4.3.2 对数的运算(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

4.3.2　对数的运算 1.若lg a－2lg 2＝1，则a＝（　　） A.4 B.10 C.20 D.40 2.若lg x－lg y＝t，则lg －lg ＝（　　） A.3t B.t C.t D. 3.计算（log312－2log32）＝（　　） A.0 B.1 C.2 D.4 4.＋＝（　　） A.lg 3 B.－lg 3 C. D.－ 5.某化工厂生产一种溶液，按市场需求，杂质含量不能超过0.1%.若初始时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，要使产品达到市场要求，则至少应过滤的次数为（已知：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1）（　　） A.6 B.7 C.8 D.9 6.〔多选〕设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（　　） A.logab·logcb＝logca B.logab·logca＝logcb C.2lg a＋2lg b＝2lg ab D.2lg ab＝2lg a·2lg b 7.设alog34＝2，则4－a＝　　　　. 8.已知m＞0且10x＝lg（10m）＋lg ，则x＝　　　　. 9.若a＝log23，b＝log32，则a·b＝　　　　，lg a＋lg b＝　　　　. 10.计算下列各式的值： （1）log535＋2lo－log5－log514； （2）（log2125＋log425＋log85）·（log52＋log254＋log1258）. 11.已知lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则＝（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 12.设a，b，c为正数，且满足a2＋b2＝4c2，则log2＋log2＝　　　　. 13.解下列方程： （1）lg x＋2log10xx＝2； （2）＝（a＞0且a≠1）. 14.20世纪30年代，里克特和古登堡提出了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lg A－lg A0，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪与实际震中的距离造成的偏差）. （1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，试计算这次地震的震级；（精确到0.1，其中lg 2≈0.301） （2）5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？（精确到1，其中102.6≈398.1）. 15.〔多选〕已知3a＝5b＝15，则a，b满足的关系是（　　） A.ab＞4 B.a＋b＞4 C.a2＋b2＜4 D.（a＋1）2＋（b＋1）2＞16 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3.2　对数的运算 1.D　∵lg a－2lg 2＝lg a－lg 4＝lg ＝1，∴＝10，∴a＝40.故选D. 2.A　lg－lg＝3lg －3lg ＝3lg＝3（lg x－lg y）＝3t. 3.B　log64＋log63＝log6＋log63＝log62＋log63＝log66＝1，log312－2log32＝log312－log34＝log33＝1，则原式＝1. 4.C　原式＝lo＋lo＝lo＋lo＝lo＝log310＝. 5.C　设至少需要过滤n次，则2%×≤0.1%，即≤.所以nlg ≤lg ，即n（lg 2－lg 3）≤－lg 20，即n≥＝≈7.4.又n∈N，所以n≥8.所以至少过滤8次才能使产品达到市场要求，故选C. 6.BD　log24·log164＝2×＝1≠log162＝，因而A错误；logab·logca＝·＝＝logcb，因而B正确；故D正确，C错误. 7.　解析：因为alog34＝2，则log34a＝2，则4a＝32＝9，则＝＝. 8.0　解析：lg（10m）＋lg ＝lg 10＋lg m＋lg ＝1，所以10x＝1＝100，所以x＝0. 9.1　0　解析：因为a＝log23，b＝log32，则a·b＝·＝1，lg a＋lg b＝lg ab＝lg 1＝0. 10.解：（1）原式＝log535＋log550－log514＋2lo＝log5＋lo2＝log553－1＝2. （2）法一　原式＝（log253＋＋）·＝ ＝log25·3log52 ＝13log25·＝13. 法二　原式＝· ＝· ＝·＝13. 11.B　由题意得lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝，则＝（lg a－lg b）2＝（lg a＋lg b）2－4lg a·lg b＝22－4×＝2. 12.1　解析：原式＝log2＋log2＝log2（·）＝log2＝log2＝log2＝log22＝1. 13.解：（1）方程中的x应满足x＞0且x≠， 原方程可化为lg x＋＝2，所以（lg x）2＋lg x－2＝0. 令t＝lg x，则t2＋t－2＝0，解得t＝1或t＝－2， 即lg x＝1或lg x＝－2.所以x＝10或x＝. 经检验，x＝10，x＝都是原方程的解. （2）两边取对数得，（logax）2＝2logax－1，即（logax）2－2logax＋1＝0， 所以logax＝1，解得x＝a. 14.解：（1）M＝lg 20－lg 0.001＝lg ＝lg 20 000＝lg 2＋lg 104≈4.3. 因此，这是一次约为里氏4.3级的地震. （2）由M＝lg A－lg A0可得M＝lg ，则＝10M，即A＝A0·10M. 当M＝7.6时，最大振幅A1＝A0·107.6， 当M＝5时，最大振幅A2＝A0·105， 所以两次地震的最大振幅之比是＝＝107.6－5＝102.6≈398. 因此，7.6级地震的最大振幅大约是5级地震的最大振幅的398倍. 15.ABD　因为3a＝5b＝15，所以a≠b，a＝log315，b＝log515，所以log153＝，log155＝，所以＋＝1.由≤≤≤，可得ab＞4，a＋b＞4，a2＋b2＞8，所以（a＋1）2＋（b＋1）2＝a2＋2a＋1＋b2＋2b＋1＞18＞16.故选A、B、D. 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $