2026年浙教版数学八年级暑假知识训练：正方形的性质与判定

**基本信息** 聚焦正方形性质与判定的系统性训练，以题载法构建"概念-判定-性质-综合应用"逻辑链，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质应用|3题（如第2、13题）|对角线性质转化、面积公式逆用|从边/角/对角线三维度构建性质网络| |判定定理|4题（如第1、6题）|矩形/菱形判定条件组合|判定定理的层级关系（平行四边形→矩形/菱形→正方形）| |综合应用|5题（如第3、20题）|割补法验证勾股定理、轴对称最短路径|正方形与三角形、函数等知识的交叉融合|

…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 正方形的性质与判定 一、单选题 1.下列不能判断是正方形的有（   ） A. 对角线互相垂直的矩形                                       B. 对角线相等的矩形 C. 对角线互相垂直且相等的平行四边形                  D. 对角线相等的菱形 2.如图，已知四边形ABCD是正方形，E是AB延长线上一点，且BE=BD，则∠BDE的度数是（     ） A. 22.5°                                     B. 30°                                     C. 45°                                     D. 67.5° 3.如图1是边长分别为 的两个正方形，经如图2所示的割补可以得到边长为 的正方形，且面积等于割补前的两正方形的面积之和．利用这个方法可以推得或验证勾股定理．现请你通过对图2的观察指出下面对割补过程的理解错误的是（  ） A. 割⑤补⑥                           B. 割③补①                           C. 割①补④                           D. 割③补② 4.如图，正方形ABCD中，E、F是对角线AC上两点，连接BE、BF、DE、DF ， 则添加下列条件①∠ABE＝∠CBF；②AE＝CF；③AB＝AF；④BE＝BF ． 可以判定四边形BEDF是菱形的条件有（   ） A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个 5.如图，点 、 分别是正方形 的边 、 上的点，且 ， 、 相交于点 ，下列结论：① ；② ；③ ，其中一定正确的有（   ） A. 0个                                       B. 1个                                       C. 2个                                       D. 3个 6.已知四边形 是平行四边形，下列条件：① ；② ；③ ；④ ．选两个作为补充条件，使得四边形 是正方形，其中错误的选法是（  ） A. ①②                                     B. ②③                                     C. ①③                                     D. ③④ 7.四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O ， 能判定它是正方形的是（   ） A. AO＝OC ， OB＝OD                                         B. AO＝BO＝CO＝DO ， AC⊥BD C. AO＝OC ， OB＝OD ， AC⊥BD                      D. AO＝OC＝OB＝OD 8.如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，要得到一个正方形，剪口与折痕所成锐角的大小为（   ） A.                                        B.                                        C.                                        D.  9.如图，在 中， ， ， ， 与 的平分线交于点 ，过点 作 于点 ，若则 的长为(    ) A.                                           B. 2                                         C.                                          D. 4 10.如图，在 中， ，以 的各边为边分别作正方形 ，正方形 与正方形 .延长 ， 分别交 ， 于点K，J，连结 ， .图中两块阴影部分面积分别记为 ， ，若 ，四边形 ，则四边形 的面积为（   ） A. 5                                           B. 6                                           C. 8                                           D. 9 二、填空题 11.若一个正方形的面积为a2+a+ ，则此正方形的周长为________. 12.已知正方形ABCD在直角坐标系中，A(2，2)，B(4，2)．那么C点的坐标为________． 13.如图，正方形ABCD的对角线长为8，E为AB上一点，若EF⊥AC于点F，EG⊥BD于点G，则EF+EG＝________. 14.如图，四边形ABCD是矩形，则只须补充条件________（用字母表示只添加一个条件）就可以判定四边形ABCD是正方形． 15.如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则 的值为________． 16.在我国古算书《周髀算经》中记载周公与商高的谈话，其中就有勾股定理的最早文字记录，即“勾三股四弦五”，亦被称作商高定理.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的， ，AB=3，AC=4，则D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，那么矩形KLMJ的面积为________. 三、解答题 17.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.E，G分别是OB，OC上的点，CE与DG的延长线相交于点F.若DF⊥CE，求证：OG＝OE. 18.如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM^AD，PN^CD，垂 足分别为M、N． 若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形． 19.如图，在正方形 中，点 是对角线 上的一点，过点 作 交 于点 ，作 交 于点 .求证： 20.某课外活动小组对课本上的一道习题学习后，进行了拓展应用： （1）如图1，是在直线l上找一点P，使得PA＋PB最短（画图即可）. （2）如图2，应用：已知正方形ABCD中，E为AB的中点，在线段BD上找一点P，使得PA＋PE的值最小，画图即可. （3）探索：E为正方形ABCD的AB边的中点，如图3，M为BC上一点，N为CD上一点，连接EM，MN，NA，请你应用（1）的原理，在图2中找出点M，N，使得EM＋MN＋NA的值最小，画图即可. 21.△ABC中，点O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC，若MN交∠BCA的平分线于点E，交∠DCA的平分线于点F，连接AE、AF. （1）说明：OE＝OF （2）当点O运动到AC中点处时，求证：四边形AECF是矩形； （3）在(2)的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF为正方形，并加以证明. 22.下面我们做一次折叠活动： 第一步，在一张宽为2的矩形纸片的一端，利用图（1）的方法折出一个正方形，然后把纸片展平，折痕为MC； 第二步，如图（2），把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平，折痕为FA； 第三步，折出内侧矩形FACB的对角线AB，并将AB折到图（3）中所示的AD处，折痕为AQ． 根据以上的操作过程，完成下列问题： （1）求CD的长． （2）请判断四边形ABQD的形状，并说明你的理由． 23.    （1）如图①，E是正方形ABCD的边BC上任意一点，过点A作FA⊥AE于A，与CD的延长线交于点F，求证：AE＝AF； （2）如图②，当点E是正方形ABCD的边BC延长线上的任意一点时，过点A作FA⊥AE于A，交CD的延长线于点F.结论AE＝AF是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由. 24.已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝90°， AB＝BC，D是AC的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交BC于点F. （1）求证：AE＝BF； （2）连接EF，求∠DEF的度数； （3）若AC= ，直接写出EF的取值范围. 答案解析部分 一、单选题 1. B 考点：正方形的判定 解：A、对角线互相垂直的矩形是正方形，此项不符题意 B、对角线相等的矩形不一定是正方形，此项符合题意 C、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，此项不符题意 D、对角线相等的菱形是正方形，此项不符题意 故答案为：B. 分析：由正方形的判定：对角线互相垂直的矩形是正方形；对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；对角线相等的菱形是正方形，可知ACD都能判定是正方形，只有B：对角线相等的矩形，肯定还是矩形，但不一定是正方形，对角线互相垂直的矩形才是正方形，由此可判断出不能判断是正方形的选项. 2. A 考点：正方形的性质 解：∵ 四边形ABCD是正方形 ， ∴∠ABD＝45°，AD＝AB， ∵BE＝BD， ∴∠BED＝∠BDE， ∴∠ABD=∠BED+∠BDE＝45°， ∴2∠BDE＝45°， ∴∠BDE＝22.5°， 故答案为：A. 分析：由条件BE＝BD，得∠BED＝∠BDE，根据正方形的性质得∠ABD＝45°，根据三角形外角的性质得∠BED+∠BDE＝∠ABD＝45°，从而求得∠BDE. 3. B 考点：正方形的性质 解：由题意可得： 要拼成一个正方形，应当割⑤补⑥，割①补④，割③补②， 故答案为：B． 分析：根据题意，由正方形的性质，判断得到答案即可。 4. C 考点：正方形的性质 解：如图，连接BD ， 交AC于点O ， 在正方形ABCD中，AB=BC ， ∠BAC=∠ACB ， AC⊥BD ， AO=CO ， BO=DO ， ①在△ABE与△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（ASA）， ∴BE=BF ， ∵AC⊥BD ， ∴OE=OF ， 所以四边形BEDF是菱形，故①选项符合题意； ②在正方形ABCD中，AC=BD ， ∴OA=OB=OC=OD ， ∵AE=CF ， ∴OE=OF ， 又EF⊥BD ， BO=OD ， ∴四边形BEDF是菱形，故②选项符合题意； ③AB=AF ， 不能推出四边形BEDF其它边的关系，故不能判定是菱形，本选项不符合题意； ④BE=BF ， 同①的后半部分证明，故④选项符合题意． 所以①②④共3个可以判定四边形BEDF是菱形． 故答案为：C． 分析：根据正方形的四条边都相等，对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角的性质，再加上各选项的条件，对各选项分析判断后即可得出符合题意选项的个数 5. C 考点：正方形的性质 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠BAF=∠ADE=90°. ∵CE=DF，∴AF=DE. ∴△ABF≌△DAE. ∴AE=BF；∠AFB=∠AED. ∵∠AED+∠DAE=90°， ∴∠AFB+∠DAE=90°， ∴∠AOF=90°， 即AE⊥BF，故①正确； 若AO=OE，则BO垂直平分AE， ∴AB=BC=BE，这与BE>BC矛盾，故②不正确；  S△AOB=S△ABF-S△AOF ， S四边形DEOF=S△ADE-S△AOF ， ∵△ABF≌△DAE， ∴S△ABF=S△ADE ， ∴S△AOB=S四边形DEOF ， 故③正确. 故答案为：C. 分析：根据正方形的性质，运用SAS证明△ABF≌△DAE，运用全等三角形性质逐一解答. 6. B 考点：正方形的判定 解： 四边形ABCD是平行四边形，AB=BC， 是菱形， 菱形ABCD是正方形， A不符合题意； 四边形ABCD是平行四边形， 是矩形， 符合题意； 四边形ABCD是平行四边形，AB=BC， 是菱形 菱形ABCD是正方形 C不符合题意； 四边形ABCD是平行四边形，AC=BD， 是矩形， 矩形ABCD是正方形， 不符合题意， 故答案为：B． 分析：根据菱形、矩形、正方形的判定方法逐项进行分析． 7. B 考点：正方形的判定 解：∵对角线相等垂直且互相平分的四边形是正方形， ∴选项B符合题意. 故答案为：B. 分析：根据正方形的判定定理“对角线相等垂直且互相平分的四边形是正方形”进行解答. 8. B 考点：正方形的判定与性质 解：由题目中的折叠方法，我们可知剪下的是一个四边相等的四边形，即为菱形， 因为有一个角是 的菱形是正方形， 所以剪口与折痕所成锐角的大小为 ， 故答案为：B. 分析：可动手操作，根据正方形的判定进行求解. 9. B 考点：角平分线的性质，勾股定理，正方形的判定与性质 解：过点O作OE⊥BC于E，OF⊥AC于F， ∵BO,CO分别为∠ABC，∠ACB的平分线， 所以OD=OE=OF， 又BO=BO, ∴△BDO≌△BEO,∴BE=BD. 同理可得，CE=CF. 又四边形ADOE为矩形，∴四边形ADOE为正方形. ∴AD=AF. ∵在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，∴BC=10. ∴AD+BD=6①, AF+FC=8②， BE+CE=BD+CF=10③， ①+②得，AD+BD+AF+FC=14，即2AD+10=14， ∴AD=2. 故选：B. 分析：过点O作OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，由角平分线的性质得到OD=OE=OF，根据勾股定理求出BC的长，易得四边形ADFO为正方形，根据线段间的转化即可得出结果. 10. B 考点：勾股定理，矩形的判定与性质，正方形的性质，几何图形的面积计算-割补法，三角形全等的判定（ASA） 解：∵ ∴ ∵四边形 与四边形 是正方形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ， ∴ ∵四边形 +梯形 ∴ ∴ ∴ ∵ ， ∴ ，即 ∵四边形 与四边形 是正方形 ∴ ， ∴ ∴ ∴ ∴ 四边形 ∵ ∴四边形 是矩形 ∴矩形 四边形 四边形 四边形 ∴四边形 矩形 故答案为：B. 分析：结合题意，根据正方形面积比，计算得 ，从而得 ；根据勾股定理性质，计算得 ；再根据勾股定理计算，得 ；结合 ，通过计算得 ；通过证明 ，得 ，结合矩形 和四边形 、 的面积关系计算，即可得到答案. 二、填空题 11. 4a+2 考点：正方形的性质 解：∵正方形的面积为a2＋a＋ =（a+ ）2 ， ∴正方形的边长为a+ ， ∴正方形的周长为4a+2. 故答案为4a+2. 分析：由完全平方公式可将正方形的面积分解因式得原式=（a+）2 ， 再根据正方形的面积等于边长的平方可将正方形的面积开平方求得边长，然后由正方形的周长=4边长可求解. 12. （4，4）或（4，0） 考点：正方形的性质 解：如图， 那么C点的坐标为（4，4）或（4，0）. 分析：点C和点B的横坐标相等，且CB=AB，且点C可能在点B上方，也可能在点B下方. 13. 4 考点：正方形的性质 解：连接EO ∵ABCD为正方形， ∴AC⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO且AC＝BD＝8， ∴AO＝CO＝BO＝4， ∵S△ABO＝S△AEO+S△BEO ∴ ∴EF+EG＝4 故答案为4. 分析：连接EO，可得S△ABO＝S△AEO+S△BEO ， 再把AO＝BO＝4代入可求EF+EG的值. 14. AB＝AD（答案不唯一） 考点：正方形的判定 解：因为有一组邻边相等的矩形是正方形， 故答案为：AB＝AD（答案不唯一）． 分析：本题中给出在矩形的基础上，可以加上有一组邻边相等即可判定四边形ABCD是正方形． 15. 考点：正方形的判定与性质 解：设正方形的边长为a，则BC=CD=BP=a， 又∵BC⊥CD， ∴BD= BC= a ∴PD=BD-BP= a-a=( -1)a， ∴ = ， 故答案为： 分析：设正方形的边长为a，则由正方形的性质即可求解. 16. 110 考点：矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，三角形全等的判定（AAS） 解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P， 则四边形OAPL是矩形. ∵∠CBF=90°， ∴∠ABC+∠OBF=90°， 又∵直角△ABC中，∠ABC+∠ACB=90°， ∴∠OBF=∠ACB， 在△OBF和△ACB中， ∴△OBF≌△ACB（AAS）， ∴AC=OB， 同理：△ACB≌△PGC， ∴PC=AB， ∴OA=AP， ∴矩形AOLP是正方形， 边长AO=AB+AC=3+4=7， ∴KL=3+7=10，LM=4+7=11， ∴矩形KLMJ的面积为10×11=110. 故答案为：110. 分析：延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AOLP是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解. 三、解答题 17. 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OC=OD， ∴∠DOG=∠EOC=90°，∠OCE+∠CED=90° ∵DF⊥CE， ∴∠EDF+∠CED=90° ∴∠EDF=∠OEC ∴△DOG≌△COE（ASA） ∴OE=OG 考点：正方形的性质 分析：由四边形ABCD是正方形，对角线互相垂直且互相平分，可知角DOG等于角EOC，DO等于CO，再由已知条件给出的DF与CE垂直，可知角EDF与角DEF互余，这样根据同角的余角相等，可以得到角ODG与角OCE相等，即可证得△DOG与△EOC全等，由全等三角形的对应边相等，可证OG=OE。 18. 证明： BD平分 ∠ABC ∠ABD=∠CBD 在△ABD和△CBD中 △ABD≌△CBD ∠ADB=∠CDB 是∠ADC的角平分线 PM^AD，PN^CD PM^AD，PN^CD ∠PMD=∠PND=90o ∠ADC=90° 四边形MPND是矩形 四边形MPND是正方形 考点：正方形的判定 分析：根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性质可得到∠ADB=∠CDB，若ADC=90°，由四边形MPND是矩形，再根据两边相等的四边形是正方形即可证明四边形MPND是正方形。 19. 解：过 点作 ，垂足为 ，作 ，垂足为 ， 四边形 是正方形， 四边形 和四边形 是正方形，四边形 是矩形， ， ， 在 和 中， ， ， . 考点：全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的判定与性质 分析： 过   点作    ， 垂足为 Q   ， 作    ， 垂足为P ， 所以∠MQD=∠MPA= ， 于是结合题意和可得MQ=MF，MP=ME，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得 四边形MFDQ 和四边形PBEM以及 四边形APMQ是矩形，再根据有一组临边相等的矩形是正方形可得四边形MFDQ 和四边形PBEM是正方形；由正方形和矩形的性质可得AP=QM=DF=MF，PM=PB=ME，用边角边可证得△APM≌△FME，根据全等三角形的性质可得AM=EF。 20. （1）如图1所示：先作点A关于直线l的对称点A′，再连接A′B交l于点P，点P即为所求的点. （2）如图2，连接CE，与BD交于点P，点P即为所求作的点. 理由：根据作图可知，AP=CP，所以AP+PE=CP+PE=CE，所以此时PA+PE=CE最小； （3）如图3，作G 和E关于BC对称， 再作H 和A关于CD对称，连接GH分别交BC和CD于M、N，M、N即为所求作的点. 理由：根据作图可知EM=GM，AN=HN，所以EM+MN+AN=GM+MN+HN=GH，所以此时EM+MN+NA的值最小. 考点：正方形的性质，轴对称的性质，作图﹣轴对称，轴对称的应用-最短距离问题 分析：（1）先作点A关于直线l的对称点A′，再连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′P+PB=A′B，由“两点之间，线段最短”可知，点P即为所求的点.（2）因为A点关于BD的对称点就是点C，连接CE，与BD的交点即为P点.此时PA+PE=CE最小；（3）作G 和E关于BC对称 ，再作H 和A关于CD对称，连接GH分别交BC和CD于M、N，M、N即为所求作的点. 21. （1）证明：∵MN∥BC， ∴∠OFC=∠FCD， 又∵CF平分∠ACD， ∴∠OCF=∠FCD， ∴∠OFC=∠OCF， ∴OF=OC， 同理：OE=OC， ∴OE=OF. （2）证明：当点O运动到AC中点处时，OA=OC， 由第（1）知，OE=OF， ∴四边形AECF是平行四边形. ∵CF、CE分别是∠ACD和∠ACB的角平分线， ∴∠ACF=∠ACD，∠ACE=∠ACB， ∴∠ACF+∠ACE=∠ACD+∠ACB=（∠ACD+∠ACB）=×180°=90°， 即：∠FCE=90°， ∴四边形AECF是矩形. （3）解：当点O运动到AC中点处时，且△ABC满足∠ACB是直角的直角三角形时，四边形AECF为正方形. 理由如下： ∵由第（2）问知，当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形. ∵MN∥BC， ∴当∠ACB=90°时，AC⊥EF，四边形AECF是菱形. ∴此时四边形AECF是正方形. ∴△ABC满足∠ACB是直角的直角三角形时，四边形AECF为正方形. 考点：正方形的判定 分析：（1）由平行线的性质及角平分线，推出∠OFC=∠OCF，进而得出OF=OC，同理：OE=OC，得证； （2）当点O运动到AC中点处时，OA=OC，由第（1）知，OE=OF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证出四边形AECF是平行四边形. 由CF、CE分别是∠ACD和∠ACB的角平分线，得出∠ACF+∠ACE=∠ACD+∠ACB=（∠ACD+∠ACB）=×180°=90°，即∠FCE=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证出结论； （3）由第（2）问知，当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形. 由题设MN∥BC，当∠ACB=90°时，AC⊥EF，四边形AECF是菱形. 四边形AECF既是矩形，又是菱形，故是正方形. 22. （1）解：∵∠M=∠N=∠MBC=90°， ∴四边形MNCB是矩形， ∵MB=MN=2， ∴矩形MNCB是正方形， ∴NC=CB=2， 由折叠得：AN=AC= NC=1， Rt△ACB中，由勾股定理得：AB= = ， ∴AD=AB= ， ∴CD=AD﹣AC= ﹣1； （2）解：四边形ABQD是菱形，理由是： 由折叠得：AB=AD，∠BAQ=∠QAD， ∵BQ∥AD， ∴∠BQA=∠QAD， ∴∠BAQ=∠BQA， ∴AB=BQ， ∴BQ=AD，BQ∥AD， ∴四边形ABQD是平行四边形， ∵AB=AD， ∴四边形ABQD是菱形． 考点：正方形的判定与性质 分析：（1）首先证明四边形MNCB为正方形，然后再依据折叠的性质得到：CA=1，AB=AD，最后再依据CD=AD-AC求解即可； （2）根据平行线的性质和折叠的性质可得到∠BAQ=∠BQA，然后依据等角对等边的性质得到AB=BQ，接下来，依据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可证明四边形ABQD是平行四边形，再由AB=AD，可得四边形ABQD是菱形. 23. （1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠ABE＝90 ，∠BAD＝90 ，即∠BAE+∠DAE＝90 ， ∵FA⊥AE， ∴∠ADF＝90 ，∠EAF＝90 ，即∠FAD+∠DAE＝90 ， ∴∠BAE＝∠FAD， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（ASA）， ∴AE＝AF； （2）解：结论AE＝AF仍成立；理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠ABE＝90 ，∠BAD＝90 ，即∠BAE+∠DAE＝90 ， ∵FA⊥AE， ∴∠ADF＝90 ，∠EAF＝90 ，即∠FAD+∠DAE＝90 ， ∴∠BAE＝∠FAD， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（ASA）， ∴AE＝AF. 考点：正方形的性质 分析：（1）由∠BAE+∠DAE＝90°，∠FAD+∠DAE＝90°，得出∠BAE＝∠FAD，由ASA证得△ABE≌△ADF即可得出结论；（2）结论AE＝AF仍成立；理由：由∠BAE+∠DAE＝90°，∠FAD+∠DAE＝90°，得出∠BAE＝∠FAD，由ASA证得△ABE≌△ADF即可得出结论. 24. （1）证明：连结BD， ∵在△ABC中，∠ABC＝90°， AB＝BC， ∴∠A=∠C=45º， ∵D是AC的中点， ∴AD=BD=CD，BD⊥AC， ∴∠DBC=∠DBA=45º， ∴∠A=∠DBF=45º， ∵DE⊥DF， ∴∠ADE+∠EDB=90°，∠EDB+∠BDF=90°， ∴∠ADE=∠BDF， ∴△ADE≌△BDF（ASA）， ∴AE=BF， （2）解：∵△ADE≌△BDF， ∴DE=DF， ∵DE⊥DF， ∴△DEF是等腰直角三角形， ∴∠DEF=∠DFE=45°； （3）解：若AC= ， 在Rt△ABC中，由勾股定理AB=BC= ， ∴当点E与点A重合时EF最大=4， ∵当DE⊥AB时，∠DEB=∠B=∠EDF=90º，DE=DF， ∴四边形EBFD为正方形， ∴EF最小=BD= ， ∴EF的取值范围为 ≤EF≤4. 考点：勾股定理，正方形的判定与性质，等腰直角三角形，三角形全等的判定（ASA） 分析：（1）连结BD，由等腰直角三角形，结合D为AC中点可得AD=BD=CD，BD⊥AC，可求∠A=∠DBF=45º，由同角的余角相等可得∠ADE=∠BDF，再用ASA证△ADE≌△BDF即可解决问题； （2）由△ADE≌△BDF得DE=DF，由DE⊥DF，可证△DEF是等腰直角三角形即可； （3）由AC= ，利用勾股定理AB=BC ，当点E与点A重合时EF最大=4，当DE⊥AB时，由∠DEB=∠B=∠EDF=90º，DE=DF，可证四边形EBFD正方形，可得EF最小=BD= ，即可求出EF的取值范围为 ≤EF≤4. 1 学科网（北京）股份有限公司 $