2028届翔宇中学2025-2026学年高一数学下学期期末复习卷（二）(难度适中）

**基本信息** 以必修三、四核心知识为载体，通过刘徽割圆术（文化传承）、北极阁测量（实际应用）和蚂蚁爬动周期（数学建模），分层考查数学抽象、运算推理及应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|三角函数（轮子滚动高度）、集合（象限角关系）|概念辨析与几何直观结合| |多选题|3/18|向量（终边相同角）、三角函数性质（奇偶性）|多维度概念辨析| |填空题|3/15|向量投影、三角函数图像变换|基础与综合能力并重| |解答题|5/77|三角恒等变换（蚂蚁爬动）、立体几何（线面角）、解三角形（北极阁测量）|文化情境与实际问题融合，突出数学建模与逻辑推理|

2028届翔宇中学高一数学期末复习卷（二） 难度：中等 考察范围：新人教B版 必修三、必修四 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知A＝{第二象限角}，B＝{钝角}，C＝{大于90°的角}，那么A、B、C关系是（    ） A．B＝A∩C B．B∪C＝C C．AC D．A＝B＝C 2．在中，“为直角三角形”是“对于任意，”的（    ）． A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．如图，是轮子外边沿上的一点，轮子的半径为0.5（单位：）.若轮子从图中位置向右匀速无滑动滚动，设当滚动的水平距离为（单位：）时，点距离地面的高度为（单位：），则下列说法中正确的是（    ） A．当时，点恰好位于轮子的最高点 B．，其中 C．当时，点距离地面的高度在下降 D．若，，则的最小值为 4．已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转，得到，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D．1 5．已知，，那么等于（    ） A． B． C． D． 6．刘徽（约公元225年—295年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一．他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．这可视为中国古代极限观念的佳作．割圆术的核心思想是将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形（如图所示），当变得很大时，这个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积．运用割圆术的思想，估计的值为（    ） A． B． C． D． 7．北极阁位于鹰潭公园的东侧，前门是大码头，旧时为鹰潭最繁华的街市．某同学为测量北极阁的高度MN，在北极阁的正北方向找到一座建筑物AB，高约为30m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，北极阁顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得北极阁顶部M的仰角为15°，北极阁的高度约为（    ） A．45m B．52m C．60m D．65m 8．在复数列中，，，设在复平面上对应的点为，则（    ） A．存在点，对任意的正整数，都满足 B．不存在点，对任意的正整数，都满足 C．存在无数个点，对任意的正整数，都满足 D．存在唯一的点，对任意的正整数，都满足 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列命题错误的是（    ） A．小于的角一定是锐角 B．终边相同的角一定相等 C．终边落在直线上的角可以表示为 D．若角是第二象限角，则是第一或第三象限角 10．（多选题）已知，则下列等式正确的是（ ） A． B． C． D． 11．已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．为偶函数 C．在上单调递增 D．的图象关于直线对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．设向量，的夹角为，且，，则向量在向量方向上的投影数量为_____，_____． 13．关于函数下列结论: ①的最小正周期是; ②在区间上单调递增; ③函数的图象关于点成中心对称图形; ④将函数的图象向左平移个单位后与的图象重合; 其中成立的结论序号为____________. 14．给出下列四个结论： ① 若，且，则； ② 若，则； ③ 在中，角所对的边分别为 ，，则； ④ 设，若是平行四边形(为原点),则, 其中正确的序号是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15．(本小题满分13分) 一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆（半径为1的圆）上爬动，若两只蚂蚁均从点A（1，0）同时逆时针匀速爬动，若红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角（其中0°＜α＜β＜180°），如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限，求α，β的值． 16．(本小题满分15分) 如图，在直三棱柱中，为的中点，为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角. 17．(本小题满分15分) 已知函数. (1)求函数的最小值及取到最小值时自变量x的集合； (2)指出函数y＝的图象可以由函数y＝sinx的图象经过哪些变换得到； (3)当x∈[0，m]时，函数y＝f(x)的值域为，求实数m的取值范围． 18．(本小题满分17分) 记的内角、、所对的边分别是、、，直线与的边、交于、两点．    (1)已知，，记，， ①用、表示、； ②若，，则、有什么关系？用向量方法证明你的结论； (2)记，用向量方法证明：． 19．(本小题满分17分) 如图，在平面直角坐标系中，锐角的终边分别与单位圆交于两点． (1)如果，点的横坐标为，求的值； (2)设的终边与单位圆交于均与轴垂直，垂足分别为，求证：以线段的长为三条边长能构成三角形． 试卷第6页，共6页 试卷第5页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 卷（二）参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B A B C C C ABC BC 题号 11 答案 ABD 答案第4页，共9页 答案第5页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 1．B 【分析】利用任意角象限角的概念逐一分析判断得解. 【详解】解：对A，如在集合里，但是并不是钝角，所以不在集合里，所以该选项错误； 对B，钝角大于90°，小于180°，故B C，故选项B正确； 对C，AC，如在第二象限，但是并不大于，所以选项C错误； 对D，A＝B＝C错误. 如在第二象限，但是并不在集合B,C中. 故选：B 2．B 【分析】先转化向量不等式并化简，构造函数，利用一次函数的性质得出向量垂直关系，从而得出为直角三角形，满足必要性；再利用直角位置不固定得出充分性不成立． 【详解】，若，则， ，即， 对于任意恒成立，设，则需满足 时，；时，； 是一次函数，连续，即， ，即， 又， ， ，故，即，是直角三角形，满足必要性； 若为直角三角形，直角可能是或， 若或时，不满足对于任意恒成立，不满足充分性， “为直角三角形”是“对于任意，”的必要不充分条件，故B正确． 故选：B． 3．B 【分析】根据条件，求出，再对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】如图，过分别作地平线的垂线，垂足分别为，过作于，记， 又轮子的半径为0.5，则有，得到， 在中，，所以， 故， 对于选项A，当时，，所以选项A错误； 对于选项B，，所以选项B正确； 对于选项C，当时，，又，所以在区间上先减后增，故选项C错误； 对于选项D，由，得到， 由，得到或，， 又，当，时，满足，此时，故选项D错误， 故选：B. 4．A 【分析】由任意角的三角函数的定义求解即可. 【详解】设点是终边上一点，设点的横坐标为，则， 所以， 所以. 故选：A. 5．B 【分析】首先求出题中，，之间的关系，然后利用正切的和角公式求解即可. 【详解】由题知， ， 所以. 故选：B. 【点睛】本题考查了正切的和角公式，属于基础题. 6．C 【分析】将一个单位圆平均分成120个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为，由这120个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似于单位圆的面积，能求出的近似值． 【详解】解：将一个单位圆平均分成120个扇形， 则每个扇形的圆心角度数均为， 这120个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似于单位圆的面积， ， 故选：C． 【点睛】本题考查角的正弦值的近似值的求法，考查扇形、单位圆等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题 7．C 【分析】在中求得AC，然后在中，利用正弦定理求得MC即可. 【详解】解：由题意得：在中，， 在中，，， ． 由正弦定理得，， 得， 故MN=60． 故选：C 8．C 【分析】由，可得为绕原点逆时针旋转，且到原点的距离变为原来的一半，根据这个关系结合各选项中给出的条件可得正确的选项. 【详解】因为，故，由，可得， ，， 对应A，表示到以为圆心，半径为10的圆及其内部的点的集合， 同理表示到以为圆心，半径为10的圆及其内部的点的集合， 但是，故存在唯一的点，使得且（如图（1））， 但是，故A错误. 对应B， 表示到以为圆心，半径为的圆及其内部的点的集合， 同理表示到以为圆心，半径为的圆及其内部的点的集合， 同理表示到以为圆心，半径为的圆及其内部的点的集合， 但是，故存在唯一的点，使得（如图（2））， 此时，且均在圆的内部， 故存在，使得，故B错误. 对于C，如图（3），以分别为圆心，半径为作圆面，三个圆面的公共部分如所示，此时均在圆的内部， 故此时存在无数个点，对任意的正整数，都满足，故C正确，D错误. 故选：C. 【点睛】关键点点：复数乘法的几何意义是向量的旋转，而模的范围则表示圆面，因此根据圆面的关系来寻找点的存在性是关键. 9．ABC 【分析】根据任意角、终边相同的角、象限角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A，锐角是大于小于的角，小于的角不一定是锐角，如、负角，故A错； B，终边相同的角可以表示为，，所以终边相同的角不一定相等， 比如和，故B错； C，终边落在直线的角可以表示为或，，故C错； D，由角是第二象限角，得，， 当为偶数时，的终边在第一象限，当为奇数时，的终边在第三象限，故D正确. 故选：ABC 10．BC 【分析】根据同角三角函数关系式、诱导公式和角的范围逐项判断即可. 【详解】已知，所以， 所以，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D错误. 故选：BC. 11．ABD 【分析】对A，根据条件，直接求出最小正周期，即可判断正误；对B，根据条件得，再由奇偶函数的定义，即可求解；对C，根据选项条件求得，再利用的性质，即可求解；对D，利用的性质，求出的对称轴，即可求解. 【详解】对于A，因为的最小正周期为，所以A正确， 对于B，因为，则， 令，又，所以为偶函数，故B正确， 对于C，当时，，由的性质知，在上不单调，所以C错误， 对于D，由，得到，令，得， 所以的图象关于直线对称，故D正确， 故选：ABD. 12． 【分析】第一空，利用向量在向量方向上的投影数量为可求，第二空：先根据数量积的定义求，再利用向量模长公式可计算. 【详解】向量在向量方向上的投影数量为， ， ， 故答案为：，. 13．①②④ 【分析】应用辅助角公式化简之后再逐一判断各个命题的真假即可 【详解】 的最小正周期 , 故①正确; ②, 故函数 在区间上单调递增, 故②正确; ③, 函数的图象关于点不成中心对称图形, 故③不正确; ④将函数的图象向左平移个单位后得到 , 故将函数的图象向左平移个单位后与的图象重合, 故④正确. 综上可知：正确的为①②④ 故答案为：①②④． 14．②④ 【分析】根据特殊值可判断①，根据数量积的定义及平行向量的概念可判断②，利用余弦定理及向量数量积的定义可判断③，根据向量相等及向量的夹角公式可判断④. 【详解】设，则，但，故①错误； ②设向量与的夹角是，由，可得， 由，可得或，所以，故②正确； ③由余弦定理可得，又， 所以，，故③错误； ④由是平行四边形可得，即， 所以，， 所以，又，故，故④正确. 故答案为：②④ 15．α=（）°，β=（）°． 【详解】试题分析：确定α=•180°，β=•180°，m，n∈Z，利用2α，2β均为钝角，即可得到结论． 解：根据题意可知：14α，14β均为360°的整数倍，故可设14α=m•360°，m∈Z，14β=n•360°，n∈Z，从而可知α=•180°，β=•180°，m，n∈Z． 又由两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，则2α，2β在第二象限． 又0°＜α＜β＜180°，从而可得0°＜2α＜2β＜360°， 因此2α，2β均为钝角，即90°＜2α＜2β＜180°． 于是45°＜α＜90°，45°＜β＜90°． ∴45°＜•180°＜90°，45°＜•180°＜90°， 即＜m＜，＜n＜． 又∵α＜β，∴m＜n，从而可得m=2，n=3． 即α=（）°，β=（）°． 点评：本题考查任意角的概念，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 16．(1)取的中点，连接. ∵在中，为的中点，为的中点， ∴是的中位线，∴， 又∵为的中点，∴， ∴，∴四边形为平行四边形， ∴，又平面平面， ∴平面. (2) 【分析】（1）取的中点，连接，证得四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理证明即可； （2）连接，利用线面垂直的判定定理证得平面，得到为直线与平面所成的角，利用正弦定义即可求解. 【详解】（1）略 （2）连接，在直三棱柱中， ∵平面平面，∴， ∵，又是平面内的两条相交直线， ∴平面， 又平面，∴， 又∵在中，为的中点，∴， 又是平面内的两条相交直线， ∴平面. ∴是在平面内的射影， 则为直线与平面所成的角. 在中，∵，∴， 又∵，∴， ∵，∴， 所以直线与平面所成的角为. 17．(1) ，；(2)见解析；(3) . 【分析】(1)利用正弦函数的性质求出最小值以及取到最小值时自变量x的集合； (2)由正弦函数的相位变换、周期变换、振幅变换描述即可； (3)画出函数的图像，根据图像找到值域为的图像，即可确定实数m的取值范围. 【详解】(1)，此时，即， 即此时自变量x的集合是. (2)把函数y＝sinx的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，再把函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，最后再把函数的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象． (3)如图，因为当x∈[0，m]时，y＝f(x)取到最大值2，所以.    又函数y＝f(x)在上是减函数， 故m的最大值为内使函数值为的值， 令，得，所以m的取值范围是. 【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的最值、描述正弦型函数图像的变换过程以及由正弦型函数的值域确定参数的范围，属于中档题. 18．(1)①，；②，证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）①易知分别为的中点，则，根据平面向量的线性运算即可求解；②根据平面向量数量积的定义和运算律证明即可； （2）设单位向量，根据数量积的定义求出，代入计算即可证明. 【详解】（1）①因为， 所以分别为的中点，故， 因为，所以； 又因为， 则. ②，证明如下： 因为，，则， 所以， 且、均为非零向量，则，即； （2）在中，， 设单位向量， 则，（*） 又根据数量积的定义得，， ，， 代入（*）式得，， 所以． 19．(1) (2)证明详见解析 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系式、两角和的余弦公式求得正确答案. （2）先求得，然后根据三角形的知识求得正确答案. 【详解】（1）依题意，是锐角， 由，解得. 由于的横坐标为，则纵坐标为， 所以， 所以. （2）由于， 由（1）得，所以， 所以在第二象限，且， 依题意可知：， 即， ，， ， 所以以线段的长为三条边长能构成三角形． $