精品解析：上海市甘泉外国语中学2025-2026学年高一第二学期期末质量检测数学试卷

高一年级第二学期期末质量检测（数学） 命题人、审核人：高二数学备课组 考生注意： 1．本试卷共4页，21道试题，满分150分．考试时间120分钟． 2．本考试分试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 3．答卷前，务必用钢笔或珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分） 1. 已知复数（其中为虚数单位），则______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据虚部的定义直接求解即可. 【详解】因为，所以. 故答案为：2 2. 半径为6，圆心角等于的扇形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】由扇形面积公式即可直接计算求解. 【详解】由题得扇形的面积是. 故答案为：. 3. 等比数列中，，，则__________ 【答案】4 【解析】 【分析】由等比数列的性质求解 【详解】由题意得，而，故只能取． 故答案为：4 4. 曲线在点处的切线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程. 【详解】函数的导数为， 所以切线的斜率，切点为，则切线方程为． 故答案为：． 【点睛】易错点睛：求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点，考查学生的运算能力，属于基础题. 5. 已知，，则向量在向量方向上的投影向量为___(用坐标表示) 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量定义即可求得向量在向量方向上的投影向量 【详解】，， 则向量在向量方向上的投影向量为 . 故答案为： 6. 记等差数列的前n项和为，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列的下标和性质求出的值，再代入等差数列前n项和公式计算即可. 【详解】为等差数列，， ， . 7. 函数的严格减区间为______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定函数的定义域，再通过求导，解导数小于0的不等式得到该函数的严格减区间. 【详解】∵函数的定义域为, ∴，. 令，解得. ∴的严格减区间为. 8. 如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量平行四边形法则及线性运算得，再利用平面向量基本定理建立方程即可求得参数. 【详解】由题意可知，因为点F在BE上， 所以， 所以，所以，所以. 故答案为： 9. 设方程的两个根为，且，则实数m的值是________. 【答案】0或2 【解析】 【分析】当为实数根时，利用根与系数关系即可求出结果； 当为虚数根时，原方程的根是，利用复数模的定义即可求出结果. 【详解】当为实数根时， 方程的两个根为， ， ， ， ； 当为虚数根时，原方程的根是， ， ， 或， 故答案为：0或2. 10. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，，，且，则的面积为______. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据正弦定理和三角变换公式求得，再求出，最后根据面积公式可求. 【详解】由及正弦定理可得，又， 所以， 由知，故，所以，即， 所以，， 所以. 11. 如图，某体育公园广场放置着一块高为3米的大屏幕滚动播放各项体育赛事，大屏幕下端离地面高度3.5米，若小明同学的眼睛离地面高度1.5米，则为了获得最佳视野（最佳视野指看到大屏幕的上下夹角最大），小明应在距离大屏幕所在的平面_________米处观看?（精确到0.1米）. 【答案】3.2 【解析】 【分析】作于，设，根据两角差的正切公式，结合不等式求的最大值，并确定对应的即可. 【详解】如图：作于，设， 则，. 所以（当且仅当时取“”） 又，故（米）， 故答案为：3.2 12. 对于数列，定义为数列的“好数”，已知某数列的“好数”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】计算，得到，，根据题意，，计算得到答案. 【详解】由题意，当时，， 由，可得， 两式相减可得， 整理得， 由于，则数列的通项公式为， 则， 由于对任意的恒成立，则且，， 解得. 故答案为：. 【点睛】本题考查了数列的新定义，求数列的通项公式，求和公式，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分） 13. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用与诱导公式可求解. 【详解】∵， ∴. ∴. 14. 若函数图象如图所示，则图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据原函数的单调性与导函数的正负的关系，及导数的几何意义，逐一分析选项，即可得答案 【详解】由图象可得：在上，在上， 根据原函数图象与导函数图象关系可得：图象在上为增函数，在上为减函数，可排除A、D， 且在x=0处，，即在x=0处，的切线的斜率为0，可排除B， 故选：C 15. 已知数列为各项均不相等的等比数列，其前n项和为，且，，成等差数列，则（ ） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由，，成等差数列求出数列的公比，然后再表示出后求值． 【详解】设数列公比为，则， ∵，，成等差数列，∴，即，解得， ． 故选：D. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式与前项和，利用等差数列的性质求出数列公比，然后可求得比值． 16. 已知，函数，若函数恰有三个零点，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】当时，最多一个零点；当时，，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得． 【详解】当时，，得；最多一个零点； 当时，， ， 当，即时，，在，上递增，最多一个零点．不合题意； 当，即时，令得，，函数递增，令得，，函数递减；函数最多有2个零点； 根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点，在，上有2个零点， 如图： 且， 解得，，． 故选． 【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底. 三、解答题（本大题共有5题，分） 17. 已知数列的前n项和为，． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系式即可求解； （2）由（1）得出数列，然后利用分组求和法和等差数列，等比数列求和公式求解即可. 【小问1详解】 当时，，得， 当时，由得，， 两式相减得：， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，且. 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 所以， 即. 18. 已知为虚数单位，是实系数一元二次方程的两个虚根. （1）设满足方程，求； （2）设，复数所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出的代数形式根据复数相等可得答案； （2）求出与的坐标，根据向量夹角为钝角列出的不等式可得答案. 【小问1详解】 不妨设，则， 因为满足方程， 所以， 可得， 所以，解得， 所以； 【小问2详解】 设，则， 因为复数所对的向量分别是与， 所以，， 可得， ， 若向量与的夹角为钝角， 则，且， 即，且， 解得，， 实数的取值范围是. 19. 2025年春晚《秧BOT》节目将机器人元素融入舞台，展示了我国在机器人研发领域的卓越实力．某机器人研发团队设计了一款机器狗捕捉足球游戏，在如图所示的矩形中，在点A处放置机器狗，在的中点B处放置足球，它们做匀速直线运动，且无其他外界干扰．已知米，足球运动速度为v米/秒，设机器狗在点F处捕捉到足球，若点F在矩形内（含边界），则捕捉成功．记足球和机器狗的运动方向与所成夹角分别为． （1）当长度不受限制，时，机器狗以米/秒的速度捕捉足球，则为何值时，机器狗能捕捉成功？ （2）已知足球与机器狗运动方向所成夹角为长度不受限制，当机器狗成功捕捉足球时，求机器狗与足球运动的总路程的最大值． 【答案】（1） （2）8米 【解析】 【分析】（1）首先根据正弦定理和的关系可求出的值. （2）首先根据余弦定理求出的关系式，然后根据不等式的性质求出的最大值； 【小问1详解】 在中，由正弦定理知，即， 因为，，所以， 解得，因为，所以， 此时，因为，所有点在矩形内，捕捉成功． 【小问2详解】 在中，由余弦定理知， 故， 整理得， 即，当且仅当时等号成立，此时， ，点在矩形内，捕捉成功． 故机器狗与足球运动的总路程的最大值为米． 20. 已知函数 （1）求函数的最小正周期； （2）若函数，求函数在区间上的值域； （3）若恒成立，试求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将函数转化为，利用最小正周期公式求解； （2）由（1）得到，再利用正弦函数的性质求解； （3）将恒成立，转化为求解. 【小问1详解】 由诱导公式，， ， ∴的最小正周期． 【小问2详解】 由（1），知， ， ， 由，则， 故，则. 故在区间上的值域为. 【小问3详解】 ∵， ， ， ∴当时，， ∵恒成立， 等价于， ∴，即， 解得， ∴实数的取值范围为． 21. 若函数在处取得极值，且（常数），则称是函数的“相关点”. （1）若函数存在“相关点”，求的值； （2）若函数（常数）存在“1相关点”，求的值： （3）设函数的表达式为（常数且），若函数有两个不相等且均不为零的“2相关点”，过点存在3条直线与曲线相切，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）函数在 上单调递减，在上单调递增，可得为函数的极值点，进而结合题意即可求解； （2）由题意可得，即得，设，结合导数可得函数在上单调递增，且，进而求解； （3）由，可得，设，为函数的“2相关点”，则，，进而可得，，，故，再结合导数的几何意义求解即可. 【小问1详解】 函数的对称轴为， 且函数在 上单调递减，在上单调递增， 所以为函数的极值点， 因为函数存在“相关点”， 由题意可得，，解得. 【小问2详解】 由，则 ， 由题意可得，，即，即， 设，则， 所以函数在上单调递增，且， 所以方程存在唯一实数根1，即，即， 此时，则， 令，即；令，即， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的极值点为1，所以1是函数的“1相关点”， 所以. 【小问3详解】 由，得，即， 设，为函数的“2相关点”，则， 另一方面，，所以， 所以且，解得，，， 故，则， 因为过点存在3条直线与曲线相切， 设其中一个切点为，则， 整理得， 设，且函数有三个不同的零点， 则， 令，则；令，则或. 所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 所以，即，即实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级第二学期期末质量检测（数学） 命题人、审核人：高二数学备课组 考生注意： 1．本试卷共4页，21道试题，满分150分．考试时间120分钟． 2．本考试分试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 3．答卷前，务必用钢笔或珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分） 1. 已知复数（其中为虚数单位），则______. 2. 半径为6，圆心角等于的扇形的面积是______． 3. 等比数列中，，，则__________ 4. 曲线在点处的切线方程为__________. 5. 已知，，则向量在向量方向上的投影向量为___(用坐标表示) 6. 记等差数列的前n项和为，若，则______． 7. 函数的严格减区间为______． 8. 如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则______. 9. 设方程的两个根为，且，则实数m的值是________. 10. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，，，且，则的面积为______. 11. 如图，某体育公园广场放置着一块高为3米的大屏幕滚动播放各项体育赛事，大屏幕下端离地面高度3.5米，若小明同学的眼睛离地面高度1.5米，则为了获得最佳视野（最佳视野指看到大屏幕的上下夹角最大），小明应在距离大屏幕所在的平面_________米处观看?（精确到0.1米）. 12. 对于数列，定义为数列的“好数”，已知某数列的“好数”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是______. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分） 13. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 14. 若函数图象如图所示，则图象可能是（ ） A. B. C. D. 15. 已知数列为各项均不相等的等比数列，其前n项和为，且，，成等差数列，则（ ） A. 3 B. C. 1 D. 16. 已知，函数，若函数恰有三个零点，则 A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，分） 17. 已知数列的前n项和为，． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前n项和． 18. 已知为虚数单位，是实系数一元二次方程的两个虚根. （1）设满足方程，求； （2）设，复数所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 19. 2025年春晚《秧BOT》节目将机器人元素融入舞台，展示了我国在机器人研发领域的卓越实力．某机器人研发团队设计了一款机器狗捕捉足球游戏，在如图所示的矩形中，在点A处放置机器狗，在的中点B处放置足球，它们做匀速直线运动，且无其他外界干扰．已知米，足球运动速度为v米/秒，设机器狗在点F处捕捉到足球，若点F在矩形内（含边界），则捕捉成功．记足球和机器狗的运动方向与所成夹角分别为． （1）当长度不受限制，时，机器狗以米/秒的速度捕捉足球，则为何值时，机器狗能捕捉成功？ （2）已知足球与机器狗运动方向所成夹角为长度不受限制，当机器狗成功捕捉足球时，求机器狗与足球运动的总路程的最大值． 20. 已知函数 （1）求函数的最小正周期； （2）若函数，求函数在区间上的值域； （3）若恒成立，试求实数的取值范围. 21. 若函数在处取得极值，且（常数），则称是函数的“相关点”. （1）若函数存在“相关点”，求的值； （2）若函数（常数）存在“1相关点”，求的值： （3）设函数的表达式为（常数且），若函数有两个不相等且均不为零的“2相关点”，过点存在3条直线与曲线相切，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $