精品解析：四川南充市高坪中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题

高坪中学高2024级高一下学期第一次月考 数 学 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合要求． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为,,所以, 因为,所以. 2. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将拆成，用两角和的正弦计算即可. 【详解】解：. 故选：D. 3. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象 A. 向左平移个长度单位 B. 向右平移个长度单位 C. 向右平移个长度单位 D. 向左平移个长度单位 【答案】D 【解析】 【详解】本试题主要是考查了三角函数的图像的变换的运用． 因为为了得到函数的图象，只需把函数的图象向左平移个长度单位可以推出得到结论，选D. 解决该试题的关键是理解平移是对x而言的，因此要平移时，将x前面的系数提取出去，对x本身加减一个数得到． 4. 与函数的图象不相交的一条直线是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解方程，然后对整数赋值可得结果. 【详解】由，得，令，得． 所以，函数的图象的一条渐近线为直线， 即直线与函数的图象不相交． 故选：C． 【点睛】本题考查正切型函数图象渐近线方程的求解，考查计算能力，属于基础题. 5. 角的终边上有一点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由任意角的三角函数的定义求出的值，结合诱导公式及两角和的正弦公式展开代入求解即可. 【详解】解：由任意角的三角函数定义可知，则， 所以，， 又， 则， 所以， 即. 6. 函数，的图像与直线有且仅有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵ 当时，，∴ ， ∴ ，此时. ∵ 当时，，∴ ， ∴ ，此时. 画出的大致图像如图所示： 观察图象可得，要想有且仅有两个交点，则. 7. 中国扇子历史悠久，源远流长，在长达数千年的发展过程中，被赋予了极其深厚的文化内涵和鲜明的民族特色．自古中国就有“制扇王国”的美誉，数量之大品种之多，皆居世界首位．如图，现从一圆面中剪下一个扇形制作一把扇形扇子，为了使扇子形状更为美观，要求剪下的扇形和圆面剩余部分的面积比值为黄金分割比，则扇子的圆心角应为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合扇形面积公式运算求解即可. 【详解】设圆的半径为，剪下的扇形的圆心角为，则圆面剩余部分的圆心角为， 由题意可得：，解得. 故选：A. 8. 已知函数在区间上单调，其中为正整数，，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件可得的最小正周期，进而可以得出1，2或3，结合进行分类讨论，即可求出的值. 【详解】解：由题知的最小正周期， 因为，所以直线为图象的一条对称轴， 由，则，又为正整数，所以1，2或3， 因为直线为图象的对称轴，所以， 因为，所以或， 若，则， 即，不存在整数使得1，2或3； 若，则， 即，不存在整数，使得1或3， 当时，2，此时，由， 所以当时，. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. 函数的最小值为2 C. 函数（，且）的图象过定点 D. 函数的定义域为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A选项，根据充分条件和必要条件的概念即可判断；对于B选项，通过举反例即可判断；对于C选项，根据对数函数的图象性质即可判断；对于D选项，根据正切函数的性质即可判断. 【详解】对于选项A，由“”不能推出“”，所以为不充分条件，但由“”可以推得“”，所以为必要条件，故选项A正确； 对于选项B，当时，代入得，故选项B错误； 对于选项C，令，解得，代入得，函数的图象过定点，故选项C正确； 对于选项D，根据正切函数的性质，定义域（），解得（），故选项D错误. 10. 在中，已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据判断角为钝角，确定角为锐角，再结合同角三角函数基本关系、二倍角公式、两角和差公式、三角形内角和性质逐一计算各选项对应的值，判断正误. 【详解】∵ 在中，，， ∴ ，则，且，否则不符合三角形内角和性质. 对各选项逐一判断： 对于A选项，∵ ，， ∴ ，故A错误. 对于B选项，由二倍角公式得，故B正确. 对于C选项，，故C正确. 对于D选项，由两角差的正弦公式得，故D正确. 11. 如图（1）是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道，建立平面直角坐标系如图（2），（单位：）表示在时间（单位：）时，过山车（看作质点）离地面的高度，轨道最高点距离地面，最低点距离地面．入口处距离地面．当时，过山车到达最高点，时，过山车到达最低点．设，下列结论正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. C. 时，过山车距离地面 D. 一个周期内过山车距离地平面不低于的时间是 【答案】AD 【解析】 【分析】根据三角函数的图象以及三角函数性质先求出函数解析式，然后结合已知条件逐项分析即可. 【详解】对于A，由题意可知，最小正周期满足，所以，故A正确； 对于B，由，又，解得：， 所以，又，即， 因为，所以，故B错误， 选项C，由A，B可得， 所以，故C错误； 对于D，由题意得：， 则有，解得：， 令时，，则一个周期内过山车距离地平面不低于的时间是，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系式来求得正确答案. 【详解】. 故答案为： 13. 已知，若则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用二倍角公式计算出，根据的范围求出，再求余弦可得答案. 【详解】， ， ， 又. 故答案为：. 14. 已知定义域为R的函数同时满足以下三个条件： ①函数的图象过原点； ②对，都有； ③对，都有． 则符合上述三个条件的函数表达式可以为__________．（答案不唯一，写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】条件①：函数过原点，即. 条件②：，为偶函数. 条件③：，周期为. 所以函数符合上述三个条件. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 原式 【小问2详解】 因为 所以. 故 16. 已知函数，． （1）在用“五点法”作函数的图象时，完成上述表格，并在坐标系中画出函数的大致图象； （2）根据（1）得到的图象，写出函数的对称轴方程和对称中心的坐标； （3）求不等式的解集． 【答案】（1） 0 0 2 0 -2 0 （2）对称轴方程为：，对称中心为：， （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数“五点法”作图的取点方式，分别求出对应的x和，进而填表，结合“五点法”画出图象即可； （2）结合图象即可求解； （3）由正弦函数的性质即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由图象可得： 函数的对称轴方程为：， 函数的对称中心为：， 【小问3详解】 由，可得， 由正弦函数的性质可得：， 解得， 即不等式的解集为. 17. 如图，以轴的非负半轴为始边的角，的终边分别交圆（为坐标原点）于，两点，其中点在第一象限，已知扇形的弧长与面积的数值都是． （1）求圆心角的弧度数； （2）若点的横坐标为，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由扇形的面积和弧长公式，可以计算圆的半径，再由弧长与半径的比值得出圆心角； （2）通过点的横坐标，可以计算角的正弦与余弦，再通过角，的关系计算角的正余弦，由计算坐标. 【小问1详解】 记圆的半径为，扇形的弧长为，圆心角为，面积为， 则由，且，，解得． 又因为，则．故圆心角的弧度数为． 【小问2详解】 因为点的横坐标为， 所以，则， 所以， 则． 所以，． 故点的坐标为． 18. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调增区间； （2）当时，求函数的最大值和最小值； （3）将函数的图象先向左平移个单位长度后，再把横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象．若，，且，均为锐角，求的值． 【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为． （2）最大值为，最小值为． （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数，由周期公式，和整体代入法求解； （2）由函数单调性即可求解； （3）利用图象变换法则求出，进一步求出，再利用两角差余弦公式求解即可. 【小问1详解】 ， 故最小正周期 由，得， 即. 所以函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 由（1）知当时， 在区间上单增，在区间上单减． 所以． ，， 所以． 故函数的最大值为，最小值为． 【小问3详解】 先将函数的图象向左平移个单位得函数， 再横坐标伸长为原来的2倍得函数. 因为，所以. 又，且，均为锐角，则， 所以. 所以 . 19. 英国数学家泰勒发现了如下公式： 其中． 这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性．比如，用前三项计算，就得到．利用这些公式也可以得到：，，，，…． （1）试用上述公式计算的值（精确到0.001）； （2）证明：当时，； （3）设，当的定义域为时，值域也为，则称为的“和谐区间”．当时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）0.842 （2）证明：由题意有，当时，， 则，即． 又因为当时，. 故当时，. （3）存在“和谐区间”，为． 【解析】 【分析】（1）利用给出的公式直接计算即可. （2）利用已给不等式可进行证明. （3）由题知，，当与同号时，可判断不存在“和谐区间”；当时，可得；当，可结合的单调性进行判定. 【小问1详解】 由题意知，． 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 因为，则， 若存在“和谐区间”，则由，有. 当时，则由，得，这与值域为矛盾， 故不存在“和谐区间”． 同理当时，也不存在“和谐区间”． 下面讨论， 当时，则，所以的最小值为，则. 所以，所以的最大值为2，则. 此时，的定义域为，值域为，符合题意． 当时， 当时，同理可得，，不符合题意，舍去. 当时，在区间上单调递减，则， 所以. 如果，即，则有. 所以. 所以，这与矛盾，舍去． 同理如果，也不符合题意，舍去． 如果，即，所以. 由（2）知，当时，，即，矛盾，舍去． 综上所述，存在“和谐区间”，且“和谐区间”为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高坪中学高2024级高一下学期第一次月考 数 学 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合要求． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 计算：（ ） A. B. C. D. 3. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象 A. 向左平移个长度单位 B. 向右平移个长度单位 C. 向右平移个长度单位 D. 向左平移个长度单位 4. 与函数的图象不相交的一条直线是（ ） A. B. C. D. 5. 角的终边上有一点，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 函数，的图像与直线有且仅有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 中国扇子历史悠久，源远流长，在长达数千年的发展过程中，被赋予了极其深厚的文化内涵和鲜明的民族特色．自古中国就有“制扇王国”的美誉，数量之大品种之多，皆居世界首位．如图，现从一圆面中剪下一个扇形制作一把扇形扇子，为了使扇子形状更为美观，要求剪下的扇形和圆面剩余部分的面积比值为黄金分割比，则扇子的圆心角应为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间上单调，其中为正整数，，且，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. 函数的最小值为2 C. 函数（，且）的图象过定点 D. 函数的定义域为 10. 在中，已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图（1）是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道，建立平面直角坐标系如图（2），（单位：）表示在时间（单位：）时，过山车（看作质点）离地面的高度，轨道最高点距离地面，最低点距离地面．入口处距离地面．当时，过山车到达最高点，时，过山车到达最低点．设，下列结论正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. C. 时，过山车距离地面 D. 一个周期内过山车距离地平面不低于的时间是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则________． 13. 已知，若则__________. 14. 已知定义域为R的函数同时满足以下三个条件： ①函数的图象过原点； ②对，都有； ③对，都有． 则符合上述三个条件的函数表达式可以为__________．（答案不唯一，写出一个即可） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求下列各式的值： （1）； （2）． 16. 已知函数，． （1）在用“五点法”作函数的图象时，完成上述表格，并在坐标系中画出函数的大致图象； （2）根据（1）得到的图象，写出函数的对称轴方程和对称中心的坐标； （3）求不等式的解集． 17. 如图，以轴的非负半轴为始边的角，的终边分别交圆（为坐标原点）于，两点，其中点在第一象限，已知扇形的弧长与面积的数值都是． （1）求圆心角的弧度数； （2）若点的横坐标为，求点的坐标． 18. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调增区间； （2）当时，求函数的最大值和最小值； （3）将函数的图象先向左平移个单位长度后，再把横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象．若，，且，均为锐角，求的值． 19. 英国数学家泰勒发现了如下公式： 其中． 这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性．比如，用前三项计算，就得到．利用这些公式也可以得到：，，，，…． （1）试用上述公式计算的值（精确到0.001）； （2）证明：当时，； （3）设，当的定义域为时，值域也为，则称为的“和谐区间”．当时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $