精品解析：江苏省南京建邺区南师集团新城中学2025-2026学年七年级下学期期末数学卷

邺区南师集团新城初一数学期末 调研测试试卷 时间：100分钟 总分：100分 一、选择题（共6小题，每题2分，共计12分） 1. 下列字母既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，熟记相关定义是解答本题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意. 故选：A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用同类项合并规则、同底数幂乘除法法则、幂的乘方法则逐一判断选项即可． 【详解】A、∵ 与不是同类项，不能合并，∴ 选项A错误． B、∵ 根据同底数幂除法法则，，∴ 选项B错误． C、∵ 根据同底数幂乘法法则，，∴ 选项C正确． D、∵ 根据幂的乘方法则，，∴ 选项D错误． 3. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过不等式性质或举反例判断各选项正误． 【详解】解：A、已知，当，，满足，此时，不等式不成立，故A错误； B、已知，不等式两边同时乘正数，不等号方向不变，可得，不等式一定成立，故B正确； C、已知，当，时，满足，此时，不等式不成立，故C错误； D、已知，不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，可得，不等式不成立，故D错误． 4. 已知是二元一次方程组的解，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用方程组的解的定义，将已知的，的值代入原方程组，求出和的值，再计算即可得到结果． 【详解】解：是二元一次方程组的解， ，解得， ． 5. 下列命题：①任意多边形的外角和是；②如果，那么；③若，则；④直角三角形两锐角互余．其中假命题的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】依次结合多边形外角和性质、平方根的定义、不等式的基本性质、直角三角形的性质，判断每个命题的真假，统计假命题个数即可得到结果． 【详解】解：命题①：∵任意多边形的外角和为，∴该命题是真命题． 命题②：∵，∴，并非只有，∴该命题是假命题． 命题③：∵，∴，∴根据不等式的性质，不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，可得，∴该命题是真命题． 命题④：直角三角形两锐角互余是直角三角形的基本性质，∴该命题是真命题． 综上，假命题共有个． 6. 对于代数式，若不论x取何数值，恒有，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用绝对值的几何意义求出代数式的最小值，再根据不等式恒成立的条件建立关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：的几何意义是数轴上动点到定点和定点的距离之和． ∵当动点在和之间（含端点）时，距离和取得最小值，最小值为， ∴的最小值为． ∵原不等式恒成立，即恒成立， ∴只需的最小值大于，即， 解得． 二、填空题（共10小题，每题2分，共计20分） 7. 一种细胞的直径为米，将用科学记数法表示为________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，根据科学记数法，绝对值小于1的数可以表示为的形式（，为正整数），由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故答案为． 8. 一个正多边形的一个外角等于，则这个正多边形的边数是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用任意多边形外角和为，正多边形各外角相等的性质，即可计算得到正多边形的边数． 【详解】解：任意多边形的外角和为，正多边形的所有外角都相等， 因此该正多边形的边数为：． 9. 已知，，则_____． 【答案】5 【解析】 【分析】将所求多项式展开整理，整体代入已知和的值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 10. 用反证法证明“在中，若，则”时，应提出假设__________． 【答案】 【解析】 【分析】反证法证明命题时，第一步需要假设命题的结论不成立，因此只需找出原结论的反面，即可得到反证法需要提出的假设． 【详解】解：该命题需要证明的结论为，反证法需假设结论不成立，即不小于， 因此应提出的假设为． 11. 已知，要使成立，那么a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：已知，要使成立，那么， 解得：． 12. 若m为正整数，则 __________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据乘法的意义得到m个m相加的和，再利用幂的乘方运算性质计算最终结果． 【详解】解：∵m个m相加的和为 ， ∴． 13. 如图，中，，，将沿方向平移至的位置，若四边形的面积为30，且，则____________________________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据平移的性质可知：，设；由此可求出和的长．由于，根据平行分线段成比例定理，可求出的长．利用相似三角形的性质，已知、，、的长，即可求出和的面积，进而可根据四边形的面积求得的值即可． 【详解】解：根据题意得，； 设， ． ； ， 即， ， ， ； ． 四边形的面积． 解得：． ， 故答案为：5． 【点睛】此题考查平移的性质、相似三角形的判定与性质及有关图形的面积计算，有一定的综合性． 14. 关于x的不等式组有2个整数解，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定不等式组的解集，再根据整数解的个数确定对应整数解，进而得到参数的取值范围即可． 【详解】解：， 不等式组的解集为， 不等式组有个整数解， 不等式组的个整数解为， 由此可得． 15. 如图，将长方形纸片先沿折叠，再沿折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现，则_______°． 【答案】17 【解析】 【分析】先证明，由平行线的性质得到，，由折叠的性质得到：，，，求出，由三角形内角和求出，由对顶角的性质得到，然后根据求解即可． 【详解】解：∵长方形纸片， ∴，， ，， 由折叠的性质得，，， ， ， ， ． 16. 如图，将一副三角板（）按如图方式摆放，使点A，O，D三点共线，点O，B，C三点共线．若以的速度绕点O顺时针旋转半周，同时以的速度绕点O逆时针旋转，且当停止运动时，也随之停止运动，设运动时间为，则当_____时，直线与直线互相垂直． 【答案】或 【解析】 【分析】根据中，，中，，在t秒时，转过，转过，两个三角形共转过，分两种情况作答即可． 【详解】解：在中，，在中，， ∵以的速度绕点O顺时针旋转半周，同时以的速度绕点O逆时针旋转， ∴在t秒时，转过，转过， ∴两个三角形共转过， 当直线与直线互相垂直时，设垂足为点M，交于点E， 则， ∴， ∴， ∴， 解得； 当直线再次与直线互相垂直时，设垂足为点G，在射线上取点P， 则， ∴ ， ∴转过， ∴， 解得； 综上，t的值为或． 三、解答题（共10小题，共计68分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： 将代入化简后的式子： 原式 ． 19. 求不等式组的整数解． 【答案】， 【解析】 【详解】解：解得：， 解得：， ∴， ∴不等式组的整数解为，． 20. 完成下列各题： （1）解方程组． （2）已知方程组，则的值为________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）使用加减消元法即可计算得到结果； （2）利用换元思想，将看作第一题的，看作第一题的，结合第一题结果和平方差公式即可求出的值． 【小问1详解】 解：， 得：， 得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 因此原方程组的解为； 【小问2详解】 解：设，， 则原方程组可化为， 由（1）可得该方程组的解为， 即， 根据平方差公式得． 21. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E． （1）求∠CBE的度数； （2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数． 【答案】(1) 65°；(2) 25° 【解析】 【分析】（1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=90°﹣∠A=50°，由邻补角定义得出∠CBD=130°．再根据角平分线定义即可求出∠CBE=∠CBD=65°； （2）先根据直角三角形两锐角互余的性质得出∠CEB=90°﹣65°=25°，再根据平行线的性质即可求出∠F=∠CEB=25°． 【详解】（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°， ∴∠ABC=90°﹣∠A=50°， ∴∠CBD=130°． ∵BE是∠CBD的平分线， ∴∠CBE=∠CBD=65°； （2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°， ∴∠CEB=90°﹣65°=25°． ∵DF∥BE， ∴∠F=∠CEB=25°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余的性质，平行线的性质，邻补角定义，角平分线定义．掌握各定义与性质是解题的关键． 22. 夏季是传染病高发期，为做好防疫工作，某社区医院准备用3000元购买医用口罩和消毒液．若买医用口罩1000个，消毒液120瓶，则还差400元；若买医用口罩1200个，消毒液80瓶，则剩余200元． （1）求医用口罩和消毒液的单价（用二元一次方程组解问题）； （2）由于病毒检测需要，医院除购买医用口罩和消毒液外，还需购买单价为8元的口罩m个，若需购买医用口罩和口罩共1500个，且，剩余的钱全部用来购买消毒液，恰好用完这3000元，则m可能的值为__________． 【答案】（1）医用口罩单价为元，消毒液单价为元 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据两种购买方案的总金额关系，列二元一次方程组求解单价； （2）根据总费用和数量关系整理得到关于的关系式，结合的取值范围和整数性质得到的可能值． 【小问1详解】 解：设医用口罩单价为元，消毒液单价为元． 根据题意可得：， 化简方程组得：， 得：， 解得， 将代入，得， 解得． 答：医用口罩单价为1元，消毒液单价为20元； 【小问2详解】 解：设购买消毒液瓶，为非负整数． 由题意得，购买医用口罩个，总费用为元， 因此：， 整理得：， 变形得， ∵为非负整数， ∴是的倍数， ∵是的倍数， ∴是的倍数． 又∵和互质， ∴是的倍数． ∵，且为正整数， ∴符合条件的为和， ∴可能的值为或． 23. 数学课堂上，张老师提出了这样一个问题：已知：如图，、、是的三个外角．求证：． 小明和小丽提供了两种不同的思路． 小明的思路如下： ∵_______________________， ∴． 同理：，， ∵在中，______________________， ∴． 小丽的思路是：过点A作射线，将3个外角“集中”到同一顶点处，从而完成证明． 请你先将小明的思路补全，再按小丽的思路完成推理． 【答案】是的外角，，小丽的思路如下： 过点A作射线， ∴， ∴． 【解析】 【分析】小明的思路：利用三角形外角的性质得到，，，然后结合三角形内角和定理求解； 小丽的思路：过点A作射线，利用平行线的性质得到，，然后结合周角等于求解． 【详解】略 24. 某早餐店主营牛奶、面包和饭团，其店内海报如图，请根据海报信息解答如下问题： （1）若某同学购买3杯牛奶和2个饭团，则他最低需花费______元； （2）某日该早餐店准备了150杯牛奶，100个饭团和160个面包，通过零售和套餐销售两种方式全部售出，当天总收入超过1500元．若两种套餐售出数量恰好相等，则每种套餐最多售出多少份？ 【答案】（1）20 （2）每种套餐最多售出39份 【解析】 【分析】（1）购买两个套餐①，再买一杯牛奶即可； （2）设每种套餐售出x份，根据题意列不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：（元） 答：若某同学购买3杯牛奶和2个饭团，则他最低需花费20元； 【小问2详解】 解：设每种套餐售出x份， 根据题意得， 解得 ∵x是整数 ∴x的最大值为39 ∴每种套餐最多售出39份． 25. 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 配方法是将一个代数式的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，利用配方法可以解决许多数学问题． 如：利用配方法求的最小值． 解： ∵，∴当时，有最小值为． （1）填空：若，则______，______． （2）应用：若，，试说明无论x取何值，P始终大于Q． （3）当取最小值时，________． 【答案】（1）， （2）证明： ， ∵， ∴， ∴， 即无论x取何值，P始终大于Q； （3） 【解析】 【分析】（1）根据配方法将转化为的形式即可； （2）计算的值，仿照题干作答即可； （3）利用配方法求取最小值时a、b的值，进而相加即可． 【小问1详解】 解：∵， 且， ∴，； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解： ， ∵，， ∴当，时，取最小值， 此时， ∴． 26. 数学实验：折纸是一种常见的数学活动，通过折纸可以发现许多有趣的现象，而这些现象往往可以用相关的数学原理进行分析、解释．可见，折纸是一种有效的数学学习路径． （1）如图①，已知，点P、Q分别是边上的点，将沿折叠，点O落在内部的点C处．请猜想、与之间的数量关系，并证明； （2）如图②，已知，点P是边上一点，点Q是上的一个动点，将沿折叠，点O落在所在平面的点C处，且．求作：点Q．（尺规作图，保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）； （3）如图③，已知，点P是边上一点，点Q是上的一个动点，将沿折叠，点O落在所在平面的点C处．若与的内部重叠部分三角形存在两个角相等时，设这两个相等角的度数为，请直接写出所有x可能的值______． 【答案】（1），理由如下： 连接，如图： ∵ ∴ ∵折叠， ∴， ∴ ∴，即； （2）如图②，点即为所求，先过点作于点，然后分别作的角平分线交即为点和点． （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据三角形的外角以及折叠的性质求解即可； （2）根据折叠中，对称轴是角平分线所在的直线作图即可； （3）分三种情况，根据折叠的性质以及三角形的内角和定理，通过设未知数，建立方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设，当时，设与交于点，此时重叠部分三角形是， 由折叠可得，， ∴，， 若，则，解得，则； 若，则，方程无解； 若，则，解得，则； 当时，此时重叠部分三角形是， 在中，， 由折叠可得，，， 若，则，解得，此时； 若，则，解得，此时； 若，则（舍去）； 当时，设交于点，此时重叠部分三角形是， 此时，， 由折叠可得，， ∴ 若，则，解得，此时； 若，则，解得（舍去）； 若，则，方程无解， 综上：所有x可能的值为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邺区南师集团新城初一数学期末 调研测试试卷 时间：100分钟 总分：100分 一、选择题（共6小题，每题2分，共计12分） 1. 下列字母既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是二元一次方程组的解，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题：①任意多边形的外角和是；②如果，那么；③若，则；④直角三角形两锐角互余．其中假命题的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 对于代数式，若不论x取何数值，恒有，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共10小题，每题2分，共计20分） 7. 一种细胞的直径为米，将用科学记数法表示为________米． 8. 一个正多边形的一个外角等于，则这个正多边形的边数是______． 9. 已知，，则_____． 10. 用反证法证明“在中，若，则”时，应提出假设__________． 11. 已知，要使成立，那么a的取值范围是__________． 12. 若m为正整数，则 __________． 13. 如图，中，，，将沿方向平移至的位置，若四边形的面积为30，且，则____________________________． 14. 关于x的不等式组有2个整数解，则m的取值范围是________． 15. 如图，将长方形纸片先沿折叠，再沿折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现，则_______°． 16. 如图，将一副三角板（）按如图方式摆放，使点A，O，D三点共线，点O，B，C三点共线．若以的速度绕点O顺时针旋转半周，同时以的速度绕点O逆时针旋转，且当停止运动时，也随之停止运动，设运动时间为，则当_____时，直线与直线互相垂直． 三、解答题（共10小题，共计68分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 求不等式组的整数解． 20. 完成下列各题： （1）解方程组． （2）已知方程组，则的值为________． 21. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E． （1）求∠CBE的度数； （2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数． 22. 夏季是传染病高发期，为做好防疫工作，某社区医院准备用3000元购买医用口罩和消毒液．若买医用口罩1000个，消毒液120瓶，则还差400元；若买医用口罩1200个，消毒液80瓶，则剩余200元． （1）求医用口罩和消毒液的单价（用二元一次方程组解问题）； （2）由于病毒检测需要，医院除购买医用口罩和消毒液外，还需购买单价为8元的口罩m个，若需购买医用口罩和口罩共1500个，且，剩余的钱全部用来购买消毒液，恰好用完这3000元，则m可能的值为__________． 23. 数学课堂上，张老师提出了这样一个问题：已知：如图，、、是的三个外角．求证：． 小明和小丽提供了两种不同的思路． 小明的思路如下： ∵_______________________， ∴． 同理：，， ∵在中，______________________， ∴． 小丽的思路是：过点A作射线，将3个外角“集中”到同一顶点处，从而完成证明． 请你先将小明的思路补全，再按小丽的思路完成推理． 24. 某早餐店主营牛奶、面包和饭团，其店内海报如图，请根据海报信息解答如下问题： （1）若某同学购买3杯牛奶和2个饭团，则他最低需花费______元； （2）某日该早餐店准备了150杯牛奶，100个饭团和160个面包，通过零售和套餐销售两种方式全部售出，当天总收入超过1500元．若两种套餐售出数量恰好相等，则每种套餐最多售出多少份？ 25. 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 配方法是将一个代数式的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，利用配方法可以解决许多数学问题． 如：利用配方法求的最小值． 解： ∵，∴当时，有最小值为． （1）填空：若，则______，______． （2）应用：若，，试说明无论x取何值，P始终大于Q． （3）当取最小值时，________． 26. 数学实验：折纸是一种常见的数学活动，通过折纸可以发现许多有趣的现象，而这些现象往往可以用相关的数学原理进行分析、解释．可见，折纸是一种有效的数学学习路径． （1）如图①，已知，点P、Q分别是边上的点，将沿折叠，点O落在内部的点C处．请猜想、与之间的数量关系，并证明； （2）如图②，已知，点P是边上一点，点Q是上的一个动点，将沿折叠，点O落在所在平面的点C处，且．求作：点Q．（尺规作图，保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）； （3）如图③，已知，点P是边上一点，点Q是上的一个动点，将沿折叠，点O落在所在平面的点C处．若与的内部重叠部分三角形存在两个角相等时，设这两个相等角的度数为，请直接写出所有x可能的值______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $