精品解析：江苏常州市2025-2026学年高二第二学期期末考试数学试卷

2025—2026学年高二第二学期期末考试试卷 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则集合中元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】由于,所以集合中元素个数为 2. 已知a，b为实数，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分，必要条件的定义判断即可得结论. 【详解】由，可得且， 则由“”可得“”， 但是不能由“”得到“”，因为b可能为0， 则“”是“”的必要不充分条件． 故选：B. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由于，所以， 则 4. 已知函数是偶函数，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用偶函数的定义即可求解. 【详解】已知函数的定义域为， 所以 ， 又因为函数是偶函数，所以，解得，故C正确. 5. 已知幂函数的图象不经过原点，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】先根据幂函数的定义求出的可能取值，再结合图象不过原点的约束筛选出符合条件的，最后代入计算函数值即可. 【详解】由题意可得，解得或， 当时，，此时图象不经过原点，符合题意； 当时，，此时图象经过原点，不符合题意； 所以，. 6. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将函数单调递增转化为导函数非负恒成立，分离参数后构造辅助函数，通过导数判断单调性确定函数上界，进而得到参数的取值范围. 【详解】函数的定义域为，求导得. 由在上单调递增，得对任意恒成立，整理得. 设，，求导得，故在上单调递增. 因此，要使在上恒成立，需. 7. 两个相互啮合的齿轮，大轮有60齿，小轮有45齿．已知大轮的转速为（转/分钟），小轮圆周的半径为，那么小轮圆周上一点每转过的弧长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过大轮的转速，得到小轮的转速，从而求出小轮上每一点的转速，再根据弧长公式计算可得. 【详解】大轮有60齿，小轮有45齿，当大轮转动一周时小轮转动周， 当大轮的转速为时，小轮转速为， 小轮周上一点每1s转过的弧度数为：. 又小轮的半径为，所以小轮周上一点每1s转过的弧长为：. 8. 已知锐角满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由和差化积公式结合题设可得：，然后 结合为锐角，二倍角的正切公式可得答案. 【详解】因， 可得， 则， 得到，又结合为锐角， 可得，从而， 得到， 结合，可得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 数集，，，满足等式，下列对应是函数的有（ ） A. ，其中， B. ，其中， C. ，其中， D. ，其中， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，结合指数函数、对数函数的定义域与值域，判断对应关系是否满足“定义域内任意元素在陪域中都有唯一确定元素与之对应”的要求即可 【详解】由题设等式得，其反函数为： 其中的定义域为，值域为；的定义域为，值域为， 对于A，定义域为，对任意，都有唯一确定的，满足函数定义，是函数，故A正确； 对于B，定义域为，对任意，都有唯一确定的，满足函数定义，是函数，故B正确； 对于C，定义域为，当时无意义，不存在对应的，不满足函数定义，不是函数，故C错误； 对于D，定义域为，对任意，都有唯一确定的，满足函数定义，是函数，故D正确； 10. 已知函数的图象关于直线轴对称，则（ ） A. 在上单调递减 B. 在内有2个极值点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 【答案】AC 【解析】 【分析】 直接利用函数的对称性求出函数的关系式，根据余弦函数的单调性即可判断A；根据极值点的定义即可判断B；根据余弦函数的对称性即可判断C；根据导数的几何意义即可判断D. 【详解】由题意得，所以，即，又， 所以，故， 对于A，当时，，因为在单调递减，而，故A正确； 对于B，当时，，由余弦函数的图象知有一个极值点，故B不正确； 对于C，当时，，所以是曲线的对称中心，故C正确； 对于D，设切点，令， 得，或， 从而得或， 将和代入可得点的坐标和， 将点代入直线方程验证知均不在直线上，故D不正确. 11. 已知函数的定义域为，且，，，则（ ） A. 为奇函数 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A,先令 ，求得，再令，可得，即可判断；对于B，令代入求解后，即可判断；对于C，令，代入求解后即可判断；对于D，通过计算可得函数是周期函数，最小正周期为，由此求解即可. 【详解】对于A,令 ，得，解得， 令，得， 即， 所以或， 当时，令，得与矛盾，故舍去; 所以， 即， 所以为奇函数，故A正确； 对于B，因为，， 所以， 即，解得，故B错误； 对于C，令， 得 所以，故C正确； 对于D，令， 得， 解得， 令，则， 所以，解得， ，解得； 令， 得，解得； ，解得； 所以函数是周期函数，最小正周期为， 又 ， 所以 ，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，若，则实数________． 【答案】 10 【解析】 【分析】根据对数的计算公式即可求解. 【详解】由题意，故. 13. 已知函数的部分图象如下图所示，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据图象求得的解析式，然后计算即可. 【详解】由图象可得，，，. . 又的图象经过，，得. . . 14. 已知，，若，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意，，则， 令，， 则， 等号成立时，即，， 故的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）若，求不等式的解集； （2）若，，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由二次不等式解法结合题设可得答案； （2）由题可得，然后由函数单调性结合题设可得答案. 【小问1详解】 当，，则不等式解集为； 【小问2详解】 ，因，则. 要使时，，则.因均在上单调递增， 则在上单调递增，从而，即. 16. 已知角的终边经过点． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先根据三角函数定义求出，再根据二倍角公式求出，最后利用正切的两角和公式求出答案. （2）先求出，再利用同角三角函数关系式求出，然后分两种情况计算. 【小问1详解】 已知角的终边经过点，. ，. 【小问2详解】 已知角的终边经过点，，. ，. . 当时，. 当时，. 综上，或. 17. 已知函数为奇函数． （1）求实数的值; （2）设函数． ①求的值： ②证明函数的图象关于点对称． 【答案】（1）； （2）①； ②证明：因为，其定义域为， 所以， 所以， 所以函数的图象关于点对称． 【解析】 【分析】（1）由定义域关于原点对称，得，再代入检验即可； （2）①由题意可得，将代入求解即可； ②证明即可. 【小问1详解】 因为为奇函数， 由，得， 即， 当时，得，定义域为，不满足题意； 当时，由，得， 又因为是奇函数， 故定义域关于原点对称， 所以， 解得； 当时，， 定义域为，关于原点对称， 且，满足题意； 所以； 【小问2详解】 ①因为， 所以； ②略； 18. 已知函数． （1）若的最小正周期为，求的值； （2）若在区间上单调递增，求的取值范围； （3）已知实数，满足，若对任意满足此条件的，若关于的方程在区间内至少存在2026个不同的实数解，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正切型函数的周期公式求解； （2）依题意由，有，可求的取值范围； （3）依题意可知至少包含2025个周期，则有，求解的取值范围即可. 【小问1详解】 函数的最小正周期为， 解得. 【小问2详解】 时，， 若在区间上单调递增，则有，解得， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 方程，解得，即， 若关于的方程在区间内至少存在2026个不同的实数解， 则在区间内至少存在2026个不同的实数解，至少包含2025个周期， 由，得，所以， 所以的取值范围为. 19. 已知函数． （1）若，求的极值； （2）讨论函数的单调性； （3）是否存在实数，使得的两个零点互为相反数？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）极大值为，极小值为. （2）时，在上单调递减，在单调递增； 时，在和上单调递增，在上单调递减； 时，在R上单调递增； 时， 在和上单调递增，在上单调递减. （3）不存在满足条件的a，理由如下： 假设存在实数a，使得的两个零点互为相反数，设两个零点为和， 则有：， 两式相减消去参数a，得， 令， 求导得，对任意，恒成立， 仅在处导数为0，故在R上单调递增， 又，因此仅有唯一解， 但时，与零点定义矛盾，故不存在满足条件的a. 【解析】 【分析】（1）利用导数求的极值； （2）讨论a的取值范围，利用导数求函数的单调性； （3）假设存在满足条件的a，利用零点的定义得出矛盾. 【小问1详解】 当时，， 对函数求导得：， 解得或；解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 则的极大值为，极小值为. 【小问2详解】 ， 对求导得， 当时，恒成立， 时，单调递减；时，单调递增， 当时，令得或， ①若，则， 时，单调递增； 时，单调递减； 时，单调递增； ②若，则，恒成立，在R上单调递增； ③若，则， 时，单调递增； 时，单调递减； 时，单调递增； 综上所述，时，在上单调递减，在单调递增； 时，在和上单调递增，在上单调递减； 时，在R上单调递增； 时， 在和上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年高二第二学期期末考试试卷 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则集合中元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 2. 已知a，b为实数，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数是偶函数，则实数（ ） A. B. C. D. 5. 已知幂函数的图象不经过原点，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 两个相互啮合的齿轮，大轮有60齿，小轮有45齿．已知大轮的转速为（转/分钟），小轮圆周的半径为，那么小轮圆周上一点每转过的弧长是（ ） A. B. C. D. 8. 已知锐角满足，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 数集，，，满足等式，下列对应是函数的有（ ） A. ，其中， B. ，其中， C. ，其中， D. ，其中， 10. 已知函数的图象关于直线轴对称，则（ ） A. 在上单调递减 B. 在内有2个极值点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 11. 已知函数的定义域为，且，，，则（ ） A. 为奇函数 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，若，则实数________． 13. 已知函数的部分图象如下图所示，则________． 14. 已知，，若，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）若，求不等式的解集； （2）若，，求的取值范围． 16. 已知角的终边经过点． （1）求的值； （2）若，求的值． 17. 已知函数为奇函数． （1）求实数的值; （2）设函数． ①求的值： ②证明函数的图象关于点对称． 18. 已知函数． （1）若的最小正周期为，求的值； （2）若在区间上单调递增，求的取值范围； （3）已知实数，满足，若对任意满足此条件的，若关于的方程在区间内至少存在2026个不同的实数解，求的取值范围． 19. 已知函数． （1）若，求的极值； （2）讨论函数的单调性； （3）是否存在实数，使得的两个零点互为相反数？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $