，， 气球内的气压大于时，气球将爆炸， 当时，此时， 气体的体积的取值范围为， 故答案为：． 21．某班级篮球队计划采购一批护腕，保护队员手腕以防受伤．已知本次可采购的护腕数量y（单位：副）与每副护腕的采购费用x（单位：元）之间满足反比例函数关系，且当每副护腕的采购费用为8元时，本次可采购的护腕数量为20副． (1)求y关于x的函数表达式； (2)为保证护腕质量，要求每副护腕的采购费用为10元，请问可以采购多少副护腕? 【答案】(1)y关于x的函数表达式为 (2)可以采购16副护腕 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质和应用，利用待定系数法求函数表达式，求函数值等，解题的关键是掌握反比例函数的性质． （1）利用待定系数法进行求解即可； （2）根据函数表达式求出函数值即可． 【详解】（1）解：设y关于x的函数表达式为， 由题意可知，当时，， 将代入中，得， 解得， ∴y关于x的函数表达式为； （2）解：当时，则， ∴可以采购16副护腕． 22．政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为，某运输公司承担了运送土石方的任务． (1)运输公司平均运送速度（单位：/天）与完成运送任务所需时间（单位：天）之间具有怎样的函数关系？ (2)若这个运输公司每天可运送土石方，公司完成全部运输任务需要多长时间？ 【答案】(1) (2)公司完成全部运输任务需要9天 【分析】本题考查了反比例函数的应用，理解题意并列出函数解析式是解决本题的关键． （1）根据题意即可列函数解析式； （2）根据“这个运输公司每天可运送土石方”进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，， ∴； （2）解：∵这个运输公司每天可运送土石方， ∴ 解得， 答：公司完成全部运输任务需要9天． 23．如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻来控制电流实现灯光亮度的变化，电流与电阻之间成反比例函数关系，如图2所示． (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求对应的的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确地求出函数解析式，掌握反比例函数的性质是解题的关键． (1)待定系数法求出函数解析式； (2)将代入，求得的值，然后根据反比例函数在第一象限内的增减性即可得出结果． 【详解】（1）由题意可设 点在函数的图象上， ，， 电流与电阻之间的函数表达式为； （2）当时，，， 由函数图象可知，该函数在第一象限内随的增大而减小， 当时，． 24．我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系．现有某学生利用一个最大电阻为72欧姆的滑动变阻器及一电流表测电源电压，结果如图所示，当电阻为12欧姆时，电流为12安培． (1)求电流（安培）关于电阻（欧姆）的函数表达式； (2)若，求电流的变化范围． 【答案】(1)I= (2) 【分析】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及反比例函数的性质是解题关键． （1）设函数解析式为，把当时，，代入求出值即可得答案； （2）根据反比例函数性质，把，代入求出的最大值和最小值即可得答案． 【详解】（1）解：设函数表达式为 ∵当时，， ∴，解得：， ∴电流I（安培）与电阻R（欧姆）之间的表达式为； （2）解：∵中，， ∴图象在第一象限，I随R的增大而减小， ∵， ∴把电阻最小值代入，得到电流的最大值，． 把电阻最大值代入，得到电流的最小值，． ∴电流I的变化范围是． 25．燃气公司要在地下修建一个容积为的圆柱形燃气储存室． (1)储存室的底面积与其深度之间的函数表达式是_______________． (2)公司决定把储存室的底面积S定为，施工队施工时应该向下掘进多少米？ (3)当施工队按（2）中的计划掘进到地下时，碰上了坚硬的岩石．为了节约资金，公司临时改变计划，把储存室的深度改为，则储存室的底面积应该改为多少才能满足需要？ 【答案】(1) (2)20 (3) 【分析】（1）根据圆柱的体积公式，即可求解； （2）把代入，即可求解； （3）把代入，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：把代入， 得， 解得； （3）解：根据题意，把代入，得， ∴储存室的底面积应该改为 26．某生物小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒毫升后，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（小时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求图中线段所在直线的函数表达式； (2)当时，与成反比例关系．假设某人晚上喝完毫升低度白酒，那么此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由． 【答案】(1) (2)第二天早上能驾车出行 【分析】本题主要考查一次函数、反比例函数的综合运用，掌握待定系数法，一次函数、反比例函数图象的性质是解题的关键． （1）设直线的解析式为，将点代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意可得，则设双曲线的解析式为，将点代入可得反比例函数解析式，当时，，根据从晚上到第二天早上时间间距为小时，由此即可求解． 【详解】（1）解：依题意，设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， ； （2）解：当时，，即， ∴， 设双曲线的解析式为，将点代入得：， ， 由得，当时，， 从晚上到第二天早上时间间距为小时， ， 第二天早上能驾车出行． 27．“道路千万条，安全第一条”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试． 【数据收集】下表是测试所得的数据： 行车速度（） 视野角度（度） (1)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点． 【数学表达】 (2)请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度（度）与行车速度（）之间关系的函数表达式． 【问题解决】 (3)在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于80度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范围？ 【答案】(1) (2) (3)车辆的行驶速度应控制在不超过，即 【分析】（1）根据表格数据在坐标系中描出对应点，按自变量从小到大的顺序用平滑曲线顺次连接各点即可； （2）观察数据得行车速度与视野角度的乘积近似为定值，判断为反比例函数，写出近似函数表达式并标注自变量取值范围即可； （3）根据视野角度的要求列不等式，代入反比例函数解析式，结合实际意义求解，即可得到行驶速度的控制范围． 【详解】（1）略 （2）解：观察表格数据，每组行车速度v与视野角度的乘积近似等于，符合反比例函数的特征，因此近似函数表达式为：； （3）解：由题意，要求视野角度不小于度，即，代入函数表达式得： ， 因为行车速度，不等式两边同时乘，不等号方向不变： ， 解得， 结合实际意义，车辆的行驶速度应控制在不超过，即． 28．某海洋保护区使用监测无人机巡查生态环境，以海岸线为x轴，垂直海岸线方向为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，无人机主巡航航线是直线，需与一条洋流边界线交汇以采集水样．无人机与洋流边界在交汇点相遇． (1)求无人机航线参数b和洋流边界参数k； (2)一架无人机在A处采集水样后，转向沿西北方向航行，到达洋流边界上的点P投放浮标，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将分别代入和求解即可； （2）过点P，A分别作x轴，y轴的垂线，两垂线交于点B，连接，则为等腰直角三角形，，设，则，解方程即可． 【详解】（1）解：将分别代入和， 得，， 解得，； （2）解：如图，过点P，A分别作x轴，y轴的垂线，两垂线交于点B，连接，则， ∵一架无人机在A处采集水样后，转向沿西北方向航行， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 29．某教育测量专家研究初中生在数学课堂上听课注意力指标数与上课时间的函数关系时，用如下表格和图象来表示这两个变量的变化规律． 上课时间 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 24 32 40 指标数 28.8 33.6 38.4 43.2 48 48 48 48 48 48 40 30 (1)由表格和图象可知，当时，是的__________函数；当时，是的__________函数；（填“一次”“二次”或“反比例”） (2)求的值； (3)科学研究表明，当注意力指标数不低于30时，学生学习解综合题的效果会更好．请你根据图表中给出的信息，结合测量学，求出学生学习解综合题效果显著的状态能持续多长时间？ 【答案】(1)一次，反比例 (2) (3)29.5分钟 【分析】（1）根据表格，函数图象分析即可； （2）运用待定系数法求解即可； （3）根据函数解析式，分别求出时的时间，求差即可． 【详解】（1）解：根据表格信息可得，当时，是的一次函数，当时，是的反比例函数； （2）解：当时，是的一次函数， 设解析式为， 当时，，当时，， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为， ∴当时，；当时， 是的反比例函数，当时，， ∴设反比例函数解析式为， ∴，解得，， ∴反比例函数解析式为， 当时，； 综上所述，， （3）解：当时，一次函数解析式为， 当时，，解得，， 当时，反例函数的解析式为， 当时，， 解得，， ∵， ∴学生学习解综合题效果显著的持续时间是29.5分钟 30．为保障学生饮水健康安全，鹿鸣路初中配备了智能全自动饮水机．八年级数学兴趣小组研究发现：饮水机接通电源后加热时，水温匀速上升，每分钟上升，加热到时停止加热；随后水温自然回落，此阶段水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，开始下一轮循环．若初始水温在时接通电源，八年级数学兴趣小组绘制了水温随通电时间变化的部分函数图象（如图所示），请结合图象解答下列问题． (1)图象中停止加热后水温自然回落至的过程中，水温与通电时间x（min）之间的函数关系式是______，自变量x的取值范围是_____； (2)图象中从接通电源开始，到水温首次回落至为止，求这一过程中水温不低于时长为多少分钟？ (3)早晨7：40接通电源启动加热（此时水温为），当天上午9：20下课时同学们______（填“能”或“不能”）接到的温开水，此时水温为______． 【答案】(1)，； (2)； (3)能；40 【分析】(1) 先根据加热速率求出停止加热时的通电时间，再用待定系数法求反比例函数表达式，最后求水温降至时的总时间确定自变量范围． (2) 分加热和回落两个阶段分别求出水温为时对应的通电时间，再分别计算两阶段中水温不低于的时长并求和． (3) 先求一个完整周期时长，再计算内经历几个完整周期，判断下课时处于第几轮的哪个阶段，进而求出水温和是否在～范围内． 【详解】（1）解：∵ 初始水温为，每分钟上升， ∴ 加热到所需时间为， 即停止加热时，． 设停止加热后水温与通电时间的函数关系式为， ∵ 图象过点， ∴ ， 解得， ∴ 函数关系式为． 当水温降至时，， 解得， ∴ 自变量的取值范围是． （2）解：由题意，饮水机接通电源后加热时，水温匀速上升，每分钟上升， 加热阶段水温与通电时间的关系为()， 当时，， 解得， ∴ 加热阶段水温不低于的时长为． 回落阶段水温与通电时间的关系为()， 当时，， 解得， ∴ 回落阶段水温不低于的时长为． ∴ 这一过程中水温不低于的总时长为． （3）解：∵ 加热需，回落需， ∴一个完整周期为． ∵ 早晨7:40到上午9:20共， ， ∴ 经过个完整周期后，第个周期又进行了． 第个周期中，前加热，后回落， ∵ ， ∴ 此时处于第个周期的回落阶段， 故可知，第1个周期的温度，第个周期开始后第的温度一样， 此时的温度为： ∵ ， ∴ 同学们能接到～的温开水， 此时水温为． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $