5.3正方形 自主学习同步练习题 2025-2026学年浙教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦正方形定义、性质与判定，通过基础巩固、综合应用、拓展探究三阶分层设计，实现从单一知识点到复杂问题解决的思维进阶，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|正方形定义、性质（边、角、对角线）|单选题1-3直接考查菱形转正方形条件、坐标计算等，填空题8-10涉及中点四边形判定、简单角度计算，夯实概念理解| |中档|性质综合应用（折叠、旋转、动点）|单选题4-7结合勾股定理、全等推理，填空题11-13涉及最短路径、面积转化，解答题15-16通过作图与证明深化性质应用，培养逻辑推理| |提高|跨知识整合与拓展探究|填空题14综合正方形与等腰直角三角形，解答题17-20引入“垂美四边形”新定义、动态问题及折叠分类讨论，发展创新意识与模型观念|

2025-2026学年浙教版八年级数学下册《5.3正方形》自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1.如图，在菱形ABCD中，∠ACB=《,要使菱形ABCD为正方形，则a是() C A.30° B.45o C.60° D.90 2.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A的坐标为(1，O),点B的坐标 为（一1,4），点D在第一象限，则点D的坐标为() ⅓ D OA A.(3,6) B.(4,6) c.(4,5) D.(5,2) 3.如图，在Rt△ABC中，D是斜边BC的中点，以AD为边作正方形ADEF,若正方形 ADEF的面积为36，则BC的长为() D A.6 B.8 C.10 D.12 4.如图，边长为12的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，且 ∠BAE=∠FAE.则AF的长为() D A.15 B.16 c.95 D.65 5.如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在BC,CD上，连接AE,AF,EF, ∠EAF=45·.若∠FEC=a,则∠BAE一定等于() A D B E A.吉a B.90°-支& C.145°-克& D.90°-a 6.如图，在正方形ABCD的外侧，以AD为边作等边三角形ADE,连接BE,交正方形的 对角线AC于点F,连接DF,则∠BFD的度数为() F D A.130° B.1250 C.120o D.115o 7.如图，正方形ABCD的边长为8，MNIDC分别交AD,BC于点M,N,在MN上任取 两点P,Q,那么图中阴影部分的面积是() A M D B N A.48 B.40 C.32 D.24 二、填空题 8.顺次连接对角线垂直平分且相等的四边形各边中点所得的四边形是 9.如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上一点，且AC=EC,则∠DAE的 度数 10.如图，在正方形ABCD中，BC=2,∠DCE是正方形ABCD的外角，P是∠DCE的平 分线CF上任意一点，则△PBD的面积等于 D C E 11.如图，在正方形ABCD中，AB=12,E是AB边上一点，且AE=3BE,P是对角线 AC上一动点，则PB+PE的最小值是 B 12.如图，正方形EGMP和正方形FNHP的顶点E,F,G,M,N在长方形ABCD的边 上.已知DM=DN=10,EF=BE+FC,则长方形ABCD的周长为 D B E 13.如图P为正方形ABCD内一点，BP=4,PC=7,且∠APB=135,将△APB绕 点B顺时针旋转90°得到△CPB,连接P'P,则AP= A D D 14.如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E、F分别为边BC和AB上的点，且 CE=BF,连接EF,过点E作EG⊥BC交AC于点G,点H为边AD上的点，连接GH,若 GH=EF,∠FEB=25°，则∠AHG的度数为 D G B E 三、解答题 15.如图，在正方形ABCD中，点M为BC的中点，连接AM,请仅用无刻度的直尺完成以 下作图（保留作图痕迹）. D M B M 图1 图2 (1)在图1中，在AD上作出点E,使CEAM: (2)在图2中，在BC的延长线上作出点F,使DF‖AM. 16.如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上任意一点，BG⊥CE,垂足为点O,交AC 于点F,交AD于点G,连接EF O E (1)若BE=2,求AG的长度； (2)当点E是AB边的中点时，求证：∠AEF=∠BEC 17.定义：若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为“垂美四边形” D D 图1 图2 (1)如图1，四边形ABCD是“垂美四边形”，则根据勾股定理 AB2=-+-:BC2=-十- CD2=_+-;AD2=_+-: 所以，用等式表示AB2、BC2、CD2、AD2之间的数量关系是-： (2)如图2，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACGD和正方形 ABFE,连接BD、CE、DE,CE分别交AB、BD于点M,N. ①CE与BD的位置关系是-，给出证明； ②若AB=4,AC=2V3,则线段DE的长是 18.如图，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且 PA=PE,PE交CD于点F. 图1 图2 (1)证明：PC=PE: (2)如图，把正方形ABCD改为菱形ABCD,其它条件不变，当∠ABC=120°时，连接 CE,试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由 19.如图a,在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD,以AD为一 边且在AD的右侧作正方形ADEF. 图a 图b 图 (1)如图b,如果AB=AC,∠BAC=90°，求证： ①CF=BD; ②CF⊥BD; (2)如图c,当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，(1)中的结论是否仍然成立， 并说明理由， 20.在数学学习中，要善于运用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯. 4 A M G B A B A C B 图1 图2 图3 备用图 (1)观察发现 如图1，将正方形ABCD折叠，使点A的对应点A落在BC边上，折痕分别与AB,CD交于 点E,F,则折痕EF和AA的数量和位置关系分别是 (2)类比探究 在(1)的条件下，设EF与AA交于点O,连接BD交EF于点G,如图2.求证： OG=0E+GF; (3拓展应用 如图3，正方形ABCD的边长为9，点M是AB边上的一动点，点N在边CD上，且CN=4.连 接MN,将正方形ABCD沿MN折叠，使点A,D分别落在点P,Q处，当点Q落在直线BC 上时，请直接写出线段AM的长. 参考答案 1.解：：四边形ABCD是菱形，∠ACB=, 当∠BCD=90·时，则菱形ABCD是正方形， .∠ACB=∠ACD=∠BCD=45°，即a=45°. 故选：B. 2.解：如图，过B作BE⊥x轴于点E,过D作DF⊥x轴于点F,则 ∠AEB=∠DFA=90o, B EOA ∴∠ABE+∠BAE=90°， :四边形ABCD是正方形， .AB=AD,∠BAD=90o, ∴∠DAF+∠BAE=90°， ∴∠DAF=∠ABE, △DAF≌△ABE(AAS), :AE=DF,BE=AF. :点A的坐标为(1,0)，点B的坐标为(-1,4)， ∴AE=2,BE=4,0A=1, AE=DF=2,BE=AF=4, .0F=0A十AF=1十4=5， 点D的坐标为(5,2)， 故选：D 3.解：：四边形ADEF是正方形，S正方形AD=36, .AD2=36, AD>0, .AD=6, :在Rt△ABC中，点D是斜边BC的中点， BC=2AD=12. 故选：D. 4.解：如图，过点E作AF的垂线AG,垂足为G,连接EF, G 四边形ABCD是正方形， .AB=BC=CD=AD=12,∠B=∠C=∠D=90o, :点E是BC的中点， .BE=CE=专BC=6, :∠BAE=∠FAE,∠B=∠AGE=90°，AE=AE, :△ABE≌△AGE(AAS), .AG=AB-12,GE=BE=6, .GE=CE=6,且∠EGF=∠C=90°，EF=EF, .△EFG≌△EFC(HL), :.GF=CF, 假设GF=CF=x,则DF=CD-CF=12-x,AF=AG+GF=12十x, 根据勾股定理得AD2+DP2=AF2, 即122+(12-x)2=(12+x)2, 解得x=3, AF=12+3=15, 故选：A。 5.解：将△ADF绕点A顺时针旋转90°至△ABH, 四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD,∠ABC=∠D=∠BAD=∠C=90°， 由旋转性质可知：∠DAF=∠BAH,∠D=∠ABH=90°，AF=AH, .∠ABH+∠ABC=180°， .点H,B,C三点共线， :∠EAF=45°，∠BAD=∠HAF=90°， :∠EAF=∠EAH=45°，∠DAF=∠BAH=45°-∠BAE, ∠AHB+∠BAH=90o, ∠AHB=45o+∠BAE, 在△AEF和△AEH中 AF-AH ∠FAE=∠HAE AE-AE △AFE≌△AHE(SAS), ∴∠AHE=∠AFE=45°+∠BAE, ∠AHE=∠AFD=∠AFE=45°+∠BAE, ·∠DFE=∠AFD十∠AFE=90°十2∠BAE :∠DFE=∠FEC+∠C=∠FEC+90°， .∠FEC=2∠BAE, :∠FEC= .∠BAE=专a, 故选：A. 6.C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，三角形的外角性质，全等三角 形的性质与判定等知识，由四边形ABCD是正方形，得BC=CD=AB=AD, ∠BCF=∠BAC=∠DCF=45°，∠BAD=90°，然后证明 △BCF≌△DCF(SAS),故有∠BFC=∠DFC,然后通过等边三角形的性质可得 ∠DAE=60°，AD=AE,从而求得∠ABE=∠AEB=15°，再根据三角形外角性质求 得∠BFC=60·即可，掌握知识点的应用是解题的关键. 【详解】解：：四边形ABCD是正方形， BC=CD=AB=AD,∠BCF=∠BAC=∠DCF=45°，∠BAD=90°， 在△BCF与△DCF中， BC=CD ∠BCF=∠DCF CF=CF .△BCF≌△DCF(SAS), .∠BFC=∠DFC, :△ADE是等边三角形， ∠DAE=60°，AD=AE, ∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=150°，AB=AE, .∠ABE=∠AEB=15°， ·∠BFC=∠ABE+∠BAC=45°+15°=60°， .∠BFD=∠BFC+∠DFC=120°， 故选：C 7.C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形的面积，理解正方形的性质，熟练掌握矩形 的判定和性质，三角形的面积公式是解决问题的关键.过点P作直线EF上ABG于点E,交 CD于点F,过点Q作QH⊥CD于点H,证明四边形EBCF和是四边形QPFH都是矩形得 EF=BC=8,QH=PF,则PE+QH=PE+PF=EF=8,由三角形面积公式得 S△APB=专AB·PE=4×PE,SADCQ=CD·QH=4XQH,则 S△4PB+S△DcQ=4×(PE+QH)=32,根据 “S阴影=S正方形ABcD一(S△APB十S△DCQ)"即可得出答案 【详解】解：过点P作直线EF⊥AB于点B,交CD于点F,过点Q作QH⊥CD于点H,如 图所示： M D :四边形ABCD是正方形，且边长为8， AB=BC=CD=8,∠ABC=∠BCD=90°，ABIICD,S正方ABcD=82=64, ·EF⊥CD, MN DC, ÷EF⊥MN,QH⊥MN, ÷∠BEF=∠CFE=∠EBC=∠BCF=90°， ∠FPQ=∠PQH=∠QHF=∠HFP=90°， 四边形EBCF和四边形QPFH都是矩形， :.EF=BC=8,QH=PF, PE+QH=PE+PF=EF=8, 由三角形的面积公式得：S△4PB=专AB·PE=支×8×PE=4×PE, S△Dc=CD:QH=吉×8×QH=4×QH, S△APB+S△DcQ=4X(PE+QH)=4×8=32, S阴影=S正方形ABD-(S△4PB+S△DcQ)=64-32=32. 故选：C. 8.正方形 【分析】本题考查了正方形的性质与判定等知识，全等三角形的判定与性质等知识.先根据 四边形ABCD对角线垂直平分且相等证明四边形ABCD是正方形，根据中点定义证明 △EAF≌△FBG≌△GCH兰△HDE,∠AFE=∠BFG=45·,得到四边形 EFGH为菱形，∠EFG=90°，即可证明菱形EFGH为正方形 【详解】解如图， E G :AC,BD互相平分， :四边形ABCD为平行四边形， AC=BD. .□ABCD为矩形， AC⊥BD, ∴□ABCD为菱形， 四边形ABCD是正方形 .AB=BC=CD=AD,∠EAF=∠FBG=∠GCH=∠HDE=90°， :E、F、G、H是AB、BC、CD、AD的中点， :AF=BF=BG=CG=CH=DH=AD=DE, ·△EAF≌△FBG≌△GCH≌△HDE, ∴EF=FG=GH=HE,∠EFG=90°， 四边形EFGH为菱形， .菱形EFGH为正方形. 故答案为：正方形 9.22.5° 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键.根 据正方形的性质，可得∠DAC=45·,ADIIBE,则∠DAE=∠CEA,再根据等边对等角， 可得∠CEA=∠CAE,结合∠DAE+∠CAE=∠DAC,即可求得∠DAE的度数， 【详解】解：：四边形ABCD是一个正方形， .∠DAC=45。,ADIBE, .∠DAE=∠CEA, AC=EC, ∴.∠CEA=∠CAE, .∠DAE=∠CAE, :∠DAE+∠CAE=∠DAC=45°， .∠DAE=克×45°=22.5°. 故答案为：22.5°. 10.2 【分析】本题考查正方形的性质、直线平行的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判 定与性质.过C点作CG⊥BD于G,证明BD‖CF,则CG等于△PBD的高，利用勾股定 理及等腰直角三角形的性质求出BD,CG,从而可求△PBD的面积. 【详解】解：过C点作CG⊥BD于G, G E :CF是∠DCE的平分线， ÷∠FCE=45° :∠DBC=45°， ÷CF IBD, .CG等于△PBD的高， :BC=2 BD=BC2+CD2=2V2, :BC=CD,CG⊥BD, :BG=GD=专BD=2,∠BCG=∠DCG=450, Rt△BCG是等腰直角三角形， CG=BG-2. :△PBD的面积为号×2V2×V2=2: 故答案为：2. 11.15 【分析】本题考查正方形的性质、路径最短问题、勾股定理，掌握利用轴对称解决路径最短 问题时解题的关键， 由正方形的性质可知，点B与点D关于AC对称，由轴对称的性质可知PB=PD,当点E、 P、D在一条直线上时，PB+PE有最小值，最后根据勾股定理求得最小值即可， 【详解】解：连接ED交AC于点P,如图所示： 在正方形ABCD中，点B与点D关于AC对称， ·PB=PD、AD=AB=12, :PE十PB=PE十PD=DE, AE=3BE, :AE=9, 由两点之间线段最短可知：当点E、P、D在一条直线上时，PB十PE有最小值， 最小值为DE, 在Rt△ADE中，ED=VAD2+AE2=V122+92=15, 因此PB+PE的最小值是15. 故答案为：15. 12.52 【分析】本题考查了正方形的性质、长方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵 活运用相关知识是解题的关键 如图：过点P作PK⊥BC于点K,先证△PKF和△FCN全等，得出KF=CN PK=FC,同理可证△PKE兰△EBG兰△GAM,得出PK=EB=GA、 EK=GB=MA,设KF=CN=x,EK=GB=MA=y,表示AD、BC、AB、CD的 长，得到2x+y=10,x-3y=-16,解方程组求得x、y的值，从而求出长方形的周 长。 【详解】解：如图：过点P作PK⊥BC于点K, ·∠PFK+∠KPF=90°， 四边形FNHP是正方形， ÷PF=FN,∠PFN=90°， ·∠PFK+∠CFN=90o, :∠KPF=∠CFN, :四边形ABCD是长方形， ·∠C=90o,AB=CD,AD=BC, :∠PKF=∠C=90°， 在△PKF和△FCN中， I∠KPF=∠CFN ∠PKF=∠C PF=FN :△PKF≌△FCN(AAS), KF=CN,PK=FC, 同理可证：△PKE兰△EBG兰△GAM, PK=EB=GA,EK=GB=MA, KF=CN=x,EK=GB=MA=y, DM=DN=10 DN=8, :CD=DN+CN=8+x,AD=AM+DM=y+10, :EF=BE十FC, ·EF=X+y, :EF=BE十FC, ·BE+FC=x+y, :BC=BE+EF+FC=2(x+y), AD=BC ÷y+10=2(x+y),即2x+y=10①， AB=GA+BG=AG+y,CD=8+x,AB=CD, ÷GA+y=8+x, .GA=8+x-y=PK=EB=FC, EB=EF-FC=x+y-(8+x-y)=2y-8,EB=GA, 2y-8=8+x-y,即x-3y=-16②， 联立①②得： （2x+y=10 0x-3y=-16’ ∫x=2 解得{y=6· BC=2(x+y)=2×(2+6)=16,CD=8+x=8+2=10, .长方形ABCD的周长为2×(16+10)=52. 故答案为：52， 13.V17 【分析】本题主要考查旋转的性质、等腰直角三角形、勾股定理等知识点，根据旋转性质可 得∠APB=∠CPB=135·、∠ABP=∠CBP、BP=BP、AP=CP,由 ∠ABP+∠PBC=90°知△BPP是等腰直角三角形，进而根据∠CPB=135·可得 ∠PPC=90°，由此可利用勾股定理即可求CP的值，则AP的长也可求出. 【详解】解：：△BPC是由△BPA旋转得到 ∠APB=∠CPB=135、∠ABP=∠CBP、BP=BP、AP=CP, :∠ABP+∠PBC=90°， ∠CBP+∠PBC=90°，即∠PBP'=90°， ·△BPP是等腰直角三角形， ∠BPP=45°， :∠APB=∠CPB=135o, ∴.∠PPC=90o, :BP=4, .PP'=VBP2+BP2-4V2. ∵PC=7, cp=Pc2-Pp2-49-32=7 :.AP=CP=17, 故答案为：√7. 14.115° 【分析】连接FG,延长EG交AD于点Q,证明四边形BFGE是矩形，可得AF=GF,证 明四边形AFGQ是正方形，得到GQ=GF=BE,再证明Rt△EBF≌Rt△GQH,得到 ∠HGQ=∠FEB,再结合∠AHG=∠GQH+∠HGQ即可求解. 【详解】解：连接FG,延长EG交AD于点Q,如下图所示： H O D G :四边形ABCD是正方形，AC为对角线， ∠GCE=45°，∠B=∠BAD=∠D=90°，AB=BC, EG⊥BC, ∴.∠CGE=180°-∠GEC-∠GCE=45°=∠GCE,∠GEC=∠B=90°， :CE=GE,ABGE, :GE=BF, .四边形BFGE是平行四边形， ∠B=90°， 四边形BFGE是矩形， .BE=GF,∠AFG=∠BFG=∠FAQ=∠FGQ=90°， .四边形AFGQ是矩形， CE=BF, AB-BF=BC-CE, :AF=BE :BE=AF, :.AF=GF, 四边形AFGQ是正方形， GQ=GF=BE,∠GQA=90°， 在Rt△EBF和Rt△GQH中，EF=GH,BE=GQ, :.Rt△EBF≌Rt△GQH(HL), ∠HGQ=∠FEB=25°， :∠AHG=∠GQH+∠HGQ=90°+25°=115°， 故答案为：115°. 【点晴】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质， 三角形的外角性质等，解题的关键是灵活运用这些知识，构建合适的辅助线证明三角形全等 15.(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查正方形的性质，正确作图是解答本题的关键. (1)连接AC,BD交于点G,连接MG并延长交AD于点E,则点E为AD的中点，可得四边 形AMCE是平行四边形，则CE‖AM; (2)在(1)的基础上连接DM交AC于点H,连接BH并延长交CD于点Q,由AC,BD互 相垂直平分得HB=HD,∠HBD=∠HDB,得∠CBQ=∠CDM,根据ASA证明 △CBQ≌CDM得DQ=CD,再证明△DEQ兰△CFQ,可证明四边形AMFD是平行 四边形，可得AM‖DF 【详解】(1)解：如图，CE即为所求； G M (2)解：如图，DF即为所作， E D G米H 、O 16.(1)2 (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握各判定定 理。 (1)利用正方形的性质以及余角的性质证明∠1=∠2，然后利用ASA证明 △GAB≌△EBC,即可求解； (2)由(1)中的全等三角形我们可得出∠AGF=∠CEB,因此∠AEF=∠AGF, △GFA和△AEF中，有一条公共边，∠DAC=∠CAB=45°，因此两三角形全等，那 么AG=AE,由(1)知AG=BE,因此AE=BE,即可证明. 【详解】(1)解：如图， D G E :四边形ABCD是正方形， ∠ABC=∠BAD=90°， .∠1+∠3=90°， :BG⊥CE, .∠B0C=90°， ∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠2， 在△GAB和△EBC中， 1∠GAB=∠EBC=90 AB=BC ∠1=∠2 △GAB≌△EBC(ASA) :.AG=BE=2; (2)证明：：点E位于线段AB中点， ∴AE=BE, 由(1)可知，AG=BE, :AG=AE, :四边形ABCD是正方形， .∠GAF=∠EAF=45o, 又：AF=AF, △GAF≌△EAF(SAS), ∴∠AGF=∠AEF, 由(1)知，△GAB≌△EBC, .∠AGF=∠CEB, .∠AEF=∠CEB. 17.(1)A02B02B02,C02C02D02,A02D02,AD2+BC2=AB2+CD2 (20CE1BD,证明见解析；②2W13 【分析】本题为四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂 直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键. (1)根据垂美四边形和勾股定理解答即可； (2)①如图，连接CG、BE,根据垂美四边形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质 进行证明即可；②结合①的结论计算即可. 【详解】(1)解：AD2+BC2=AB2+CD2, 理由：：AC⊥BD, ∠A0D=∠A0B=∠B0C=∠C0D=90°， 由勾股定理得，AB2=A02+B02BC2=B02+C02 CD2=C02+D02,AD2=A02+D02, AD2+BC2=A02+D02+B02+C02, AB2+CD2=A02+B02+C02+D02, AD2+BC2=AB2+CD2: 故答案为：A02B02B02C02C02D02,A02D02,AD2+BC2=AB2+CD2 (2)①CE⊥BD,证明如下： 如图2，连接CD、BE, B G 图2 :正方形ACGD和正方形ABFE, ∴AD=AC,AB=AE,∠CAD=∠BAE=90°， :∠CAD+∠BAC=∠BAE+∠BAC,即∠DAB=∠CAE, △DAB≌△CAE(SAS), ∠ABD=∠AEC, :∠AEC+∠AME=90°， .∠ABD+∠AME=90°， :∠AME=∠BMN, ∠ABD+∠BMN=90o, 即CE⊥BD, .四边形CDEB是垂美四边形， ②由①得，CD2+BE2=CB2+DE2, :AC=2V3,AB=4, ∴BC=VAB2-AC2=2, CD=V2AC=2V6.BE=V2AB=4V2, DE2=cD2+BE2-C82=(26)+(45)2-22=52, DE=2W13. 故答案为：2W13 18.(1)见解析 (2)线段AP与线段CE的数量关系是：AP=CE,理由见解析 【分析】(1)先证出△ABP兰△CBP,得PA=PC,由于PA=PE,得PC=PE: (2)先证△ADP兰△CDP,得PC=PE,∠DAP=∠DCP,由PA=PE,得到 ∠DAP=∠AEP,∠DCP=∠E,而可得∠CDE=60°，再结合三角形内角和定理可得 ∠EPC=60°，△EPC为等边三角形，即可得到结论： 【详解】(1)证明：在正方形ABCD中，AB=BC,∠ABP=∠CBP=45°， PB=PB, .△ABP≌△CBP(SAS), PA=PC, PA=PE, PC=PE; (2)解：AP=CE; 理由如下： 在菱形ABCD中，AD=DC,∠ADC=∠ABC=120°，∠ADP=∠CDP=60°， PD=PD, △ADP≌△CDP(SAS), .PA=PC,∠DAP=∠DCP, PA=PE :PA=PC=PE, .∠DAP=∠DEP, ∠DCP=∠DEP, :∠CFP=∠EFD, .180°-∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠DEP, 即∠CPE=∠CDE=180°-ADC=180°-120°=60°， :△EPC是等边三角形， :PC=CE, :AP=CE. 【点晴】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角的 性质，熟记菱形的性质确定出∠ADP=∠CDP是解题的关键. 19.(1)①见解析；②见解析 (2结论仍然成立，见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，垂 直的定义，时刻掌握判定和性质是解题的关键 (1)①证明△ADB兰△AFC(SAS),即可证明CF=BD; ②根据△ADB兰△AFC(SAS),得到∠ACF=∠ABD=45°，继而证明了 ∠BCF=∠ACF+∠ACB=90°，即CF⊥BD. (2)类比(1)的证明解答即可. 【详解】(1)①解：：∠BAC=90°，AB=AC, .∠ABC=∠ACB=45°， 正方形ADEF, ∴AD=AF,∠DAF=90·, .∠BAD=90°-∠DAC=∠CAF ↑AD=AF ∠BAD=∠CAF AB-AC .△ADB≌△AFC(SAS), :CF=BD; ②.△ADB≌△AFC(SAS), .∠ACF=∠ABD=45°， ·∠BCF=∠ACF+∠ACB=90o, CF⊥BD. (2)解：当点D在线段BC的延长线上时，(1)中的结论仍然成立. 理由如下： ∠BAC=90°，AB=AC, ·∠ABC=∠ACB=45°， :正方形ADEF, ∴AD=AF,∠DAF=90°， ∴∠BAD=90°+∠DAC=∠CAF A C D AD=AF ∠BAD=∠CAF AB AC :.△ADB≌△AFC(SAS), :CF=BD; ∠ACF=∠ABD=45°， ∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=90°， .CF⊥BD 20.(1)EF=AA,EF⊥AA (2)证明见解析 (3)2或8 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练 掌握相关知识是解题的关键 (1)根据折叠的性质可得EF垂直平分AA,证明△ABA兰△FHE即可； (2)连接GA,GC,GA,证明△ABG≌△CBG(SAS),可得GA=GC, ∠GCB=∠GAB,再证∠AGA=90°，可得0G=EF=AA,进而即可得证； (3)分两种情况讨论，点Q在线段BC上或BC延长线上，设AM=x,由题易得 BM=9-x,DN=QN=5,CQ=3,则BQ=6或12，进而分别在Rt△BMQ中， MQ2=BM2+BQ2,在Rt△PMQ中，MQ2=PM2+MQ2,建立方程求解即可. 【详解】(1)解：如图，过点F作FH⊥AB于点H,设EF与AA交于点O, D H ○ B A' 根据折叠的性质可得EF垂直平分AA, :四边形ABCD是正方形， ∠BAD=∠D=∠AHF=90°，AD=AB, 四边形AHFD是矩形， :HF=AD, :HF=AB :EF垂直平分AA, ·AA⊥EF .∠AE0+∠EA0=90°， 又：∠AE0+∠HFE=90°， ∠EA0=∠HFE, 又：∠ABA=∠FHE=90°， △ABA≌△FHE(ASA), AA=EF 故答案为：EF=AA,EF⊥AA: (2)证明：如图，连接GA,GC,GA, D 、G 0 B A :四边形ABCD是正方形， BA=BC,∠ABD=∠CBD=45°， 在△ABG和△CBG中， BA=BC ∠ABG=∠CBG BG-BG △ABG≌△CBG(SAS). .GA=GC,∠GCB=∠GAB. “EF垂直平分AA, ∴GA=GA, .GA=GC. ∠GAC=∠GCA, ∠GAC=∠GAB. 又：∠GAC+∠GAB=180°， ∴∠GAB+∠GAB=180°， .在四边形ABAG中，∠ABA+∠AGA=180°， :∠ABA=90°， ∴∠AGA=90°， 又：0A=0A, 0G=号AA, “EF=AA, .0G=EF, 又：EF=OE+GF+OG :.EF=0E+GF+EF, :OE+GF=专EP, .0G=0E+GF. (3)解：线段AM的长为2或8. 连接MQ,设AM=X, AB=BC=AD=CD=9,CN=4, DN=QN=5,BM=9-x, 在Rt△CQN中，CQ=VQN2-CW=3, 当点Q落在线段BC上时，如图， A D M B 此时BQ=BC-CQ=6, 在Rt△BMQ中，MQ2=BM2+BQ2=(9-x)2+36, 在Rt△PMQ中，MQ2=PM2+PQ2=81+x2, 则(9-x)2+36=81+x2, 解得x=2, ∴AM=2; 当点Q在BC延长线上时，如图， A D B 此时BQ=BC+CQ=12, 在Rt△BMQ中，MQ2=BM2+BQ=(9-x)2+144, 在Rt△PMQ中，MQ2=PM2+PQ2=81+x2, 则(9-x)2+144=81+x2, 解得x=8, AM=8; 综上，线段AM的长为2或8.