精品解析：广东省揭阳市榕城区2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题

绝密★启用前 2024－2025学年广东省揭阳市榕城区七年级（下）期末数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，由，能得到的是（ ） A. B. C. D. 2. 对某品种的麦粒在相同条件下进行发芽试验，结果如下表所示： 试验的麦粒数n 200 500 1000 2000 5000 发芽粒数m 191 473 954 1906 4748 发芽的频率 0.955 0.946 0.954 0.953 0.9496 根据上表，在这批麦粒中任取一粒，估计它能发芽概率为（ ） A. 0.92 B. 0.95 C. 0.97 D. 0.98 3. 下列事件中，属于必然事件是（　　） A. 明天的最高气温将达35℃ B. 任意购买一张动车票，座位刚好挨着窗口 C. 掷两次质地均匀的骰子，其中有一次正面朝上 D 对顶角相等 4. 已知，，则的值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 5. 设一个正方形的边长为，若其边长增加了，则新正方形的面积增加了：（ ） A. B. C. D. 6. 数学来源于生活，又服务于生活．以下四幅图中用数学原理解释不正确的是（ ） A. 图（1）两钉子就能固定木条这样做的道理是利用了两点确定一条直线 B. 图（2）人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，这样做的道理是利用了三角形的稳定性 C. 图（3）体育课堂测量跳远的成绩是利用了垂线段最短 D. 图（4）一块三角形模具打碎为三块，只带编号为③的那一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等中的判别方法 7. 如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 油纸伞是汉族古老的传统用品之一．图1是一把油纸伞实物图，图2 为其伞骨示意图．已知， 那么的依据是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 《算学启蒙》、《九章算术》、《孙子算经》、《海岛算经》是我国古代数学的重要文献．小明计划选择其中1部阅读学习，恰好选中《算学启蒙》的概率是_________． 12. 已知一个角的补角是它的余角的4倍，则这个角的度数是______． 13. 如图，在中，，利用尺规作图，得到直线和射线．若，则________°． 14. 若，，则_____． 15. 如图，的两条高与交于点O，，．F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，则________秒． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 17. 某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯30秒，绿灯若干秒，黄灯3秒．小明的爸爸随机地由南往北开车到达该路口． （1）如果绿灯时长为70秒，那么他遇到绿灯的概率________遇到红灯的概率（填“”“”或“”）； （2）若他遇到红灯的概率为，求每次绿灯时长为多少秒？ 18. 如图，，． （1）证明：； （2）若，，求的度数． 请在下面的解答过程的空格内填空或在横线上填写理由． 解：（1），（已知） 　 　．（　 　　 　） 又，（已知） 　 　． ．（　 　　 　） （2）由（1）已证， 　 　，（　 　　 　） ， 　 　．（等式性质） ，（已知） ．（垂直的定义） 　 　． 19. 如图①、图②、图③均是正方形网格，每个小正方形的顶点叫格点，图①、图②、图③的的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．以下所画图形的顶点均在格点上，且用实线涂描． （1）在图①中画出的边上的中线． （2）在图②中，画出一个与关于直线成轴对称的格点三角形． （3）图③中，请在格点上找一点E，作，使得中一个角等于． 20. 如图，在中，边上的高是定值．当三角形的顶点C沿底边所在直线由点B向右运动时，三角形的面积随之发生变化．设底边长，三角形面积为，变化情况如下表所示： 底边长x（cm） 1 2 三角形面积 3 6 （1）在这个变化过程中，自变量是________，因变量是________； （2）由上表可知，边上的高为________； （3）y与x的关系式可以表示为________； （4）当底边长由变化到时，三角形的面积从________变化到________． 21. 【主题】：军事训练中的距离测量问题： 【素材】：在某次重要的军事训练任务中，士兵小王肩负着一项关键使命：精准测量我方阵地（点）与对岸目标（点）之间的距离．然而，摆在小王面前的是诸多棘手难题，河流湍急无法直接过河，且身处野外环境没有携带任何专业测量工具．但小王凭借着扎实的数学知识和冷静的头脑，巧妙地运用了以下方法来解决这一难题． 【实践操作】：如图所示： 步骤：面向点竖直站立，调整目视高度，使视线恰好经过帽檐到达点； 步骤：保持身体姿态不变，原地转过一个角度，标记此时视线落在河岸的点； 步骤：步测得米，已知小王身高为，帽顶到眼睛的垂直距离为． 【问题解决】： （1）由上面实践操作可以知道距离是______米； （2）请用你所学数学知识，说明（1）中所填结论的正确性． 22. 根据几何图形的面积关系可以说明数学等式，例如：，可以用图1的面积关系来说明，由此我们可以得到． （1）根据图2的面积关系可得：　　． （2）有若干张如图3的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a，宽为b的长方形．并用这些纸片无缝隙无重叠的拼成了图4，图5，图6的图形，图4，图5，图6中的阴影部分面积分别记为，，． ①　　，　　，　　（用含a，b的代数式表示）； ②若，，求图6中大正方形的面积． 23. 如图，在中，，，射线，的夹角为，过点作于点，直线交于点，连接． （1）如图1，射线，都在的内部． ①设，则 （用含有的式子表示）； ②作点关于直线的对称点，则线段与图1中已有线段 的长度相等； （2）如图2，射线在的内部，射线在的外部，其他条件不变，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2024－2025学年广东省揭阳市榕城区七年级（下）期末数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，由，能得到的是（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定方法．根据平行线的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：由，能得到的是D选项， 故选：D． 2. 对某品种的麦粒在相同条件下进行发芽试验，结果如下表所示： 试验的麦粒数n 200 500 1000 2000 5000 发芽的粒数m 191 473 954 1906 4748 发芽的频率 0.955 0.946 0.954 0.953 0.9496 根据上表，在这批麦粒中任取一粒，估计它能发芽的概率为（ ） A. 0.92 B. 0.95 C. 0.97 D. 0.98 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查由频率估计概率，根据表格可知：随着实验麦粒数的增加，其发芽的频率稳定在0.95左右，据此解答． 【详解】解：由表格可得：随着实验麦粒数的增加，其发芽的频率稳定在0.95左右， 故选：B． 3. 下列事件中，属于必然事件的是（　　） A. 明天的最高气温将达35℃ B. 任意购买一张动车票，座位刚好挨着窗口 C. 掷两次质地均匀的骰子，其中有一次正面朝上 D. 对顶角相等 【答案】D 【解析】 【分析】A、明天最高气温是随机的，故A选项错误； B、任意买一张动车票，座位刚好挨着窗口是随机的，故B选项错误； C、掷骰子两面有一次正面朝上是随机的，故C选项错误； D、对顶角一定相等，所以是真命题，故D选项正确. 【详解】解：“对顶角相等”是真命题，发生的可能性为100%， 故选：D． 【点睛】本题的考点是随机事件.解决本题需要正确理解必然事件的概念：必然事件指在一定条件下一定发生的事件. 4. 已知，，则的值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．把的两边平方，化简后把代入即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 5. 设一个正方形的边长为，若其边长增加了，则新正方形的面积增加了：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查完整式混合运算的应用，准确掌握完全平方公式是解题关键．首先表示正方形增加后的边长是，根据正方形面积公式计算即可． 【详解】解：由题意得，新正方形的边长为：， 增加面积为：． 故选：A． 6. 数学来源于生活，又服务于生活．以下四幅图中用数学原理解释不正确的是（ ） A. 图（1）两钉子就能固定木条这样做的道理是利用了两点确定一条直线 B. 图（2）人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，这样做的道理是利用了三角形的稳定性 C. 图（3）体育课堂测量跳远的成绩是利用了垂线段最短 D. 图（4）一块三角形模具打碎为三块，只带编号为③的那一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等中的判别方法 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查数学原理在实际生活中的运用，根据直线的性质、三角形的特性、垂线段的性质、全等三角形的判定方法，逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A．图（1）中用数学原理为：两点确定一条直线，解释正确，不合题意； B．图（2）中用数学原理为：三角形具有稳定性，解释正确，不合题意； C．图（3）中用数学原理为：垂线段最短，解释正确，不合题意； D．图（4）中编号为③的部分满足两个角和夹边是完整的，根据全等三角形的判定方法“”，能够得到要配的三角形模具和原来的三角形模具是全等的，因此该选项解释错误，符合题意； 故选D． 7. 如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质．由邻补角的性质得到，由平行线的性质推出，即可求出． 【详解】解：， ， ∵， ， ． 故选：B． 8. 油纸伞是汉族古老的传统用品之一．图1是一把油纸伞实物图，图2 为其伞骨示意图．已知， 那么的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了利用证明三角形全等，根据题意可得出，结合已知条件，可得出． 【详解】解：∵， ， ∴， 又∵， ∴， ∴的依据是， 故选A． 9. 如图，在下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，利用三角形三边的关系可知，三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边．据此判断． 【详解】解：A．图中小棒被剪刀剪成两段，这两段加起来比上面那根木棒长，这两段相减比上面那根木棒短，符合三角形三边关系，可以围成三角形； B．图中小棒被剪刀剪成两段，这两段加起来比下面那根木棒短，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形； C．图中小棒被剪刀剪成两段，这两段相减比下面那根木棒还长，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形； D．图中小棒被剪刀剪成两段，这两段加起来和下面那根木棒相等，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形． 故选：A． 10. 如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由题意得，是等腰直角三角形，进而证明，得到，结论①正确；再证明，得出，结论②正确；进而得出是等腰直角三角形，得到，，结论③正确；再证明，可得，结论④正确． 【详解】解：∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴结论①正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴结论②正确； ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴结论③正确； 过点作于点， 则， ， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴结论④正确； ∴正确的结论是①②③④，有个， 故选： A． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 《算学启蒙》、《九章算术》、《孙子算经》、《海岛算经》是我国古代数学的重要文献．小明计划选择其中1部阅读学习，恰好选中《算学启蒙》的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据概率公式计算概率，根据一共有4本文献，选择《算学启蒙》的概率为即可求解． 【详解】解：∵一共有《算学启蒙》、《九章算术》、《孙子算经》、《海岛算经》4本文献 ∴恰好选中《算学启蒙》的概率是：， 故答案为：． 12. 已知一个角的补角是它的余角的4倍，则这个角的度数是______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查余角和补角的知识，一元一次方程的应用，设出未知数是解决本题的关键．设这个角的度数为x，“利用一个角的补角是它的余角的度数的4倍”作为相等关系列方程求解即可得出结果． 【详解】设这个角的度数为x，可得 ， 解得． 故答案为：． 13. 如图，在中，，利用尺规作图，得到直线和射线．若，则________°． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，由作图可知，为线段的垂直平分线，为的平分线，则，，从而得到，由三角形内角和定理求出，即可得到答案． 【详解】解：由作图可知，为线段的垂直平分线，为的平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：40． 14. 若，，则_____． 【答案】6 【解析】 【分析】利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可． 【详解】解：当，时， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 15. 如图，的两条高与交于点O，，．F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，则________秒． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了四边形内角和定理，全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用； 分情况讨论：①当点在延长线上时，②当点在线段上时，，证明，可得此时，用含的式子表示出和，然后得出方程，解方程即可. 【详解】解：①当点F在延长线上时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，． ∵，， ∴当时，． ∵， ∴，解得． ②当点F在之间时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，． ∵，， ∴当时，． ∵，， ∴，解得． 综上，或． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值的定义计算，再根据有理数的加法法则计算即可． 本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 17. 某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯30秒，绿灯若干秒，黄灯3秒．小明的爸爸随机地由南往北开车到达该路口． （1）如果绿灯时长为70秒，那么他遇到绿灯的概率________遇到红灯的概率（填“”“”或“”）； （2）若他遇到红灯的概率为，求每次绿灯时长为多少秒？ 【答案】（1） （2）路口绿灯设置的时长为60秒 【解析】 【分析】此题主要考查了概率的意义以及概率求法，一元一次方程的应用，正确理解概率的意义是解题关键． （1）直接利用概率的意义得出遇到绿灯的概率大； （2）设该路口绿灯设置的时长为x秒，由题意得：，求出绿灯时间即可． 【小问1详解】 解：红灯30秒， 如果绿灯时长为70秒，那么他遇到绿灯概率大于遇到红灯的概率， 故答案为：； 【小问2详解】 设该路口绿灯设置的时长为x秒，由题意得： ， 解得． 答：路口绿灯设置的时长为60秒． 18. 如图，，． （1）证明：； （2）若，，求的度数． 请在下面的解答过程的空格内填空或在横线上填写理由． 解：（1），（已知） 　 　．（　 　　 　） 又，（已知） 　 　． ．（　 　　 　） （2）由（1）已证， 　 　，（　 　　 　） ， 　 　．（等式性质） ，（已知） ．（垂直的定义） 　 　． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查平行的判定和性质，熟练掌握平行的判定和性质是解题的关键． （1）根据平行的判定进行证明即可； （2）根据平行的性质进行证明即可． 【详解】（1）证明：，理由如下： ，（已知） ，（两直线平行，内错角相等） 又，（已知） （等量代换）． ．（同位角相等，两直线平行）， （2）解：（已知）， （两直线平行，同旁内角互补）， ， （等式性质）， （已知）， （垂直的定义）， ． 故答案为：（1）；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行；（2）；两直线平行，同旁内角互补；60；30. 19. 如图①、图②、图③均是正方形网格，每个小正方形的顶点叫格点，图①、图②、图③的的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．以下所画图形的顶点均在格点上，且用实线涂描． （1）在图①中画出的边上的中线． （2）在图②中，画出一个与关于直线成轴对称的格点三角形． （3）在图③中，请在格点上找一点E，作，使得中一个角等于． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查格点作图，涉及三角形中线、轴对称图形、平行线的性质等，掌握格点作图的特点是解题的关键． （1）利用格点找出的中点D，连接即可； （2）利用格点找出点A关于直线的对称点F，连接即可； （3）利用格点过点A作的平行线即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：如图，由可得中，即为所求． 20. 如图，在中，边上的高是定值．当三角形的顶点C沿底边所在直线由点B向右运动时，三角形的面积随之发生变化．设底边长，三角形面积为，变化情况如下表所示： 底边长x（cm） 1 2 三角形面积 3 6 （1）在这个变化过程中，自变量是________，因变量是________； （2）由上表可知，边上的高为________； （3）y与x的关系式可以表示为________； （4）当底边长由变化到时，三角形的面积从________变化到________． 【答案】（1）底边长x，三角形面积y （2）6 （3） （4）9，36 【解析】 【分析】本题主要考查的是函数关系式，常量与变量，函数值及三角形的面积，解题的关键是能求出y与x的关系式． （1）根据函数的定义找出自变量和函数； （2）由表可知，当面积为6时，底边长为2，设边上的高为h，有三角形面积即可计算出高； （3）根据三角形面积公式表示出y与x的关系式； （4）根据三角形的面积公式求出面积，根据面积即可得出结论． 【小问1详解】 解：在这个变化过程中，自变量是底边长即x，函数是的面积即y， 故答案为：底边长x，三角形面积y； 【小问2详解】 由表可知，当面积为6时，底边长为2， 设边上的高为h， ， ， 故答案：6； 【小问3详解】 ， 故答案为：； 【小问4详解】 当时，， 当时，， 当底边长由变化到时，三角形的面积从变化到， 故答案为：9，36． 21. 【主题】：军事训练中的距离测量问题： 【素材】：在某次重要的军事训练任务中，士兵小王肩负着一项关键使命：精准测量我方阵地（点）与对岸目标（点）之间的距离．然而，摆在小王面前的是诸多棘手难题，河流湍急无法直接过河，且身处野外环境没有携带任何专业测量工具．但小王凭借着扎实的数学知识和冷静的头脑，巧妙地运用了以下方法来解决这一难题． 【实践操作】：如图所示： 步骤：面向点竖直站立，调整目视高度，使视线恰好经过帽檐到达点； 步骤：保持身体姿态不变，原地转过一个角度，标记此时视线落在河岸的点； 步骤：步测得米，已知小王身高为，帽顶到眼睛的垂直距离为． 【问题解决】： （1）由上面实践操作可以知道距离是______米； （2）请用你所学数学知识，说明（1）中所填结论的正确性． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质求解； 根据全等三角形的性质求解． 本题考查了全等三角形的应用，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：由上面实践操作可以知道距离是米； 故答案为：； 【小问2详解】 解：在和中， ， ≌， 米． 22. 根据几何图形的面积关系可以说明数学等式，例如：，可以用图1的面积关系来说明，由此我们可以得到． （1）根据图2的面积关系可得：　　． （2）有若干张如图3的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a，宽为b的长方形．并用这些纸片无缝隙无重叠的拼成了图4，图5，图6的图形，图4，图5，图6中的阴影部分面积分别记为，，． ①　　，　　，　　（用含a，b的代数式表示）； ②若，，求图6中大正方形的面积． 【答案】（1） （2）①，，；②81 【解析】 【分析】本题考查的是完全平方公式的应用，多项式的乘法运算与图形面积，掌握等面积法是解本题的关键． （1）由图2的面积可得答案； （2）①图4中阴影部分是长方形，长为，宽为，可得，图5是一个长方形，长为，宽为，可得，图6是一个正方形，边长为，如下图所示：设，则，可得，可得，②由，可得，求解，从而可得答案． 【小问1详解】 解：图2是由两个边长为b的正方形，两个边长为a的正方形和5个长为a，宽为b的长方形组成， 代数式相当于整个图2的面积减去两个边长为b的正方形的面积与两个边长为a的正方形的面积之和， 因此； 【小问2详解】 ①图4中阴影部分是长方形，长为，宽为， 因此， 图5是一个长方形，长为，宽为， ∴； 图6是一个正方形，边长为，如下图所示： 设，则， ∴， ∴， ∴， ②∵， ∴，， 由，得：， 将代入，得：， ∴图6中大正方形的面积为：． 23. 如图，在中，，，射线，的夹角为，过点作于点，直线交于点，连接． （1）如图1，射线，都在的内部． ①设，则 （用含有的式子表示）； ②作点关于直线的对称点，则线段与图1中已有线段 的长度相等； （2）如图2，射线在的内部，射线在的外部，其他条件不变，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）①；② （2），证明见详解 【解析】 分析】（1）①根据，即可获得答案； ②连接，证明，即可获得答案； （2）作点关于直线的对称点，连接，设，证明，由全等三角形的性质可得，即可获得结论． 【小问1详解】 解：①∵，， ∴， ∵， ∴； ②如下图，连接， 由对称的性质可得，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：①；②； 【小问2详解】 ，证明如下： 作点关于直线的对称点，连接，如下图， 由对称的性质可得，，， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$