第五章 5.1～5.2 菱形的性质、矩形的性质等知识点同步练 2026--2027学年浙教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦菱形、矩形性质及综合应用，通过基础巩固、能力提升、综合拓展三层设计，实现从单一知识点到多模块融合的递进式知识巩固，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|菱形、矩形性质|选择填空为主，直接应用性质求角度、线段长，强化概念理解| |提升层|折叠与勾股定理|结合图形折叠设未知量列方程，培养空间观念与运算能力| |综合层|旋转、正方形等综合|含探究性解答题，融合旋转性质与模型构建，发展创新意识|

菱形的性质、矩形的性质等知识点同步练 知识点一：根据菱形的性质解题 例题： （选择题）菱形的对角线性质具备（   ）。 A．相等 B．互相垂直 C．相等且互相垂直 D．相等且互相平分 同步练： （选择题）1.如图，菱形的两条对角线相交于点O，若，则的度数是（　 　）。 A． B． C． D． （选择题）2.如图，菱形的对角线，相交于点，若，，则的长为（　 　）。 A．2 B．3 C． D．4 （填空题）3.已知菱形的对角线、的长分别为12和16，则这个菱形的面积是________。 （填空题）4.菱形的对角线长分别是10、16，则它的面积是_______。 （填空题）5.菱形有一个内角是，边长为，则它的面积是____________。 知识点二：根据矩形的性质求线段长 例题： （选择题）如图，矩形铁板的长为a，在左侧截掉一个最大的正方形。若剩余部分的周长为b，则a与b的关系为（    ）。 A． B． C． D． 同步练： （选择题）1.已知矩形的一边长为6，面积为48，则该矩形的对角线长为（   ）。 A．8 B．10 C．24 D．40 （选择题）2.如图，矩形ABCD中，，，且BE与DF之间的距离等于6，则AE的长是（    ）。 A． B． C． D．10 （填空题）3.矩形的两条对角线的夹角为，一条对角线与较短边的和为，则较短边的长为________。 （填空题）4.如图，在矩形中，对角线，，则的长为 。 （填空题）5.如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则的长为 。 知识点三：运用勾股定理与折叠思维解题 例题： （选择题）如图，在矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且，则的面积为（   ）。 A． B．9 C．8 D．7 同步练： （选择题）1.如图，将矩形纸片放入以所在直线为x轴，边上一点O为坐标原点的直角坐标系中，连结，将纸片沿折叠，使得点C落在边上点处，若，，则点C的坐标为（   ）。 A． B． C． D． （选择题）2.如图所示，长方形纸片ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF长为（　 　）。 A．3cm B．cm C．5cm D．2cm （填空题）3.如图，在矩形中，点是边上一点，将沿折叠，使点落在边上的处，已知，，则的长为 。 （填空题）4.如图，在长方形中，，在上存在一点E，沿直线把折叠，使点D恰好落在边上，设此点为F，若的面积为，那么折叠的面积为__________。 （解答题）5.现有一长方形纸片，在剪纸过程中需要折叠。如图，将沿折叠，使点D恰好落在边上的点F处。已知，求的长。 （解答题）6.如图，在矩形纸片中，，，点E在上，将沿折叠，使点A落在对角线上的点处，求的长。 知识点四：结合勾股定理、旋转的性质、正方形的性质等知识点综合解题 例题： （选择题）如图，在正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BC'，连接CC'，DC'，若∠CC'D = 90°，BC'=，则线段C'D的长度为（   ）。 A． B． C． D． 同步练： （选择题）1.如图，已知，在正方形中，，以点B为圆心，1为半径作，点P在上移动，连接。将绕点A逆时针旋转至，连接。在点P移动过程中，长度的最小值是（　　 ）。 A． B． C． D．3 （填空题）2.如图，正方形，，点为边边上的一点，，连接，把绕点顺时针旋转，得到△，连接，则的长为 。 （填空题）3.如图，在正方形中，，点E是延长线上一点，且，点F为线段上一动点，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，，则的最小值是 ，此时的长为 。 （填空题）4.如图，在正方形中，，为对角线上的一个动点（不与点重合），过点作于点，于点，连接。给出以下结论：①；②；③时，四边形是正方形；④的最小值为8。其中正确的结论是 。（填序号） （解答题）5.某研究性学习小组在学习第三章第4节《简单的图案设计》时，发现了一种特殊的四边形，如图1，在四边形中，，，我们把这种四边形称为“等补四边形”。如何求“等补四边形”的面积呢？ 探究一： （1）如图2，已知“等补四边形”，若，将“等补四边形”绕点顺时针旋转，可以形成一个直角梯形（如图3）。若，，则“等补四边形”的面积为______。 探究二： （2）如图4，已知“等补四边形”，若，将“等补四边形”绕点顺时针旋转，再将得到的四边形按上述方式旋转，可以形成一个等边三角形（如图5）。若，，求“等补四边形”的面积。 探究三： （3）由以上探究可知，对一些特殊的“等补四边形”，只需要知道，的长度，就可以求它的面积。那么如图6，已知“等补四边形”，连接，若，，，试求出“等补四边形”的面积（用含，的代数式表示）。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 菱形的性质、矩形的性质等知识点同步练 知识点一：根据菱形的性质解题 例题： （选择题）菱形的对角线性质具备（   ）。 A．相等 B．互相垂直 C．相等且互相垂直 D．相等且互相平分 【答案】B 【分析】根据菱形的性质进行分析，即可得到答案。 【详解】解：菱形的对角线互相垂直且平分， 故选B。 同步练： （选择题）1.如图，菱形的两条对角线相交于点O，若，则的度数是（　 　）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键。 由菱形的性质得，，则，即可得出结论。 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 故选：A。 （选择题）2.如图，菱形的对角线，相交于点，若，，则的长为（　 　）。 A．2 B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的性质得到，，根据菱形面积的计算即可得到，由此即可求解。 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A 。 （填空题）3.已知菱形的对角线、的长分别为12和16，则这个菱形的面积是________。 【答案】96 【分析】本题主要考查了菱形的性质，掌握菱形的面积为对角线积的一半是解题的关键。 直接运用菱形的面积为对角线积的一半求解即可。 【详解】解：这个菱形的面积是， 故答案为：96。 （填空题）4.菱形的对角线长分别是10、16，则它的面积是_______。 【答案】80 【分析】根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得其面积。 【详解】解：∵菱形的两条对角线长分别为10和16， ∴其面积为：×10×16=80， 故答案为：80。 （填空题）5.菱形有一个内角是，边长为，则它的面积是____________。 【答案】 【分析】先求菱形的高，再运用公式：底高计算．可画出草图分析。 【详解】解：如图，，， 作于，则， 面积， 故答案为：。 知识点二：根据矩形的性质求线段长 例题： （选择题）如图，矩形铁板的长为a，在左侧截掉一个最大的正方形。若剩余部分的周长为b，则a与b的关系为（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，由矩形对边相等即可求解。 【详解】解∶设截掉一个最大的正方形的边长为，则余下的部分边长为∶、， ∴， ∴， 故选A。 同步练： （选择题）1.已知矩形的一边长为6，面积为48，则该矩形的对角线长为（   ）。 A．8 B．10 C．24 D．40 【答案】B 【分析】根据矩形的性质和勾股定理进行求解即可。 【详解】解：∵矩形的一边长为6，面积为48， ∴矩形的另一条边长为：， ∵矩形的两条邻边和一条对角线构成直角三角形，对角线为斜边， ∴对角线的长为：； 故选B。 （选择题）2.如图，矩形ABCD中，，，且BE与DF之间的距离等于6，则AE的长是（    ）。 A． B． C． D．10 【答案】C 【分析】过点D作DG⊥BE，垂足为G，则GD=6，首先证明△AEB≌△GED（AAS），由全等三角形的性质可得到AE=EG，设AE=EG=x，则ED=8-x，在Rt△DEG中依据勾股定理列方程求解即可。 【详解】解：如图，过点D作DG⊥BE，垂足为G， 则GD=6=AB，∠G=90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC=8，∠A=90°=∠G， 在△AEB和△GED中，， ∴△AEB≌△GED（AAS）， ∴AE=EG 设AE=EG=x，则ED=8-x， 在Rt△DEG中，由勾股定理得：ED2=EG2+GD2， ∴x2+62=（8-x）2， 解得：x=，即AE=， 故选：C。 （填空题）3.矩形的两条对角线的夹角为，一条对角线与较短边的和为，则较短边的长为________。 【答案】 【分析】本题首先求证由两条对角线的夹角为60°的角的三角形为等边三角形，易求出短边边长。 【详解】解：已知矩形的两条对角线的夹角为，根据矩形的性质可求得由两条对角线的夹角为的三角形为等边三角形， 又因为一条对角线与短边的和为， 所以较短边的边长为cm， 故答案为：。 （填空题）4.如图，在矩形中，对角线，，则的长为 。 【答案】4 【分析】由矩形的性质得出OB=OD=4，再证明△AOB是等边三角形，即可得出OB=AB=4。 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD=8， ∴OB=OD=4，OA=OC=4， ∵∠AOB=60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB=OB=4， 故答案为：4。 （填空题）5.如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则的长为 。 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定以及菱形的判定与性质，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键。 先根据矩形的性质得到对角线相等且互相平分，再由两组对边分别平行判定四边形是平行四边形，最后结合矩形性质得出，从而判定该平行四边形为菱形，进而得到，求出的长度。 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴； ∵，， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴平行四边形是菱形， ∴， 故答案为：。 知识点三：运用勾股定理与折叠思维解题 例题： （选择题）如图，在矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且，则的面积为（   ）。 A． B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】根据折叠得到，，结合得到，即可求出，结合勾股定理即可求出，即可得到答案。 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴∠ABC=90°，，， ∵折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在中， ， 解得：， ∴， 故选：B。 同步练： （选择题）1.如图，将矩形纸片放入以所在直线为x轴，边上一点O为坐标原点的直角坐标系中，连结，将纸片沿折叠，使得点C落在边上点处，若，，则点C的坐标为（   ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质以及勾股定理的运用；解决问题的关键是运用勾股定理计算有关线段的长。解题时注意方程思想的运用。依据折叠的性质以及勾股定理，即可得出的长，进而得到，再根据勾股定理可得，中，列方程求解即可得到，进而得出点C的坐标。 【详解】解：矩形纸片中，，， ∴， ， 中，， ， 设，则， 中，， ∴， 解得， ， 又点C在x轴上， 点C的坐标为， 故选：B。 （选择题）2.如图所示，长方形纸片ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF长为（　 　）。 A．3cm B．cm C．5cm D．2cm 【答案】C 【分析】设AF＝xcm，则DF＝（8−x）cm，利用矩形纸片ABCD中，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，由勾股定理求AF即可。 【详解】解：设AF＝xcm，则DF＝（8−x）cm， ∵矩形纸片ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合， ∴DF＝D′F，, 在Rt△AD′F中，∵AF2＝AD′2＋D′F2， ∴x2＝42＋（8−x）2， 解得：x＝5（cm）， 故选：C。 （填空题）3.如图，在矩形中，点是边上一点，将沿折叠，使点落在边上的处，已知，，则的长为 。 【答案】/ 【分析】本题考查矩形的性质，直角三角形的边角关系以及翻折轴对称的性质。根据翻折的性质和勾股定理可求出，进而求出，在中由勾股定理可求出。 【详解】解：由翻折的性质可知，，， 在中，，， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 即， 故答案为：。 （填空题）4.如图，在长方形中，，在上存在一点E，沿直线把折叠，使点D恰好落在边上，设此点为F，若的面积为，那么折叠的面积为__________。 【答案】 【分析】本题主要考查折叠的性质和勾股定理。根据折叠得和。根据题意求得，利用勾股定理求得，则．设，则，即可得和。在中，由勾股定理，即可求得的面积。 【详解】解：由折叠可知，， ∵，， ∴； 在中，由勾股定理，， 则， 设，则， ∴，； 在中，由勾股定理得，即，解得， 则， 故答案为：。 （解答题）5.现有一长方形纸片，在剪纸过程中需要折叠。如图，将沿折叠，使点D恰好落在边上的点F处。已知，求的长。 【答案】3 【分析】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识点，掌握折叠的性质成为解题的关键。 设的长为x，则，由折叠的性质可得，进而得到，然后再运用勾股定理可得，即；然后再中运用勾股定理列方程求解即可。 【详解】解：设的长为x，则， ∵折叠后的图形是， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得：，解得：， ∴， 在中，由勾股定理得：，即，解得， ∴的长为3。 （解答题）6.如图，在矩形纸片中，，，点E在上，将沿折叠，使点A落在对角线上的点处，求的长。 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出的长，再由折叠的性质得到，然后根据进行求解即可。 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴。 知识点四：结合勾股定理、旋转的性质、正方形的性质等知识点综合解题 例题： （选择题）如图，在正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BC'，连接CC'，DC'，若∠CC'D = 90°，BC'=，则线段C'D的长度为（   ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点B作BE⊥CC'于点E，根据正方形的性质可得△BCE≌△CDC'，从而得到CE=C'D，BE=C C'，再由将边BC绕点B逆时针旋转至BC'，可得CE=C'E=C'D=CC'=BE，然后根据勾股定理，即可求解。 【详解】解：如图，过点B作BE⊥CC'于点E， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=CD，∠BCD=90°， ∴∠BCE+∠C'CD=90°， ∵∠BCE+∠CBE=90°， ∴∠C'CD=∠CBE， 又∵∠BEC=∠CC'D=90°， ∴△BCE≌△CDC'（AAS）， ∴CE=C'D，BE=C C'， ∵将边BC绕点B逆时针旋转至BC'， ∴BC=BC'， 又∵BE⊥CC'， ∴CE=C'E=C'D=CC'=BE， ∵BC'=， ∴， 解得：CE=2， ∴线段C'D的长度为2， 故选：B。 同步练： （选择题）1.如图，已知，在正方形中，，以点B为圆心，1为半径作，点P在上移动，连接。将绕点A逆时针旋转至，连接。在点P移动过程中，长度的最小值是（　　 ）。 A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】通过画图发现，点的运动路线为以D为圆心，以1为半径的圆，可知：当在对角线上时，最小，先证明，则，再利用勾股定理求对角线的长，则得出的长。 【详解】解：如图，当在对角线上时，最小， 连接， 由旋转得：， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在中，∵， 由勾股定理得：， ∴， 即长度的最小值为， 故选：A。 （填空题）2.如图，正方形，，点为边边上的一点，，连接，把绕点顺时针旋转，得到△，连接，则的长为 。 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键。根据正方形的性质可得，，由勾股定理求得，再由旋转的性质可得，再根据勾股定理求解即可。 【详解】解：正方形中，， ，， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 绕点顺时针旋转，得到， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 故答案为：。 （填空题）3.如图，在正方形中，，点E是延长线上一点，且，点F为线段上一动点，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，，则的最小值是 ，此时的长为 。 【答案】 6 【分析】由题意可得是等腰直角三角形，得出，可得当时，最小，即最小，只要利用勾股定理和等面积法求出即可求出的最小值；作辅助线如图，可得四边形是矩形，推出，，等面积法求出，勾股定理求出，证明，利用全等三角形的性质得出，，进而可得，，再利用勾股定理即可求解。 【详解】解：∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当时，最小，即最小，如图， ∵正方形中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为； 此时， 过点G作，，垂足分别为H、I，过点F作于P，如图， ∵，， ∴，， 同理可得， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：；6。 （填空题）4.如图，在正方形中，，为对角线上的一个动点（不与点重合），过点作于点，于点，连接。给出以下结论：①；②；③时，四边形是正方形；④的最小值为8。其中正确的结论是 。（填序号） 【答案】①②③ 【分析】如图所示，连接，交于点O，根据垂直的定义得到，根据矩形的性质得到，，求得，，根据全等三角形的性质得到，即①正确；根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，得到，即②正确，当时，得到，求得，得到，由①可知，四边形是矩形，根据正方形的判定定理得到四边形是正方形。故③正确；由①可知，，当点B，E，D三点共线时，最小，即最小，求得的最小值为，④不正确。 【详解】解：如图所示，连接，交于点O， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即②正确； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴，由①可知，四边形是矩形， ∴四边形是正方形。故③正确； 由①可知，，当点B，E，D三点共线时，最小，即最小， 此时， ∴的最小值为，④不正确； 故答案为：①②③。 （解答题）5.某研究性学习小组在学习第三章第4节《简单的图案设计》时，发现了一种特殊的四边形，如图1，在四边形中，，，我们把这种四边形称为“等补四边形”。如何求“等补四边形”的面积呢？ 探究一： （1）如图2，已知“等补四边形”，若，将“等补四边形”绕点顺时针旋转，可以形成一个直角梯形（如图3）。若，，则“等补四边形”的面积为______。 探究二： （2）如图4，已知“等补四边形”，若，将“等补四边形”绕点顺时针旋转，再将得到的四边形按上述方式旋转，可以形成一个等边三角形（如图5）。若，，求“等补四边形”的面积。 探究三： （3）由以上探究可知，对一些特殊的“等补四边形”，只需要知道，的长度，就可以求它的面积。那么如图6，已知“等补四边形”，连接，若，，，试求出“等补四边形”的面积（用含，的代数式表示）。 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查“等补四边形”，旋转、等边三角形，勾股定理的知识等，解题的关键是掌握“等补四边形”的性质，旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理的运用，即可。 （1）根据旋转的性质，则四边形的面积等于直角梯形面积的一半，结合题意，求出直角梯形的面积，即可； （2）根据旋转的性质，四边形的面积等于等边三角形的面积的，根据等边三角形的性质，则，，根据直角三角形的中所对的直角边等于斜边的一半，，根据勾股定理求出三角形的高，即可求出等边三角形的面积，即可； （3）作于点，根据等补四边形中，，推出，；当点，，在同一直线上，则， 求出，根据，则， 求出，根据“等补四边形”的面积等于的面积，即可。 【详解】（1）等补四边形”的面积为， 故答案为：； （2）如图，过点作交于点， 根据题意可得：， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴“等补四边形”的面积为：； （3）如图，将绕点顺时针旋转得到， 作于点， ∴，，，， 在等补四边形中，， ∴， ∴点，，在同一直线上， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴“等补四边形”的面积等于的面积：。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $