3.2函数的基本性质【课时步步练】2026-2027学年高一上学期数学同步备课系列【基础题】高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册——原卷版

**基本信息** 聚焦函数基本性质，通过基础选择、提升多选填空、综合解答三层设计，实现从概念理解到综合应用的知识巩固，适配新授课分层教学需求，培养数学推理与建模能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单调性、奇偶性等单一概念|8道选择题，如单调性条件判断、函数图像识别，夯实概念理解| |提升层|单调函数参数范围、奇偶性与单调性综合|3道多选题+3道填空题，如奇函数性质判断、单调区间参数求解，深化逻辑推理| |综合层|单调性证明、实际应用建模|2道解答题，如单调性定义证明、运费最低问题，培养数学思维与模型意识|

3.2函数的基本性质【课时步步练】 2026-2027学年高一数学同步备课系列【基础题】——解析版 一、选择题（共8小题） 1.（2025-2026·吉林吉林高一上期中）“”是“函数在区间上单调递减”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由,得,的对称轴为且开口向上,故在上单调递减.的对称轴为且开口向上,由在上单调递减,得,即. 因为能推出,而不能推出,故“”是“函数在区间上单调递减”的充分不必要条件. 故选:A. 2.（2025-2026·北京海淀高一上期中）下列四个函数中，在上为增函数的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】对于选项A: f(x)=3−x的斜率为−1,由一次函数单调性得f(x)在R上单调递减,故A错误. 对于选项B: f(x)=x²−3x的对称轴为x=,开口向上,由二次函数单调性得f(x)在(−∞,)单调递减,在(,+∞)单调递增,故B错误. 对于选项C: f(x)=−,由反比例函数性质得f(x)在(0,+∞)上单调递增,故C正确. 对于选项D: 当x>0时,f(x)=−|x|=−x,由一次函数单调性得f(x)在(0,+∞)上单调递减,故D错误. 故选:C. 3.（2025-2026·云南红河高一下期中）已知函数是定义在上的减函数，且，则不等式的解集为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】是定义在上的减函数，且，由减函数单调性得，当时，，当时，. 由得或，结合前述结论化简得或. 解得或，即不等式的解集为. 答案为C. 4.（2025-2026·陕西高一期末）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】对于二次函数， 其二次项系数，图象开口向上，对称轴为. 已知在上单调递减， 所以需在对称轴左侧（包含对称轴），即. 解不等式，得. 所以的取值范围是. 故选：A. 5.（2025-2026·辽宁高一上期中）函数的大致图象为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由 , 故为偶函数,图象关于轴对称,排除A、B; 当时,,, 由,排除C. 故选:D. 6.（2025-2026·北京丰台高一上期中）函数的图象大致为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由得定义域为; 由得为奇函数,图象关于原点对称,因此AC选项图象不关于原点对称,故排除AC; 由与在上均单调递增,得在上单调递增,因此B选项在上单调递减,故B错误; 故选:D. 7.（2025-2026·北京延庆高一上期中）如果函数是偶函数，那么（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由, 得. 因为是偶函数, 所以, 即. 故, 又, 所以,. 故选:A. 8.（2025-2026·湖南永州高一上联考）设函数，则下列函数中为奇函数的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由得 对于选项A：， 因为，所以不是奇函数 对于选项B：， 因为，所以是奇函数 对于选项C：，定义域为不关于原点对称 对于选项D：，定义域为不关于原点对称 答案为B. 二、多选题（共3小题） 9.（2025-2026·黑龙江高一期末）若函数在上是单调递减函数，则实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】AB 【解析】函数对称轴为. 因为在上单调递减，所以对称轴应满足，解得. 所以可以取，， 答案为AB. 10.（2025-2026·高一课时作业）已知函数f(x)是奇函数，在(0，+∞)上单调递减，且在区间[a，b](a<b<0)上的值域为[-3，4]，则在区间[-b，-a]上(　 ) A.有最大值4    B.有最小值-4 C.有最大值3    D.有最小值-3 【答案】BC 【解析】法一　根据题意作出y=f(x)的简图，由图知，选BC. 法二　当x∈[-b，-a]时，-x∈[a，b]，由题意得f(b)≤f(-x)≤f(a)，即-3≤-f(x)≤4，所以-4≤f(x)≤3，即在区间[-b，-a]上f(x)min=-4，f(x)max=3. 11.（2025-2026·河南高一期末）函数，则下列结论正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 为增函数 C. ， D. ， 【答案】ABC 【解析】函数定义域为 . 当时，，；当时，， . 所以，，是奇函数，A选项正确. 当时，，在上单调递增. 因为是奇函数，奇函数在关于原点对称区间上单调性相同，所以在上也单调递增，故在上是增函数，B选项正确. 当时， . 因为是上奇函数，所以当时， . 则，即，，C选项正确，D选项错误. 故选：ABC. 三、填空题（共3小题） 12.（2025-2026·广东深圳高一上期中）若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是                    ． 【答案】 【解析】由得函数在上单调递增,在上单调递减. 因为在上是增函数,所以,即. 故实数的取值范围是. 13.（2025-2026·江苏常州高一上期中）已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数a的取值范围是                    ． 【答案】 【解析】由函数在上单调递增,得,,且. 由得; 由得; 由得,即; 取上述解集的交集,得,故实数的取值范围是. 14.（2025-2026·四川绵阳高一上期末）如图，地在自西向东的一条直线铁路上，在距地的B地有一金属矿，地到该铁路的距离．现拟定在之间的地修建一条公路到地，即修建一条的运输路线．若公路运费是铁路运费的倍，则当地到地的距离为            时，总运费最低． 【答案】 【解析】设铁路每公里运费为，公路每公里运费为，地到地的距离为. 由题意，，. 总运费可表示为. 因为，所以取最小值等价于函数取最小值. 令，其中. 由，两边平方得. 整理得. 将上述视为关于的二次方程，其有实数解的条件是判别式非负，即. 化简得，即，从而. 因为，所以. 当时，取得最小值，此时将值代回方程. 计算得，方程化为. 即，配方得. 解得. 四、解答题（共2小题） 15.（2025-2026·陕西高一期末）已知函数，且，. （1）求a和b的值； （2）判断在上的单调性，并根据定义证明. 【答案】解：（1）由，，得，，解得，. （2），在上单调递减，理由如下： ，， ， ∵，∴， ∴ 故在单调递减. 16.（2025-2026·浙江嘉兴高一上期中）已知函数. (1)当时，求函数在区间上的值域； (2)求在区间上的最小值的表达式. 【答案】解：(1)当时,,其对称轴为,开口向上, 由对称轴与区间的位置关系, 得在上单调递减,在上单调递增, 故,, 则在上的值域为. (2)函数的对称轴为,开口向上, 当时,,在上单调递增, 故的最小值为; 当时,, 在上单调递减,在上单调递增, 故的最小值为; 当时,,在上单调递减, 故的最小值为; 即 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2函数的基本性质【课时步步练】 2026-2027学年高一数学同步备课系列【基础题】 一、选择题（共8小题） 1.（2025-2026·吉林吉林高一上期中）“”是“函数在区间上单调递减”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.（2025-2026·北京海淀高一上期中）下列四个函数中，在上为增函数的是（） A. B. C. D. 3.（2025-2026·云南红河高一下期中）已知函数是定义在上的减函数，且，则不等式的解集为（） A. B. C. D. 4.（2025-2026·陕西高一期末）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5.（2025-2026·辽宁高一上期中）函数的大致图象为（） A. B. C. D. 6.（2025-2026·北京丰台高一上期中）函数的图象大致为（） A. B. C. D. 7.（2025-2026·北京延庆高一上期中）如果函数是偶函数，那么（） A. B. C. D. 8.（2025-2026·湖南永州高一上联考）设函数，则下列函数中为奇函数的是（） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题） 9.（2025-2026·黑龙江高一期末）若函数在上是单调递减函数，则实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 3 10.（2025-2026·高一课时作业）已知函数f(x)是奇函数，在(0，+∞)上单调递减，且在区间[a，b](a<b<0)上的值域为[-3，4]，则在区间[-b，-a]上(　 ) A.有最大值4    B.有最小值-4 C.有最大值3    D.有最小值-3 11.（2025-2026·河南高一期末）函数，则下列结论正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 为增函数 C. ， D. ， 三、填空题（共3小题） 12.（2025-2026·广东深圳高一上期中）若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是                    ． 13.（2025-2026·江苏常州高一上期中）已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数a的取值范围是                    ． 14.（2025-2026·四川绵阳高一上期末）如图，地在自西向东的一条直线铁路上，在距地的B地有一金属矿，地到该铁路的距离．现拟定在之间的地修建一条公路到地，即修建一条的运输路线．若公路运费是铁路运费的倍，则当地到地的距离为            时，总运费最低． 四、解答题（共2小题） 15.（2025-2026·陕西高一期末）已知函数，且，. （1）求a和b的值； （2）判断在上的单调性，并根据定义证明. 16.（2025-2026·浙江嘉兴高一上期中）已知函数. (1)当时，求函数在区间上的值域； (2)求在区间上的最小值的表达式. 学科网（北京）股份有限公司 $