江苏省连云港市灌南县2025-2026学年高二第二学期期末学业水平质量监测数学试题

**基本信息** 高二期末数学试卷聚焦知识综合与核心素养，涵盖集合、复数、概率、立体几何等，解答题如概率分布列、函数单调性、双曲线综合及立体几何证明与体积存在性问题，体现数学思维与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、复数、概率基础|如焊接点断路种数考查逻辑推理| |多选|3/18|立体几何、概率|正方体中点线面关系考空间观念| |填空|5/15|统计、立体几何|独立性检验考数据意识| |解答|5/77|数列、概率分布列、函数导数、双曲线、立体几何|会员满意度调查考模型应用，立体几何面面垂直与体积存在性考推理运算|

2025-2026学年度高二第二学期期末学业水平质量监测 数学试题 注意事项 1.本试卷共4页，满分为150分，考试时间为120分钟。考试结束后,请将答题卡交回。 2.答题前，请务必将自己的姓名、考试号等用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置。 3.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 一、单项选择题：共8小题，满分40分。 1．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则的虚部为（    ） A．i B． C．1 D． 3．如图所示，在A，B间有四个焊接点1，2，3，4，若某焊接点脱落，则此处断路，则焊接点脱落导致电路不通的情况的种数为（   ） A．11 B．13 C．15 D．17 4．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（   ） A． B． C． D． 5．的展开式中常数项为（    ） A． B．20 C． D．15 6．某研究所研究耕种深度（单位：）与一种农作物每公顷产量（单位：）的关系，所得数据资料如下表： 耕种深度 2 3 5 6 每公顷产量 m 5 7 8 发现与之间具有线性相关关系，其经验回归方程为，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 7．某地区举办大型文艺演出时，举办方为防止观众携带危险物品进场，使用安检门进行辅助检测.根据相关统计，任一观众可能携带危险物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实携带危险物品进入的概率为（    ） A． B． C． D． 8．在空间直角坐标系中，经过点，且以为法向量的平面方程为.若平面的方程化简为，直线的方向向量为，则直线与平面的所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：共3小题，满分18分。 9．设m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 10．近期，我市花果山景区在端午节期间推出两种游玩套餐，已知某游客第一次选择两种游玩套餐的概率分别为和，若该游客第一次选择套餐，则第二次选择套餐的概率为；若该游客第一次选择套餐，则第二次选择套餐的概率为，则下列说法正确的是（   ） A．该游客第一次选择套餐，第二次也选择套餐的概率为 B．该游客第一次选择套餐的概率比第二次选择套餐的概率小 C．若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为 D．若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为 11．设正方体的棱长为2，点分别为棱的中点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．直线与所成角的余弦值为 C．点到平面的距离为 D．三棱锥的外接球的表面积为 三、填空题：共5小题，满分15分。 12．已知随机变量，且，则__________. 13．某传媒公司针对“社交电商用户是否存在性别差异”进行调查，共调查了个人，得到下侧列联表.已知，若根据的独立性检验认为“社交电商用户存在性别差异”，则的最小值为__________. 是社交电商用户 不是社交电商用户 合计 男性 女性 合计 参考公式：，其中. 14．在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为_____. 四、解答题：共5大题，满分77分。 15．（13分）已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 16．（15分）某会员店的本地会员占70%，外地会员占30%．现对该店会员开展商品质量满意度调查，如果会员是本地会员，他对该店商品质量满意的概率为；如果会员是外地会员，他对该店商品质量满意的概率为．每个会员对该店商品质量满意与否相互独立． (1)从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率； (2)从该店所有会员中随机抽取3名会员，记这3名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望． 17．（15分）已知函数，其中. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数的图像上存在两点，，使得曲线在两点处的切线互相平行，且线段的中点在上，求的取值范围. 18．（17分）已知双曲线：的离心率为2，左､右顶点分别为，，右焦点到其中一条渐近线的距离为.过的直线与双曲线交于，两点，直线，交于点，直线，交于点，设点为中点. (1)求双曲线的标准方程； (2)求直线的方程； (3)试证明为定值 19．（17分）如图，四棱台的底面为正方形，侧面为等腰梯形，，，为的中点． (1)证明：平面平面； (2)求平面和平面夹角的余弦值． (3)在上是否存在一点，使的体积为，若存在，求与平面所成角的正弦值，若不存在，请说明理由. 高二数学试题 第1页 共3页 高二数学试题 第1页 共3页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年度高二第二学期期末学业水平质量监测 数学参考答案 一、 单项选择题：共8小题，满分40分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D B C A A B D 一、 多项选择题：共3小题，满分18分. 题号 9 10 11 答案 BD BCD AC 三、填空题：共5小题，满分15分. 12.0.1 13.3 14.7v3 13 四、解答题：共5大题，满分77分、 15.()Q=,aeN)两边取倒数得。 2a+1.1+2. an+l anan 即1-2，又a=2,所以22 11 an an 从而 aj 为首项为，公差为2的等差数列， 所以分2-=2 11 ，故1、2 2m-34n-3, 2 4 11 (2)b。=a。an(4n-3)(4n+1)4n-34n+1' 所以5，=6+6++h,=1-+ +t,11 -1、1 4n 55 4n-34n+14n+14n+1 16.(1)设事件A表示“随机抽取1名会员对该店商品质量满意”，事件B,表示 “抽取的会员是本地会员”，事件B2表示“抽取的会员是外地会员” 因为本地会员占70%外地会员占3%，A)名PB)高 3 101 本地会员对该店商品质量满意的概率为)，外地会员对该店商品质量满意的概率 为蓉，P(4B)-P(4,)广各 0=Ps)P(46+P)P(4)广7号高8 3 即该店所有会员中随机抽取1名会员，其对该店商品质量满意的概率为 (2)由题意，X可取0,1,2,3. P=0=Gx0- 64 PX-D-Cx3xd-3)-9 4 4 PX-2)=Cxx-3-2 7 64 P(X=3)-Cix(- 4 .X的分布列为 X 0 1 2 3 1 9 27 27 D 64 64 64 64 EX0=3x3-9 441 17.()函数f=)2-(a+1r+unx,定义域为0，o),a>0. 2 当a=1时，)-2x+nx求导得/到=x-2+片 2 优入x=1,0=2=多70=1-21=0 切线斜率为0。切线方程为=多》 (2)求导得f'a)=x-a+)+a-r-a+x+a_c-1x-@ 令f'(x)=0,得x=1或x=a(a>0) ①当0<a<1时：xe(0,a)时，f'()>0,f)单调递增， x∈(a,)时，f'(x)<0,f(x)单调递减： x∈(1，+o)时，f'(x)>0,f(x)单调递增， ②当a=1时：)=《-少≥0，f)在0，o)上单调递增 ③当a>1时：x∈(0，)时，f()>0,f(x)单调递增 x∈(L,a)时，f'(x)<0,f(x)单调递减： x∈(a,+oo)时，'(x)>0,f(x)单调递增. 综上所述，当0<a<1时，f(x)在(0，a),(L,+oo)上单调递增，在(a,1)上单调递减 当a=1时，f(x)在(0，+o∞)上单调递增 当a>1时，f(x)在(0，)，(a,+oo)上单调递增，在(L,a)上单调递减. (3)由题意，A,B处切线平行，故(x)=f'(x). 即-a++号a++号，整理得-西=a 1 又4B中点在空上，故=空生.即+5=e+1 2 于是x,x2是方程2-(e+1)t+a=0的两个根，题干等价于二次方程有两个不等正根. △=(e+1)2-4a>0, 所以满足条件：xx2=a>0. 解得0<生放：的取值花围是 (e+l) ，4 x+x2>0 80曲题盒可得。c=后之，46，。-0+ a 解得a=1,b=3,c=2. 数双曲线E的标准方程为子二1 (2)由(1)知，A(-1,0),B(1,0,F(2,0). 设过F的直线CD方程为x=my+2,C(x,y),D(:,2). -号-1.整理得r-少+12w+9-0, 联立3 (x=my+2 则以+2= 12m 9 3m2-1’y-3m2- 直线4C方程为c+).直线8D方程为y产-少. 联立解得 x=+1-1-y--⅓(G+_-4(+少-⅓(m+3).-my-y-myy2-3y y1 y2 (x2-1)-y2(x+1)(my2+1)-y2(y,+3)myy2+y-yy2-3y2 x1+1x2-1 9 12m -2m-32.20*3m+为-3那32水-1 6m y-3y2 12m 3m2-1乃-3y -22m-42 3m2-1 即点M的横坐标为).同理可得，点N的横坐标为) 所以直线MN的方程为x=2 由知，小.小则店 将代入直线4C方程女+巾，可得号品2款- 34 3y3 3y2 同理可得2+12(+3)’ 所以M+yw 3y 3y2 6m1yy2+9(y+y2】 2(my+3)2(my2+3)2[m2yy2+3m(y+2)+9] 9 12m 6m. 3m2-1 +9 54m 3m2-1 9 3m21*3m 2m2. 12m -3m2-1=3m, 18 即 3m21+9 3m2-1 3y 3y2 9(y-2) u-=2(my,+3）2(m+3)2my4+3m(0y+2)+9] 02.-） 18 3m2-1 12m2 36m2+366 3m2-1V3m2-1y3m2-l m2+1, mi-G-2(-0-2+刊-m, MN 3m2+1 所以F73m+1 =2 19.(①)证明：由题可知DE=AD=2,所以ED=V,DD=3, 所以ED=D,D2+DE2，所以EDID,D,即AD⊥D,D 又四边形ABCD是正方形，所以AD 1 DC, 又D,DnDC=D,DC,D,Dc平面DCCD, 所以ADI平面DCC,D, 又ADc平面ABCD,故平面DCCD,⊥平面ABCD; (2)过点D作直线Dz⊥平面ABCD,以D为坐标原点建立如图坐标系， 过D作D,F⊥DC, 因为平面DCCD⊥平面ABCD,平面DCC,DO平面ABCD=CD, 所以D,F⊥平面ABCD,所以D,F为四棱台ABCD-A,B,CD的高， ZA D D:: 又F-cD-C-4-2a=1,所以aF-D-0F-22. 则D,(0,1,2V2),A(4,0,0,B(4,4,0),C1(0,3,22), 所以DD=(0,1,2√2)，DA=(4,0,0),DB=(4,4,0),DC1=(0,3,2V2), 设平面ADDA的一个法向量为n=(x,,2), 则由 - 4x=0 令z=1,所以n=(0,-2W2,1), 设平面BDC的一个法向量为m,=(a,b,c), DBn=0 「4a+4b=0 则由 得 DC%=0' 3b+2√2c=0' 令a=22,得BDC平面的一个法向量为m=(22,-22,3), 设平面ADD,A和平面BDC的夹角为B, 则cos日=cos(n,n2》 n1n211 r n2 15 所以平面80C和平面D04夹组的余弦值为3 (③)假设在AD上存在一点G,使G-BDC,的体积为4W2 3 设G(t,0,0)0≤1≤4)， 所以em=ow-S.wDF-吉对x25-4 3 解得t=1,所以G(L,0,0),GB=(3,4,0), 由(2)可知BDC平面的一个法向量为m,=(2V2,-22,3), 设直线BG与平面BDC所成角为a, 则sina=cos(BG,m》 BG·n2 22 BG n2 25 所以在1D上存在一点G,使-BDC的体积为45，此时8G与平面0C所成角 的正弦值为22 52025-2026学年度高二第二学期期末学业水平质量监测 数学试题 注意事项 1.本试卷共4页，满分为150分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡交回。 2答题前，请务必将自已的姓名、考试号等用Q5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定 位置。 3.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指 定位置作答，在其他位置作答一律无效。 一、单项选择题：共8小题，满分40分。 1.若集合A=1,2,3},B=2-2x-3<0 ,则A∩B=() A.(1) B.{2,3} C.{,2} D.,2,3} 2.已知复数z满足- =i,则的虚部为() 1-i A.i B.-i C.1 D.-1 3.如图所示，在A,B间有四个焊接点1,2,3,4，若某焊接点脱落，则此处 断路，则焊接点脱落导致电路不通的情况的种数为() A.11 B.13 C.15 D.17 4.已知直线1的方向向量为u=(x,2,-1),平面a的法向量为n=(-2,y,2),若11a, 则x+y=() A.-5 B.-4 C.-3 D.-2 5. 的展开式中常数项为() A.-20 B.20 C.-15 D.15 6.某研究所研究耕种深度x(单位：Cm)与一种农作物每公顷产量y(单位：t) 的关系，所得数据资料如下表： 耕种深度x/cm 2 3 6 6 每公顷产量y/t m 5 7 P 发现y与x之间具有线性相关关系，其经验回归方程为=0.6x+3.6,则m=() A.4 B.6 C.8 D.10 高二数学试题第1页共4项 7.某地区举办大型文艺演出时，举办方为防止观众携带危险物品进场，使用安 检门进行辅助检测根据相关统计，任一观众可能携带危险物品的概率为，若观 众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有。的 概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众 确实携带危险物品进入的概率为() A号 B.号 C. D. 8.在空间直角坐标系中，经过点B(xo,2),且以u=(a,b,c)(abc≠0)为法向量的 平面a方程为a(x-x)+b(y-y)+c(z-z)=0.若平面a的方程化简为x+2y-z=3, 直线1的方向向量为(1,1,1)，则直线1与平面a的所成角的正弦值为() A. 3 B.6 C. 3 3 D.② 3 二、多项选择题：共3小题，满分18分。 9.设m,n为不同的直线，，B为不同的平面，则下列结论正确的是() A.若m/1a,n/1a,则m/1n B.若m1a,n1a,则m/1n C.若m/1a,mcB,则a/1B D.若m1a,n1B,m1n,则a⊥B 10.近期，我市花果山景区在端午节期间推出A,B两种游玩套餐，已知某游客第 一次选择4B两种游玩套餐的概率分别为和，若该游客第一次选择A套餐， 则第二次选择A套餐的概率为)；若该游客第一次选择B套餐，则第二次选择A套 餐的概率为，则下列说法正确的是() A。该游客第一次选择8套餐，第二次也选择B套餐的概率为 B.该游客第一次选择B套餐的概率比第二次选择A套餐的概率小 C.若该游客第二次选择A套餐，则他第一次选择A套餐的概率为 D,若该游客第一次选择B套餐，则他第一次择4套餐的概率为 11.设正方体ABCD-AB,C,D,的棱长为2，点E,F,G分别为棱DD,CD,CC的中点， 则下列说法正确的是() A.FG/I平面ABD B.直线AE与FG所成角的余弦值为30 10 C.点E到平面8FG的距离为 D.三棱锥R-DDG的外接球的表面积为？x 高二数学试题第2页共4项 三、填空题，共5小题，满分15分。 12.已知随机变量X~N(3,o2),且P0<X≤3)=0.4，则P(X≥6)= 13.某传媒公司针对“社交电商用户是否存在性别差异”进行调查，共调查了 40n(n∈N)个人，得到下侧列联表.已知xs=3.841,若根据a=0.05的独立性检验 认为“社交电商用户存在性别差异”，则的最小值为 是社交电商用户 不是社交电商用户 合计 男性 8n 12n 20n 女性 12n 8n 20n 合计 20n 20n 40n n(ad-be)2 参考公式：X=a+b)c+d)(a+c)b+d' 其中n=a+b+c+d. 14.在直三棱柱ABC-4BC中，∠ACB=,AC=2,BC=2,AM=3,点D是楼4C 的中点，点E在棱BB上运动，则点D到直线CE的距离的最小值为_一一」 四、解答题：共5大题，满分77分。 5.(3分)已知数列包)}满足a=2.几a2eN (1)求数列{an}的通项公式： (2)设b,=an·a+,求数列凸n}的前n项和Sn. 16.(15分)某会员店的本地会员占70%，外地会员占30%.现对该店会员开展 商品质量满意度调查，如果会员是本地会员，他对该店商品质量满意的概率为： 如果会员是外地会员，他对该店商品质量满意的概率为。·每个会员对该店商品 质量满意与否相互独立. (1)从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率； (2)从该店所有会员中随机抽取3名会员，记这3名会员中对该店商品质量满意的 人数为X,求X的分布列与数学期望. 高二数学试题第3页共4项 17.(15分)已知函数f()=)2-a+r+alh,其中a>0. (①)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(f)处的切线方程； (2)讨论函数f(x)的单调性； (③)若函数f(x)的图像上存在两点A(,f(:),B(,f(x):≠x),使得曲线 =f()在4B两点处的切线互相平行，且线段AB的中点在x=生上，求a的取 值范围. 18(17分)卫知双周线E:等若-=1@>06>0)的离心率为2，左、右顶点分别 为A,B,右焦点F到其中一条渐近线的距离为√5.过F的直线与双曲线E交于C, D两点，直线AC,BD交于点M,直线AD,BC交于点N,设点T为MN中点 (1)求双曲线E的标准方程： (2)求直线MN的方程； MN (3)试证明 为定值 19.(17分)如图，四棱台ABCD-AB,CD的底面为正方形，侧面DCCD为等腰 梯形，AB=2AB=4,ED:DD:DE=3:3:2,E为AD的中点. D (1)证明：平面DCC,D,⊥平面ABCD: (2)求平面BDC,和平面ADDA夹角的余弦值， 2上是否存在一点G,使G-BDC的体积为42，若存在，求BG与 所成角的正弦值，若不存在，请说明理由. 高二数学试题第4项共4项