2025-2026学年高一数学下学期期末复习卷2

**基本信息** 立足人教A版必修第二册，以AI“词元”数据、招聘考试等真实情境为载体，通过动态几何、概率综合等问题设计，分层考查数学抽象、逻辑推理与数据分析素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|单选8/40、多选3/18|复数、统计分位数、向量投影、立体几何|第2题结合科技热点考查分位数，第11题动态探究正方体线面关系| |填空题|3/15|复数方程、随机数表、解三角形|第13题通过随机数表强化数据获取能力| |解答题|5/77|向量运算、立体几何证明与距离、解三角形、统计分析、概率综合|第18题茎叶图分析与分数转换考查数据意识，第19题招聘考试概率模型体现数学应用|

2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷2 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册全部内容。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数满足，则（   ） A． B． C． D． 2．Token是AI大模型处理信息的最小单元，2026年3月国家数据局正式确定Token的中文译名为“词元”，已知2024年—2029年中国“词元”调用数量及预测调用数量（单位：百万亿次）依次为9，246，1117，2875，8509，25033，则这组数据的分位数为（    ） A．2875 B．5692 C．8509 D．16771 3．已知，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 4．如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰梯形OA'B'C'，则原梯形面积为（   ） A． B． C． D． 5. 甲､乙两人参加某项活动，甲获奖的概率为0.5，乙获奖的概率为0.4，甲､乙两人同时获奖的概率为0.2，则甲､乙两人恰有一人获奖的概率为（ ） A. 0.3 B. 0.5 C. 0.7 D. 0.9 6. 如图，圆内接四边形ABCD中，.现将该四边形沿AD旋转一周，则旋转形成的几何体的体积为（ ） A. B. 30 C. D. 40 7.三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点，，若平面，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 8．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题意．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．任意抛掷一枚骰子一次观察它向上一面的点数，得到样本空间为，若事件，事件，事件满足，下列结论中正确的是（   ） A． B．事件，，两两独立 C．当事件时， D．当事件时，满足条件的事件有3个 10. 在梯形中，，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 11．如图所示，在正方体中，为棱中点，点是棱上的一个动点（不包括端点），平面交棱于点，则下列说法正确的是（    ） A．直线与是异面直线 B．存在点，使得为直角 C．若点是棱上的中点，则直线与所成的角为 D．平面平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知是虚数单位是关于的方程（其中）的一个根，则=__________. 13. 总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为__________． 8823 6833 0877 6314 6621 4302 9714 1298 3204 0234 4936 8200 1323 4869 6938 7181 14．在中，若，是的平分线，，则的长为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中． (1)若，且，求； (2)若，且，求在上的投影向量的坐标． 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是正三角形，，平面平面，是的中点. (1)证明：. (2)求点到平面的距离. 17（15分）.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. (1)求角；(2)若，求边长和的面积. 18．（15分）某校举行了数学、英语两门学科竞赛，两门学科竞赛前10名成绩的茎叶图如下： 数学竞赛前10名分数 英语竞赛前10名分数 8 6 4 2 0 0 8 6 4 2 14 13 0 0 1 2 3 4 6 7 8 9 (1)分别求出数学、英语竞赛前10名分数的平均数、标准差； (2)经检查发现：有一名同学的数学与英语竞赛成绩均在前10名，但是老师却将其数学与英语竞赛成绩统计反了，已知正确的数学竞赛前10名分数的平均分为141，标准差为. （i）求正确的英语竞赛前10名分数的标准差； （ii）为了便于成绩分析，对数学竞赛前10名的正确分数进行“分数”转换，要求如下：转化前后名次不变，且10个“分数”的平均分为、标准差为.请你给出一个满足要求的线性转换公式：（其中，表示数学竞赛分数，表示数学竞赛分数对应的“分数”，为常数），并证明. （参考公式：） 19．(17分)甲，乙两人参加某公司的招聘考试，考试分为文化测试和体能测试，其中文化测试有3道题，要求至少答对其中的2道题才能通过，通过得1分，不通过得0分；体能测试有2道题，全部合格才能通过，通过得1分，不通过得0分；假设甲答对每道文化测试题的概率为，乙答对每道文化测试题的概率为，甲，乙两人每一道体能测试题合格的概率都是，甲乙两人各自参加完这两项测试，且回答每道题都是独立的． (1)求甲恰好答对两道文化测试题的概率（用p表示），并计算此概率取最大值时对应的p的值； (2)两项测试得分的和为该人的总分，当时，解决下列问题： ①求甲总分为1分的概率； ②求甲的总分高于乙的总分的概率. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷2解析 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册全部内容。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，两边取模可得， 所以，故. 2．Token是AI大模型处理信息的最小单元，2026年3月国家数据局正式确定Token的中文译名为“词元”，已知2024年—2029年中国“词元”调用数量及预测调用数量（单位：百万亿次）依次为9，246，1117，2875，8509，25033，则这组数据的分位数为（    ） A．2875 B．5692 C．8509 D．16771 【答案】C 【详解】因为，所以这组数据的分位数为8509. 3．已知，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用投影向量的定义求解. 【详解】因为， 所以， ， 所以. 故选：B 4．如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰梯形OA'B'C'，则原梯形面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】过作，垂足为，如下图： 由题意可得，， 由斜二测画法，还原可得下图： 易知，，， 所以原梯形面积为. 5. 甲､乙两人参加某项活动，甲获奖的概率为0.5，乙获奖的概率为0.4，甲､乙两人同时获奖的概率为0.2，则甲､乙两人恰有一人获奖的概率为（ ） A. 0.3 B. 0.5 C. 0.7 D. 0.9 【答案】B 【解析】 【分析】根据两人恰有一人获奖，可分类讨论，即可求得概率. 【详解】设甲获奖为事件，乙获奖为事件， 所以，，， 因为，所以事件与事件相互独立， 根据题意，甲､乙两人恰有一人获奖的概率为， 故选：B. 6. 如图，圆内接四边形ABCD中，.现将该四边形沿AD旋转一周，则旋转形成的几何体的体积为（ ） A. B. 30 C. D. 40 【答案】D 【解析】 【分析】作出辅助线，由余弦定理求出，由勾股定理逆定理得到，∠ABG=135°，旋转形成的几何体的体积等于等腰直角三角形CDE绕DE旋转形成的圆锥体积加上直角梯形ABCE绕AE旋转形成的圆台体体积，求出体圆锥积和台体体积，相加即可. 【详解】延长AB，DC交于点G， 因为， 所以∠G=45°， 故， 因为， 所以， 因为， 在中，由余弦定理得：， 解得：， 因为， 所以，∠ABG=135°， 过点C作CE⊥AD于点E，过点B作BF⊥CE于点F， 则∠CBF=∠BCF=45°，BF=CF=AE=2，CE=DE=4， 该四边形沿AD旋转一周，则旋转形成的几何体体积等于由等腰直角三角形CDE绕DE旋转形成的圆锥体积加上直角梯形ABCE绕AE旋转形成的台体体积， 其中圆锥体积为， 台体体积为， 所以旋转形成的几何体体积为. 故选：D 7．三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点，，若平面，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接交于点，连接，利用线面平行的性质定理及平行线分线段成比例定理求解. 【详解】如图，连接，设，连接. 因为平面，平面平面，平面， 所以. 在三棱柱中，侧面为平行四边形，所以，即. 所以与相似， 则，又在中，由可得. 所以，即. 8．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形内角和与诱导公式将已知条件转化为边角的三角函数关系，利用正弦定理由边化角，使用二倍角公式进行恒等变换以及利用同角的三角函数关系求出的三角函数值，再利用正弦定理和同角的三角函数关系根据的范围求出结果. 【详解】由得，即，即，又，故， 故， 因为，所以，故，得，， 因为， 因为，，所以， 故，所以，所以， 故选D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题意．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．任意抛掷一枚骰子一次观察它向上一面的点数，得到样本空间为，若事件，事件，事件满足，下列结论中正确的是（   ） A． B．事件，，两两独立 C．当事件时， D．当事件时，满足条件的事件有3个 【答案】AC 【详解】对于A，由题意得，故A正确； 对于B，由题意得，，， 所以事件，不相互独立，故B错误； 对于C，当时，， 解得，故C正确； 对于D，当时，， 解得，即事件包含4个样本点， 并且必包含1，不包含5，再从剩下的2，3，4，6中选3个， 所以满足条件的事件分别是， 共4个，故D错误. 10. 在梯形中，，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量即平面几何知识即可求解. 【详解】 取的中点，连接， 根据题意可知，且，则，， 所以四边形为平行四边形，所以，故A正确； 因为题意没有说明与的大小关系，所以不能证明，故B错误； 因为，，且，所以， 所以四边形为菱形，所以，因为， 所以，所以，故C正确； 过作的垂线，垂足为，连接， 因为且，， 所以，在上的投影向量为，故D正确； 故选：ACD. 11．如图所示，在正方体中，为棱中点，点是棱上的一个动点（不包括端点），平面交棱于点，则下列说法正确的是（    ）    A．直线与是异面直线 B．存在点，使得为直角 C．若点是棱上的中点，则直线与所成的角为 D．平面平面 【答案】ACD 【详解】选项A，直线、直线，两直线不平行、无交点、不在同一平面， 符合异面直线定义，A正确； 选项B，若，则， 在正方体中平面，平面， 所以，此时，、平面， 则平面，又平面， 故当且仅当点与点重合时成立，此时有， 即点在点处，不符合题意，B错误； 选项C，为中点时，连接， 因为分别为的中点，所以， 在正方体中，所以有， 则的夹角可转化为的夹角， 因为为等边三角形，所以， 即的夹角为，C正确；    选项D，由正方体性质可得平面，又平面，则， 又，且都在平面内，所以平面， 又平面，所以，同理可得， 又且都在平面内，故平面， 又平面，故平面平面，D正确.    三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知是虚数单位是关于的方程（其中）的一个根，则=__________. 【答案】 【详解】由题目可得另一个根为，原式可化为， 则，故. 13. 总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为__________． 8823 6833 0877 6314 6621 4302 9714 1298 3204 0234 4936 8200 1323 4869 6938 7181 【答案】04 【解析】 【分析】根据随机数表法进行抽样即可. 【详解】从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始，由左到右依次选取两个数字中，小于20的编号依次为08，14，02，14，12，04，02，00，13， 去除重复项，且属于总体的对应的数值为08，14，02，12，04，13， 则第5个个体的编号为04． 故答案为：04 14．在中，若，是的平分线，，则的长为______． 【答案】 【分析】根据正弦定理及余弦定理得到，结合同角的三角函数关系及二倍角公式求出及，结合三角形面积公式求解即可. 【详解】由正弦定理得，. 设，则，，解得，，. 由余弦定理得， 又，则.    所以，解得. 因为是的平分线，所以，， 所以， 又，所以. 又， 所以，即， 解得. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中． (1)若，且，求； (2)若，且，求在上的投影向量的坐标． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由，得，解得，， 所以. （2）由，得， 即，又，， 则，解得， 所以在上的投影向量为. 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是正三角形，，平面平面，是的中点. (1)证明：. (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）在正中，为的中点，， 平面平面，平面平面， 且，平面，平面， 又平面，， 又，且，平面， 平面， 平面， ； （2）如图，取的中点为，连接，， 在正中，，平面平面， 又平面平面，平面， 平面， 若，则， ， 由（1）知平面，， 平面， 平面，， 设点到平面的距离为， 而， 由可得，， ． 17．（13分） 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. (1)求角； (2)若，求边长和的面积. 【答案】(1) (2)，面积 【分析】（1）根据题意，由余弦定理代入计算，即可求解； （2）根据题意，由条件可得，再由正弦定理和三角形面积公式代入计算，即可求解． 【详解】（1）已知，由余弦定理得：， 所以，化简可得：． 又，故． （2）， 由正弦定理，代入； 所以． 因为， 所以． 18．（15分） 某校举行了数学、英语两门学科竞赛，两门学科竞赛前10名成绩的茎叶图如下： 数学竞赛前10名分数 英语竞赛前10名分数 8 6 4 2 0 0 8 6 4 2 14 13 0 0 1 2 3 4 6 7 8 9 (1)分别求出数学、英语竞赛前10名分数的平均数、标准差； (2)经检查发现：有一名同学的数学与英语竞赛成绩均在前10名，但是老师却将其数学与英语竞赛成绩统计反了，已知正确的数学竞赛前10名分数的平均分为141，标准差为. （i）求正确的英语竞赛前10名分数的标准差； （ii）为了便于成绩分析，对数学竞赛前10名的正确分数进行“分数”转换，要求如下：转化前后名次不变，且10个“分数”的平均分为、标准差为.请你给出一个满足要求的线性转换公式：（其中，表示数学竞赛分数，表示数学竞赛分数对应的“分数”，为常数），并证明. （参考公式：） 【答案】(1)数学、英语竞赛前10名分数的平均数分别为140、140；标准差分别为； (2)（i）正确的英语竞赛前10名分数的标准差为； （ii），，证明见解析. 【分析】（1）根据茎叶图给出的数据，利用平均数、标准差公式直接计算；（2）（i）由数学平均分的差异说明该同学正确的成绩应该是数学比英语多10分，找到可能的数据，利用标准差验证；（ii）给定线性转换公式，并验证. 【详解】（1）设数学、英语竞赛前10名的平均分分别为、，标准差分别为、， 则， ， ..............................................5分 （2）（i）因为正确的数学竞赛前名的平均分为，所以正确总分比错误的总分多了分， 所以该同学数学成绩与英语成绩相差分，由茎叶图，可能是英语132分数学142分统计反了；也可能是英语134分数学144分统计反了； 若英语132分数学142分，则； 若英语134分数学144分，则； 所以是英语132分数学142分统计反了. 所以英语正确的平均分， 英语正确分数的标准差；..............................................10分 （ii）设转换公式为，则， 所以，将代入， 得，所以，， 即满足要求的线性转换公式为：，下面证明 因为“分数”转换之前的10个正确分数的平均分是，标准差为， 则转换后的平均分； 因为， 所以转换后的标准差， 即转换公式满足条件得证...............................................15分 【点睛】利用转换公式建立新旧数据平均数与标准差的关系，确定的取值是关键. 19．(17分)甲，乙两人参加某公司的招聘考试，考试分为文化测试和体能测试，其中文化测试有3道题，要求至少答对其中的2道题才能通过，通过得1分，不通过得0分；体能测试有2道题，全部合格才能通过，通过得1分，不通过得0分；假设甲答对每道文化测试题的概率为，乙答对每道文化测试题的概率为，甲，乙两人每一道体能测试题合格的概率都是，甲乙两人各自参加完这两项测试，且回答每道题都是独立的． (1)求甲恰好答对两道文化测试题的概率（用p表示），并计算此概率取最大值时对应的p的值； (2)两项测试得分的和为该人的总分，当时，解决下列问题： ①求甲总分为1分的概率； ②求甲的总分高于乙的总分的概率. 【答案】(1)，当时，最大值为 (2)①；②． 【详解】（1）设答对文化测试的第题， 则甲恰好答对两道文化测试题的概率为： ， 由基本不等式可得，， 当且仅当，即时取等号，此时最大值为； （2）当时， ①甲通过文化测试的概率为， 则， 甲乙两人通过体育测试的概率均为， 则， 当甲总分为1时，甲恰好通过文化测试和体育测试的一个， 故甲总分为1的概率为： ； ②乙通过文化测试的概率为，则同理可得， 设甲总分为分，，设乙总分为分，， ，， ， ， 故甲总分高于乙总分的概率为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $