湖北省荆州市松滋市2025-2026学年高二年级下学期期末自编练习卷3

**基本信息** 高二期末练习卷覆盖选择性必修内容，以《周髀算经》日影长、气球体积变化等情境设计问题，通过梯度化题型考查数学抽象、逻辑推理与数学建模，适配期末综合能力评估。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|等比数列、导数几何意义、对立事件|结合生活情境（吹气球）与文化素材（《周髀算经》）| |多选题|3|相关系数、数列单调性、三角函数性质|多选项设计考查概念辨析与逻辑推理| |填空题|3|抛物线准线、概率公式、基本不等式|聚焦基础技能与数学运算| |解答题|5|数列求和、立体几何翻折与球半径、双曲线综合、函数证明、概率递推|综合考查数学建模（居民散步路线）与逻辑推理（函数单调性证明）|

2025-2026学年下学期高二年级期末自编练习卷3 考试范围：选择性必修一，选择性必修二，选择性必修三 一、单选题 1．已知是等比数列，若，，则的值为　　 A．9 B． C． D．81 2．吹气球时，气球的半径（单位：）与体积（单位：）之间的函数关系式为，则关于的瞬时变化率为（    ） A． B． C． D． 3．设为同一试验中的两个随机事件，则“”是“事件互为对立事件”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．的展开式中的系数是（    ） A． B．35 C．5 D． 5．《周髀算经》中给出了：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二节气的日影长依次成等差数列的结论.已知某地立春与立夏两个节气的日影长分别为尺和尺，现在从该地日影长小于9尺的节气中随机抽取2个节气进行日影长情况统计，则所选取这2个节气中至少有1个节气的日影长小于5尺的概率为（    ） A． B． C． D． 6．一箱苹果共有12个苹果，其中有个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个．恰有2个烂果的概率为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．如图，已知两个四棱锥与的公共底面是边长为2的正方形，顶点在底面的同侧．棱锥的高，分别为AB、CD的中点，与交于点E，与交于点F，则四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 8．不全为的实数对满足关系式，则这样的实数对共有（    ）组. A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 9．下列说法正确的是（     ） A．若两个变量的样本相关系数的绝对值越接近1，则这两个变量的线性相关性越强 B．若随机变量服从正态分布，且，则 C．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的上四分位数为11 D．对具有线性相关关系的变量，，其经验回归方程为，若样本数据的中心点为，则实数的值是 10．已知正项数列满足，，其中，则　　 A．为单调递减数列 B． C． D． 11．声音是由物体振动产生的声波．纯音的数学模型是函数，我们日常听到的声音通常由多个纯音叠加而成，称为复合音，其数学模型为，记，则（     ） A．的最小正周期为 B．在区间上恰有3个零点 C．的图象关于点中心对称 D．的最大值为 三、填空题 12．抛物线的准线与圆相切，则p的值为_______． 13．已知一个随机试验中有两个事件，且，，则___________． 14．已知，若，则的最小值为___________． 四、解答题 15．已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，，，． （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16．把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，．将沿翻折至，使得二面角为直二面角． (1)证明：平面； (2)若在同一个球面上，求该球的半径； (3)求平面与平面所成角的余弦值． 17．已知双曲线，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点. (1)求双曲线离心率； (2)若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率； (3)若，，分别是双曲线的左右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围. 18．设函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 19．北湖生态公园有两条散步路线，分别记为路线和路线.公园附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和.已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为. (1)若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线散步的人数为，求的分布列及期望； (2)若某居民每天都去公园散步，记第天选择路线的概率为. （i）请写出与的递推关系； （ii）设，求证：. 参考答案 1．【答案】A 【分析】根据等比中项的性质即可得到答案． 【详解】解：由题得， 而，则． 故选：． 2．【答案】B 【分析】应用复合函数导数公式计算求解瞬时变化率. 【详解】关于的瞬时变化率为. 故选：B. 3．【答案】B 【分析】根据对立事件概率的性质可以说明条件是必要的，容易给出反例说明条件不是充分的. 【详解】若互为对立事件，根据对立事件概率公式可直接得到，故条件是必要的； 若试验基本事件含3种及以上，其中表示概率为的两个不同事件， 则不互为对立事件，此时，故条件不是充分的. 故选：B. 4．【答案】A 【分析】先根据二项式定理得到展开式的通项，求出其三次项与四次项的系数，根据多项式乘法运算法则，求得最后的结果. 【详解】展开式的通项是， 所以展开式中的系数是，项的系数是， 所以的展开式中项的系数是， 故选:A. 5．【答案】D 【分析】设这十二节气中第个节气的日影长为尺，可知数列为等差数列，根据题意求得该数列的公差，确定数列中小于尺和小于尺的项，列举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】设这十二节气中第个节气的日影长为尺， 可知数列为等差数列，设其公差为，由题意得，，， .令，解得；令，解得. 从该地日影长小于尺的节气中随机抽取个节气，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共个， 其中，事件“所选取这个节气中至少有个节气的日影长小于尺”所包含的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共个，因此，所求事件的概率为. 故选：D. 6．【答案】B 【分析】由超几何分布的概率公式列方程即可求解. 【详解】依题意可得，即，整理得， 解得或9，因为，所以． 故选：B. 7．【答案】B 【分析】证明，，进而证明四边形是平行四边形，可得E为线段的中点，分析四棱锥的底和高，可得所求几何体体积. 【详解】连接，，如图，因为平面ABCD， 平面ABCD，所以，又， 所以四边形是矩形，所以，， 又，分别为AB，CD的中点，所以，， 所以，，所以四边形是平行四边形， 又对角线，所以点E为线段的中点. 连接，交EF于点N，过点作于M， 由题意知，故， 又，，，平面，所以平面， 故，又，，平面， 所以平面，即是四棱锥的高， 同理可得点F为线段的中点，所以，， 在中，，则，所以， 因为， 所以. 故选：B. 8．【答案】D 【分析】可变形为，则可转化为点与点到直线的距离为，再分别以、为圆心，作半径为的圆，再利用两圆位置关系与公切线条数的关系计算即可得. 【详解】由可得， 即点与点到直线的距离都为， 分别以、为圆心，作半径为的圆、圆， 由，故两圆外离，则两圆共四条公切线，   由图可得，两圆公切线都不过原点，故有对这样的实数对， 使得点与点到直线的距离都为. 故选：D. 9．【答案】ABD 【分析】分别依据相关系数的意义、正态分布的对称性、分位数的计算方法、回归直线的性质，逐一分析各选项的正误. 【详解】对于选项A，样本相关系数的绝对值越接近1，说明两个变量的线性相关性越强，故A正确. 对于选项B，随机变量，正态曲线关于对称， 由，得，则， ，故，故B正确. 对于选项C，数据共10个，上四分位数位置为，取第8个数据18，故C错误. 对于选项D，经验回归直线过样本中心点，代入， 得，解得，故D正确. 10．【答案】ACD 【分析】利用导数判断单调性，放缩法证明不等式逐个选项分析即可． 【详解】解：对于，需要考虑数列的单调性，即判断与的大小关系， 由题意可得，令， 定义域为，，令，， 当时，此时恒成立，故在上单调递减， ，也可得，即， 故在上单调递减，当时，，则， 故，则，即，故为单调递减数列，故正确； 显然，故错误； 对于，欲证，且由题意得， 即证，即证，取指数得， 又易知，化简得，故证明恒成立即可， 令，，而， 故在上单调递增，且，故， 即恒成立，故得证，故正确； 对于，由可知，，，，，， 上式相加，得， 故得证，故正确． 故选：． 11．【答案】BC 【分析】A.利用周期的定义作判定； B.直接求解在区间的零点，从而得到零点的个数； C. 中心对称的充要条件是：对任意，有； D.举出反例，说明的最大值不是. 【详解】选项 A：， 因为， 所以不是的最小正周期，因此A 错误； 选项 B： ， 令，则：，或， 在上的解为， ，即，在上的解为（与上述解重合）， 因此零点为，共 3 个，B 正确。 选项 C： 因为 所以，图象关于点中心对称，C 正确； 选项 D：， 因为 所以的最大值不是，D 错误. 12．【答案】4或8 【分析】求出抛物线的准线方程，根据圆心到切线的距离等于半径求解即可 【详解】抛物线的准线方程为， 又的圆心，半径为1，又准线与圆相切， 所以或，故答案为：4或8 13．【答案】 【详解】因为，则， 又因为，则， 所以. 14．【答案】 【分析】根据条件，化简所给的等式，得到，然后根据积为常数，和有最小值，进行恒等变形，利用基本不等式求的最小值. 【详解】因为，所以，整理可得， 由已知，则，可得，即，所以，所以， 所以，当且仅当是取到等号，又， 所以取到最小值.故答案为：. 15． 【分析】（1）根据等差，等比数列的通项公式和前项求和公式建立方程组，解之即可求解； （2）由（1）可得，进而，结合裂项相消求和法计算即可求解． 【详解】解：（1）设数列的公差为，数列的公比为， 则由，，， 得，，两式相除得， 所以，， 所以，． （2）由（1）得，， 所以， 所以， 所以． 16．【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，进而根据线线垂直证明平面． （2）建立空间直角坐标系，根据两点距离公式列方程，可求解球心的坐标，即可求解， （3）根据面面垂直的性质，结合二面角的定义可得为所求的角，即可根据三角形的边角关系求解，或者求解平面法向量，根据法向量的夹角求解. 【详解】（1）二面角为直二面角，即平面平面， 又因为平面，平面平面， 所以平面． 又因为平面，所以． 由题意平面， 所以平面． （2）取中点中点，连接，则， 因为平面，平面，所以，所以， 在中，为中点，所以. 以为正交基底建立如图所示空间直角坐标系， 则． 设该球的球心坐标为，则 解得.所以该球的半径为. （3）法一：取中点，在中，过作，垂足为，连接， 平面平面平面， 平面平面，所以平面． 而平面，故， 又因为，平面，故平面， 而平面，所以， 则为平面与平面的所成角. 直角三角形中，， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 法二：平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则即 取，得平面的一个法向量为. 所以平面与平面所成角的余弦值为. 17．【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出，直接利用公式即可求解； （2）根据中点坐标公式求出点，将点坐标代入双曲线方程求出，再利用斜率公式即可求出答案； （3）设直线方程为，联立求出，由题意得且，再根据求出，结合且可求出答案. 【详解】（1）对于双曲线，，， ，所以双曲线离心率. （2）因为点是的中点，所以点， 代入双曲线方程，得， 解得， 又点在双曲线的右支上，所以，即， 所以，所以直线的斜率为. （3）当直线斜率为时，易知与共线，不符合题意； 当直线斜率不为时，设直线方程为， 设，，则， 联立，整理得， （*）且， ，，因为，， 所以，， 所以， 即， 即， 整理得，即， 代入（*）中得，又，所以， 又因为，即，所以且， 综上，的取值范围为. 18．【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增； (2)证明见解析. 【分析】（1）先求出导函数，再对分情况讨论，分别求出函数的单调区间； （2）由（1）可知当时，的最小值为，令，利用导数得到的最小值为， 所以，即证得. 【详解】（1）函数的导数为， 当时，恒成立，故，所以在上单调递增； 当时，令 ，得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上所述：当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增. （2）由（1）知，当时，在处取得最小值， 因此，对任意，有. 只需证明 ，即 令，. 求导得， ，故在上单调递增. 由知，当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增. 所以在处取得最小值. 因此，即成立，等号当且时取得. 19．【答案】(1)分布列见解析， (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）先求居民第二天路线的概率，然后根据二项分布的概率公式求出概率，可得分布列，利用二项分布期望公式可得期望； （2）（ⅰ）分析第天选择路线，和路线情况下第天选择路线的概率，再由全概率公式列式，利用构造法求出关系式；（ⅱ）由（ⅰ）构造法求出通项公式，再借助放缩法及等比数列前和公式推理得证. 【详解】（1）记附近居民第天选择路线分别为事件， 依题意，，，， 则由全概率公式，得居民第二天选择路线散步的概率； 记第二天选择路线散步的人数为，则， 则，， ，， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 故的数学期望． （2）（i）当第天选择路线时，第天选择路线的概率； 当第天选择路线时，第天选择路线的概率， 所以. （ii）由（i）知，则，而， 于是数列是首项为，公比为的等比数列， 因此，即，， 当时，，而， 所以； 当时，，而， 所以， 所以. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $