广东揭阳市榕城区真理中学2025-2026学年七年级下学期数学期末模拟复习试卷三

**基本信息** 以诗句、大摆锤等文化与生活情境为载体，覆盖三角形全等、整式运算、函数图像等核心知识，梯度设计培养数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|10|随机事件判断、几何概率、动点全等|第1题结合诗句考不可能事件，第7题规律探究全等对数| |填空题|6|科学记数法、平方差公式、折叠性质|第15题用完全平方公式求阴影面积，体现代数几何结合| |解答题|7|尺规作图、分段计费、最短路径|第23题三问递进考最短路径，培养空间观念与推理能力|

揭阳市榕城区真理中学2025-2026七年级下数学期末模拟复习试卷三 一．选择题（共10小题） 1．下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（　　） A．大漠孤烟直 B．黄河入海流 C．明月松间照 D．白发三千丈 2．下列各图象所反映的是两个变量之间的关系，表示匀速运动的是（　　） A．①② B．② C．①③ D．无法确定 3．用三角尺作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（　　） A． B． C． D． 4．如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（　　） A．2m2 B．4m2 C．6m2 D．8m2 5．某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知∠BAC＝130°，AB∥DE，∠D＝70°，则∠ACD＝（　　） A．20° B．25° C．35° D．18° 6．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 7．如图1，已知△ABD和△ACD关于直线AD对称；在射线AD上取点E，连接BE，CE，如图2，在射线AD上取点F，连接BF，CF，如图3，依此规律，第n个图形中全等三角形的对数是（　　） A．n B．2n﹣1 C． D．3（n+1） 8．游乐园里的大摆锤如图1所示，它的简化模型如图2，当摆锤第一次到达左侧最高点A点时开始计时，摆锤相对地面的高度y随时间t变化的图象如图3所示．摆锤从A点出发再次回到A点需要（　　）秒． A．2 B．4 C．6 D．8 9．如图，AB＝12m，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，且AC＝4m，点P从B向A运动，每分钟走1m，点Q从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动（　　）分钟后，△CAP与△PQB全等． A．2 B．3 C．4 D．8 10．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出2x个球放入乙袋，再从乙袋中取出（2x+2y）个球放入丙袋，最后从丙袋中取出2y个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则2x+y的值等于（　　） A．128 B．64 C．32 D．16 二．填空题（共6小题） 11．一种植物果实像一个微笑的无花果，质量只有0.000000076克，该质量请用科学记数法表示　 　 克． 12．已知a+b＝13，b﹣a＝5，则b2﹣a2＝　 　 ． 13．如图，将长方形纸带ABCD沿直线EF折叠，A，D两点分别与A′，D′对应．若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为 　 　 ． 14．如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是45cm2，AB＝8cm，BC＝7cm，则DE＝ 　 　 cm． 15．如图，两个正方形边长分别为m，n，已知m+n＝9，mn＝11，则阴影部分的面积为 　 　 ． 16．如图，已知S△ABC＝8中，CD平分∠ACB，AD⊥CD于点D，连接BD，则阴影部分的面积是 　 　 ． 三．解答题（共7小题） 17．先化简，再求值：（m+2n）（m﹣2n）﹣（m+2n）2﹣4mn，其中． 18．如图在△ABC中，∠A＞∠B． （1）作边AB的垂直平分线DE，与AB、BC分别相交于点D、E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，连接AE，若∠B＝55°，∠C＝40°，求∠CAE的度数． 19．一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共40个，它们除颜色外都相同，其中白球比红球的2倍多1个，已知从袋中摸出一个球是黄球的概率是． （1）求袋中黄球的个数； （2）求从袋中摸出一个球是红球的概率； （3）现向袋中放入m个白球，同时拿出红球和黄球共m个，若从袋中摸出一个球是白球的概率为，求m的值． 20．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的．该市自来水收费价格见价目表．（注：水费按月结算） 价目表 每月用水量 单价 不超出6m3的部分 2元/m3 超出6m3，不超出10m3的部分 4元/m3 超出10m3的部分 8元/m3 （1）若某户居民2月份用水4立方米，则应缴纳水费 　 　 元． （2）若某户居民3月份用水a（6＜a＜10）立方米，则该用户3月份应缴纳水费多少元（用含a的代数式表示，并化成最简形式）？ （3）若某户居民4，5月份共用水15立方米（5月份用水量多于4月份），设4月份用水x立方米，求该户居民4，5月份共缴纳水费多少元．（用含x的代数式表示，并化成最简形式） 21．如图，在△ABC中，点D为AB的中点，AB＝AC＝10cm，∠B＝∠C，BC＝8cm． （1）若点P在线段BC上以3cm/s的速度从点B向终点C运动，同时点Q在线段CA上从点C向终点A运动． ①若点Q的速度与点P的速度相等，经1s后，请说明△BPD≌△CQP； ②若点Q的速度与点P的速度不相等，当点Q的速度为多少时，能够使△BPD≌△CPQ； （2）若点P以3cm/s的速度从点B向点C运动，同时点Q以5cm/s的速度从点C向点A运动，它们都依次沿△ABC的三边运动，则经过多长时间，点Q第一次在△ABC的哪条边上追上点P？ 22．阅读理解： 已知m2+n2﹣10m+4n+29＝0，求m，n的值． 解：∵m2+n2﹣10m+4n+29＝0， ∴（m2﹣10m+25）+（n2+4n+4）＝0， ∴（m﹣5）2+（n+2）2＝0， 又∵（m﹣5）2＝0，（n+2）2≥0， ∴（m﹣5）2＝0，（n+2）2＝0， ∴m＝5，n＝﹣2． 学以致用： （1）若t2﹣2t+1＝0，求t的值； （2）已知x2﹣2xy+2y2+8y+16＝0，求x，y的值； （3）已知a+4b＝4，且ab﹣c2﹣6c＝10，求ba+c的值． 23．问题解决： （1）问题情境：如图1所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到P的距离之和最短？请画出点P的位置； （2）问题理解：如图2，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E是AC边的中点，点P是线段AD上的动点，画出PC+PE取得最小值时点P的位置； （3）问题运用：如图3，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD＝12，AD是∠BAC的平分线，当点E、P分别是AC和AD上的动点时，求PC+PE的最小值． 揭阳市榕城区真理中学2025-2026七年级下数学期末模拟复习试卷三 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（　　） A．大漠孤烟直 B．黄河入海流 C．明月松间照 D．白发三千丈 【分析】“必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件”，根据概念逐一判断即可． 【解答】解：A．“大漠孤烟直”是随机事件，因此选项A不符合题意； B．“黄河入海流”是必然事件，因此选项B不符合题意； C．“明月松间照”是随机事件，因此选项C 不符合题意； D．“白发三千丈”是不可能事件，故选项D正确，符合题意． 故选：D． 【点评】此题主要考查了必然事件，不可能事件，随机事件的概念．理解概念是解题的关键 2．下列各图象所反映的是两个变量之间的关系，表示匀速运动的是（　　） A．①② B．② C．①③ D．无法确定 【分析】对速度﹣时间图象来说，匀速运动时，速度为定值，速度﹣时间图象是与时间轴平行的线段；对路程﹣时间图象来说，匀速运动时，路程﹣时间图象是正比例函数；即可得出答案． 【解答】解：根据题意得：①③不是匀速运动；②是匀速运动； 故选：B． 【点评】本题考查了速度﹣时间图象、路程﹣时间图象；熟记匀速运动时，速度不变，路程与时间成正比是解决问题的关键． 3．用三角尺作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形的高的定义判断即可． 【解答】解：选项D正确，线段AH是△ABC的边BC上的高． 故选：D． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，三角形的角平分线，中线和高，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 4．如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（　　） A．2m2 B．4m2 C．6m2 D．8m2 【分析】先假设不规则图案面积为xm2，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解． 【解答】解：假设不规则图案面积为xm2， 由已知得：长方形面积为20m2， 根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：； 当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.3， ∴， 解得x＝6． 故选C． 【点评】本题考查几何概率以及用频率估计概率，正确理解折线统计图是解题的关键． 5．某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知∠BAC＝130°，AB∥DE，∠D＝70°，则∠ACD＝（　　） A．20° B．25° C．35° D．18° 【分析】过点C作CF∥AB，先证明CF∥DE，然后根据平行线的性质求出∠ACF＝130°，∠DCF＝110°，最后利用角的和差关系求解即可． 【解答】解：过点C作CF∥AB， ∵AB∥DE， ∴CF∥DE， ∴∠ACF＝∠BAC，∠D+∠DCF＝180°， 又∠BAC＝130°，∠D＝70°， ∴∠ACF＝130°，∠DCF＝110°， ∴∠ACD＝∠ACF﹣∠DCF＝20°． 故选：A． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，添加合适的辅助线是解题的关键． 6．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 【分析】依据线段垂直平分线的性质，即可得到∠A＝∠ACD，再根据角平分线的定义，即可得出∠ACB的度数，根据三角形内角和定理，即可得到∠B的度数． 【解答】解：∵DE垂直平分AC， ∴AD＝CD， ∴∠A＝∠ACD 又∵CD平分∠ACB， ∴∠ACB＝2∠ACD＝100°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣100°＝30°， 故选：B． 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 7．如图1，已知△ABD和△ACD关于直线AD对称；在射线AD上取点E，连接BE，CE，如图2，在射线AD上取点F，连接BF，CF，如图3，依此规律，第n个图形中全等三角形的对数是（　　） A．n B．2n﹣1 C． D．3（n+1） 【分析】根据条件可得图1中△ABD≌△ACD有1对三角形全等；图2中可证出△ABD≌△ACD，△BDE≌△CDE，△ABE≌△ACE有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第n个图形中全等三角形的对数． 【解答】解：∵△ABD和△ACD关于直线AD对称， ∴∠BAD＝∠CAD． 在△ABD与△ACD中， ∴△ABD≌△ACD（SAS）． ∴图1中有1对三角形全等； 同理图2中，△ABE≌△ACE（SAS）， ∴BE＝EC， ∵△ABD≌△ACD． ∴BD＝CD， 在△BDE和△CDE中， ∴△BDE≌△CDE（SSS）， ∴图2中有1+2＝3对三角形全等； 同理：图3中有1+2+3＝6对三角形全等； 由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是． 故选：C． 【点评】此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解题的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后寻找规律． 8．游乐园里的大摆锤如图1所示，它的简化模型如图2，当摆锤第一次到达左侧最高点A点时开始计时，摆锤相对地面的高度y随时间t变化的图象如图3所示．摆锤从A点出发再次回到A点需要（　　）秒． A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】根据函数的图象的横坐标表示时间，纵坐标表示摆锤相对地面的高度，可得答案． 【解答】解：由题意可知，从最高点A运动到另一侧的最高点需要4秒， 所以从另一侧的最高点返回点A也需要4秒， 所以锤从A点出发再次回到A点需要8秒． 故选：D． 【点评】本题考查了函数图象，观察函数图象的横坐标得出时间；观察函数图象的纵坐标得出摆锤相对地面的高度，利用数形结合的思想方法是解答本题的关键． 9．如图，AB＝12m，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，且AC＝4m，点P从B向A运动，每分钟走1m，点Q从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动（　　）分钟后，△CAP与△PQB全等． A．2 B．3 C．4 D．8 【分析】设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；则BP＝xm，BQ＝2xm，则AP＝（12﹣x）m，分两种情况：①若BP＝AC，则x＝4，此时AP＝BQ，△CAP≌△PBQ；②若BP＝AP，则12﹣x＝x，得出x＝6，BQ＝12≠AC，即可得出结果． 【解答】解：∵CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B， ∴∠A＝∠B＝90°， 设运动x分钟后△CAP与△PQB全等； 则BP＝xm，BQ＝2xm，则AP＝（12﹣x）m， 分两种情况： ①若BP＝AC，则x＝4， ∴AP＝12﹣4＝8，BQ＝8，AP＝BQ， ∴△CAP≌△PBQ； ②若BP＝AP，则12﹣x＝x， 解得：x＝6，BQ＝12≠AC， 此时△CAP与△PQB不全等； 综上所述：运动4分钟后△CAP与△PQB全等； 故选：C． 【点评】本题考查了直角三角形全等的判定方法、解方程等知识；本题难度适中，需要进行分类讨论． 10．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出2x个球放入乙袋，再从乙袋中取出（2x+2y）个球放入丙袋，最后从丙袋中取出2y个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则2x+y的值等于（　　） A．128 B．64 C．32 D．16 【分析】根据题意列出方程，分别求出2x和2y，再根据同底数幂乘法的逆运算求出2x+y即可． 【解答】解：由题意，得5﹣2y+2x+2y＝29+2y﹣2x＝29+2x﹣2x﹣2y， 即5+2x＝29+2y﹣2x＝29﹣2y， ∴ 解得 ∴2x+y＝2x×2y＝16×8＝128， 故选：A． 【点评】本题考查指数幂的运算法则和方程思想，根据题意列出方程，并能对方程进行变形是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 11．一种植物果实像一个微笑的无花果，质量只有0.000000076克，该质量请用科学记数法表示　7.6×10﹣8 克． 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：0.000000076＝7.6×10﹣8． 故答案为：7.6×10﹣8． 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 12．已知a+b＝13，b﹣a＝5，则b2﹣a2＝　65　 ． 【分析】根据题意可知b2﹣a2＝（b+a）（b﹣a），代入已知数值即可得到本题答案． 【解答】解：∵a+b＝13，b﹣a＝5， ∴b2﹣a2＝（b+a）（b﹣a）＝13×5＝65， 故答案为：65． 【点评】本题考查平方差公式计算，灵活掌握平方差公式是关键． 13．如图，将长方形纸带ABCD沿直线EF折叠，A，D两点分别与A′，D′对应．若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为 　72°　 ． 【分析】由题意知∠AEF＝∠A′EF＝2∠2，∠AEF+∠A′EF+∠2＝180°，角度等量替换，然后求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是长方形， ∴AB∥CD， ∴∠AEF＝∠1， 由折叠的性质可得：∠AEF＝∠A′EF＝∠1， ∵∠1＝2∠2， ∴∠AEF＝∠A′EF＝2∠2， ∴∠AEF+∠A′EF+∠2＝180°，即5∠2＝180°， 解得：∠2＝36°， ∴∠AEF＝2∠2＝72°， 故答案为：72°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质以及折叠的性质，掌握平行线的性质以及折叠的性质是解题关键． 14．如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是45cm2，AB＝8cm，BC＝7cm，则DE＝ 　6　 cm． 【分析】过点D作DF⊥BC于点F，则DE＝DF，然后根据三角形的面积公式得AB•DEBC•DE＝45，由此可得DE的长． 【解答】解：过点D作DF⊥BC于点F，如图所示： ∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E， ∴DE＝DF， ∵S△ABDAB•DE，S△CBDBC•DFBC•DE， 又∵△ABC的面积是45cm2，AB＝8cm，BC＝7cm， ∴S△ABD+S△CBD＝45cm2， ∴AB•DEBC•DE＝45， ∴（8+7）DE＝45， ∴DE＝6（cm）． 故答案为：6． 【点评】此题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． 15．如图，两个正方形边长分别为m，n，已知m+n＝9，mn＝11，则阴影部分的面积为 　24　 ． 【分析】根据阴图形中各个部分面积之间的和差关系得出影部分面积，再根据完全平方公式进行计算即可． 【解答】解：∵m+n＝9，mn＝11， ∴阴影部分的面积为m2n（m﹣n） （m2﹣mn+n2） [（m+n）2﹣3mn] （81﹣33） ＝24． 故答案为：24． 【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 16．如图，已知S△ABC＝8中，CD平分∠ACB，AD⊥CD于点D，连接BD，则阴影部分的面积是 　4　 ． 【分析】延长AD交BC于点E，先证明△ACD≌△ECD（ASA），可得AD＝DE，再进行计算即可． 【解答】解：如图，延长AD交BC于点E， ∵CD平分∠ACB，AD⊥CD， ∴∠ACD＝∠ECD，∠ADC＝∠EDC＝90°， 在△ACD和△ECD中， ， ∴△ACD≌△ECD（ASA）， ∴AD＝DE， ∴，， ∴S阴影＝S△ABD+S△ACD ＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质和三角形的面积，解答本题的关键是作出辅助线，构造全等三角形． 三．解答题（共7小题） 17．先化简，再求值：（m+2n）（m﹣2n）﹣（m+2n）2﹣4mn，其中． 【分析】根据平方差公式、完全平方公式、去括号法则和合并同类项法则进行化简，再把m，n的值代入进行计算即可． 【解答】解：原式＝m2﹣4n2﹣（m2+4mn+4n2）﹣4mn ＝m2﹣4n2﹣m2﹣4mn﹣4n2﹣4mn ＝m2﹣m2﹣4n2﹣4n2﹣4mn﹣4mn ＝﹣8n2﹣8mn， 当时， 原式 ＝﹣2﹣4 ＝﹣6． 【点评】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握平方差公式、完全平方公式、去括号法则和合并同类项法则． 18．如图在△ABC中，∠A＞∠B． （1）作边AB的垂直平分线DE，与AB、BC分别相交于点D、E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，连接AE，若∠B＝55°，∠C＝40°，求∠CAE的度数． 【分析】（1）根据线段中垂线的尺规作图求解即可； （2）由DE是线段AB的垂直平分线知AE＝BE，据此得∠EAB＝∠B＝55°，结合∠C＝40°，∠B＝55°知∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝85°，由∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB可得答案． 【解答】解：（1）如图，直线DE为所求； （2）∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， ∴∠EAB＝∠B＝55°， ∵∠C＝40°，∠B＝55°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝85°， ∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝30°． 【点评】本题主要考查作图—基本作图，解题的关键是掌握线段中垂线的尺规作图、线段中垂线的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理． 19．一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共40个，它们除颜色外都相同，其中白球比红球的2倍多1个，已知从袋中摸出一个球是黄球的概率是． （1）求袋中黄球的个数； （2）求从袋中摸出一个球是红球的概率； （3）现向袋中放入m个白球，同时拿出红球和黄球共m个，若从袋中摸出一个球是白球的概率为，求m的值． 【分析】（1）用红、黄、白三种颜色球共有的个数乘以黄球的概率即可； （2）设红球有x个，得出白球有（2x+1）个，根据题意列出方程，求出红球的个数，再除以总的球数即可； （3）根据概率公式列出关于m的方程，即可求出m的值． 【解答】解：（1）根据题意得： 4024（个）． 答：袋中黄球有24个； （2）设红球有x个，则白球有（2x+1）个， 根据题意得x+2x+1＝40﹣24， 解得x＝5． 所以从袋中摸出一个球是红球的概率为； （3）∵向袋中放入m个白球，同时拿出红球和黄球共m个， ∴球的总数没有变化，白球共有2×5+1+m＝11+m（个）． 根据题意得，， 解得，m＝5． 【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 20．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的．该市自来水收费价格见价目表．（注：水费按月结算） 价目表 每月用水量 单价 不超出6m3的部分 2元/m3 超出6m3，不超出10m3的部分 4元/m3 超出10m3的部分 8元/m3 （1）若某户居民2月份用水4立方米，则应缴纳水费 　8　 元． （2）若某户居民3月份用水a（6＜a＜10）立方米，则该用户3月份应缴纳水费多少元（用含a的代数式表示，并化成最简形式）？ （3）若某户居民4，5月份共用水15立方米（5月份用水量多于4月份），设4月份用水x立方米，求该户居民4，5月份共缴纳水费多少元．（用含x的代数式表示，并化成最简形式） 【分析】（1）根据表格中的收费标准，求出水费即可； （2）根据a的范围，求出水费即可； （3）根据5月份用水量超过了4月份，得到4月份用水量少于7.5m3，当4月份的用水量少于5m3时，5月份用水量超过10m3；4月份用水量不低于5m3，但不超过6m3时，5月份用水量不少于9m3，但不超过10m3；4月份用水量超过6m3，但少于7.5 m3时，5月份用水量超过7.5m3但少于9m3三种情况分别求出水费即可． 【解答】解：（1）根据题意得：2×4＝8（元）； 故答案为：8； （2）根据题意得：4（a﹣6）+6×2＝（4a﹣12）元； （3）由5月份用水量超过了4月份，得到4月份用水量少于7.5m3， 当4月份用水量少于5m3时，5月份用水量超过10m3， 则4，5月份共交水费为2x+8（15﹣x﹣10）+4×4+6×2＝﹣6x+68（元）； 当4月份用水量不低于5m3，但不超过6m3时，5月份用水量不少于9m3，但不超过10m3， 则4，5月份交的水费为2x+4（15﹣x﹣6）+6×2＝﹣2x+48（元）； 当4月份用水量超过6m3，但少于7.5m3时，5月份用水量超过7.5m3但少于9m3， 则4，5月份交的水费为4（x﹣6）+6×2+4（15﹣x﹣6）+6×2＝36（元）， 答：该户居民4，5月份共缴纳水费（﹣6x+68）元或（﹣2x+48）元或36元． 【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 21．如图，在△ABC中，点D为AB的中点，AB＝AC＝10cm，∠B＝∠C，BC＝8cm． （1）若点P在线段BC上以3cm/s的速度从点B向终点C运动，同时点Q在线段CA上从点C向终点A运动． ①若点Q的速度与点P的速度相等，经1s后，请说明△BPD≌△CQP； ②若点Q的速度与点P的速度不相等，当点Q的速度为多少时，能够使△BPD≌△CPQ； （2）若点P以3cm/s的速度从点B向点C运动，同时点Q以5cm/s的速度从点C向点A运动，它们都依次沿△ABC的三边运动，则经过多长时间，点Q第一次在△ABC的哪条边上追上点P？ 【分析】（1）①依题意得经1s后，BP＝CQ＝3cm，CP＝BC﹣BP＝5cm，再根据点D为AB的中点得BD＝5cm，则BD＝CP＝5cm，据此可依据“SAS”判定△BPD和△CQP全等； （2）根据△BPD≌△CPQ得BP＝CP＝4cm，BD＝CQ＝5cm，进而得点P的运动时间为s，由此可得出点Q运动的速度； （3）设经过xs时，点Q第一次追上点P，依题意得5x﹣3x＝2×10，由此解出解x＝10，则点P运动的路程为3x＝30cm，然后再根据△ABC的周长为28cm可得出答案． 【解答】解：（1）①∵点Q的速度与点P的速度相等，都是3cm/s， ∴经1s后，BP＝3cm，CQ＝3cm， ∴BP＝CQ＝3cm， ∵BC＝8cm， ∴CP＝BC﹣BP＝5cm， ∵点D为AB的中点，AB＝AC＝10cm， ∴BD＝5cm， ∴BD＝CP＝5cm， 在△BPD和△CQP中， ， △BPD≌△CQP（SAS）， （2）∵△BPD≌△CPQ， ∴BP＝CP，BD＝CQ， ∴点P是BC的中点，BD＝5cm， ∴BP＝CP＝4cm， ∴点P的运动时间为：4÷3（s）， ∴点Q运动的时间为s， ∴点Q运动的速度是：（cm/s）， ∴当点Q的速度为cm/s时，能够使△BPD≌△CPQ； （3）设经过xs时，点Q第一次追上点P． 依题意得：5x﹣3x＝2×10， 解得：x＝10， 此时点P运动的路程为：3x＝30cm， ∵△ABC的周长为：10+10+8＝28（cm），30＝28+2， ∴点Q第一次在△ABC的BC边上追上点P． 答：经过10s，点Q第一次在BC边上追上点P． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用路程＝时间×速度进行计算是解决问题的关键． 22．阅读理解： 已知m2+n2﹣10m+4n+29＝0，求m，n的值． 解：∵m2+n2﹣10m+4n+29＝0， ∴（m2﹣10m+25）+（n2+4n+4）＝0， ∴（m﹣5）2+（n+2）2＝0， 又∵（m﹣5）2＝0，（n+2）2≥0， ∴（m﹣5）2＝0，（n+2）2＝0， ∴m＝5，n＝﹣2． 学以致用： （1）若t2﹣2t+1＝0，求t的值； （2）已知x2﹣2xy+2y2+8y+16＝0，求x，y的值； （3）已知a+4b＝4，且ab﹣c2﹣6c＝10，求ba+c的值． 【分析】（1）将t2﹣2t+1＝0变形为（t﹣1）2＝0即可求出结果； （2）将x2﹣2xy+2y2+8y+16＝0变形为（x﹣y）2+（y+4）2＝0，得出x﹣y＝0，y+4＝0，求出结果即可； （3）根据a+4b＝4，得出，把代入ab﹣c2﹣6c＝10得出，求出c＝﹣3，a＝2，，最后代入求值即可． 【解答】解：（1）∵t2﹣2t+1＝0， ∴（t﹣1）2＝0， ∴t﹣1＝0， 解得：t＝1； （2）∵x2﹣2xy+2y2+8y+16＝0， ∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+8y+16）＝0， ∴（x﹣y）2+（y+4）2＝0， ∴x﹣y＝0，y+4＝0， ∴x＝y＝﹣4； （3）∵a+4b＝4， ∴， 把代入ab﹣c2﹣6c＝10得： ， 整理得：， ∴， ∴， ∴c+3＝0，， 解得：c＝﹣3，a＝2， ∴， ∴． 【点评】本题主要考查了完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2． 23．问题解决： （1）问题情境：如图1所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到P的距离之和最短？请画出点P的位置； （2）问题理解：如图2，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E是AC边的中点，点P是线段AD上的动点，画出PC+PE取得最小值时点P的位置； （3）问题运用：如图3，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD＝12，AD是∠BAC的平分线，当点E、P分别是AC和AD上的动点时，求PC+PE的最小值． 【分析】（1）如图1中，作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′交直线l于点P，连接PA，此时PA+PB的值最小． （2）如图2中，连接BE交AD于点P′，连接CP′，点P′即为所求． （3）如图3中，过点C作CT⊥AB于T．证明AC，AB关于AD的长，作点E关于AD的对称点E′，连接PE′，则PE＝PE′，推出PC+PE＝PC+PE′≥CT，推出当P，E′在CT上时，PE+PC的值最小，最小值为线段CT的长． 【解答】解：（1）如图1中，点P即为所求． （2）如图2中，点P′即为所求． （3）如图3中，过点C作CT⊥AB于T． ∵AC＝AB，AD平分∠CAB， ∴AD垂直平分线段BC， ∴AC，AB关于AD对称， 作点E关于AD的对称点E′，连接PE′，则PE＝PE′， ∵PC+PE＝PC+PE′≥CT， ∴当P，E′在CT上时，PE+PC的值最小，最小值为线段CT的长， ∵S△ABC•AB•CT•BC•AD， ∴CT． 【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，轴对称最短问题，两点之间线段最短，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/26 19:06:07；用户：姚怀洪；邮箱：13927028828；学号：38450005 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 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