命题大赛 甘肃省2025-2026学年高一下学期数学期末复习卷（二）湘教版必修第二册

**基本信息** 湘教版高中数学必修二期末复习卷，涵盖概率、复数、空间几何、向量、统计等核心知识，解答题如社区满意度统计分析、摸球概率模型构建，体现数学思维与数据意识，适配期末综合复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|概率计算、复数几何意义、空间角关系|基础概念辨析，如第4题空间角平行性质考查空间观念| |多选题|3/18|线面关系、向量投影、费马点应用|第11题结合费马点性质，培养创新意识| |填空题|3/15|复数运算、圆中向量数量积、解三角形外接圆|第13题圆中弦长与向量结合，体现几何直观| |解答题|5/77|向量线性运算、统计百分位数与频率分布、立体几何证明、概率应用|第16题社区打分统计分析，强化数据意识；第19题摸球概率模型，发展模型观念|

期末复习卷细目表 湘教版高中数学必修二期末复习卷（二）细目表 题号 题型 分值 知识点 难度系数 1 单选题 5 古典概型的概率计算、抛掷骰子的概率问题 0.9 2 单选题 5 高中数学必修二综合知识点 0.9 3 单选题 5 复数的几何意义、复平面内点的对称关系、复数的运算 0.9 4 单选题 5 空间中直线与直线的位置关系、等角定理 0.9 5 单选题 5 平面与平面平行的性质、充分必要条件的判断 0.85 6 单选题 5 平面向量的线性运算、平行四边形的向量性质 0.85 7 单选题 5 复数的乘法运算、复数的实部与虚部概念 0.85 8 单选题 5 空间中直线与平面、平面与平面的位置关系判定 0.8 9 多选题 6 空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系判定 0.8 10 多选题 6 平面向量的数量积、投影向量、三角形的外心判定、矩形的向量判定 0.75 11 多选题 6 平面向量的模长运算、费马点的向量性质、向量的取值范围 0.7 12 填空题 5 复数的代数运算、复数的化简 0.9 13 填空题 5 平面向量的数量积、圆的弦长性质、向量的线性运算 0.85 14 填空题 5 解三角形、正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式、基本不等式求最值 0.75 15 解答题 13 平面向量的线性运算、向量的加减与数乘运算化简 0.9 16 解答题 15 统计与概率、百分位数计算、频率分布直方图求平均数、古典概型的概率计算 0.8 17 解答题 15 空间立体几何、直线与平面平行的判定定理、空间向量的应用 0.75 18 解答题 17 概率的综合应用、独立事件的概率计算、互斥事件的概率加法公式 0.7 19 解答题 17 古典概型的概率计算、不放回抽样与放回抽样的概率问题 0.75 $ 湘教版高中数学必修二期末复习卷（二） 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每小题5分） 1．同时抛掷两枚骰子，总数出现7的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（    ） A． B． C． D． 3．若复数，在复平面内对应的点关于x轴对称，且，则复数（    ） A．1 B． C． D． 4．已知空间中两个角，的两边对应平行，且，则（    ） A． B． C． D．或 5．已知平面平面，直线，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．如图所示，F为平行四边形ABCD对角线BD上一点，AC，BD交于点O，，若，则（    ）    A． B． C． D． 7．已知，，i为虚数单位，且两复数的乘积的实部和虚部为相等的正数，则实数m的值为（   ） A． B． C． D． 8．已知三条不重合的直线，m，n和两个不重合的平面，，则下列说法错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，，且直线m，n异面，则 D．若，，，，则 二、多选题（每小题6分） 9．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A．若，，则m与n相交或异面 B．若，则 C．若，则 D．若，，，则m与n平行或相交或异面 10．下列结论正确的是（    ） A．已知是非零向量，，若，则 B．向量，满足，，与的夹角为60°，则在上的投影向量为 C．点P在△ABC所在平面内，满足，则点P是△ABC的外心 D．以为顶点的四边形是一个矩形 11．若的三个内角均小于，点满足，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点.根据以上性质，已知是平面内的任意一个向量，向量满足，且，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题（每小题5分） 12．复数____. 13．如图，在圆C中弦AB的长度为6，则_____． 14．已知的内角的对边分别为，且，若的面积为，则的外接圆的半径的最小值为__________． 四、解答题 15．（本题13分）化简下列向量线性运算： (1)； (2)； (3)． 16．（本题15分）某城市正在进行创建文明城市的活动，为了解居民对活动的满意程度，相关部门从甲，乙两个社区各抽取了20人进行打分（分数为正整数，满分100分）． 甲社区20名居民的打分记录如下： 52，56，59，63，64，70，71，73，75，75，80，80，81，82，85，86，88，89，93，95． 将乙社区20名居民的打分分成五组，并画出了其频率分布直方图    (1)根据以上数据，求甲社区20名居民打分的第75百分位数； (2)估计乙社区20名居民打分的平均分（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）； (3)现从甲，乙两社区打分不低于90分的居民中，任选2人，求2人不在同一社区的概率． 17．（本题15分）如图，在五面体P-ABCD中，，底面ABCD是菱形，且，点M是AB的中点，点E在棱PD上，满足．求证：平面EMC． 18．（本题17分）某工厂每月最后1个工作日为本月“技术竞赛日”，竞赛获奖结果有四种：未获奖、三等奖、二等奖、一等奖，在以往的技术竞赛记录中随机抽取了200人，统计制成了如下获奖人次条形图.现有甲、乙、丙、丁4人要参加本月“技术竞赛日”的竞赛，以条形图中获奖情况的频率为每人获奖的概率. (1)估计在本月“技术竞赛日”的竞赛中，甲获一等奖且乙未获奖的概率； (2)若获三等奖、二等奖、一等奖所对应的奖金逐级增高，未获奖则没有奖金，估计丙所得奖金低于丁所得奖金的概率. 19．（本题17分）袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球． (1)若这5个球分别标有数字，，，，，现从袋中每次任取一个球，每次取出后不放回，连续取两次，求两个小球所标数字之和为3的倍数的概率； (2)若从中摸出一个球，观察颜色后放回，再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘教版高中数学必修二期末复习卷（二） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D D C C D B ABD AD 题号 11 答案 AB 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．C 【分析】利用列举法和古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】同时抛掷两枚骰子，所有可能的结果有：，，（1,3），，，，（2,1），，（2,3），（2,4），，，，（3,2），，（3,4），，（3,6），（4,1），，，，（4,5），（4,6），，，，，，（5,6），（6,1），，，，，，共36个样本点； 总数出现7的情况有共六种情况， 同时抛掷两枚骰子，总数出现7的概率是， 故选：C． 2．C 【分析】根据复数的除法运算即可求解. 【详解】. 故选：C 3．D 【分析】根据对称性求出，再利用复数除法求解作答. 【详解】复数，在复平面内对应的点关于x轴对称，且，则， 所以. 故选：D 4．D 【分析】根据等角定理即可确定大小. 【详解】 由等角定理得：相等或互补，所以或， 故选：D 5．C 【分析】根据面面垂直的性质定理及线面垂直的定义可得. 【详解】若，则根据面面垂直的性质定理，可得； 若，则由，可得. 故“”是“”的充要条件. 故选：C． 6．C 【分析】根据向量的线性运算法则把用表示即可得. 【详解】因为，所以， 所以， 又，而不共线，所以，所以. 故选：C. 7．D 【分析】利用复数的乘法运算求出，有乘积的实部和虚部为相等的正数，列出的等式，解出的值． 【详解】因为 ， 所以，即． 经检验，能使， 所以满足题意． 故选：D. 8．B 【分析】对A，借助平行线的传递性即可得；对B，可能出现平行或线在面内；对C，由，，必存在直线，且，结合面面平行的判定定理即可得；对D，借助线面垂直的性质定理即可得. 【详解】对A：若，，由平行的传递性可得，故A正确； 对B：若，，可能或，故B错误； 对C：若，，必存在直线，且，即有， 由，直线m，n异面，故，又，故，故C正确； 对D：若，，，，由面面垂直的性质定理可得，故D正确. 故选：B. 2、 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。正确选项是2个的，每对一个给3分，正确选项是3个的，每选对一个给2分。 9．ABD 【分析】根据线面、面面平行和垂直的判定与性质逐个分析判断即可. 【详解】对于A：若，，则m与n相交，或异面，A正确． 对于B：若，，则，又，α，β是两个不同的平面，所以，B正确． 对于C，若，则，或与相交，故C不正确； 对于D：若，，，则m与n平行，或相交，或异面，故D正确． 故选：ABD 10．AD 【分析】利用平面向量的数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择. 【详解】对于A：因为，所以，即， 又是非零向量，，所以，故A正确； 对于B：因为向量，满足，，与的夹角为60°， 故可得，故在上的投影向量为，故B错误； 对于C：点P在△ABC所在平面内，满足，则点P为三角形的重心，故选项C错误； 对于D：不妨设， 则，故四边形是平行四边形； 又， 又，则，故四边形是矩形.故选项D正确. 故选：AD. 11．AB 【分析】设，，，则，即为点到三点的距离之和，由费马点的性质可知当时，取得最小值，然后求解即可. 【详解】因为，， 设，，， 则 ， 即为点到三点的距离之和， 则是等腰锐角三角形，如图：    由费马点的性质可知， 当点满足时， 点到三角形三个顶点的距离之和最小， 所以， 则的最小值是. 故选：AB 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．/ 【分析】利用复数除法即可求得的化简结果. 【详解】 故答案为： 13．18 【分析】取线段AB的中点D，得，利用向量数量积的运算，结合解直角三角形，求得． 【详解】 取线段AB的中点D，得，所以. 所以． 故答案为：18． 14． 【分析】现用正弦定理边化角得，再由诱导公式进行化简，得，然后利用三角形的面积公式得，进而利用余弦定理和基本不等式求得的最小值，从而得到的最小值. 【详解】由，得，即 ，即， 即，因为是的内角， 所以，于是，进而得. 由，解得． 又，当且仅当时取等号， 所以， 所以． 故答案为：． 4、 解答题 15．（满分13分） 【分析】（1）（2）（3）由向量的线性运算可得结果. 【详解】（1）；…………4分 （2）；…………8分 （3）.…………13分 16．（满分15分） 【分析】（1）根据百分位数计算规则计算可得； （2）根据频率分布直方图中平均数公式计算可得； （3）利用列举法及古典概型的概率公式计算可得. 【详解】（1）因为， …………1分 所以这个数据的第百分位数是从小到大排列的第和第个数的平均数，即， …………5分 即甲社区名居民打分的第百分位数为. （2）由频率分布直方图可知，乙社区名居民打分的平均分为： . …………10分 （3）甲社区打分不低于分的有人记作、， 乙社区打分不低于分的有人，记作、、， 从中任选人的可能结果有、、、、、、、、、共个基本事件， …………12分 其中满足人不在同一社区的有、、、、、共个基本事件，……14分 所以人不在同一社区的概率. …………15分 17． （满分15分） 证明见解析 【分析】由线面平行的判定定理证明 【详解】证明：连接BD，交MC于F， …………2分 连接EF， …………4分 在菱形ABCD中，三角形BMF与三角形FCD相似， …………6分 且相似比为1:2，所以， …………8分 故， …………10分 而BP是平面EMC外的直线， …………12分 平面EMC， …………14分 所以平面EMC． …………15分 18．（满分17分） 【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算可得； （2）分三种情况讨论，分别按照相互独立事件的概率公式求出所对应的概率，再相加即可. 【详解】（1）依题意每人未获奖的概率为，获三等奖的概率为， 获二等奖的概率为，获一等奖的概率为， 所以甲获一等奖且乙未获奖的概率. …………8分（结果错误情况下每对一个给2分） （2）依题意有以下三种情形： ①丁获一等奖，丙获二等奖或三等奖或未获奖，则概率， ②丁获二等奖，丙获三等奖或未获奖，则概率， ③丁获三等奖，丙获未获奖，则概率， 综上可得丙所得奖金低于丁所得奖金的概率. …………17分（结果错误情况下每对一个给2分） 19．（满分17分） 【分析】（1）根据不放回的随机抽样问题，列出样本空间，利用古典概型求概率即可； （2）根据有放回的随机抽样问题，列出样本空间，利用古典概型求概率即可； 【详解】（1）不放回连续取两次的样本空间，，，，， ，，，，，，，，，，， ，，， …………3分 记“两数之和为3的倍数”为事件，则事件，，，，， ，， …………6分 …………8分 （2）设5个球记为，，，，，则有放回地取出两个的样本空间 ，，，，，，， ，，，，，，，， ，，，，，，，， …………12分 记“两球颜色恰好不同的概率”为事件，则，，， ，，，，，，，， ， …………15分 …………17分 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $