2026年浙教版数学八年级暑假知识训练： 反证法

**基本信息** 反证法专项训练，聚焦“假设-归谬-结论”完整流程，通过分层题型构建从假设表述到综合证明的方法体系，培养推理意识与逻辑思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |假设表述|15题（单选1-10、填空11-15）|“至少”“不大于”等命题的否定技巧，假设的准确表述|从反证法概念生成，掌握命题否定的逻辑规则| |完整证明|6题（解答17-21、填空16）|矛盾推导（三角形内角和、平行线性质等），反证法步骤规范|迁移至几何（三角形、平行线）与代数命题证明，构建“假设-推理-矛盾-结论”链条|

…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 反证法 一、单选题 1.用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”，应先假设（   ） A. 两个锐角都小于45° B. 两个锐角都大于45° C. 有一个锐角小于45° D. 有一个锐角大于或等于45° 2.要说明命题“若a>b，则a2>b2” 是假命题，可设(     ) A. a=3，b=4                   B. a=4， b=3                   C. a=－3，b=－4                   D. a=－4，b=－3 3.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC，当用反证法证明时，第一步应假设（   ） A. AB≠AC                          B. PB＝PC                          C. ∠APB＝∠APC                          D. ∠B≠∠C 4.应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用(   ) ①结论的否定；②已知条件；③公理、定理、定义等；④原结论． A. ①②                                  B. ②③                                  C. ①②③                                  D. ①②④ 5.下列说法：①伸缩门的制作运用了四边形的不稳定性；②夹在两条平行线间的垂线段相等；③成中心对称的两个图形不一定是全等形；④一组对角相等的四边形是平行四边形；⑤用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，必先假设“四边形中至多有一个角是钝角或直角”，其中正确的是（     ） A. ①②                                  B. ③④                                  C. ①②④                                   D. ①②⑤ 6.用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b.”第一步应假设（   ） A. a＜b                                    B. a＝b                                    C. a≤b                                    D. a≥b 7.用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，应假设（   ） A. 四边形中所有角都是锐角                                    B. 四边形中至多有一个角是钝角或直角    C. 四边形中没有一个角是锐角                                D. 四边形中所有角都是钝角或直角 8.用反证法证明“a＞0”时，应先假设结论的反面，下列假设正确的是（    ） A. a＜0                                     B. a＝0                                     C. a≠0                                     D. a≤0 9.用反证法证明“若xy≥0，y＞0，则x≥0”时，应先假设（    ） A. x<0                                      B. x≠0                                      C. x≤0                                      D. x>0 10.已知： 中， ，求证： ，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴ ，这与三角形内角和为 180° 矛盾,②因此假设不成立.∴ ,③假设在 中， ,④由 ，得 ，即 .这四个步骤正确的顺序应是（   ） A. ③④②①                           B. ③④①②                           C. ①②③④                           D. ④③①② 二、填空题 11.用反证法证明“若|a|＜2，则a2＜4”是真命题，第一步应先假设________. 12.如图，直线AB、CD被直线EF所截，∠1、∠2是同位角，如果∠1≠∠2，那么AB与CD不平行．用反证法证明这个命题时，应先假设：________. 13.用反证法证明在△ABC中，如果AB≠AC，那么∠B≠∠C时，应先假设________． 14.用反证法证明“一个三角形中最大的内角不小于60°”时，第一步我们要先假设：________。 15.用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤： ①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为________ 16.用反证法证明（填空）： 两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 已知：如图，直线l1 ， l2被l3所截，∠1+∠2＝180°． 求证：l1∥l2 证明：假设l1________l2 ， 即l1与l2交与相交于一点P． 则∠1+∠2+∠P________180° 所以∠1+∠2________180°，这与________矛盾，故________不成立． 所以________． 三、解答题 17.已知：如图，直线a ， b被c所截，∠1，∠2是同位角，且∠1≠∠2． 求证：a不平行于b ． 18.用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 已知：如图，∠1是△ABC的一个外角. 求证：∠1＝∠A+∠B. 19.（用反证法证明）已知直线a∥c，b∥c，求证：a∥b． 20.用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角． 21.用反证法证明：如图所示，已知a⊥c，b⊥c，那么a∥b． 答案解析部分 一、单选题 1. B 考点：反证法，直角三角形的性质 解： 解：要证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”，则应先假设“ 两个锐角都大于45°”. 故答案为：B. 分析： 用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可 用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可. 2. C 考点：反证法 解：A选项和D选项中，a＜b，不满足条件，不能作为反例，不符合题意； B选项中，a=4， b=3，满足a>b，也满足a2>b2 ， 不能作为反例，不符合题意； C选项中，a=－3，b=－4，满足a>b，a2＜b2 ， 能作为反例，符合题意. 故答案为：C. 分析：说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可，作为反例，它符合命题的题设，但不满足结论,从而即可一一判断得出答案. 3. B 考点：反证法 解：假设结论PB≠PC不成立，即：PB＝PC成立. 故答案为：B. 分析：假设结论PB≠PC不成立，PB＝PC成立. 4. C 考点：反证法 解：根据反证法的步骤，首先假设结论不成立，其次用已学的知识或已知条件得到与假设或已学的知识或已知条件相矛盾的结论，那么原命题成立可知可以作为条件使用的有①②③。 分析：利用反证法的证题思想，即可得到结论。 5. A 考点：平行线之间的距离，三角形的稳定性，全等图形，平行四边形的判定，反证法 解：①伸缩门的制作运用了四边形的不稳定性，故正确； ②夹在两条平行线间的垂线段相等，故正确； ③成中心对称的两个图形一定是全等形，故错误； ④两组对角相等的四边形是平行四边形，故错误； ⑤用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，必先假设“四边形中没有一个角是钝角或直角”，故错误. 故答案为：A. 分析：根据平行四边形的不稳定性可判断①的正误；根据平行线间的距离可判断②的正误；根据成中心对称的概念可判断③的正误；根据平行四边形的判定定理可判断④的正误；根据反证法的步骤可判断⑤的正误. 6. C 考点：反证法 解：根据反证法的步骤，得 第一步应假设a＞b不成立，即a≤b. 故答案为：C. 分析：根据反证法的意义“反证法（又称归谬法、背理法），是一种论证方式，首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证”并结合题意可求解. 7. A 考点：反证法 解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：四边形中每个角都是锐角. 故答案为：A. 分析：反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立. 8. D 考点：反证法 解：由于命题：“a＞0”的反面是：“a≤0”， 故用反证法证明：“a＞0”，应假设“a≤0”， 故答案为：D． 分析：根据命题：“a＞0”的反面是：“a≤0”，可得假设内容． 9. A 考点：反证法 解： 若xy≥0，y＞0，则x≥0” 假设 x<0 故答案为：A 分析：用反证法证明数学命题的方法，先假设结论的反面，再进行证明推出矛盾，即可解答。 10. B 考点：反证法 解：题目中“已知：△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°”，用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤： 应该为：(1)假设∠B≥90°，(2)那么，由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，(3)所以∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，(4)因此假设不成立.∴∠B＜90°， 原题正确顺序为：③④①②， 故答案为：B. 分析：根据反证法的证明步骤“假设、合情推理、导出矛盾、结论”进行分析判断即可. 二、填空题 11. a2≥4 考点：反证法 解：用反证法证明“若|a|＜2，则a2＜4.”是真命题时，第一步应先假设：a2≥4. 故答案为：a2≥4. 分析：用反证法证明首先应假设结论的反面成立， a2＜4的反面是a2≥4. 12. AB∥CD 考点：反证法 解：利用假设法来进行证明时，首先假设结论成立，即应先假设AB∥CD。 故答案为：AB∥CD. 分析：利用反证法进行证明时，第一个步骤是假设结论成立，即AB和CD平行。 13. ∠B=∠C 考点：反证法 解：用反证法证明在△ABC中，如果AB≠AC，求证∠B≠∠C，第一步应是假设∠B=∠C． 故答案为：∠B=∠C 分析：根据反证法的一般步骤即可求解． 14. 答案不唯一．例如一个三角形中最大的内角小于60° 考点：反证法 解：根据反证法的定义，可写出假设一个三角形中最大的内角小于60° 分析：根据反证法的定义，求解即可。 15. ③①② 考点：反证法 解：由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①② 分析：根据反证法的步骤，首先假设结论不成立，其次用已学的知识或已知条件得到与假设或已学的知识或已知条件相矛盾的结论，那么原命题成立。所以正确顺序的序号排列③①②。 16. 不平行；＝；＜；∠1+∠2＝180°；假设；结论成立． 考点：反证法 解：证明：假设l1不平行l2，即l1与l2交与相交于一点P．则∠1+∠2+∠P＝180°（三角形内角和定理），所以∠1+∠2＜180°，这与∠1+∠2＝180°矛盾，故假设不成立．所以结论l1∥l2成立。 分析：用反证法证明一个命题，首先假设原命题的结论不成立，从假设出发，经过推理得出和假设矛盾，或与性质，定义，公理，定理矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证明题成立；故该题首先假设“设l1不平行l2，即l1与l2交与相交于一点P”，那么根据三角形的内角和定理得出“∠1+∠2+∠P＝180°”，故“∠1+∠2＜180°”从而与题设“∠1+∠2=180°”相矛盾，故假设不成立，所以结论“l1∥l2．”成立。 三、解答题 17. 证明：假设a∥b，则∠1=∠2（两直线平行同位角相等）， 这与 ∠1≠∠2 相矛盾， ∴假设不成立， ∴ a不平行于b． 考点：平行线的判定，平行线的性质，反证法 分析：由反证法的思路可知，先假设结论的反面成立，利用平行线的性质定理推得∠1=∠2，这与条件相矛盾，从而得证. 18. 证明：假设∠1≠∠A+∠B， 在△ABC中，∠A+∠B+∠2＝180°，如下图所示： ∴∠A+∠B＝180°﹣∠2， ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠1＝180°﹣∠2， ∴∠1＝∠A+∠B， 与假设相矛盾， ∴假设不成立， ∴原命题成立即：∠1＝∠A+∠B. 考点：三角形内角和定理，反证法，邻补角 分析：假设∠1≠∠A+∠B，利用三角形的内角和定理可得到∠A+∠B＝180°﹣∠2；再利用邻补角的定义可得到∠1＝180°﹣∠2，由此可推出∠1=∠A+∠B，可得到与假设矛盾，可得原命题正确. 19. 证明：假设a与b相交， 则过M点有两条直线平行于直线c， 这与过直线外一点平行于已知直线的直线有且只有一条相矛盾， 所以a∥b． 考点：反证法 分析：用反证法进行证明；先假设原命题不成立，然后经过推导得出与已知或定理相矛盾，从而证得原结论正确． 20. 证明：用反证法． 假设等腰三角形的底角不是锐角，则大于或等于90°． 根据等腰三角形的两个底角相等，则两个底角的和大于或等于180°． 则该三角形的三个内角的和一定大于180°，这与三角形的内角和定理相矛盾，故假设不成立． 所以等腰三角形的底角是锐角． 考点：反证法 分析：根据反证法的步骤进行证明． 21. 证明：假设a不平行b即a与b相交，设a，b相交于点A， ∵a⊥c，b⊥c， ∴过直线外点A有两条直线与直线c垂直， ∴与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾， 故假设不成立，原命题正确． 考点：反证法 分析：反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，进而证明即可解答． 1 学科网（北京）股份有限公司 $