4.3.2　对数的运算 同步练 2026-2027学年 高中数学 高一上学期 人教A版 必修第一册

**基本信息** 练习围绕“对数的运算”，分基础、中档、提升三层，覆盖从单一运算法则到实际应用的进阶路径，适配新授课知识巩固与数学思维培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（1-8题）|对数基本运算法则（加减、换底公式）|单选多选结合，聚焦概念辨析与简单运算，培养符号意识| |中档层（9-12题）|对数性质综合应用（如lg x-lg y转化）|填空题强化运算能力，衔接方程思想，发展推理意识| |提升层（13-16题）|实际情境应用（科赫曲线分形维数）|解答题融合跨学科背景，培养数学应用与创新意识|

4.3.2　对数的运算 1. log28＋log2等于(　C　) A. B. 3 C. D. 3＋ 【解析】原式＝log223＋log2＝3＋log2＝3＋. 2. 等于(　B　) A. B. 2 C. D. 【解析】原式＝log39＝log332＝2log33＝2. 3. 若lg x－lg y＝t，则lg－lg 等于(　A　) A. 3t B. t C. t D. 【解析】lg－lg＝3lg－3lg＝3lg＝3(lg x－lg y)＝3t. 4. 已知lg 2＝a，lg 3＝b，则用a，b表示lg 15为(　A　) A. b－a＋1 B. b(a－1) C. b－a－1 D. b(1－a) 【解析】lg 15＝lg(3×5)＝lg 3＋lg 5＝lg 3＋lg＝lg 3＋1－lg 2＝b－a＋1. 5. 计算：lg 4＋lg等于(　C　) A. 0 B. 6 C. －1 D. 【解析】lg 4＋lg＝lg－2＝lg 10－2＝1－2＝－1. 6. 已知2x＝3，log25＝y，则x＋y等于(　A　) A. log215 B. log2 C. log2 D. log310 【解析】由已知x＝log23，x＋y＝log23＋log25＝log215. 7. (log312－2log32)等于(　B　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【解析】log64＋log63＝log6＋log63＝log62＋log63＝log66＝1，log312－2log32＝log312－log34＝log33＝1，∴(log312－2log32)＝1. 8. (多选)设f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，对于任意的正实数x，y，都有(　BD　) A. f(xy)＝f(x)·f(y) B. f(xy)＝f(x)＋f(y) C. f D. f＝f(x)－f(y) 【解析】由对数运算法则f(xy)＝loga(xy)＝logax＋logay，∴f(xy)＝f(x)＋f(y)， f＝loga＝logax－logay，∴f＝f(x)－f(y). 9. (多选)已知x，y为正实数，则下列等式中，成立的有(　CD　) A. 2ln x＋ln y＝2ln x＋2ln y B. 2ln (x＋y)＝2ln x·2ln y C. 2ln x·ln y＝(2ln x)ln y D. 2ln (xy)＝2ln x·2ln y 【解析】根据指数与对数的运算性质可得2ln (xy)＝2ln x＋ln y＝2ln x·2ln y，2ln x·ln y＝，C，D正确，A，B错误. 10. 若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则ab＝　100　.  【解析】∵lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，∴由根与系数的关系得lg a＋lg b＝2，∴lg (ab)＝2，∴ab＝100. 11. 计算：＋lg 25－lg ＝　π＋1　.  【解析】＋lg 25－lg ＝π－3＋3＋lg＝π＋1. 12. 设alog34＝2，则4－a＝ 　.  【解析】∵alog34＝2，∴log34a＝2，∴4a＝32＝9，则4－a＝. 13. (2024·镇江高一检测)设x＝logaM，y＝logaN(a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0)，试用x，y表示loga. 解：∵x＝logaM，y＝logaN，∴由对数的运算性质可得loga＝logaM3－loga＝logaM3－loga＝3logaM－logaN＝3x－y. 14. (2024·济南中学高一检测)计算下列各式的值： (1)log535＋2lo－log5－log514； (2). 解：(1)原式＝log535＋2lo＋log550－log514＝log5＋lo2＝log553－1＝2. (2)原式＝＝＝－. 15. 已知lg a和lg b是关于x的方程x2－x＋m＝0的两个根，而关于x的方程x2－(lg a)·x－(1＋lg a)＝0有两个相等的实数根，则实数a＝ 　，b＝　 1 000　， m＝　－6　.  【解析】由题意可得 解得故a＝，b＝1 000，m＝－6. 16. (2024·海淀区高一期末)科赫(Koch)曲线是几何中最简单的分形曲线.科赫曲线的产生方式如下：如图所示，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级科赫曲线“”，将1级科赫曲线上每一条线段重复上述步骤得到2级科赫曲线，同理可得3级科赫曲线……在分形中，一个图形通常由N个与它的上一级图形相似，且相似比为r的部分组成.若rD＝，则称D为该图形的分形维数.那么科赫曲线的分形维数是　2log32　.  【解析】由题意Koch曲线是由全体缩小为原来的的4个相似图形构成的， ∵，即3D＝4，则D＝log34＝2log32，∴分形维数是D＝2log32. 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3.2　对数的运算 1. log28＋log2等于(　 　) A. B. 3 C. D. 3＋ 2. 等于(　 　) A. B. 2 C. D. 3. 若lg x－lg y＝t，则lg－lg 等于(　 　) A. 3t B. t C. t D. 4. 已知lg 2＝a，lg 3＝b，则用a，b表示lg 15为(　 　) A. b－a＋1 B. b(a－1) C. b－a－1 D. b(1－a) 5. 计算：lg 4＋lg等于(　 　) A. 0 B. 6 C. －1 D. 6. 已知2x＝3，log25＝y，则x＋y等于(　 　) A. log215 B. log2 C. log2 D. log310 7. (log312－2log32)等于(　 　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 8. (多选)设f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，对于任意的正实数x，y，都有(　 　) A. f(xy)＝f(x)·f(y) B. f(xy)＝f(x)＋f(y) C. f D. f＝f(x)－f(y) 9. (多选)已知x，y为正实数，则下列等式中，成立的有(　 　) A. 2ln x＋ln y＝2ln x＋2ln y B. 2ln (x＋y)＝2ln x·2ln y C. 2ln x·ln y＝(2ln x)ln y D. 2ln (xy)＝2ln x·2ln y 10. 若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则ab＝　 　.  11. 计算：＋lg 25－lg ＝　 　.  12. 设alog34＝2，则4－a＝ 　 .  13. (2024·镇江高一检测)设x＝logaM，y＝logaN(a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0)，试用x，y表示loga. 14. (2024·济南中学高一检测)计算下列各式的值： (1)log535＋2lo－log5－log514； (2). 15. 已知lg a和lg b是关于x的方程x2－x＋m＝0的两个根，而关于x的方程x2－(lg a)·x－(1＋lg a)＝0有两个相等的实数根，则实数a＝  　，b＝　 　， m＝　 　.  16. (2024·海淀区高一期末)科赫(Koch)曲线是几何中最简单的分形曲线.科赫曲线的产生方式如下：如图所示，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级科赫曲线“”，将1级科赫曲线上每一条线段重复上述步骤得到2级科赫曲线，同理可得3级科赫曲线……在分形中，一个图形通常由N个与它的上一级图形相似，且相似比为r的部分组成.若rD＝，则称D为该图形的分形维数.那么科赫曲线的分形维数是　 　.  学科网（北京）股份有限公司 $