2.2 培优课 活用基本不等式求最值(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

培优课　活用基本不等式求最值 1.已知a＞0，b＞0，ab＝1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 2.设m＞0，n＞0，且m＋2n＝1，则＋的最小值为（　　） A.4 B.3＋ C.3＋2 D.6 3.若正数x，y满足x2＋xy－2＝0，则3x＋y的最小值是（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知a＞0，b＞0，若＋≥恒成立，则实数λ的取值范围为（　　） A.λ≥5 B.λ≥9 C.λ≤5 D.λ≤9 5.已知x＞0，y＞0，x＋y＝1，则的最小值为（　　） A.4 B. C.＋2 D.2＋1 6.〔多选〕若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是（　　） A.≥ B.＋≥1 C.≥2 D.a2＋b2≥8 7.〔多选〕已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，则下列结论正确的是（　　） A.ab的最小值为 B.＋的最小值为8 C.＋的最大值为 D.（a＋1）（b＋1）的最大值为2 8.已知x＞0，则的最大值为　　　　. 9.若实数a，b满足ab＞0，则a2＋4b2＋的最小值为　　　　. 10.已知x＞－1，则的最小值为　　　　. 11.已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求： （1）xy的最小值； （2）x＋y的最小值. 12.已知x＞0，y＞0，4x2＋y2＋xy＝1，求： （1）4x2＋y2的最小值； （2）2x＋y的最大值. 13.设x＞0，y＞0. （1）若x＋y＝2，求＋的最大值； （2）若x2＋＝1，求x的最大值. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优课　活用基本不等式求最值 1.B　∵a＞0，b＞0，ab＝1，∴m＋n＝b＋＋a＋＝2a＋2b≥2＝4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，故m＋n的最小值为4. 2.C　由＋＝（m＋2n）＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当m＝n＝－1时等号成立. 3.D　因为x2＋xy－2＝0，所以y＝＝－x，所以3x＋y＝3x＋－x＝2x＋≥4，当且仅当x＝1时，等号成立，所以3x＋y的最小值是4. 4.D　因为a＞0，b＞0，由已知可得λ≤（a＋b）·，因为（a＋b）＝＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当b＝2a时等号成立，故实数λ的取值范围为λ≤9.故选D. 5.D　因为x＞0，y＞0，x＋y＝1，所以原式＝＝＝＋＋1≥2＋1＝2＋1，当且仅当＝且x＋y＝1，即x＝－1，y＝2－时取等号，所以的最小值为2＋1.故选D. 6.ABD　∵a＞0，b＞0，a＋b＝4，∴≤＝2（当且仅当a＝b＝2时取“＝”），∴ab≤4，∴≥，∴A正确，C错误；由以上分析得＋＝＝≥＝1，∴B正确；∵2（a2＋b2）≥（a＋b）2＝16，∴a2＋b2≥8，当且仅当a＝b＝2时取等号，∴D正确.故选A、B、D. 7.BC　∵a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，∴由基本不等式可得，1＝2a＋b≥2，解得ab≤，当且仅当2a＝b＝，即a＝，b＝时等号成立，故A错误；＋＝（2a＋b）＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，故B正确；∵a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，∴1＝2a＋b≥2，＋＞0，∴（＋）2＝2a＋b＋2≤2a＋b＋2a＋b＝2，∴＋≤，当且仅当2a＝b＝，即a＝，b＝时等号成立，∴＋的最大值为，故C正确；（a＋1）（b＋1）＝（a＋2a＋b）（b＋2a＋b）＝2（3a＋b）（a＋b）＝2（3a2＋4ab＋b2）＝2[（2a＋b）2－a2]＝2（1－a2）＜2，故D错误.故选B、C. 8.　解析：因为＝，x＋≥4，当且仅当x＝2时取等号，所以的最大值为. 9.4　解析：实数a，b满足ab＞0，则a2＋4b2＋≥4ab＋≥4，当且仅当a＝2b且ab＝时等号成立. 10.16　解析： ＝ ＝＝（x＋1）＋＋10，因为x＞－1，所以x＋1＞0，所以（x＋1）＋＋10≥2＋10＝16，当且仅当x＋1＝，即x＝2时，等号成立. 11.解：（1）由2x＋8y－xy＝0， 得＋＝1，又x＞0，y＞0， 则1＝＋≥2＝，得xy≥64， 当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立. 所以xy的最小值为64. （2）由2x＋8y－xy＝0， 得＋＝1， 则x＋y＝·（x＋y）＝10＋＋≥10＋2＝18， 当且仅当x＝12，y＝6时等号成立，所以x＋y的最小值为18. 12.解：（1）∵x＞0，y＞0，∴4x2＋y2≥2＝4xy＝4[1－（4x2＋y2）]， ∴4x2＋y2≥，当且仅当x＝，y＝时等号成立，∴4x2＋y2的最小值是. （2）由x＞0，y＞0，且4x2＋y2＋xy＝1，得（2x＋y）2－1＝3xy＝·2x·y≤×， ∴（2x＋y）2≤，∴2x＋y≤， 当且仅当x＝，y＝时等号成立， ∴2x＋y的最大值是. 13.解：（1）因为（＋）2＝（x＋1）＋（y＋1）＋2≤（x＋1）＋（y＋1）＋（x＋1）＋（y＋1）＝2（x＋y）＋4＝8，所以＋≤2，当且仅当x＋1＝y＋1，即x＝y＝1时等号成立，所以＋的最大值为2. （2）法一　因为x＞0，y＞0，x2＋＝1，所以x＝≤·＝， 当且仅当x2＝＋，即x＝，y＝时，等号成立，所以x的最大值为. 法二　因为x2＋＝1，所以y2＝2－2x2. 因为x＞0，y＞0，所以解得0＜x＜1. 故x＝x＝x＝≤×＝， 当且仅当2x2＝3－2x2，即x＝时，等号成立， 故x的最大值为. 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $