精品解析：河南省开封高级中学2023-2024学年高二下学期六月质量检测测试数学试卷

开封高中2025届高二年级六月质量检测测试数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若虚数单位是关于方程的一个根，则（ ） A. B. 2 C. D. 5 3. 下列命题正确的是（ ） A. 若直线上有无数个点不在平面内，则 B. 若直线不平行于平面且，则平面内不存在与平行的直线 C. 已知直线，，平面，且，则直线，平行 D. 已知两条相交直线，，且平面，则与相交 4. 已知为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为上异于长轴端点的任意一点，的角平分线交线段于点，则（ ） A. B. C. D. 6. 把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相邻的两天，乙丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法数是（ ） A. 96种 B. 60种 C. 48种 D. 36种 7. 已知等差数列前项和为，若，则（ ） A. 有最小值25 B. 有最大值25 C. 有最小值50 D. 有最大值50 8. 已知函数，不存在最小值，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，关于该函数有下面四个说法，正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 当时，的取值范围为 D. 的图象可由图象向左平移个单位长度得到 10. 下列命题正确的是（ ） A. 数据4，5，6，7，8，8的第50百分位数为6 B. 已知随机变量，若，则 C. 对于随机事件A，B，若，，，则A与B相互独立 D. 已知采用分层随机抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数为172，方差为120，女生样本平均数为165，方差为120，则总体样本方差为120 11. 如图，四边形是圆柱的轴截面且面积为2，四边形绕逆时针旋转到四边形，则（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 当时， C. 当时，四面体的外接球表面积最小值为 D. 当时， 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线过点，且渐近线方程为，则的离心率为______． 13. 已知角的终边关于直线对称，且，则的一组取值可以是______，______． 14. 如图所示，直角三角形所在平面垂直于平面，一条直角边在平面内，另一条直角边长为且，若平面上存在点，使得面积为，则线段长度的最小值为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列满足：，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若等差数列的公差不为零且数列满足：，求数列的前项和． 16. 2023年12月30日8时13分，长征二号丙/远征一号S运载火箭在酒泉卫星发射中心点火起飞，随后成功将卫星互联网技术试验卫星送入预定轨道.由中国航天科技集团有限公司研制的运载火箭48次宇航任务全部取得圆满成功．也代表着中国航天2023年完美收官.某市一调研机构为了了解当地学生对我国航天事业发展的关注度，随机从本市大学生和高中生中抽取一个容量为的样本，根据调查结果得到如下列联表： 学生群体 关注度 合计 关注 不关注 大学生 高中生 合计 （1）完成上述列联表；依据小概率值的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关联，求样本容量n的最小值； （2）用频率估计概率，从本市大学生和高中生中随机选取3人，用X表示不关注的人数，求X的分布列和数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 ，其中． 17. 已知四棱锥的底面是边长为4的菱形，，，，是线段上的点，且． （1）证明：平面； （2）点在直线上，求与平面所成角的最大值． 18. 已知双曲线的左右焦点分别为，C的右顶点到直线的距离为，双曲线右支上的点到的最短距离为 （1）求双曲线C的方程； （2）过的直线与C交于M、N两点，连接交l于点Q，证明：直线QN过x轴上一定点. 19. 已知函数． （1）求的极值； （2）已知，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 开封高中2025届高二年级六月质量检测测试数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式化简集合，结合交集的定义求. 【详解】不等式，可化为， 所以不等式的解集为， 所以，又， 所以， 故选：B. 2. 若虚数单位是关于的方程的一个根，则（ ） A. B. 2 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用方程根的意义，结合复数为0的充要条件求出，再求出复数的模. 【详解】依题意，，即，又， 则，所以. 故选：C 3. 下列命题正确的是（ ） A. 若直线上有无数个点不平面内，则 B. 若直线不平行于平面且，则平面内不存在与平行的直线 C. 已知直线，，平面，且，则直线，平行 D. 已知两条相交直线，，且平面，则与相交 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间直线与平面的位置关系的定义，分类，及几何特征，逐一分析选项，可得答案. 【详解】若直线上有无数个点不在平面内，则或与相交，故A选项不正确； 若直线不平行于平面且，则与相交，所以平面内不存在与平行的直线，故B选项正确； 已知直线，平面，且，则直线平行或异面，C选项错误； 两条相交直线，且平面，则平面或与相交，D选项错误. 故选：B 4. 已知为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数图象平移的规则，且为奇函数，得出函数图象的对称性，进而得出的值. 【详解】由函数图象平移的规则可知： 函数的图象可由函数的图象向右平移个单位、向下平移个单位得到的， 因为函数为奇函数，所以函数的图象关于原点对称， 所以函数的图象关于点对称，得： ， 即， 故选：D. 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为上异于长轴端点的任意一点，的角平分线交线段于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形平分线性质求得，利用定义及比例即可求解. 【详解】因为的角平分线交线段于点， 所以， 所以由正弦定理得，， 又因为，， 所以，即，不妨设，如图： 则，解得， 所以， 由题意，，所以，即. 故选：A 6. 把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相邻的两天，乙丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法数是（ ） A. 96种 B. 60种 C. 48种 D. 36种 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理，结合相邻问题和不相邻问题的方法即可求得. 【详解】依题意，设这五个人分别为甲乙丙丁戊. 第一步，将乙丙看成一个整体，考虑2人之间的顺序，有种情况， 第二步，将这个整体与丁戊全排列，有种安排方法， 第三步，排好后产生4个空位，因甲乙不相邻，则只能从3个空中任选1个安排甲，有种安排方法. 则由分步乘法计数原理，不同方案共有种. 故选：D. 7. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 有最小值25 B. 有最大值25 C. 有最小值50 D. 有最大值50 【答案】B 【解析】 【分析】由，利用等差数列的性质推出，再利用基本不等式计算即得. 【详解】由可得， 因则等差数列的公差，故， 则，当且仅当时取等号， 即当时，取得最大值25. 故选：B. 8. 已知函数，不存在最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别在条件下结合指数函数单调性及二次函数性质，确定函数的取值规律，由条件列不等式求的范围，可得结论. 【详解】（1）当时，若，则， 因为函数在上单调递增，所以， 若，则，当且仅当时取等号， 因为不存在最小值， 所以，所以， （2）当时，若，则， 因为函数在上单调递增，所以， 若，则，当且仅当时取等号， 因为不存在最小值， 所以，所以， 所以实数的取值范围是， 故选：C. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，关于该函数有下面四个说法，正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 当时，的取值范围为 D. 图象可由图象向左平移个单位长度得到 【答案】BC 【解析】 【分析】先由二倍角公式化简函数，然后利用周期公式求解周期判断A，由正弦函数单调性判断B，利用换元法结合正弦函数性质求解值域判断C，根据正弦函数图象平移法则结合诱导公式判断D. 【详解】因为， 对于A，的最小正周期为，故A错误； 对于B，由，结合正弦函数的性质知在上单调递增，故B正确； 对于C，当时，，所以，所以的取值范围为，故C正确； 对于D，图象向左平移个单位长度得到，故D错误. 故选：BC 10. 下列命题正确的是（ ） A. 数据4，5，6，7，8，8的第50百分位数为6 B. 已知随机变量，若，则 C. 对于随机事件A，B，若，，，则A与B相互独立 D. 已知采用分层随机抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数为172，方差为120，女生样本平均数为165，方差为120，则总体样本方差为120 【答案】BC 【解析】 【分析】根据百分位数定义判断A；由二项分布方差计算公式判断B；由条件概率公式和独立事件的定义判断C；由分层抽样样本方差的计算公式判断D. 【详解】对于A，由于，则数据4，5，6，7，8，8的第50百分位数为，故A错误； 对于B，由于，则，故B正确； 对于C，若，根据条件概率公式则有， 变形可得，则与相互独立，故C正确； 对于D，分层抽样的平均数， 按分层抽样样本方差的计算公式， ，故D错误. 故选：BC 11. 如图，四边形是圆柱的轴截面且面积为2，四边形绕逆时针旋转到四边形，则（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 当时， C. 当时，四面体的外接球表面积最小值为 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为，母线长为，由已知可得，结合圆柱的侧面积公式判断A，由条件，根据线面垂直判定定理证明平面，由此证明，判断B，由条件求四面体的外接球的半径，结合球的表面积公式和基本不等式求其最小值，判断C，由条件利用表示，由此可得，解不等式求范围，判断D. 【详解】设圆柱的底面半径为，母线长为， 因为四边形是圆柱的轴截面 所以， 因为四边形的面积为2， 所以，即 所以圆柱的侧面积，A正确， 因为为圆的直径，所以， 又平面，平面， 所以，又平面，， 所以平面，平面， 所以，B正确； 因为， 设四面体的外接球的半径为， 则， 因为，， 所以， 所以，， 所以，当且仅当时等号成立， 所以四面体的外接球表面积最小值为，C错误， 因为，，， 所以， 所以，又， 所以，所以， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 又，所以，D正确， 故选：ABD. 【点睛】知识点点睛：本题考查圆柱侧面积的求法，线面垂直的判定定理，多面体的外接球问题，空间中两点距离问题，属于综合题，综合考查学生直观想象能力，逻辑推理能力，要运算求解能力. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线过点，且渐近线方程为，则的离心率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】分焦点在轴或轴上两种情况，设出双曲线方程，依题意，得到方程组，解之即得离心率. 【详解】当双曲线的焦点在轴上时，其方程为，依题有，方程组无解； 当双曲线的焦点在轴上时，其方程为，依题有，解得， 则. 故答案为：. 13. 已知角的终边关于直线对称，且，则的一组取值可以是______，______． 【答案】 ①. ②. （答案不唯一，符合，或，，即可） 【解析】 【分析】由条件角的终边关于直线对称可得，由可得，解方程求即可. 【详解】因为角的终边关于直线对称， 所以，， 又， 所以或，， 所以，或，，， 取可得或 所以的一组取值可以是， 故答案为：，，（答案不唯一，符合，或，，即可） 14. 如图所示，直角三角形所在平面垂直于平面，一条直角边在平面内，另一条直角边长为且，若平面上存在点，使得的面积为，则线段长度的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意，根据面面垂直的性质可得平面，利用线面垂直的性质可得，进而，由三角形的面积公式可得，即可求解. 【详解】在中，，则， 又平面，平面平面， 所以平面，连接，，所以， 得，设（）， 则，即，得， 当即即时，取到最小值1， 此时取到最小值. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是利用勾股定理和三角形面积公式计算得到、，而，即为所求. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列满足：，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若等差数列的公差不为零且数列满足：，求数列的前项和． 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）设数列公差，由条件列出方程，求解后运用等差数列基本量运算即得； （2）求出数列的通项公式，根据其形式结构进行拆项和裂项，利用分组求和法与裂项求和法即可求得. 【小问1详解】 设数列的公差为，依题意，成等比数列，所以， 解得或，当时，；当时， 所以数列的通项公式为或. 【小问2详解】 因为等差数列的公差不为零，由（1）知，则 ， 所以， 即. 16. 2023年12月30日8时13分，长征二号丙/远征一号S运载火箭在酒泉卫星发射中心点火起飞，随后成功将卫星互联网技术试验卫星送入预定轨道.由中国航天科技集团有限公司研制的运载火箭48次宇航任务全部取得圆满成功．也代表着中国航天2023年完美收官.某市一调研机构为了了解当地学生对我国航天事业发展的关注度，随机从本市大学生和高中生中抽取一个容量为的样本，根据调查结果得到如下列联表： 学生群体 关注度 合计 关注 不关注 大学生 高中生 合计 （1）完成上述列联表；依据小概率值的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关联，求样本容量n的最小值； （2）用频率估计概率，从本市大学生和高中生中随机选取3人，用X表示不关注的人数，求X的分布列和数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 ，其中． 【答案】（1）列联表见解析， （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据题意即可完成列联表，再由题意可得，即可求出； （2）由题意可得服从二项分布，再根据二项分布的期望公式即可得解. 【小问1详解】 列联表如下： 学生群体 关注度 合计 关注 不关注 大学生 高中生 合计 ， 因为依据小概率值的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关， 所以， 由题可知，n是10的倍数，所以n的最小值为； 【小问2详解】 由（1）可知，所以不关注的人数为， 用频率估计概率，所以不关注的概率为， X的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 因为，所以. 17. 已知四棱锥的底面是边长为4的菱形，，，，是线段上的点，且． （1）证明：平面； （2）点在直线上，求与平面所成角的最大值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）连结，交于点，由条件证明，建立空间直角坐标系，利用向量方法证明，结合线面垂直判定定理证明结论； （2）根据线面角的向量求法求出与平面所成角的正弦值，再求其最大值，由此可求线面角的最大值. 【小问1详解】 连结，交于点，连， 由， 知， 又平面 又底面为菱形，所以 以为坐标原点，，，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 如图所示，边长为4，则， 在直角三角形中，所以 所以点 ，则 所以， 所以， ， 所以， 所以， 又，平面， 所以平面， 【小问2详解】 设， 所以， 故， 所以 平面的一个法向量是， 设与平面所成角为，则 当时，平面，； 当时， ， 当且仅当时取等号， 又所以， 故与平面所成角的最大值为 18. 已知双曲线的左右焦点分别为，C的右顶点到直线的距离为，双曲线右支上的点到的最短距离为 （1）求双曲线C的方程； （2）过的直线与C交于M、N两点，连接交l于点Q，证明：直线QN过x轴上一定点. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意求出，即可得解； （2）分直线的斜率等于0和不等于0两种情况讨论，当直线的斜率不为零时，设方程为，，联立方程，利用韦达定理求出，再求出直线的方程，进而可求出点的坐标，设直线交轴于点，根据三点共线，求出的表达式，进而可得出结论. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 从而， 所以双曲线C的方程为； 【小问2详解】 ，直线， 当直线的斜率不为零时，设方程为， 联立，得， 则，所以， 设， 则， 直线的方程为， 令，则，即， 设直线交轴于点， 由于三点共线，则， ， 那么， 故 ， 当直线的斜率等于0时，直线与轴重合，必过定点， 综上所述，直线QN过x轴上一定点. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 19. 已知函数． （1）求的极值； （2）已知，证明：． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导后，分别在和的情况下得到单调性，结合极值定义可得结果； （2）令，结合（1）中结论，采用赋值方式可得到；令，利用导数可证得，采用放缩的方式可证得不等式. 【小问1详解】 由题意知：定义域为，； ①当时，，， 在上单调递增，无极值； ②当时，令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， 的极小值为，无极大值； 综上所述：当时，无极值；当时，的极小值为，无极大值. 【小问2详解】 令，则， 由（1）知：，，即， 令，则且，，， 取，则，即， 令，则， 上单调递增，，即， ， 即. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解函数极值、证明不等式的问题；本题证明不等式的关键是能够对于灵活应用（1）中所求结论，并通过构造函数的方式对所证不等式进行合理放缩，从而整理得到结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$