5.7 三角函数的应用(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

5.7　三角函数的应用 1.B　周期为T＝＝6π，振幅为A＝，初相为. 2.D　由图象可得，ω＞0，T＝4×＝，即＝，则ω＝400π. 3.B　将t＝代入I＝5sin（100πt＋），得I＝2.5 A. 4.C　由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，知函数F（t）的单调递增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π].因为[10，15]⊆[3π，5π]，故选C. 5.BC　由题意知水轮上的点P到水面最大距离为r＋2，因为y＝Asin（ωx＋φ）＋2的最大值为A＋2，所以A＝r＝3，又因为水轮每分钟逆时针旋转4圈，ω＝＝，故选B、C. 6.ABD　由题图可知，＝0.7－0.3＝0.4，所以T＝0.8 s；最小值为－5，所以振幅为5 cm；在0.1 s和0.5 s时，质点到达运动的端点，所以速度为0. 7.1.09×10－8　9.15×107 解析：由题意可得，该载波的周期为T＝≈1.09×10－8（秒），频率为f＝＝9.15×107（Hz）. 8.1 s　解析：单摆来回摆动一次，即完成一个周期，因为s＝6sin（2πt＋）的最小正周期T＝＝1，所以单摆来回摆动一次所需的时间为1 s. 9.8　解析：因为n∈{1，2，3，…，12}，所以＋∈{，π，，，，，，2π，，，，}，所以当＋＝2π，即n＝8时，cos（＋）取最大值1，所以n＝8时，f（n）取最大值，又游客流量越大所需服务工作的人数越多，所以n＝8时，游客流量最大. 10.解：（1）把ω＝160π代入周期公式T＝，可得T＝＝（min）. （2）函数P（t）的频率f＝＝80（次/min），即此人每分钟心跳的次数为80. （3）此人的收缩压为115＋25＝140（mmHg），舒张压为115－25＝90（mmHg），与标准值120/80 mmHg相比较，此人血压偏高. 11.C　由y＝－sinx的图象知，要使在区间[0，t]上至少有2个波峰，必须使区间[0，t]的长度不小于2T－＝，即t≥·＝·＝7.故选C. 12.AC　由13－1＝17－5＝12，得T＝12×0.01＝0.12，所以ω＝＝.由＝＝9，可得当t＝0.09 s时，y取得最值.代入y＝Asin（t＋φ），可得sin（×0.09＋φ）＝±1，解得φ＝nπ，n∈Z，所以y＝Asin（t＋nπ），n∈Z.令y＝0，得t＋nπ＝mπ，m，n∈Z，则t＝0，0.06，0.12，0.18，…，所以小球正好处于平衡位置的所有照片的编号为6，12，18，…，故选A、C. 13.　解析：因为国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P（t）＝Asin（ωπt＋）＋60，最高油价80美元，所以A＝20.当t＝150时达到最低油价，即sin（150ωπ＋）＝－1，此时150ωπ＋＝2kπ－，k∈Z，因为ω＞0，所以令k＝1，得150ωπ＋＝2π－，解得ω＝.故ω的最小值为. 14.解：（1）因为4≤x≤16，所以≤x≤2π，－≤x－≤， 所以当x－＝－，即x＝6时函数取得最小值为－10＋20＝10（℃）， 当x－＝，即x＝14时函数取得最大值为10＋20＝30（℃）， 所以最大温差为30－10＝20（℃）. （2）令10sin（x－）＋20＝15，则sin（x－）＝－， 由于－≤x－≤，所以x－＝－，x＝. 令10sin（x－）＋20＝25，则sin（x－）＝， 由于－≤x－≤，所以x－＝，x＝. 所以该细菌的存活时间为－＝小时. 15.解：（1）由题图以及B，D两点的纵坐标可知a＝20－12＝8，由＝12可得T＝48，则ω＝＝. 由×24＋φ＝＋2kπ（k∈Z），解得φ＝＋2kπ（k∈Z），又0＜φ＜π，所以φ＝， 所以ABC段的函数表达式为y＝8sin（x＋）＋20＝8cos x＋20，x∈[0，24]. （2）由题意结合对称性可知，虚线DEF段的函数表达式为y＝8cos［（68－x）］＋20，x∈[44，68]. （3）由8cos［（68－x）］＋20＝24，解得x＝60，所以买入60－44＝16天后，股票至少是买入价的两倍. 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.7　三角函数的应用 1.函数y＝sin（x＋）的周期、振幅、初相分别是（　　） A.3π，， B.6π，， C.3π，3，－ D.6π，3， 2.（2025·永州期中）音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器（如图1），各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音.敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为y＝·sin ωt.图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定ω的值为（　　） A.200 B.400 C.200π D.400π 3.电流强度I（单位：A）随时间t（单位：s）变化的关系式是I＝5sin（100πt＋），t∈[0，＋∞），则当t＝ s时，电流强度I为（　　） A.5 A B.2.5 A C.2 A D.－5 A 4.（2025·张家港期中）商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，某节日期间某商场一天的人流量满足函数F（t）＝50＋4sin（t≥0），则人流量增加的时间段是（　　） A.[0，5] B.[5，10] C.[10，15] D.[15，20] 5.〔多选〕（2025·深圳期末）如图，一半径为3米的水轮，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟逆时针旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y（米）与时间x（秒）满足函数关系y＝Asin（ωx＋φ）＋2（A＞0），则有（　　） A.ω＝ B.A＝3 C.ω＝ D.A＝5 6.〔多选〕如图所示是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（　　） A.该质点的运动周期为0.8 s B.该质点的振幅为5 cm C.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大 D.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零 7.用作调频无线电信号的载波以y＝Asin（1.83×108πt）为模型，其中t的单位是秒，则此载波的周期为　　　　秒（保留3位有效数字），频率为　　　　 Hz. 8.如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的弧长s（cm）与时间t（s）的函数关系式为s＝6sin（2πt＋），那么单摆来回摆动一次所需的时间为　　　　. 9.函数f（n）＝200cos（n＋）＋300（n∈{1，2，3，…，12}，n为月份）近似表示某地每年各个月份从事旅游服务工作的人数，游客流量越大所需服务工作的人数越多，则可以推断，当n＝　　　　时，游客流量最大. 10.心脏跳动时，血压在增加或减小，血压的最大值、最小值分别称为收缩压、舒张压，血压计上的读数就是收缩压、舒张压，读数120/80 mmHg为标准值，设某人的血压满足方程式P（t）＝115＋25sin 160πt，其中P（t）为血压（mmHg），t为时间（min），试回答下列问题： （1）求函数P（t）的周期； （2）求此人每分钟心跳的次数； （3）求出此人的血压在血压计上的读数，并与标准值进行比较. 11.（2025·辽宁实验中学月考）有一冲击波，其波形为函数y＝－sinx的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰（图象的最高点），则正整数t的最小值是（　　） A.5 B.6 C.7 D.8 12.〔多选〕由物理学知识可知，图中弹簧振子中的小球相对平衡位置的位移y（cm）与时间t（s）的关系符合函数y＝Asin（ωt＋φ）（0＜ω＜100）.从某一时刻开始，用相机的连拍功能给弹簧振子连拍了20张照片.已知连拍的间隔为0.01 s，将照片按拍照时间的先后顺序编号，发现仅有第5张、第13张、第17张照片与第1张照片是完全一样的，则小球正好处于平衡位置的照片的编号可以是（　　） A.6 B.9 C.12 D.15 13.（2025·西安期中）国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P（t）＝Asin（ωπt＋）＋60（单位：美元）（A＞0，ω＞0），现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150（单位：天）时达到最低油价，则ω的最小值为　　　　. 14.已知某地一天从4时到16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin（x－）＋20，x∈[4，16].　 （1）求该地区这一段时间内温度的最大温差； （2）若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？ 15.投资市场中，投资者常根据股价（每股的价格）走势图来操作，股民老张在研究某只股票时，发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点：每日股价y（元）与时间x（天）的关系在ABC段可近似地用函数y＝asin（ωx＋φ）＋20（a＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象从最高点A到最低点C的一段来描述，并且从C点到今天的D点在底部横盘整理，今天也出现了明显的底部结束信号.老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线DEF段所示，且DEF段与ABC段关于直线l：x＝34对称，点B，D的坐标分别是（12，20），（44，12）. （1）请你帮老张确定a，ω，φ的值，并写出ABC段的函数表达式； （2）请你帮老张确定虚线DEF段的函数表达式，并指出此时x的取值范围； （3）如果老张预测准确，且在今天买入该只股票，那么最短买入多少天后，股价至少是买入价的两倍？ 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $