2026年浙教版数学八年级暑假知识训练：菱形的性质与判定

**基本信息** 菱形的性质与判定专项训练，以性质应用为基础、判定证明为核心、综合计算为拓展，系统构建菱形知识网络与解题方法体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质应用|单选1-6/填空11-14|菱形边/角/对角线性质直接应用；勾股定理求边长/面积|从菱形定义推导性质，形成“边-角-对角线”知识框架| |判定证明|单选7-10/填空15/解答18-21/23|平行四边形基础上证邻边相等/对角线垂直；角平分线/全等辅助判定|由性质逆向构建判定定理，建立“性质-判定”双向逻辑| |综合计算|解答17/19/20/22/24|菱形与直角三角形/函数结合；动态问题中面积最值计算|整合性质与判定，解决跨知识综合问题，发展空间观念|

…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 菱形的性质与判定 一、单选题 1.已知菱形ABCD的周长为16,则菱形ARCD的边长为(    ) A. 4                                           B. 8                                           C. 12                                           D. 2 2.如图，在菱形 中， 相交于 ， ， 是线段 上一点，则 的度数可能是（    ） A.                                    B.                                    C.                                    D.  3.如图，在菱形ABCD中，对角线BD＝4，AC＝3BD，则菱形ABCD的面积为（　　） A. 96                                         B. 48                                         C. 24                                         D. 6 4.菱形的一个内角是 ，边长是 ，则这个菱形的较短的对角线长是（     ） A.                                 B.                                 C.                                 D.  5.下面性质中，菱形不一定具备的是（   ） A. 四条边都相等               B. 每一条对角线平分一组对角               C. 邻角互补               D. 对角线相等 6.如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，点P是AB的中点，PO=2，则菱形ABCD的周长是(   ) A. 4                                          B. 8                                          C. 16                                          D. 24 7.如图，在平行四边形ABCD中，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E ， 连接AE ． 添加一个条件，使四边形AEBD是菱形，这个条件是（   ） A.                  B.                  C.                  D. DE平分 8.如图，在一张平行四边形纸片ABCD中，画一个菱形，甲、乙两位同学的画法如下: 甲：以B ， A为圆心，AB长为半径作弧，分别交BC ， AD于点E ， F,则四边形ABEF为菱形；乙：作∠A, ∠B的平分线AE ， BF ， 分别交BC于点E ， 交AD于点F ， 则四边形ABEF是菱形；关于甲、乙两人的画法，下列判断正确的是（   ） A. 仅甲正确                       B. 仅乙正确                       C. 甲、乙均正确                       D. 甲、乙均错误 9.在四边形 中，对角线 和 交于点 ，下列条件能判定这个四边形是菱形的是（    ） A.  ，                                     B.  ， ， C.  ， ，                  D.  ， ， 10.有两张宽为3，长为9的矩形纸片如图所示叠放在一起，使重叠的部分构成一个四边形，则四边形的最大面积是（   ） A. 27                                         B. 12                                         C. 15                                         D. 18 二、填空题 11.已知菱形的周长为20，一条对角线长为8，则菱形的面积为________． 12.两个全等菱形如图所示摆放在一起，其中 和 分别在同一条直线上，若较短的对角线长为10，点 与点 的距离是24，则此菱形边长为________.   13.如图，在菱形 中， 、 相交于点O， ， 长为4，则菱形 的面积是________. 14.如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC，BD相交于点O，点E在AB上，且BE=BO，则∠EOA=________°. 15.如图，在 中， 于点 点 分别是 边的中点，请你在 中添加一个条件：________，使得四边形 是菱形． 16.如图，CD与BE互相垂直平分，AD⊥DB，∠BDE=70°，则∠CAD=________°． 三、解答 17.菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，已知AC=8，BD=6，求AB边上的高. 18.如图，在□ 中，E、F分别是 ， 边上的点，且 ．当 时，求证：四边形 是菱形． 19.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，点E是BC的中点，AE与BD交于点F，且F是AE的中点. （Ⅰ）求证：四边形AECD是菱形；（Ⅱ）若AC＝4，AB＝5，求四边形ABCD的面积. 20.如图，菱形花坛 的一边长 为 ， ，沿着该菱形的对角线修建两条小路 和 ． （1）求 和 的长； （2）求菱形花坛 的面积． 21.老师布置了一个作业，如下： 已知：如图1 的对角线 的垂直平分线 交 于点 ，交 于点 ，交 于点 ．求证：四边形 是菱形． 嘉琪同学写出了如图2所示的证明过程，老师说嘉琪同学的作业是错误的．请你解答下列问题： （1）能找出该同学错误的原因吗？请你指出来； （2）请你给出本题的符合题意证明过程． 22.如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，线段AB的端点都在正方形网格的格点上． （1）请在下面的网格中作出菱形ABCD（点C，D都在正方形网格的格点上，作出一个正确的图形即可）； （2）在（1）中作出的菱形面积是________． 23.已知，四边形 是菱形，   （1）若 ，则菱形 的周长 ________； （2）如图①， ， 是对角线，则 与 的位置关系是________； （3）如图②，点 ， 分别在 ， 上，且 ， ， ，点 ， 分别在 ， 上， 与 相交于点 ． 求证：四边形 是菱形． 24.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=2x-4与x轴交于点A，与y轴交于点B. （1）求点A，B的坐标. （2）若P是直线x=-2上的一动点，则在坐标平面内是否存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 答案解析部分 一、单选题 1. A 考点：菱形的性质 解：∵ 菱形ABCD的周长为16，且菱形的四条边相等， ∴ 菱形ARCD的边长为4. 故答案为：A. 分析：根据菱形四条边相等的性质以及菱形ABCD的周长为16，即可得出菱形的边长. 2. B 考点：菱形的性质 解：∵在菱形 中， ∴ ，即：∠AOB=90°， ∴ ＜90°， ∵ ， ∴∠ABO= ， ∴∠BAO=55°， ∵ =∠BAO+∠ABE， ∴ ＞55°， 即：55°＜ ＜90°． 故答案为：B． 分析：由菱形的性质，得∠AOB=90°，∠ABO= ，从而得：∠BAO=55°，进而可得：55°＜ ＜90°，即可得到答案． 3. C 考点：菱形的性质 解：∵BD＝4，AC＝3BD， ∴AC＝12， ∴菱形ABCD的面积为 AC×BD＝ ＝24． 故答案为：C． 分析：先求出AC＝12，再利用菱形的面积公式进行计算求解即可。 4. C 考点：菱形的性质 解：因为菱形的四边相等，当一个内角是60°，则较短对角线与两边组成等边三角形． ∵菱形的边长是 ， ∴这个菱形的较短的对角线长是3cm． 故答案为：C． 分析：根据 菱形的一个内角是   ， 边长是  ，进行求解即可。 5. D 考点：菱形的性质 解：A. 菱形的四条边都相等，说法正确，不符合题意； B. 菱形的每一条对角线平分一组对角，说法正确，不符合题意； C. 菱形的邻角互补，说法正确，不符合题意； D. 菱形的对角线不一定相等，说法不正确，符合题意. 故答案为：D. 分析：根据菱形的性质即可得出答案. 6. C 考点：直角三角形斜边上的中线，菱形的性质 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AB=BC=CD=AD. ∵点P是AB的中点， ∴AB=2OP. ∵PO=2， ∴AB=4， ∴菱形ABCD的周长是：4×4=16. 故答案为：C. 分析：根据菱形的性质可得AC⊥BD，AB=BC=CD=AD，再根据直角三角形的性质可得AB=2OP，进而得到AB长，然后可算出菱形ABCD的周长. 7. D 考点：菱形的判定 解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC， ∴∠DAB=∠EBA， ∵点F是AB的中点， ∴AF=BF， ∵∠AFD=∠BFE， ∴△ADF≌△BEF， ∴AD=BE， ∵AD∥BE， ∴四边形AEBD是平行四边形， A、当 时，得到AB=BD，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意； B、AB=BE时，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意； C、DF=EF时，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意； D、当DE平分 时，四边形AEBD是菱形，故该选项符合题意； 故答案为：D． 分析：先证明△ADF≌△BEF，得到AD=BE，推出四边形AEBD是平行四边形，再逐项分析即可。 8. C 考点：菱形的判定 解：甲的作法正确； 证明：由题意得AB=AF，AB=BE， ∴AF=BE， 又∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形， 又∵AB=BE，∴四边形ABEF是平行菱形。 乙的作法正确； 证明：∵AD∥BC ， ∴∠1=∠2 ， ∠6=∠7 ， ∵BF平分∠ABC ， AE平分∠BAD ， ∴∠2=∠3 ， ∠5=∠6 ， ∴∠1=∠3 ， ∠5=∠7 ， ∴AB=AF ， AB=BE ， ∴AF=BE ∵AF∥BE ， 且AF=BE ， ∴四边形ABEF是平行四边形， ∵AB=AF ， ∴平行四边形ABEF是菱形。 故答案为：C 分析：根据菱形的判定定理分析判断，即邻边相等的平行四边形是菱形，先证明四边形ABEF是平行四边形，再由邻边相等证明其为菱形。 9. D 考点：菱形的判定 解：A.由 ， 只能判定四边形 是平行四边形，不一定是菱形，故该选项不符合题意；    B. 由 ， ， 只能判定四边形 是矩形，不一定是菱形，故该选项不符合题意； C. 由 ， ， 可判断四边形 可能是等腰梯形，不一定是菱形，故该选项不符合题意；    D. 由 ， 能判定四边形 是菱形，故该选项符合题意； 故答案为：D． 分析：根据菱形的判定方法逐一进行判断即可． 10. C 考点：菱形的判定与性质 解：重叠的四边形的两组对边分别平行，那么可得是平行四边形，再根据宽度相等，利用面积的不同求法可得一组邻边相等，那么重叠的四边形应为菱形；如图， 此时菱形ABCD的面积最大． 设AB=x，EB=9-x，AE=3， 则由勾股定理得到：32+（9-x）2=x2 ， 解得x=5， S最大=5×3=15． 故答案为：C． 分析：先求出重叠的图形的格菱形，当两张矩形纸片的对角线互相重合时，菱形ABCD的面积最大，如图．设AB=x，EB=9-x，AE=3，在△ABE中，由勾股定理可得32+（9-x）2=x2 ， 求出x的值，利用菱形的面积=底×高计算即可. 二、填空题 11. 24 考点：菱形的性质 解：如下图, ∵菱形的周长为20， ∴边长AB=5, ∵对角线互相垂直平分, 一条对角线长为8， ∴BO=4,AO=3（勾股定理）, ∴AC=6, ∴S菱形= . 分析：根据题意画出图形,利用对角线互相垂直平分,菱形面积等于二分之一对角线乘积即可解题. 12. 13 考点：菱形的性质 解：连接AC和BG，相交于点O， ∵点G与点D的距离是24， ∴OC=12， ∵较短的对角线长为10， ∴OB=5， ∴在Rt△OBC中， ∴ ， ∴菱形边长为为13， 故答案为13. 分析：首先连接AC和BG相交于点O，根据题意求出BO和OC的长，进而利用勾股定理求出菱形的边长. 13. 考点：菱形的性质 解：∵ 四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°， ∴ AB＝BD，∠BAO＝30°，BD⊥AC，AC＝2OA， ∴△ABD是等边三角形，AB＝BD＝4， 在Rt△ABO中，OA＝AB•cos30°＝4× ＝2 ， ∴ AC＝2OA＝4 ， ∴S菱形ABCD＝ ， 故填： ． 分析：先利用三角函数求出菱形对角线的长，再利用菱形的面积公式进行计算即可。 14. 25 考点：菱形的性质 解：∵∠BAD=80°，菱形邻角和为180° ∴∠ABC=100°， ∵菱形对角线即角平分线 ∴∠ABO=50°， ∵BE=BO ∴∠BEO=∠BOE= =65°， ∵菱形对角线互相垂直 ∴∠AOB=90°， ∴∠AOE=90°-65°=25°， 故答案为 25． 分析：根据∠BAD和菱形邻角和为180°的性质可以求∠ABC的值，根据菱形对角线即角平分线的性质可以求得∠ABO的值，又由BE=BO可得∠BEO=∠BOE，根据∠BOE和菱形对角线互相垂直的性质可以求得∠EOA的大小。 15. AB=AC 考点：菱形的判定 解： 点 分别是 边的中点 要使四边形 是菱形，则需 ，即 理由如下： 是等腰三角形 点D是BC的中点 是 的两条中位线 又 四边形 是菱形 故答案为： ． 分析：根据菱形的性质可得 ，从而可得 即为所添加的条件；理由：先根据等腰三角形的判定与性质可得点D是BC的中点，再根据三角形中位线定理、线段中点的定义可得 ，然后根据菱形的判定即可得． 16. 70． 考点：菱形的判定与性质 解：∵CD与BE互相垂直平分，∴四边形BDEC是菱形．∴DB=DE． ∵∠BDE=70°，∴∠ABD= =55°． ∵AD⊥DB，∴∠BAD=90°﹣55°=35°． 根据轴对称性，四边形ACBD关于直线AB成轴对称，  ∴∠BAC=∠BAD=35°．∴∠CAD=∠BAC+∠BAD=35°+35°=70°． 分析：先证明四边形BDEC是菱形，然后求出∠ABD的度数，再利用三角形内角和等于180°求出∠BAD的度数，然后根据轴对称性可得∠BAC=∠BAD，然后求解即可． 三、解答题 17. 解：∵菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，AC=8，BD=6， ∴AO=4，BO=3，∠AOB=90°， ∴AB=5， ∴ ×6×8=DE×AB，即 ×6×8=DE×5， 解得：DE= ， 即AB边上的高为： . 考点：菱形的性质 分析：首先利用菱形的性质得出AB的长，再利用菱形面积求法得出DE的长. 18. 解： 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， 即 ， 又 ， 四边形 是平行四边形， ， 四边形 是菱形． 考点：菱形的判定 分析：利用“ASA”证明△ADE≌△CBF，得出AE=CF，则BEDF，证出四边形EBFD是平行四边形，由BD⊥EF，即可得出四边形EBFD是菱形。 19. 证明（Ⅰ）∵AD∥BC ∴∠ADB＝∠DBE ∵F是AE中点 ∴AF＝EF且∠AFD＝∠BFE，∠ADB＝∠DBE ∴△ADF≌△BEF ∴BE＝AD ∵AB⊥AC，E是BC中点 ∴AE＝BE＝EC ∴AD＝EC，且AD∥BC ∴四边形ADCE是平行四边形 且AE＝EC ∴四边形ADCE是菱形； （Ⅱ）∵AC＝4，AB＝5，AB⊥AC ∴S△ABC＝10 ∵E是BC中点 ∴S△AEC＝ S△ABC＝5 ∵四边形ADCE是菱形 ∴S△AEC＝S△ACD＝5 ∴四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD＝15. 考点：菱形的判定与性质 分析：（Ⅰ）先证四边形ADCE是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求AE=CE，即可得四边形AECD是菱形；（Ⅱ）由题意可求S△AEC=S△ACD= S△ABC ， 即可求四边形ABCD的面积. 20. （1）解：∵．花坛 是菱形， ， ， ， ， 在 中， ， ． （2）解： 答： 长 ， 长 ， 菱形花坛 面积 ． 考点：菱形的性质 分析：（1）由菱形的性质可得 ， ， ， ∠ABD=∠ABC=30°，由直角三角形的性质可得AO=AB=10m, ， 即可求解； （2）由菱形的面积公式可求解。 21. （1）解：能；嘉琪同学错在 和 并不是互相平分的， 垂直平分 ， 但未证明 垂直平分 ，需要通过证明得出 （2）证明：∵四边形 是平行四边形， ∴ ． ∴ ． ∵ 是 的垂直平分线， ∴ ． ∵∠AOF=∠EOC． ∴ ． ∴ ． ∴四边形AECF是平行四边形． ∵ 垂直平分 ． ∴ 与 互相垂直平分． ∴四边形 是菱形 考点：菱形的判定 分析：（1）题目中只说对角线 的垂直平分线是 ，所以，只能得到EF垂直平分AC，并不能得到AC是平分EF的，所以不能说明四边形是平行四边形，故后面的结论不对，由此可知嘉琪的不符合题意；（2）根据 是 的垂直平分线，所以 ，由 ．推出 ，再结合对顶角，证明 ，可证四边形是平行四边形，最后根据对角线互相垂直，可证明菱形． 22. （1）解：如图所示菱形ABCD即为所求， ； （2）20 考点：菱形的判定与性质 解：(1)S菱形ABCD＝5×4＝20， 故答案为：20． 分析：（1）根据菱形的判定方法作图即可； （2）利用菱形的面积计算公式求解即可。 23. （1）20 （2） （3）证明：∵MG∥AD，NF∥AB， ∴四边形AMEN是平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD， ∵BM＝DN， ∴AB−BM＝AD−DN， ∴AM＝AN， ∴四边形AMEN是菱形 考点：菱形的判定与性质 解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝5， ∴菱形ABCD的周长＝20； 故答案为：20；（2）∵四边形ABCD是菱形，AC、BD是对角线， ∴AC⊥BD， ∴AC与BD的位置关系是垂直， 故答案为：垂直； 分析：（1）根据菱形的性质即可得到结论；（2）根据菱形的性质即可得到结论；（3）由MG∥AD，NF∥AB，可证得四边形AMEN是平行四边形，又由四边形ABCD是菱形，BM＝DN，可得AM＝AN，即可证得四边形AMEN是菱形． 24. （1）解：当x=0时，y=-4， 当y=0时，x=2， ∴A（2,0），B（0，-4）； （2）解：存在。 如图， AB= ， ∵P是x=-2上的一个动点， ∴P（-2，t）， ①当AP为对角线时，AP⊥BQ， ∴P（-2,0），Q（0,4）； ②当BP为对角线时，且P在x轴上方时， 则AP==2 ， 解得t=2，∴P（-2,2）， ∴Q（-4，-2）； ③当BP为对角线时，且P在x轴下方时， 则AP==2 ， ∴t=-2，P（-2，-2）， 由图可得Q（-4，-6）， ∴ 点Q的坐标为(0，4)，(-4，-2)，(-4，-6)或(4，  )； ④作AB的垂直平分线交 x=-2于一点P，然后再以A、B为圆心，以AP为半径画弧交于一点Q， 则P（-4，），Q (4，  ) . 考点：一次函数的图象，勾股定理，菱形的判定与性质 分析：（1）分别令x=0，y=0，求出直线l：y=2x-4与x轴交点 A、B坐标即可； （2）分四种情况讨论，即①当AP为对角线时，AP⊥BQ，②当BP为对角线时，且P在x轴上方时， ③当BP为对角线时，且P在x轴下方时，④作AB的垂直平分线交 x=-2于一点P，然后再以A、B为圆心，以AP为半径画弧交于一点Q，分别根据菱形的性质，结合运用勾股定理求解即可. 1 学科网（北京）股份有限公司 $