精品解析：四川省仁寿第一中学校南校区2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题

2023级仁寿一中南校区数学6月月考 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 2. 某调查机构对某地快递行业从业者进行调查统计，得到快递行业从业人员年龄分布饼状图（图1）、“90后”从事快递行业岗位分布条形图（图2），则下列结论中错误的是（ ） A. 快递行业从业人员中，“90后”占一半以上 B. 快递行业从业人员中，从事技术岗位“90后”的人数超过总人数的20% C. 快递行业从业人员中，从事运营岗位的“90后”的人数比“80前”的多 D. 快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数比“80后”的多 3. 若，为两条直线，为一个平面，则下列结论中正确是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则与相交 4. 某景区准备在两座山峰的山顶之间建设索道，要预先测量这两个山顶之间的距离.设两座山峰的山顶分别为，它们对应的山脚位置分别为，在山脚附近的一块平地上找到一点，（所在的平面与山体垂直），使得是以为斜边的等腰直角三角形，现从处测得到两点的仰角分和，若到的距离为1千米，则两个峰顶的直线距离为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 5. 若，是两个单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知三棱锥中，平面，4，3，，7，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知（为常数），，，且的最小值为，若在区间上恰有8个零点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分. 9. 已知复数，是共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. 的实部为 B. 复数在复平面中对应的点在第四象限 C. D. 10. 如图，棱长为2的正方体中，点，，分别是棱，，的中点，则下列说法正确的有（ ） A. 直线与直线共面 B. C. 二面角的平面角余弦值为 D. 过点，，的平面，截正方体的截面面积为9 11. 已知a，b，c分别为内角A，B，C对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，，且有唯一解，则或 D. 若，的平分线交AC于点D，，则的最大值为9. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是_____________． 13. 如图，在正方形中，E，F分别为，的中点，若沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个三棱锥，使，，三点重合，重合后的点记为G，则异面直线SG与EF所成的角为______，直线SG与平面SEF所成角的正弦值为______. 14. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图2中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，. （1）求向量与的夹角的大小； （2）若向量，（），当取得最小值时，求. 16. 如图， 四棱锥中，是菱形，，，分别为和的中点. （1）求证：平面； （2）在AD上是否存在一点M，使得平面PMB⊥平面PAD？若存在请证明，若不存在请说明理由. 17. 2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成功着陆，航天员翟志刚，王亚平，叶光富顺利出舱，神舟十三号载人飞行任务圆满完成，为纪念中国航天事业所取得的成就，发掘并传承中国航天精神，某市随机抽取1000名学生进行了航天知识竞赛并记录得分（满分：100分），将学生的成绩整理后分成五组，从左到右依次记为，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）请补全频率分布直方图并估计这1000名学生成绩的平均数和计算80%分位数（求平均值时同一组数据用该组区间的中点值作代表）； （2）现从以上各组中采用分层抽样的方法抽取200人，若第三组中被抽取的学生成绩的平均数与方差分别为72分和1，第四组中被抽取的学生成绩的平均数与方差分别为87分和2，求这200人中分数在区间的学生成绩的方差. 18. 在，为边上的中线，点在边上，设． （1）当时，求的值； （2）若为角平分线，且点在边上，求的值； （3）在(2)的条件下，若，求最小值？ 19. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，，，，，，点N在棱PC上，平面平面． （1）证明：； （2）若平面，求三棱锥的体积； （3）若二面角的平面角为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023级仁寿一中南校区数学6月月考 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解． 【详解】因为， 所以． 故选：D． 2. 某调查机构对某地快递行业从业者进行调查统计，得到快递行业从业人员年龄分布饼状图（图1）、“90后”从事快递行业岗位分布条形图（图2），则下列结论中错误的是（ ） A. 快递行业从业人员中，“90后”占一半以上 B. 快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数超过总人数的20% C. 快递行业从业人员中，从事运营岗位的“90后”的人数比“80前”的多 D. 快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数比“80后”的多 【答案】D 【解析】 【分析】根据两个图，结合选项，即可判断. 【详解】由题图可知，快递行业从业人员中，“90后”占总人数的56%，超过一半，A正确； 快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数占总人数的百分比为，超过20%， 所以快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90”后的人数超过总人数的20%；B正确； 快递行业从业人员中，从事运营岗位“90后”的人数占总人数的百分比为，超过“80前”的人数占总人数的百分比，C正确； 快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数占总人数的百分比为22.176%，小于“80后”的人数占总人数的百分比，但“80后”从事技术岗位的人数占“80后”人数的比未知，D不一定正确． 故选：D 3. 若，为两条直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则与相交 【答案】C 【解析】 【分析】ABD可举出反例；C选项，根据线线平行和线面垂直的性质得到答案. 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A，若，，则与平行或异面，A错误； 对于B，若，，则与异面、平行或相交，B错误； 对于C，设直线，满足且， 若，则，而，则，C正确； 对于D，若，，则与相交或异面，D错误. 故选：C. 4. 某景区准备在两座山峰的山顶之间建设索道，要预先测量这两个山顶之间的距离.设两座山峰的山顶分别为，它们对应的山脚位置分别为，在山脚附近的一块平地上找到一点，（所在的平面与山体垂直），使得是以为斜边的等腰直角三角形，现从处测得到两点的仰角分和，若到的距离为1千米，则两个峰顶的直线距离为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】A 【解析】 【分析】先求得，然后利用梯形的知识求得. 【详解】依题意可知，， ，由于是直角梯形， 所以千米. 故选：A 5. 若，是两个单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可知，先求出，然后利用夹角公式求解即可. 【详解】因为，是两个单位向量，且在上的投影向量为， 所以， 所以， ， ， 所以， 即的夹角的余弦值为， 故选：C 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二倍角公式和同角三角函数基本关系式将要求角用已知角表示即可求解. 【详解】由已知得 因为，根据同角三角函数基本关系式得 . 故选：A. 7. 已知三棱锥中，平面，4，3，，7，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意画出图形，利用正弦定理求出的外接圆的半径，再由勾股定理求出三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式得答案． 【详解】如图， 设的外心为，过作底面的垂线，使，则为三棱锥的外接球的球心， 在中，由3，，7，得， 故，设的外接圆的半径为， 则，， ． 三棱锥外接球的表面积为． 故选：B 8. 已知（为常数），，，且的最小值为，若在区间上恰有8个零点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目条件得到方程组，求出，，得到函数解析式，从而令，得到，画出的图象，要想在区间上恰有8个零点，且取得最小值，数形结合得到方程组，求出答案. 【详解】由题意得，解得， 设的最小正周期为，故，解得， 因为，所以， 故， 当时，， 令，得， 画出的图象，如下： 要想在区间上恰有8个零点，且取得最小值， 故，， 且，两式相减得，. 所以的最小值为. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分. 9. 已知复数，是的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. 实部为 B. 复数在复平面中对应的点在第四象限 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先化简得到，然后用实部和共轭实数的定义判断A和B选项；由于虚数不能比较大小，故C错误；直接计算即知D正确. 【详解】我们有，故的实部为，A正确； 由知，所以在复平面中对应的点是，在第四象限，B正确； 都不是实数，它们不能比较大小，C错误； ，D正确. 故选：ABD. 10. 如图，棱长为2的正方体中，点，，分别是棱，，的中点，则下列说法正确的有（ ） A. 直线与直线共面 B. C. 二面角的平面角余弦值为 D. 过点，，的平面，截正方体的截面面积为9 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A项，通过证明,说明直线共面；对于B项，三棱锥的体积问题，大都是通过等体积转化，使其易于求解即可；对于C：作出二面角的平面角，计算其余弦值，可判断C；对于D项，关键是寻找到经过三点的正方体的截面，然后求其面积即可. 【详解】 对于A项，如图①，分别连接,正方体中， 易得四边形是矩形,故有，又分别是棱的中点，则, 故,即可确定一个平面，故A项正确； 对于B项，如图②，,故B项正确； 对于C项，如图③，连接交于，， 平面,平面,所以， 又，，平面,平面， 所以平面,即是二面角的平面角， 又， 故，故C项正确； 对于D项，如图④，连接易得 因平面平面，则为过的平面与平面的一条截线， 即过点的平面即平面. 由，可得四边形为等腰梯形， 故其面积为：，故D项错误. 故选：ABC. 11. 已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，，且有唯一解，则或 D. 若，的平分线交AC于点D，，则的最大值为9. 【答案】BC 【解析】 【分析】用余弦定理统一成边形式化简判断出A的真假；由为锐角三角形，与正弦函数的单调性可得B选项的真假；根据边角的关系与解的数量判断C的真假；根据三角形面积可得到，将变为，展开后利用基本不等式，即可求得答案，判断出D的真假． 【详解】对于A，因为，由余弦定理可得：， 所以有，整理可得， 所以或，故为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 对于B，若为锐角三角形，所以，故， 由正弦函数在单调递增，则，故B正确． 对于C，若有一个解，则或，所以或，故C正确． 选项D，的平分线交于点，， 由，由角平分线性质和三角形面积公式得， 得，即，得， 得， 当且仅当，即时，取等号，故D错误． 故选：BC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据图像平移可得平移后的解析式为，即可根据奇偶性求解. 【详解】由题意可得平移后所得函数的解析式为，由于为偶函数，所以,故, ，最小正值为． 故答案： 13. 如图，在正方形中，E，F分别为，的中点，若沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个三棱锥，使，，三点重合，重合后的点记为G，则异面直线SG与EF所成的角为______，直线SG与平面SEF所成角的正弦值为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由线线垂直得到线面垂直，得到异面直线的夹角，再作出辅助线，找到线面角，设出正方形边长，求出各边长，求出线面角的正弦值. 【详解】折叠后可得⊥，⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 因为平面， 所以⊥，故异面直线SG与EF所成的角为； 取的中点，连接，过点作⊥于点， 因为，，所以⊥，⊥， 又，平面， 所以⊥平面， 因为平面， 所以⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 则即为直线SG与平面SEF所成角， 设正方形的边长为2，则， 故，所以， 因为，由勾股定理得， 则. 故答案为：； 14. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图2中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】结合图形将所求数量积中的向量转化，化简为，从而只需求的取值范围，由图易得的最大最小值，代入即得. 【详解】 如图，取的中点,连接. 则, 因为圆的直径，长度为4，故得,要求的取值范围，即要求的取值范围. 根据正六边形的性质，结合图形可知，当点与正六边形的顶点重合时， 当点为正六边形的边的中点时(如图点)，故. 故答案为： 【点睛】思路点睛：本题解题思路在于结合图形的特点，分别将其中的向量进行分解、计算、化简，将问题转化为求距离的最大最小值问题. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，. （1）求向量与的夹角的大小； （2）若向量，（），当取得最小值时，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直时，数量积为0，结合数量积的运算律，列式求解，即得答案； （2）利用，结合数量积运算律求出当取得最小值时的值，即可得，再根据即可求得答案. 【小问1详解】 由题意向量，，， 则，即， 故， ，即向量与的夹角； 【小问2详解】 由（1）可知，， 则 ， 当时，取得最小值，即取最小值， 此时，则. 16. 如图， 四棱锥中，是菱形，，，分别为和的中点. （1）求证：平面； （2）在AD上是否存在一点M，使得平面PMB⊥平面PAD？若存在请证明，若不存在请说明理由. 【答案】（1）证明见详解 （2）存在，证明见详解 【解析】 【分析】（1）连接，由可得，，分别为和的中点，则，即可证得平面； （2）取AD中点M，连接PM，BM，则得，，则平面，进而平面平面. 【小问1详解】 连接，因为底面是菱形，为的中点， 所以在上且为的中点， 又因为是的中点，， 又平面，平面， 平面； 【小问2详解】 存在，证明如下： 取AD中点M，连接PM，BM， ， 又是菱形，是等边三角形， 而平面， 平面，平面， ∴平面平面. 17. 2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成功着陆，航天员翟志刚，王亚平，叶光富顺利出舱，神舟十三号载人飞行任务圆满完成，为纪念中国航天事业所取得的成就，发掘并传承中国航天精神，某市随机抽取1000名学生进行了航天知识竞赛并记录得分（满分：100分），将学生的成绩整理后分成五组，从左到右依次记为，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）请补全频率分布直方图并估计这1000名学生成绩的平均数和计算80%分位数（求平均值时同一组数据用该组区间的中点值作代表）； （2）现从以上各组中采用分层抽样的方法抽取200人，若第三组中被抽取的学生成绩的平均数与方差分别为72分和1，第四组中被抽取的学生成绩的平均数与方差分别为87分和2，求这200人中分数在区间的学生成绩的方差. 【答案】（1）图见解析，平均数67分，80%分位数76.67分 （2）55.4 【解析】 【分析】（1）由频率和为1，求出成绩落在的频率；由样本的平均数公式及百分位数的计算公式得出结果； （2）根据分层抽样的样本平均数及方差公式求得结果. 【小问1详解】 成绩落在的频率为， 补全的频率分布直方图，如图 样本的平均数（分） 设80%分位数为，则， 解得：（分）； 小问2详解】 由分层抽样可知，第三组和第四组分别抽取30人和20人 分层抽样的平均值：（分） 分层抽样的方差： 所以这200人中分数在区间所有人的成绩的方差为55.4 18. 在，为边上的中线，点在边上，设． （1）当时，求的值； （2）若为的角平分线，且点在边上，求的值； （3）在(2)的条件下，若，求最小值？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，平方后整理即可. （2）由角平分线性质可得，结合为的中点求解即可. （3）由余弦定理及三角形面积公式可得，结合三角恒等变换及基本不等式求解即可. 【小问1详解】 由题意可得：， 所以，即， 所以. 【小问2详解】 由角平分线性质定理可得，， 又因为为的中点， 故，所以. 【小问3详解】 由题（2）可知，由可得，设， ，则（※）， 由余弦定理可得：， 代入（※）式，得：， 令， 则， 当且仅当时，即时，长度最小，此时. 19. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，，，，，，点N在棱PC上，平面平面． （1）证明：； （2）若平面，求三棱锥的体积； （3）若二面角的平面角为，求． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）只需结合已知证明平面即可，再利用线面垂直的性质即可得证； （2）利用转换法，可知只需求出即可，再结合解三角形知识即可求解； （3）找出二面角的平面角，再结合解三角形知识即可求解. 【小问1详解】 因为平面平面，平面平面，， 平面， 平面， 又平面， 【小问2详解】 平面，平面，平面平面（其中点是的交点亦是中点）， ，可知N为中点， 而，，， 所以， 因为，， 所以， 因为平面，平面， 所以， 所以， 所以， 在三角形中，，由余弦定理有， 结合，解得， . 【小问3详解】 由题意知平面，过点N作平行线交于点H， 面，再作（K为垂足）， 为二面角的平面角，， 由（2）可知，所以三角形是等腰直角三角形，同理三角形也是等腰直角三角形， 从而， 在三角形中，， 所以， 而，所以， 不妨设，， 则且，， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$