2.1 等式性质与不等式性质-【无敌原创】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课时卷

第二章一元二次函数、方程和不等式25 第二章一元二次函数、方程和不等式 2.1等式性质与不等式性质 6.《铁路旅行常识》规定： 第1课时不等关系及比较大小 一、随同成人旅行，身高在1.2~1.5米的 儿童享受半价客票（以下称儿童票），超过 基础过关) 1.5米的应买全价票，每一名成人旅客可 1.完成一项装修工程，请木工需付工资每人 免费带一名身高不足1.2米的儿童，超过 50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工 一名时，超过的人数应买儿童票 人工资预算2000元，设木工x人，瓦工y 0… 人，则请工人满足的关系式是 () 十、旅客免费携带物品的体积和重量是每 A.5x+4y<200 B.5x+4y≥200 件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超 C.5x+4y=200 D.5.x+4y≤200 过160厘米，杆状物品不得超过200厘 2.某校对高一美术生划定录取分数线，专业 米，重量不得超过20千克… 成绩x不低于95分，文化课总分y高于 设身高为（米），物品外部长、宽、高尺寸 380分，体育成绩之超过45分，用不等式 之和为P(厘米)，请用不等式表示下表中 (组)表示就是 ( 的不等关系 x≥95， x≥95， 身高在 身高身 高物体长、宽、高 文字 1.2 超过 不足 尺寸之和不得 A.y≥380， y>380, 表述 1z≥45 1.5米 1.5米1.2米 超过160厘米 z>45 符号 x>95, (x≥95， 表示 C.y>380, D.y>380, 7.比较2x2+5x+3与x2+4x+2的大小. z>45 z>45 3.已知a,b∈{x|0<x<1},记M=ab,N= a+b-1,则M与N的大小关系是() A.M<N B.MN C.M=N D.不确定 4.若实数a>b,则a2一ab ba-b2. (填“>”“<”或“=”) 5.某商品包装上标有重量(500士1)克，若用x 表示商品的重量，则该商品的重量可用含绝 对值的不等式表示为 26无敌原创同步必刷点数学·必修第一册 8.若a>0,b>0,则比较a5+b与a3b2十a2b 3.若某高速公路对行驶的各种车辆的最大 的大小. 限速为120km/h,行驶过程中，同一车道 上的车间距d不得小于10m,则用不等式 表示为 () A.v≤120km/h或d≥10m u≤120km/h, B. d≥10m C.v≤120km/h 9.已知a<<0,求证：<号 D.d10 m 4.李辉准备用自己节省的零花钱买一台英 2)已知a>b,日<名求证：a6>0 语电子词典，他现在已存60元，计划从现 在起每个月节省30元，直到他所存的钱数 不低于400元.设x个月后他所存的钱数不 低于400元，则满足题意的不等式是( ) A.30x-60≥400 B.30x-60≤400 C.30x+60≥400 D.30x+60≤400 5.有一杯b克糖水中含a克糖(b>a>0),若 再加入m(m>0)克糖，则糖水更甜了，将 这个事实用一个不等式表示： 6.某蛋糕师制作A,B两种蛋糕，原材料中面 能力提升〕 粉、黄油、牛奶的需求量如下：制作一个A 种蛋糕需要面粉150g,黄油100g,牛奶 1.足球赛期间，某球迷俱乐部一行56人从 50mL;制作一个B种蛋糕需要面粉 旅馆乘出租车到球场为其球队加油.现有 200g,黄油140g,牛奶70mL.现有面粉 A,B两个出租车队，A队比B队少3辆 1000g,黄油600g,牛奶350mL.若分别 车.若全部安排乘A队的车，每辆车坐5 制作x个A种蛋糕，y个B种蛋糕.试列 人，车不够，每辆车坐6人，有的车未坐 出x,y满足的不等式组， 满；若全部安排乘B队的车，每辆车坐4 人，车不够，每辆车坐5人，有的车未坐 满.则A队有出租车 () A.11辆B.10辆C.9辆D.8辆 2.已知a>1,6>1,设P-+2,Q=6十 ab 1,则P与Q的大小关系为 ( A.P>Q B.P<Q C.P=Q D.不确定 第二章一元二次函数、方程和不等式27 7.有粮食和石油两种物质，可用轮船与飞机 8.某单位组织职工去某地参观学习需包车 两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机 前往.甲车队说：“如领队买全票一张，其 所能运输的粮食或石油如下表： 余人可享受7.5折优惠”.乙车队说：“你 方式 们属团体购票，按原价的8折优惠.”这两 运输量/t 轮船 飞机 个车队的原价、车型都是一样的.试根据 粮食 300 150 单位去的人数，比较两车队的收费哪家更 种类 石油 250 100 优惠 现在要在一天内运输2000t粮食或1500t 石油.写出安排的轮船艘数x和飞机架数y 所满足的所有不等关系的不等式组 28无敌原创同步必刷点数学·必修第一册 2.1等式性质与不等式性质 6.已知a,b,c,d∈R,则下列命题中必成立的 第2课时 不等式的性质 是 () A.若a>b,c>d,则a十b>c+d 基础过关) B.若a>一b,则c-a<c+b 1.与a>b等价的不等式是 C.若a>b,c<d,则4>b d A.a>b B.a2>62 D.若a2>b,则-a<-b c>1 D.a3>b3 7.若8<x<10,2<y<4,则工的取值范围 2.已知a,b,c∈R,则下列命题正确的是( ) 为 A.a>b→ac2>bc2 8.已如1<a<3,-4<6<2,若=7a-6, B.4>ba>b 则之的取值范围是 9.设x>1,-1<y<0,试将x,y,一y按从 小到大的顺序排列 lab<o a b 10.已知x<1,则x2+2与3x的大小关系为 D. (ab>0,11 → la-b 11.若M=3x2-x+1,N=2x2+x-1,则M 3.已知a十b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的 与N的大小关系是 大小关系是 能力提升) A.a>b>-b>-a 1.如果a<0,b>0,那么下列不等式中正确 B.a>-b>-a>b 的是 ( ) C.a>-b>>>-a B.√-a<√b D.a>b>-a>-b A日6 4.已知a<b<0,c<d<0,那么下列判断中 C.a2<62 D.a>b 正确的是 () 2.设a,b∈R,若a十|b<0,则下列不等式 A.a-c<b-d B.ac-bd 中正确的是 ( ) A.a-6>0 B.a3+b3>0 C.a<a D.adbc C.a2-b<0 D.a+6<0 5.若a>b>0,c<d<0,则一定有() 3.设a>1>b>一1，则下列不等式中恒成立 () A> B< 的是 A日<分 B>7 c> C.a2>26 D.a>b2 第二章一元二次函数、方程和不等式29 4.已知x>y>之，x十y十之=0，则下列不等 10.已知x,y都是非零实数，且x>y,求证： 式中一定成立的是 () 1<的充要条件是xy>0, A.xy>yz B.z>yz C.xy>xz D.xlyl>zlyl 5.(多选)已知a,b,c,d均为实数，下列不等 关系推导不成立的是 () A.若a>b,c<d,则a十c>b十d B.若a>b,c>d,则ac>bd C若c-ad>0,÷-号>0，则ab<0 D若a≥>0.心0.则，骨> 6.(多选)下列命题为真命题的是 () A.若a>b,则ac2>bc2 B.若a<b<0,则a2<ab<b2 C.若c>a>b>0,则a>b c-a~c-b 1.设a>0,b>0,且a≠6，p=号+会g D.若a>6>>0,则号>8 a十b.求证：p>g. 7.若>0>0M=N=千x 产)则M,N的大小关系是 () A.M=N B.M<N C.M≤N D.MN 8.若a>b>0,则a+6 6+日（填 “<”“>”或“=”) 9.若a,bc,d是正实数，号=奇，且a最大， 试比较a十d与b十c的大小.156无敌原创同步必刷点数学·必修第一册 4.D【解析：由于P=1,2,4,5,6》,M={2,4,6},所以 MP,故存在x∈P,使得x任M.故选D.] 5.C[解析：由存在量词命题的否定为全称量词命题可知， 命题p:3n∈N,n2>2的否定为“Vn∈N,n2≤2”.故 选C.] 6.A[解析：因为“Hx∈[1,2]，x2一a≥0”，则a≤(x2)mim, 所以a≤1.故选A.] 7.D【解析：已知命题p:3m∈R,x-十≤0，则b 为：Yx∈R,x2-x+>0.故选D.】 8.B[解析：当x>0时，可以得到x2>0,即p→g,所以g 是p的必要条件，原语句不是命题形式，不能判断真假，所 以C,D错误.故选B.J 9.D[解析：命题“对任意x∈R,都有x2+2x<1”的否定是 存在x∈R,使得x2+2x≥1.故选D.】 10.{a≥} 【解析：因为命题“3x∈R,x2-x十a<0” 是假命题，所以命题“Hx∈R,x2一x十a≥0”是真命题，即 △=1-4a≤0，解得a>子，则实数a的取值范围 是{a≥4}】 【能力提升】 1.B[解析：若a≥0，由x>a|得x>a,若a<0,则由x> a得x>-a,此时x>-一a>a成立，即必要性成立，当a<0 时，不妨设a=一1，则由x>一1，不一定推出x>|一1|，即 充分性不成立，则“x>a”是“x>a”的必要不充分条件.故 选B.] 2.A[解析：因为不等式|x一1|<a成立的充分条件是0< x<4,设不等式的解集为A,则{x|0<x<4}二A,当a≤0 时，A=0,不满足要求；当a>0时，A= {x|1-a<x<1十a},若{x0<x<4}三A,则 1-a≤0， 解得a≥3.故选A.] 1+a≥4， 3.C[解析：A∩B二A二AUB,若A≠B,则A∩BAUB, 若A∩BAUB,则A≠B,所以“A≠B”是“A∩BAUB” 的充要条件.故选C.】 4.A[解析：由题意可知：由“返回家乡”可推出“攻破楼 兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件.故选A.] 5.ABC[解析：根据全称量词命题的定义判断，A,B,C选 项命题中均有全称量词，故为全称量词命题：D中“有些”属 于存在量词，故不属于全称量词命题.故选ABC.】 6.解：P={x|1≤x≤4} (1-m=1, (1)要使x∈P是x∈S的充要条件，则P=S,即{ 1+m=4, 此方程组无解，则不存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件. (2)要使x∈P是x∈S的必要条件，则SCP.①当S=☑ 时，1-m>1+m,解得m<0;②当S≠⑦时，1-m≤1+m, 1-m≥1， 解得m≥0，要使S二P,则有 解得m≤0，所以m= 1+m≤4， 0.综上可得，当实数m≤0时，x∈P是x∈S的必要条件. 7.解：p为真时，x2-a≥0，即a≤x2.因为x∈[1,2]时，上式 恒成立，而x2∈[1,4]，所以a≤1.g为真时，△=(2a)2一 4(2-a)≥0，即a≥1或a≤-2.因为p,g均为真命题，所以 a=1或a≤一2.即实数a的取值范围为{aa=1或a≤一2). 8.解：选条件①，由命题p为真，可得不等式x2一a≥0在 x∈{x1≤x≤2}上恒成立.因为x∈{x1≤x≤2}，所以 1≤x≤4，所以a≤1.若命题g为真，则方程x2+2ax十2- a=0有解.所以△=4a2一4(2一a)≥0，所以a≥1或a≤ (a≤1， 一2，又因为p,q都是真命题，所以 所以实 a≥1或a≤-2， 数a的取值范围为{aa=1或a≤-2}. 选条件②，由命题p为真，可得不等式x2-a>≥0在x∈ {x1≤x≤2}上恒成立.因为x∈{x1≤x≤2}，所以1≤x2≤ 4,所以a≤1.因为集合B={xa<x<3a,a>0},A∩B=得 >≥4或0<a≤号.又因为p,g都是真命题，所以 a≤1， 2解得0<a<号，所以实数a的取值范围 a>4或0<a≤3 为{a<a<号} 第二章一元二次函数、方程和不等式 2.1等式性质与不等式性质 第1课时不等关系及比较大小 【基础过关】 1.D[解析：依题意，得50x十40y≤2000，即5x十4y≤ 200.故选D.】 2.D[解析：“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即 “>”,所以x≥95，y>380,z>45.故选D.1 3.B[解析：M-N=ab一(a十b-1)=ab-a-b+1=(a 1)(b-1).因为a,b∈{x|0<x<1},所以a-1<0,b-1< 0,所以M-N>0,所以M>N.故选B.] 4.>【解析：因为(a2-ab)-(ba-b)=(a-b)2,又a>b, 所以(a-b)2>0.J 5.|x-500|≤1 [解析：因为某商品包装上标有重量 (500士1)克，若用x表示商品的重量，则一1≤x一500≤1， 故|x-5001≤1.] 6.解：如下表所示 文字身高在 身高超 身高不 物体长、宽、高尺寸之和不 表述1.2~1.5米过1.5米足1.2米得超过160厘米 符号1.2≤h≤ h>1.5 h<1.2 P≤160 表示1.5 7.解：(22+5x+3)-(2+4x+2)=d+x+1=(x+）/+ 子.因为(x+）)≥0，所以(x+2)'+≥子>0.所以 (2x2+5x+3)-(x2+4x+2)>0,所以2x2+5.x+3>x2+ 4x+2. 8.解：(a5+b5)-(a3b2+a2b3)=a5-a3b2+b3-a2b3 a3(a2一b2)+b3(b2-a2)=(a2-b)(a3-b)=(a-b)2(a+ b)·(a2+ab+b).因为a>0,b>0,所以(a-b)2≥0，a+b 0,a2+ab+b>0.所以a+b≥a3b2+a2b3 9.证明：1由于么-二=二2_6+)h-@,因为a< a b ab ab b<0,所以b+a<0,b-a>0,ab>0,所以6+a)h-@<0, ab (2)因为日<古，所以日-方<0，即的6<0，面。>6，所以 a b ab b-a<0,所以ab>0. 【能力提升】 1.B[解析：设A队有出租车x辆，则B队有出租车(x十 5x<56, 11 6x>56 3)辆，由题意，得 4(x+3)<56,解得 9号所以 5(x+3)>56, x<11, x∈N, (>8， 9号<x<1.而x为正整数，故x=10.故选B】 2.B【解析：P-Q=(日+公)-（品+）=出 1+ab_a-1)(1-2.因为a>1,b>1,所以a-1>0,1- ab ab b<0,ab>0,所以P-Q=a-ID0-D<0,所以P<Q.故 ab 参考答案157 选B.J 3.B[解析：考虑实际意义，知v≤120km/h,且d>10m. 故选B.】 4.C【解析：设x个月后他所存的钱数为y元，则y= 30x+60,因为x个月后他所存的钱数不低于400元，所以 30x+60≥400.故选C.] 5名<阳【解析：因为6克糖水中含a克糖(0<a< b),所以糖水的“甜度”为分.在该糖水中加入m(m>0)克糖 后，糖水的“甜度”变为因为糖水更甜了，所以 合<照】 6.解：①制作A,B两种蛋糕需要的面粉不超过1000g,用 不等式表示为150x+200y≤1000；②制作A,B两种蛋糕需 要的黄油不超过600g,用不等式表示为100x十140y≤600； ③制作A,B两种蛋糕需要的牛奶不超过350mL,用不等式 表示为50x十70y≤350；④A,B两种蛋糕的制作量都应不 少于0，且个数为整数，故x∈N,y∈N.所以x,y满足的不 150x+200y≤1000， 3x+4y≤20， 100x+140y≤600， 5x+7y≤30， 等式组为50x+70y≤350， 即5x+7y≤35， x∈N, x∈N, y∈N, y∈N. 300x+150y≥2000， 7.解：由题意得，若运输粮食，则有x∈N, 即 y∈N, 6x+3y≥40， 250x+100y≥1500， x∈N, 若运输石油，则有x∈N, y∈N. y∈N, 5x+2y≥30， 即x∈N, y∈N. 8.解：设该单位有职工n人(n∈N),全票价为x元，坐甲车 需花为元，坐乙车需花为元，则=x+冬x(n-1) 子计是m,%=告m,所以为-为=子x十子m 告m=子一动m=子(1-号)当n=5时%=：当 11 n>5时，y1<y2;当0<n<5时，y>2.因此，当单位人数 为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠； 少于5人时，选乙车队更优惠. 158无敌原创同步必刷点数学·必修第一册 2.1等式性质与不等式性质 第2课时不等式的性质 【基础过关】 1.D[解析：可利用赋值法.令a=1,b=一2，满足a>b,但 1a<b1,a<6,号=-合<1，故A,BC都不正确.故 选D.] 2.C[解析：当c=0时，A不成立；当c<0时，B不成立；ab< 0。>分品<品即子>古，C成立.同理可证D不成立.故 选C.] 3.C[解析：因为a+b>0,所以a>一b,又b<0,所以a> 0,且|a|>|b川，所以a>-b>b>-a.故选C.] 4.B[解析：因为a<b<0,c<d<0,所以一a>-b>0, -c>-d>0,所以(-a)(-c)>(-b)(-d),即ac>bd.故 选B.] 5.D【解析：令a=3,b=2,c=-3,d=-2,则a=-1, =-1，所以AB错误=一=一号，所以< 冬，所以C错误故选D.】 6.B[解析：选项A,取a=1,b=0,c=2,d=1,则a十b< c+d,A错误；选项B,因为a>一b,所以一a<b,所以c一 a<c十b,则B正确：选项C不满足倒数不等式的条件，如 a>b>0,c<0<d时，不成立；选项D只有a>b>0时才可 以.否则如a=一1，b=0时不成立.故选B】 12号<5【解析：因为2<y<4,所以<←空又因 为8<<10，所以2<号<5.】 8.-三<<号【解析：因为1<a<3,所以2<弓a< 号，又-4<<2，所以-2<-K4所以-是<名a-K 号即-2<<号】 9.y<-y<x[解析：因为-1<y<0,所以0<-y<1,所 以y<-y,又x>1,所以y<-y<x.] 10.x2+2>3x[解析：(x2+2)-3x=(x-1)(x-2),因为 x<1,所以x-1<0,x-2<0,所以(x-1)(x-2)>0,所以 x2+2>3x.] 11.M>N[解析：因为M-N=x2-2x+2=(x-1)2十 1>0,所以M>N.] 【能力提升】 1A【解折：因为a<0,6>0,所以日<0，>0，所以日< 云故选A】 2.D[解析：本题可采用特殊值法，取a=一2，b=1,则a一 b<0,a3+b3<0,a2一b>0,a十b=-1<0,故A,B,C错误， D正确.故选D.] 3.D【解析：A销，例如a=2,6=-号时，日-=宁，方 -2此时片>云B错，例如a=2,6=子时÷=子方 2,此时片<方：C错，例知a=子6号时。=瓷26 碧此时。<2b:D正确，由e>1,<1得a>心，故选D.】 4.C[解析：因为x>y>z,x十y十z=0,所以3x>x十y+ x>0, z=0,3z<x十y十之=0，所以x>0,之<0.所以由 可 y>z, 得xy>xz.故选C.] 5.ABC【解析：若a>b,c<d,则-c>-d,则a-c>b-d, a十c与b十d的大小关系不确定，故A错误；若a>b,c>d, 则ac与bd的大小关系不确定，故B错误；若bc一ad>0, 台-号>0，则ab>0,故C错误：若a>>0,c>>0,则 合>>0，因此号>名>0，则号>√臣放D正确故 选ABC.] 6.CD[解析：对于A,当c=0时，显然错误；对于B,若a< 0,则e>ab>6,故B错误对于C若>a>6>0,则兰。 名。-0.2=9>0，故>产故 c(a-b) c-b (c-a)(c-b) C正确：对于D,若a>6>>0,则号-= atg+业--丹>0，放号>，故D正确 b(b+c) 故选CD.】 7.B[解析：因为x>0,y>0,所以x十y+1>1十x>0,1+ y x+>1+>0,所以+十)<千x1++<十故 M-平，1中十产)千+，-N,即 x十y M<N.故选B.] &>【解析：（方法一）因为>6>0，所以0<日<合，即 名>>0，所以a+方>6 a (方法二)a+古-(b+)=a-b0+,因为a>6> ab 0,所以a-b>0,ab>0,1+ab>0,所以a=b)1+aD>0, ab 即a+>6+合.】 9.解：设号=行=，则a=k,c=d极，又a最大，故a>b,所 以>1，因为(a+d)-(6+c)=(a-c)+(￡-是）=(a )…(1-）又k>1,所以2<1,1->0，又>c,所 以a-c>0,所以a+d>b+c. 10.证明：充分性：若xy>0,则1-1=二1<0，即1< x y xy }成立：必要性若上<}则上-}<0，因为> x y xy y所以一x<0,所以y>0,综上，士<}的充要条件是 xy>0. 1.E明：p一9=号+任-a-6十6心 ab (a+b)(a2-ab+})-ab(a+b)=(a+b)(a2-2ab+)_ ab ab (a+b0(a=b>0,所以p>g ab 2.2基本不等式 第1课时基本不等式 【基础过关】 1.A[解析：因为2+1≥2b(当且仅当b=1时等号成立)， 所以a+2b≤a+b2+1.所以t≤s.故选A.] 2.A[解析：因为a2+62-21ab1=(|a-1b1)2≥0，所以 a2+≥21ab1(当且仅当|a=|b时，等号成立).故选A.] 3.D【解析：若a<0,则a十4≥4不成立，故A错；若a= a 1,b=1,则a2十b2<4ab,故B错；若a=4,b=16,则√ab< 士，故C错：由基本不等式可知D项正确，故选D.】 4.A[解析：设甲、乙两地的距离为s,则v= 2s 。+ 名千号由于所子+分号所以心以片 2 方>2√b所以K√a.故a<Ka瓜.故选A】 5.D【解析：由图形可知OF=合AB=生，0C=la2 2 参考答案159 在Rt△OCF中，由勾股定理可得CF= √+(T-√严or≤c生≤ 2 a>0,6>0.放志D】 6.ACD【解析：根据基本不等式的条件，a,b同号，则名> 0,分>0.故选ACD.1 7.<y【解析：r=+b2画，y=a+h=a+b@+也因 2 2 为a十b>2√ab(a≠b),所以x2<y,因为x,y>0,所以x<y.】 8①@【解析：由于。+1-a=(a-号)广'+是>0，故四 恒成立：由于(a+6)(日+合)=2+合+号≥2十 2√会·号=4，当且仅当号-会即a=6时等号成立，故 ②恒成立；当a=3时，a2十9=6a,故③不恒成立.综上，①② 正确.】 【能力提升】 1.B[解析：a2十b=(a+b)2-2ab≥(a+b)2-2X (e生)=合G+6-2a6)=(a-6≥0，所以d+谷≥ 2ab.因为0<a<b且a+b=1,所以a<2.所以a2+最 大.故选B.】 2.B【解折：A项中，当x<0时，x十上<0<2，所以A错 误，B项中，士+2=√十2≥2，所以B正确；C项中， √Wx2+2 当x0时3=是2，所以C错误D项中，取x 1,2-3x-4<2,所以D错误.故选B.】 3.D【解析：a十6+1二≥2√ab+二≥2V2,当且仅当 vab √ab a=6=号时，等号成立，A成立：(a十6)（合+合）≥ 2v而2√需=4，当且仅当a=6时，等号成立，B成立：因 为a+≥2ab>0,所以4+兰≥2√a,当且仅当a=b时， Vab 等号成立，C成立；因为a+b≥2√ab,a>0,b>0,所以 2要≤1竿≤V瓜，当且仅当a-0时，等号成立，D不成 立.故选D.]