精品解析：江苏省常州市2024-2025学年高二下学期期末质量调研数学试题

常州市2024－2025学年第二学期高二期末质量调研 数学 2025年6月 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. －5 B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数、对数运算性质即可求解. 【详解】. 故选：. 2. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的定义与单调性求解集合,然后求解交集. 【详解】由,则, 所以. 故选：C. 3. 已知扇形的圆心角为，半径为6，则该扇形的弧长为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将圆心角化为弧度制，根据扇形的弧长公式即可求解. 【详解】， 所以扇形的弧长为. 故选：. 4. 已知随机变量服从正态分布，若，则实数（ ） A. －2 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性可求实数的值. 【详解】因为， 故，故， 故选：D. 5. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，且侧面积之比为2，则母线长之比为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆柱的侧面积公式和圆锥的侧面积公式可求母线长之比. 【详解】设圆柱的母线长为，圆锥的母线长为，它们底面半径为， 由题意得，，故. 故选：B. 6. 已知函数，直线与曲线相切，则实数（ ） A. －3 B. －1 C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】设直线与曲线的切点横坐标为，根据导数的几何意义及两函数在切点处的函数值相等，列式即可求解. 【详解】， 设直线与曲线的切点横坐标为， 所以，且， 解得，. 故选：. 7. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】，根据基本不等式常数代换的解题方法求解即可. 【详解】，且， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立. 故选：. 8. 已知函数是定义在上的单调减函数，且函数是奇函数.若存在，使得不等式成立，则实数的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则原不等式可转化为，根据的奇偶性和单调性可得在上有解，利用参变分离及换元法可求的最大值. 【详解】设， 因为函数是奇函数， 则， 而即为：， 而为奇函数，故， 而是定义在上的单调减函数，故为上的单调减函数， 故即， 故在上有解即在上有解， 而，当且仅当时等号成立， 设，则当时，，故， 因为在为增函数，故，故， 当且仅当时等号成立，故， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，由复数的相关定义结合复数的运算，代入计算，即可得判断ABC的正误，利用反例可判断D的正误. 【详解】设， 对于A，因为， 则， 而，所以，故正确； 对于B，因为， 故， 故，故B正确； 对于C，因为，， 所以，， 且，所以， 所以， 因为不一定等于，所以错误； 对于D，取，则， 但无法比较大小，故错误； 故选：AB 10. 已知点在角的终边上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据三角函数的定义及诱导公式逐一分析即可. 【详解】对于：，所以， 平方得，解得，故错误； 对于：，故正确； 对于：，故正确； 对于：，故正确. 故选：. 11. 已知棱长为1的正方体的所有顶点都在以为球心的球面上，点是棱的中点，点是棱上的动点.则下列说法正确的有（ ） A. 若是棱的中点，则平面 B. 点到直线的距离的最小值为 C. 棱上存在点，使得 D. 若是棱的三等分点，则过的平面截球所得的截面面积最小为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，设的中点为，通过证明四边形为平行四边形，可证得平面；对于B，通过建系设点，利用空间点到线的距离公式可求最小值；对于C，利用向量的坐标表示出夹角，计算出当时，，即可判断；对于D，由题意可求，再利用球的截面问题可直接求截面面积的最小值. 【详解】如图，设的中点为，连接， 是中点，，且， 对于A，若是中点，，且， ，且，所以四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面，故A正确； 根据题意，以为原点，以直线所在方向分别为轴建立空间直角坐标系， 设，，，， 所以点到直线的距离， 即点到直线的距离的最小值为，故B错误； 对于C，，所以， 则，当时，，即， 所以棱上存在点，使得，故C正确； 对于D，当是棱的三等分点时，点或，球心， 所以，又正方体外接球半径， 所以截面所得圆的最小半径，其面积为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 写出命题“”的否定：_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题，写出其否定命题. 【详解】∵全称命题的否定是特称命题， ∴命题“”的否定是 故答案为： 13. 甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球、先从甲袋中随机取1个球放入乙袋，再从乙袋中随机取1个球，则该球是红球的概率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】考虑从甲袋中取出的球是白球还是红球，根据全概率公式，即可求得答案. 【详解】设A表示事件“从甲袋取出又放入乙袋中的球是白球”， 则表示事件“从甲袋中取出放入乙袋中的球是红球”， B表示事件“最后从乙袋中取出的球是红球”， 所以，， 故，， 故 ， 故答案为： 14. 已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题设化简可得，设，则，利用导数分析函数的单调性，进而将问题转化为恒成立，设，，进而利用导数分析函数的单调性，进而求解即可. 【详解】由，，， 则，则， 则，则， 设，则， 因为， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又，且时，， 则时，，即恒成立， 设，，则， 所以函数在上单调递减， 则，即，所以， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）已知函数在区间上的最小值为－4，求. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由一元二次不等式求解可得； （2）结合二次函数的对称轴和单调性分类讨论可得. 【小问1详解】 当时，， 所以，解得或， 所以不等式的解集为或. 【小问2详解】 开口向上，对称轴， 当即时，最小值为，解得， 又，所以舍去； 当即时，最小值为，解得， 又，所以舍去； 当即时，最小值为，解得， 综上，. 16. 甲、乙两人组队代表班级参加学校科技节的“水火箭”比赛，每轮比赛由甲、乙两人各发射火箭一次，在一轮比赛中，如果两人都射中，则得3分；如果只有一个人射中，则得1分；如果两人都没射中，则得0分.已知甲每轮射中的概率均为，乙每轮射中的概率均为.每轮比赛中甲、乙射中与否互不影响，各轮比赛的结果也互不影响. （1）若他们参加一轮比赛，求得分的概率分布列和数学期望； （2）若他们参加两轮比赛，求至少得3分的概率. 【答案】（1）分布列见解析，. （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，随机变量的可能取值为0，1 ，3由事件的独立性与互斥性，得到的分布列，根据期望公式求解； （2）利用对立事件的概率计算方法，求出总分小于3分的概率，计算即可得出结果. 【小问1详解】 的可能取值为，， . . . 所以得分的概率分布列为： 数学期望. 【小问2详解】 至少得3分的对立事件为总分小于3分，即总分为0、1、2. 总分得0分的概率为： 总分得1分的概率为： 总分得2分的概率为： 所以总分小于3分的概率为： 所以至少得3分的概率： 17. 已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且是函数图象的最高点. （1）求； （2）将的图象上的每一个点的横坐标变为原来的4倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的单调区间. 【答案】（1） （2）单调递增区间为，单调递减区间为. 【解析】 【分析】（1）根据相邻对称轴的距离得到，再根据最高点得到， . （2）由（1）可知函数的解析式，利用图象平移和伸缩的规律求解的解析式，最后根据的单调区间求得的单调区间. 【小问1详解】 因为是函数图象的最高点，所以. 已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则，所以周期. 所以，解得. 此时函数为， 因为是最高点，所以， 即，又因为，所以，. 【小问2详解】 由知， 将的图象上的每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）， 得到. 再向左平移个单位长度，得到. 令， 解得 ， 所以的单调递增区间为. 令， 解得 所以的单调递减区间为. 18. 在四棱锥中，已知，是等边三角形，点在棱上. （1）当时，求证：平面； （2）求点到底面的距离； （3）当时，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接AC与BD交于点E，连接ME，证明即可. （2）取的中点，连接，可证底面，计算求得长即可； （3）以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据已知求得，进而得出的坐标，求平面与平面的法向量，用空间向量公式即可求解. 【小问1详解】 连接交于点，连接， 因为，，所以，所以． 因为，所以， 所以，则在中，， 又因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 取的中点，连接，因为是等边三角形，所以， 因为，所以面，且面， 所以面底面，侧面底面， 所以底面，则点到底面的距离为， ，则，. 所以到底面的距离为. 【小问3详解】 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ， ，所以， 所以，所以， 则，则. 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 则平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 则平面的一个法向量为， 设平面与平面所成角为，. 19. 已知函数. （1）若在其定义域内单调递减，求实数的取值范围； （2）是否存在实数，使得函数为偶函数？若存在，求的值，若不存在，说明理由； （3）函数在区间上有且仅有一个极值点，求正数的取值范围. 【答案】（1） （2）存在； （3） 【解析】 【分析】（1）由导数小于零恒成立结合二次函数的性质可得； （2）由偶函数的性质比较系数可得； （3）换元令，求导后转化为在有且仅有一个变号零点，结合端点效应分析. 【小问1详解】 ，则， 因为在其定义域内单调递减，所以恒成立， 结合二次函数的性质，开口向下，令可得. 【小问2详解】 设存在， 则，即， 代入展开可得， 比较的系数可得，即， 验证其它项也满足，故. 【小问3详解】 ， 令，因为，所以， 则原函数可变为，则， 因为函数在区间上有且仅有一个极值点， 所以在上有且仅有一个极值点，即在有且仅有一个变号零点， ，， 所以， 所以正数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 常州市2024－2025学年第二学期高二期末质量调研 数学 2025年6月 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. －5 B. C. D. 5 2. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知扇形的圆心角为，半径为6，则该扇形的弧长为（ ） A. B. 5 C. D. 4. 已知随机变量服从正态分布，若，则实数（ ） A. －2 B. 1 C. 2 D. 3 5. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，且侧面积之比为2，则母线长之比为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 6. 已知函数，直线与曲线相切，则实数（ ） A. －3 B. －1 C. 1 D. 3 7. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5 8. 已知函数是定义在上的单调减函数，且函数是奇函数.若存在，使得不等式成立，则实数的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 10. 已知点在角的终边上，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知棱长为1的正方体的所有顶点都在以为球心的球面上，点是棱的中点，点是棱上的动点.则下列说法正确的有（ ） A. 若是棱的中点，则平面 B. 点到直线的距离的最小值为 C. 棱上存在点，使得 D. 若是棱的三等分点，则过的平面截球所得的截面面积最小为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 写出命题“”的否定：_____. 13. 甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球、先从甲袋中随机取1个球放入乙袋，再从乙袋中随机取1个球，则该球是红球的概率为_____. 14. 已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）已知函数在区间上的最小值为－4，求. 16. 甲、乙两人组队代表班级参加学校科技节的“水火箭”比赛，每轮比赛由甲、乙两人各发射火箭一次，在一轮比赛中，如果两人都射中，则得3分；如果只有一个人射中，则得1分；如果两人都没射中，则得0分.已知甲每轮射中的概率均为，乙每轮射中的概率均为.每轮比赛中甲、乙射中与否互不影响，各轮比赛的结果也互不影响. （1）若他们参加一轮比赛，求得分的概率分布列和数学期望； （2）若他们参加两轮比赛，求至少得3分的概率. 17. 已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且是函数图象的最高点. （1）求； （2）将的图象上的每一个点的横坐标变为原来的4倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的单调区间. 18. 在四棱锥中，已知，是等边三角形，点在棱上. （1）当时，求证：平面； （2）求点到底面的距离； （3）当时，求平面与平面所成角的余弦值. 19. 已知函数. （1）若在其定义域内单调递减，求实数的取值范围； （2）是否存在实数，使得函数为偶函数？若存在，求的值，若不存在，说明理由； （3）函数在区间上有且仅有一个极值点，求正数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $