广东省佛山市顺德区广东顺德德胜学校2025-2026学年八年级下学期6月阶段检测数学试题

**基本信息** 广东顺德德胜学校八年级下学期6月数学月考卷，以基础巩固为底，融入探究性与应用性问题，如净水方案设计、四边形判定探究及新定义“折距离”，考查抽象能力、推理意识与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|平面直角坐标系、平行四边形性质、分式方程增根等|第8题平面镶嵌结合生活实际，第10题行程问题考查不等式应用| |填空题|5/15|因式分解、多边形内角和、坐标平移等|第14题平行四边形顶点坐标需分类讨论，考查空间观念| |解答题|8/75|旋转综合、方案探究、新定义等|20题净水方案比较培养模型意识，23题“折距离”新定义考查创新思维|

广东顺德德胜学校2025-2026学年八年级下学期6月阶段检测数学试题 一．选择题（共10小题，每题3分） 1．在平面直角坐标系内，点P(m-3,-5）在第三象限，则m的取值范围是 ( ) A. m<3 B. m≤3 C. m>3 D. m≥3 2．下列式子从左边至右边变形正确的是 ( ) A. a/9=a2 B. 0/6= C. cm=9/6 D.-2/0=-2/0 8．在平行四边形ABCD中，A:LB: <C: <D的值可能是 ( ) A.2:1:1:2 B.2:2:1:1 C.1:2:1:2 D.1:2:3:4 4．到三角形三个顶点距离相等的点是此三角形 ( ) A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点 C.三条高的交点 D.三边中垂线的交点 5．如图，在ΔABC中，D是BC边上一点，且AB=AD=DC,<BAD=40° ，则ZC为( ) A.25° B.35° C.40° D.50° 5．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是 ＜BOA的角平分线.”他这样做的依据是 ( ) A.角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B.在角的内部，到这个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上 C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D.以上均不正确 7．如图，在四边形ABCD中，点P是边CD上的动点，BQ=2，连接AP,PQ，，E,F分别是AP，PQ的中点，连接EF.点P在由C到D运动过程中，线段EF的长度 ( ) A.保持不变 B.逐渐变小 C.先变大，再变小 D.逐渐变大 8．在生活中，很多墙面与地面会用各种形状的瓷砖铺成，像这样用一些不重叠摆放的多边形将平面完全覆盖，叫做平面镶嵌，为了使镶嵌美丽多变，有时也可以用边长相同的两种正多边形进行镶嵌，下列不可以进行平面镶嵌的一组是 ( ) A.正三角形、正四边形 B.正三角形、正六边形 C.正五边形、正十边形 D.正四边形、正六边形 9.若关于x的分式方程221+3/41=7/2-1有增根，则m的值为 ( ) A.1 B. -2 C.1或-2 D.-1或2 10．张老师每天从甲地到乙地锻炼身体，甲、乙两地相距1400米．已知他步行的平均速度为80米／分，跑步的平均速度为200米／分，若他要在不超过10分钟的时间内从甲地到达乙地，至少需要跑步多少分钟？设他需要跑步x 分钟，则列出的不等式为 ( ) A. 200x+80(10-x)≥1400 B. 80x+200(10-x)≤1400 C. 200x+80(10-x)≥1.4 D. 80x+200(10-x)≤1.4 二．填空题（共5小题，每小题3分） 11．不等式-2x+4<0的解集为 . 12．分解因式2x3y-8x2y+8xy= 13．如果一个多边形每个外角都等于45°，那么它的内角和是 14．在平面直角坐标系中，A(-1,3),B(2,3),C(1,-3)，点D在第四象限．若以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是 15．在ΔABC内的任意一点P(a,b）经过平移后的对应点为P1（c,d)，已知A(3,2）在经过此次平移后对应点Ai的坐标为（5,-1)，则c+d-a-b的值为 三．解答题（共8小题） 16.(6分）先化简，再求值： ，从-1、0、1、2中选取一个合适的数代入求值． 17.(6分）如图，点A、B在数轴上且点A在点B的左侧，它们所对应的数分别是2/2和2/23 当点A到原点的距离比B到原点的距离多3，求x的值． 18.(7分）如图，平行四边形ABCD中， AE=CE, （1）请仅用无刻度的直尺作出LAEC的角平分线．要求：保留作图痕迹． （2）说明（1）中作图的理由． 19.(8分）在RtΔABC中， <ABC=90°, <BAC=30° ，将ΔABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到ΔAED，点B、C的对应点分别是E、D. （1）如图1，当点E恰好在AC上时，求／CDE的度数； （2）如图2，若a=60° 时，点F是边AC中点，求证：四边形BFDE是平行四边形； 20.(10分）小明设计了一个净水装置，将杂质含量为n的水用m单位量的净永材料过滤一次后，永中的杂质含量为L4m．利用此净水装置，小明进行了进一步的探究：现有杂质含量为1的水． （1）用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为 ; （2）小明共准备了6a单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案A是将6a单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案B和方案C均为将6a单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤．三种方案的具体操作及相关数据如表所示： 方案编 号 第一次过滤用净水材料 的单位量 水中杂质含量 第二次过滤用净水材料 的单位量 第二次过滤后水中杂质 含量 A 6a 1+6a / / B 5a 1+5a a (1+5a)(1+a) C 4a 2a ①请将表格中方案C的数据填写完整； ②在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好，并通过计算说明理由. 21.(13分）我们知道，四边形有两组对边，两组对角，两条对角线．已经研究了，如果四边形满足下列条件之一：①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③一组对边平行且相等；④对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形.由此，进一步探究··· ① ② （1）如图①，在四边形ABCD中， <A=LC, <B=<D.求证：四边形ABCD是平行四边形. （2）命题：如果四边形满足一组对边平行且另一组对边相等，那么这个四边形是平行四边形．如果这个命题是真命题，请证明；否则，请画出一个反例示意图，并标明所满足的条件. （3）命题：如果四边形满足一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线，那么这个四边形是平行四边形． （I）小明认为这是假命题，尝试画出反例.如图②，他先画出四边形ABCD的一条边AB，一条对角线BD.请你利用无刻度直尺和圆规在图②中画出反例.（保留作图痕迹，写出简要文字说明） （II）小明进一步探索发现，在四边形ABCD中，AB=CD，对角线AC、BD相交于点O，且OB=OD,BD=8,LAOB=60° ，对于满足条件的平行四边形ABCD的个数随着AB长度的变化而变化，直接写出平行四边形ABCD 的个数及对应的AB的长的取值范围. 22.(12分）在平行四边形ABCD中，AB=BC, LABC=60°，P是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边ΔAPE(A,P,E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化. （1）如图1，当点P在线段BD上，且点E在平行四边形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是 ，BC与CE的位置关系是 ; （2）如图2，当点P在线段BD上，且点E在平行四边形ABCD外部时，(1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； （3）当点P在直线BD上时，其他条件不变，连接BE．若AB=2V/3, BE=2/19，求线段AP的长. 图1 图2 图3 23.(13分）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点A(x1,y1）、B(x2,y2)，定义： T(A,B)=|x1-x2|+y1-y2l为点A、B的折距离．若点C满足T(A,C)+T(B,C)=m，则称点C为点A、B的m生成点；若图形W的所有点都是点A、B的m生成点，则称图形W为点A、B的m生成图形. （1）已知E(-1,2),F(1,3)： ①点E、F的折距离是＿；②若点D(0,4）是点E、F的m生成点，m的值为 ; （2）已知P(-4,1）、Q(1,4)，G(n-1,1-n),H(n,,1-n),L(n,-n) R(n-1,-n) ，连接点G、H、L、R得到正方形GHLR，把正方形GHLR记作图形K．若图形K是点P、Q的8生成图形，写出n 的最大值和最小值，并在下方写出必要的理由 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东顺德德胜学校2025-2026学年八年级下学期6月阶段检测数学试题（参考答案及解析） 一、选择题（共 10 小题，每题 3 分） 1. 在平面直角坐标系内，点 P(m-3, -5) 在第三象限，则 m 的取值范围是 ( ) A. m < 3 B. m ≤ 3 C. m > 3 D. m ≥ 3 【参考答案】 A 【解析】 第三象限内点的坐标特征为：横坐标小于 0，纵坐标小于 0。因此可得 ，解得 。 2. 下列式子从左边至右边变形正确的是 ( ) A. B. C. D. 【参考答案】 B 【解析】 选项 A 中， 并不等于 ；选项 B 中，0 除以任何不为 0 的数都等于 0，变形正确；选项 C 和 D 的等式不成立或分母不能为 0。 3. 在生活中，很多墙面与地面会用各种形状的瓷砖铺成，像这样用一些不重叠摆放的多边形将平面完全覆盖，叫做平面镶嵌。为了使镶嵌美丽多变，有时也可以用边长相同的两种正多边形进行镶嵌，下列不可以进行平面镶嵌的一组是 ( ) A. 正三角形、正四边形 B. 正三角形、正六边形 C. 正五边形、正十边形 D. 正四边形、正六边形 【参考答案】 D 【解析】 平面镶嵌的条件是：围绕一点拼在一起的几个多边形的内角之和恰好为 360°。 A 选项：正三角形内角 60°，正四边形内角 90°， ，可以镶嵌； B 选项：正三角形内角 60°，正六边形内角 120°， ，可以镶嵌； C 选项：正五边形内角 108°，正十边形内角 144°， ，可以镶嵌； D 选项：正四边形内角 90°，正六边形内角 120°，无法找到整数组合使内角和为 360°，不可以镶嵌。 4. 到三角形三个顶点距离相等的点是此三角形 ( ) A. 三条角平分线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条高的交点 D. 三边中垂线的交点 【参考答案】 D 【解析】 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。因此，到三角形三个顶点距离相等的点是三边中垂线的交点（即外心）。 5. 如图，在 中，D 是 BC 边上一点，且 AB=AD=DC， ，则 为 ( ) A. 25° B. 35° C. 40° D. 50° 【参考答案】 B 【解析】 因为 ，所以 。在 中， ，所以 。 因为 ，所以 。又因为 是 的外角，所以 。因此 。 6. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线。如图：把直尺压住射线 OB，另一把直尺压住射线 OA 并且与第一把直尺交于点 P，小明说：“射线 OP 就是 的角平分线。” 他这样做的依据是 ( ) A. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B. 在角的内部，到这个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上 C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D. 以上均不正确 【参考答案】 B 【解析】 两把完全相同的长方形直尺的宽度相同，交点 P 到角的两边 OA、OB 的距离均等于直尺的宽度，即 P 到两边的距离相等。根据角平分线的判定定理：“在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上”，故选 B。 7. 如图，在四边形 ABCD 中，点 P 是边 CD 上的动点，BQ=2，连接 AP，PQ，E、F 分别是 AP、PQ 的中点，连接 EF。点 P 由 C 到 D 运动过程中，线段 EF 的长度 ( ) A. 保持不变 B. 逐渐变小 C. 先变大，再变小 D. 逐渐变大 【参考答案】 A 【解析】 连接 AQ。在 中，因为 E、F 分别是 AP、PQ 的中点，所以 EF 是 的中位线，因此 。因为点 Q 是固定点，A 是固定点，所以 AQ 的长度保持不变，故 EF 的长度也保持不变。 8. 在平行四边形 ABCD 中， 的值可能是 ( ) A. 2:1:1:2 B. 2:2:1:1 C. 1:2:1:2 D. 1:2:3:4 【参考答案】 C 【解析】 平行四边形的对角相等，即 ， 。观察选项，只有 C 选项满足对角相等的比例关系。 9. 若关于 x 的分式方程 有增根，则 m 的值为 ( ) A. 1 B. -2 C. 1 或 -2 D. -1 或 2 【参考答案】 C 【解析】 方程两边同乘 ，得 。增根为使得最简公分母为 0 的值，即 或 。 将 代入整式方程： ，解得 （注：此处根据常规题型推导，若原方程为 ，则代入 得 ，代入 得 。根据选项 C 的提示，推测原题增根条件对应 或 。此处按标准解析逻辑给出：分式方程有增根，则增根必定使分母为0，解得对应参数值）。注：因原题 OCR 识别公式存在部分乱码，依据选项反推，本题考察增根概念，答案选 C。 10. 张老师每天从甲地到乙地锻炼身体，甲、乙两地相距 1400 米。已知他步行的平均速度为 80 米/分，跑步的平均速度为 200 米/分，若他要在不超过 10 分钟内从甲地到达乙地，至少需要跑步多少分钟？设他需要跑步 x 分钟，则列出的不等式为（ ） A. B. C. D. 【参考答案】 A 【解析】 设跑步时间为 x 分钟，则步行时间为 分钟。跑步的路程为 米，步行的路程为 米。因为要在不超过 10 分钟内到达，即总路程要大于或等于 1400 米，所以列出不等式 。 二、填空题（共 5 小题，每小题 3 分） 11. 不等式 的解集为__________。 【参考答案】 【解析】 移项得 ，系数化为 1 得 。 12. 分解因式 __________。 【参考答案】 【解析】 首先提取公因式 ，得到 ，再利用完全平方公式分解得到 。 13. 如果一个多边形每个外角都等于 45°，那么它的内角和是__________。 【参考答案】 1080° 【解析】 多边形的外角和为 360°，因为每个外角为 45°，所以边数 。根据多边形内角和公式 ，内角和为 。 14. 在平面直角坐标系中，A(-1,3)，B(2,3)，C(1,-3)，点 D 在第四象限。若以 A,B,C,D 为顶点的四边形是平行四边形，则点 D 的坐标是__________。 【参考答案】 (4, -3) 【解析】 因为 A(-1,3)，B(2,3)，所以线段 AB 平行于 x 轴，且长度为 。要使四边形 ABCD 为平行四边形，CD 必须平行且等于 AB。因为 C 点坐标为 (1,-3)，且 D 在第四象限，所以 D 点纵坐标也为 -3，横坐标为 ，即 D(4, -3)。 15. 在 内的任意一点 P(a,b) 经过平移后的对应点为 P1(c,d)，已知 A(3,2) 在经过此次平移后对应点 A1 的坐标为 (5,-1)，则 c+d-a-b 的值为__________。 【参考答案】 0 【解析】 由 A(3,2) 平移到 A1(5,-1) 可知，平移规律为：横坐标加 2，纵坐标减 3。即 ， 。所以 。（注：若题目问的是平移向量的和或其他组合，依具体公式而定；此处按代数式直接代入化简得 -1。若原题为求 ，结果亦为 。若题目有特定设定，请以具体代数式为准。） 三、解答题（共 8 小题） 16. (6 分) 先化简，再求值： ，x 从 -1、0、1、2 中选取一个合适的数代入求值。 【参考答案与解析】 原式 要使分式有意义，需满足 。 在给定的 -1、0、1、2 中，只有 合适。 将 代入化简后的式子： 。 17. (6 分) 如图，点 A、B 在数轴上且点 A 在点 B 的左侧，它们所对应的数分别是 和 ，当点 A 到原点的距离比 B 到原点的距离多 3，求 x 的值。 【参考答案与解析】 因为 ，所以点 B 对应的数为 。 由题意知，点 A 在原点左侧，点 B 在原点右侧（或根据距离关系列式）。 。 由于 A 在 B 左侧且距离原点差为 3，结合数轴位置可推断 A 为负数，B 为正数。 即 ，解得 。 经检验， 是原方程的解。 18. (7 分) 如图，平行四边形 ABCD 中，AE=CE。 (1) 请仅用无刻度的直尺作出 的角平分线。要求：保留作图痕迹。 (2) 说明 (1) 中作图的理由。 【参考答案与解析】 (1) 连接对角线 AC 和 BD，交于点 O。连接 EO 并延长，射线 EO 即为所求的 的角平分线。 (2) 理由：在平行四边形 ABCD 中，对角线互相平分，所以 O 是 AC 的中点。又因为 ，所以 是等腰三角形。根据等腰三角形“三线合一”的性质，底边 AC 上的中线 EO 也是顶角 的角平分线。 19. (8 分) 在 Rt 中， ， ，将 绕点 A 顺时针旋转一定的角度 得到 ，点 B、C 的对应点分别是 E、D。 (1) 如图 1，当点 E 恰好落在 AC 上时，求 的度数； (2) 如图 2，当点 E 为 AC 中点，求证：四边形 BFDE 是平行四边形。 【参考答案与解析】 (1) 在 Rt 中， ，则 。由旋转性质知， ， 。因为点 E 在 AC 上，所以 。在等腰 中， ，故 为等边三角形， 。由旋转知 ，在 Rt 中， 。（或根据 ， ，则 ）。 (2) 证明：因为 E 为 AC 中点，且 ，所以在 Rt 中， 。由旋转性质知 ，所以 ，即 为等边三角形， 。因此旋转角 。 因为 ，所以 。又因为 ， ，所以 为等边三角形， 。 因为 ，所以 。又由旋转知 ，一组对边平行且相等，故四边形 BFDE 是平行四边形。 20. (10 分) 小明设计了一个净水装置，将杂质含量为 n 的水用 m 单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为 。利用此净水装置，小明进行了进一步的探究：现有杂质含量为 1 的水。 (1) 用 2 单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为__________； (2) 小明共准备了 6a 单位量的净水材料，设计了如下的三种方案： ①请将表格中方案 C 的数据填写完整； ②在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好，并通过计算说明理由。 【参考答案与解析】 (1) 根据公式 ，初始 ， ，过滤后杂质含量为 。 (2) ① 方案 C：第一次用 4a，杂质变为 ；第二次用 2a，杂质变为 。 ② 方案 A 最终杂质含量： ； 方案 B 最终杂质含量： ； 方案 C 最终杂质含量： 。 因为 ，所以 。分母越大，分数值越小。 因此，方案 C 的最终杂质含量最少，过滤效果最好。 21. (13 分) 我们知道，四边形有两组对边，两组对角，两条对角线。已经研究了，如果四边形满足下列条件之一：①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③一组对边平行且相等；④对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形。由此，进一步探究... (1) 如图①，在四边形 ABCD 中， 。求证：四边形 ABCD 是平行四边形。 (2) 命题：如果四边形满足一组对边平行且另一组对边相等，那么这个四边形是平行四边形。如果这个命题是真命题，请证明；否则，请画出一个反例示意图，并标明所满足的条件。 (3) 命题：如果四边形满足一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线，那么这个四边形是平行四边形。 (1) 证明见解析。 (2) 假命题，反例为等腰梯形。 (3) (I) 作图见解析；(II) 当 时，有 1 个；当 时，有 2 个；当 时，有 0 个。 【详细解析】 (1) 证明： 在四边形 中， ， ， 又 ， 。 。 同理可证 。 四边形 是平行四边形（两组对边分别平行）。 (2) 假命题。 反例：等腰梯形。 在等腰梯形中，两腰相等（即一组对边相等），且上下底平行（即另一组对边平行），但它不是平行四边形。 (3) (I) 尺规作图说明： 已知边 和对角线 ，且要求 （即 为 中点）， 。 作法： 1. 作线段 的垂直平分线，在垂直平分线上任取一点 作为对角线交点（题目已给定 ，故 为 中点）。 2. 以 为圆心， 长为半径画弧。 3. 延长 至 （已满足 ）。 4. 以 为圆心， 长为半径画弧，与步骤 2 中的弧交于点 （取不在 直线上的交点）。 5. 连接 ，得到的四边形 满足 且对角线互相平分（ ），但由于 ，它不是平行四边形。 (3) (II) 平行四边形个数探究： 若四边形 是平行四边形，则对角线互相平分，即 ， 。 已知 ， 。 又已知 ， 。 在 中，由余弦定理： 即 。 要使平行四边形存在，关于 的方程必须有正实数解。 判别式 。 解得 。 同时，根据三角形两边之和大于第三边，在 中， 。 结合题意与标准考法，此题考察的是以 为顶点， ，夹角 ，对边为 的三角形存在性及个数： 过点 作射线使 ，以 为圆心， 为半径画圆，看与射线的交点个数。 点 到射线 的距离 。 · 当 时，圆与射线无交点，平行四边形个数为 0； · 当 时，圆与射线相切，平行四边形个数为 1； · 当 时，圆与射线有两个交点，平行四边形个数为 2； · 当 时，圆与射线有一个交点（另一个交点在反向延长线上，不符合 的射线定义），平行四边形个数为 1。 (注：根据题目给出的数据 ， 。若题目原意为 长度变化，以上为严谨的几何分析。若结合常见考题数据，通常临界值为 。此处给出基于 的完整分类讨论。) 22. 动点与等边三角形综合题 【参考答案】 (1) ； 。 (2) 结论依然成立，证明见解析。 (3) 或 。 【详细解析】 (1) 四边形 是平行四边形，且 ， ， 是等边三角形， ， 。 是等边三角形， ， 。 ， 。 。 在 和 中： ， ， ， (SAS)。 ， 。 在菱形 中， 平分 ， 。 。 ，即 。 (2) 成立。 证明：当点 在外部时， ， 。 。 同理可证 (SAS)。 ， 。 ，即 。 (3) 由 (1)(2) 知，无论点 在何处，始终有 ，且 。 在 Rt 中， ， （注：此处题目数据 疑似 OCR 识别错误，常见考题为 或其他合理数值。若按 计算： ）。 ， 。 在 中，由余弦定理： 。 由于 在直线 上， 。 在 中，利用正弦定理或几何关系求 ： 过 作 于 。在 Rt 中， ， ， ， 。 在 Rt 中， 。 已知 ，若 在线段 上， ； 若 在 延长线上， 。 代入计算即可求出 的长。(注：因原题数据 存在明显排版错误，此处提供完整的解题思路与框架，实际计算请代入正确的 数值。) 23. 折距离与新定义综合题 【参考答案】 (1) ① ；② 。 (2) 的最大值为 ，最小值为 。 【详细解析】 (1) ① 。 ② 是 的 生成点， 。 (注：若题目中 为 ，计算结果为 5。若题目原意 ，则 点坐标可能为 或其他。此处按给定坐标严格计算。) (2) 已知 ， ，则 。 图形 是正方形 ，顶点为 ， ， ， 。 这是一个边长为 的正方形，其横坐标范围为 ，纵坐标范围为 。 图形 是点 的 生成图形， 对于正方形 内的任意一点 ，都有 。 即 。 整理得： 。 分析函数 ： 当 时， ；当 或 时， 。 分析函数 ： 当 时， ；当 或 时， 。 要使 恒成立，且正方形 内所有点都满足，则必须满足： 正方形 的横坐标范围必须包含在 内，即 且 且 。 正方形 的纵坐标范围必须包含在 $$ 内，即 且 且 。 取交集： 由横坐标得： ； 由纵坐标得： 。 综合得： 。 (注：根据上述推导， 的最大值为 ，最小值为 。若题目中 坐标或正方形定义有细微差异，请相应调整区间。此处严格按照给定坐标 及正方形顶点推导。) 因此， 的最大值为 ，最小值为 。 学科网（北京）股份有限公司 $