精品解析：广东省佛山市顺德区拔萃实验学校2024-2025学年八年级下学期第二次学业水平测试卷

2024-2025学年八年级第二学期第二次数学学业水平测试 满分120分 考试时间120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的） 1. 中国队在2024年巴黎奥运会上的成绩非常出色，金牌数与美国队并列第一，创造了多项历史纪录．下列图案是2024年巴黎奥运会部分运动项目的示意图，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形概念．解题的关键是理解中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此对各选项图案进行判断． 根据中心对称图形的定义，对每个选项的图案依次分析：判断图案绕某一点旋转后是否能与自身重合．若能重合，则是中心对称图形；反之则不是． 【详解】解：中心对称图形是指在平面内，绕某一点旋转后能与自身重合的图形． 选项该图案只是轴对称图形，绕任意点旋转后不能与自身重合，不是中心对称图形． 选项该图案绕任意点旋转后不能与自身重合，既不是轴对称图形也不是中心对称图形． 选项该图案绕任意点旋转后不能与自身重合，既不是轴对称图形也不是中心对称图形． 选项该图案绕某一点旋转后能与自身重合，是中心对称图形． 故选：D． 2. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了分式的化简，最简分式．根据分式的性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，不是最简分式，故本选项不符合题意； B、是最简分式，故本选项符合题意； C、，不是最简分式，故本选项不符合题意； D、，不是最简分式，故本选项不符合题意； 故选：B． 3. 若a＞b，则下列各式中一定成立的是( ) A. a＋2＜b＋2 B. a－2＜b－2 C. ＞ D. －2a＞－2b 【答案】C 【解析】 【详解】解：已知a>b， A. a+2>b+2，故A选项错误； B. a−2>b−2，故B选项错误； C. ＞，故C选项正确； D. −2a<−2b，故D选项错误． 故选：C. 4. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：根据因式分解的意义即可判断． 详解：因式分解是指将一个多项式化为几个整式的乘积． A．是多项式乘法，故A错误； B．等式右边不是几个整式的乘积的形式，故B错误； C、是因式分解，故C正确； D、是整式乘法，故D错误． 故选C． 点睛：本题考查了因式分解的意义，解题的关键是正确理解因式分解的意义，本题属于基础题型． 5. 如图，于点于点，若，则的理由是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直角三角形全等的判定方法“”，即可判断． 【详解】证明：于点，于点， ， 在和中， ， ， 的理由是． 故选：B． 【点睛】本题考查直角三角形全等的判定，关键是掌握直角三角形全等的判定方法：． 6. 如图，将（其中）绕点A按顺时针方向旋转到的位置，使得点C、A、在同一条直线上，那么旋转角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；由旋转的性质可知是旋转角，进而只有得出的度数即为旋转角的度数． 【详解】解：∵， ∴； 故选C． 7. 的平分线上一点P到的距离为5，Q是射线上任一点，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点P作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再根据垂线段最短解答． 详解】解：如图，过点P作于E， ∵是的平分线， ∴， ∵Q是上任一点， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键，作出辅助线更形象直观． 8. 如图，在中，，，尺规作图的部分作法如下：（1）分别以的端点，为圆心、大于为半径画弧，使两弧相交于点，；（2）作直线交于点，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：由作图可知：是线段的垂直平分线， 则， ，， 的周长， 故选：B． 9. 用反证法证明命题“一个多边形最多有四个内角是直角”时，我们可以先假设（ ） A. 有三个直角 B. 有四个直角 C. 至少有四个内角是直角 D. 至少有五个内角是直角 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反证法，反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，由此即可得出答案． 【详解】解：用反证法证明命题“一个多边形最多有四个内角是直角”时，我们可以先假设至少有五个内角是直角， 故选：D． 10. 如图，螳螂亦称刀螂，无脊椎动物，属肉食性昆虫，在螳螂的示意图中，．是等腰三角形，，，则的度数为（ ） A. 32° B. 48° C. 44° D. 30° 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角，熟练掌握各性质定理是解题关键．延长交于点F，得然后由三角形外角求解即可． 【详解】解：延长交于点F，如图： 是等腰三角形， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 不等式的解集如图所示，写出一个符合要求的不等式：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由题意知，一元一次不等式的解集为，则符合要求的不等式可以为． 【详解】解：由题意知，一元一次不等式的解集为， ∴符合要求的不等式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了在数轴上表示一元一次不等式的解集．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 12. 因式分解：___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，综合运用提公因式法和公式法分解因式是解题的关键． 先提公因式4，再利用平方差公式分解因式，即可得出答案． 【详解】解： 故答案为：． 13. 当___________时，分式的值为零． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件：分子等于零，分母不等于零是解题的关键． 根据分式值为零的条件：分子等于零，分母不等于零求解即可． 【详解】解：由题意，得 ， 解得：， 故答案为：． 14. 若不等式（m为常数，且）的解集为 ，则m的取值范围是______________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，掌握不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键． 【详解】解：由题可知，， 解得：， 故答案为：． 15. 如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，则CD的长为___________． 【答案】4． 【解析】 【分析】首先以CD为边作等边△CDE，连接AE，利用全等三角形的判定得出△BCD≌△ACE，进而求出DE的长即可． 【详解】解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE． ∵∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD=∠ACE， ∴在△BCD和△ACE中， ∴△BCD≌△ACE（SAS）， ∴BD=AE． 又∵∠ADC=30°， ∴∠ADE=90°． 在Rt△ADE中，AE=5，AD=3， 于DE= ∴CD=DE=4． 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，根据已知得出∠ADE=90°是解题关键． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分 16. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式组的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先分别求出两个不等式的解集，进一步求出公共解集，然后即可求解； 【详解】解：由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为； 17. 已知a2+4a+1＝0，求的值． 【答案】， 【解析】 【分析】括号里的分式先进行通分，通分完成后进行因式分解，分式约分化简；把a2+4a+1＝0整理代入可得． 【详解】 ＝[ ＝ ＝ ＝， ∵a2+4a+1＝0， ∴a2+4a+4＝3， ∴（a+2）2＝3， ∴原式＝ ． 【点睛】此题考查了分式的约分化简求值，能正确的根据分式的运算法则进行化简是解题的关键． 18. 如图，在中，，点D在上，，，，垂足分别为E，F，且，求长． 【答案】5 【解析】 【分析】根据角平分线的判定定理求出∠BAD，根据直角三角形的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE=DF， ∴， 在Rt△ADE中，∠BAD=30°， ∴DE． 【点睛】本题考查的是角平分线的判定定理、含30°角的直角三角形的性质，掌握在角内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19. 若一个整数能表示成（a，b是非零整数）的形式，则称这个数为“神秘平方数”．例如，5是“神秘平方数”，因为，再如（x，y是非零整数且），所以M也是“神秘平方数”． （1）请你写一个大于20小于30的“神秘平方数”：______； （2）请判断52是否是“神秘平方数”，并说明理由； （3）已知（x是整数且，k是常数），要使S为“神秘平方数”，请求出符合条件的一个k值，并说明理由． 【答案】（1）25（答案不唯一） （2）52是“神秘平方数”，理由见详解 （3）（答案不唯一），理由见详解 【解析】 【分析】本题考查了新定义的运算以及完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据定义，写出一个“神秘平方数”即可； （2）根据“神秘平方数”的定义进行判断即可； （3） 先利用完全平方公式进行整理，根据定义得出，求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得， ∵， ∴25是“神秘平方数”， 故答案为：25（答案不唯一）； 【小问2详解】 解：52是“神秘平方数”，理由如下： ∵， ∴52是“神秘平方数”； 【小问3详解】 解：，理由如下： ， ， 根据“神秘平方数”的定义，可令， 解得． 20. 某文体书店销售A，B两种跳绳，购买2条A种跳绳和3条B种跳绳共计35元，购买6条A种跳绳和4条B种跳绳共计80元． （1）求A种跳绳和B种跳绳每条的价钱． （2）现该文体书店对A，B两种跳绳开展促销活动，活动方案如表（两种促销方案不能同时使用）： 方案 内容 促销方案一 买一条A种跳绳，赠送一条B种跳绳 促销方案二 买A种或B种跳绳都打八折 某校为了准备跳绳比赛，计划购买A，B两种跳绳，且B种跳绳比A种跳绳多买20条．请根据购买A种跳绳的条数x的不同范围，说明该校选择哪种促销方案合适． 【答案】（1）A种跳绳每条10元，B种跳绳每条5元 （2）促销方案见解析 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意列出方程组和不等式来求解． （1）设种跳绳每条元，种跳绳每条元，根据已知条件列出方程组求出两种跳绳的单价； （2）分别计算两种促销方案的花费，通过比较花费来确定合适的方案． 【小问1详解】 解：设种跳绳每条元，种跳绳每条元， 根据题意得：， 解得：． 种跳绳每条10元，种跳绳每条5元． 【小问2详解】 解：促销方案一的花费：（元） 促销方案二的花费：（元） 当，解得：， 当，解得：． 当，解得：， 所以当时，该校选择促销方案一和二同样合适， 当时，该校选择促销方案二更合适， 当时，该校选择促销方案一更合适． 21. 某学习小组在综合与实践活动中，研究一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系课题时，对函数的图象和性质做了探究．下面是该学习小组的探究过程，请补充完整： （1）上表是与的几组对应值，请将表格补充完整：表格中的值为 ，的值为 ． （2）如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象． （3）请观察函数的图象，直接写出如下结论： 当自变量 时，函数的最小值为 ； 方程的解集为 ； 函数与的图象只有两个交点，其中交点坐标分别是和．当时，直接写出不等式的解集． 【答案】（1），； （2）见解析； （3），； 或； ． 【解析】 【分析】根据表格中的数据可知与 的函数关系式应为，分别把和代入函数的解析式求出、的值即可； 根据表格中的数据，描点、连线即可画出函数图象； 由中的函数图象可知：当时，函数有最小值，最小值为； 因为不等式，所以可得不等式：或，解不等式求出解集即可； 把点和代入一次函数中，利用待定系数法求出、的值，即可得到一次函数的解析式为，画出函数图象，根据图象写出不等式的解集即可． 【小问1详解】 解：由表格中的数据可知与 的函数关系式应为， 当时，， 即， 当时，， 即， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：画图如下， 【小问3详解】 解：由图象可知：当时，函数有最小值，最小值为； 故答案为：，； 不等式， 可得：或， 当时，解得：， 当，解得：， 不等式的解集为：或， 故答案为：或； 当一次函数的图象经过点是和时， 可得：， 解得：， 一次函数的解析式为， 画函数图象如下， 从图象上可以看出：当时，． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质、一次函数与一元一次不等式、函数图象上点的坐标的求法、函数图象的画法，熟练掌握函数图象点的坐标的求法、函数图象的画法是解决本题关键． 五.解答题(三):本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分 22. 在中，，以为顶点作等腰直角三角形．连接，射线交线段于点． （1）如图1，，点在一条直线上，直接写出线段和线段的数量关系和位置关系； （2）如图2，点在一条直线上时，． ①求证：： ②若，直接写出的长为_________： ③若，将绕点逆时针旋转，在旋转过程中射线交直线于点，当是等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】（1） （2）①见解析；②；③1或2 【解析】 【分析】（1）先证明，得出，，再求出，进而求出，即可得出结论； （2）①过点作，交于点，由等腰直角三角形的性质可求，，即可证，，根据“”可证，可得，根据等腰直角三角形的性质可得，即可证；②由题意可求出，进而求出，最后由勾股定理即可求出答案；③分，两种情况讨论，根据等腰直角三角形的性质可求的长． 【小问1详解】 解：， 理由如下： ， ， ， ，， ， ，， 在中，， ， ， ， ， ， ， ，； 【小问2详解】 如图，过点作，交于点， ， 是等腰直角三角形， ，， ，， ，， ，， ， ， ， ，， ， ； ，，， ， ， 在中，根据勾股定理得：； 在，， ， 当时，如图，此时点与点重合， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ， 当时，如图， ， ，， ， ， ， ； 综上所述，的长为1或2． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 23. 如图，在中，，，，点D和点E分别是边和边上的动点点D不与A，B重合，．连接，以为边向左上方作等边，连接，设． （1）用含有a的式子表示线段的长； （2）记的面积为，的面积为，求的值； （3）连接，当的周长最小时，求a的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）可求得，进一步得出结果； （2）作于H，作，交的延长线于点Q，可证明，从而，进一步得出结果； （3）过点作，作，利用三角形内角和推出，结合，证明．由此得到线段关系，进而推出．在直角三角形中，根据所对直角边是斜边一半，得出，进而算出．又已知，所以，即为的中垂线．根据中垂线的性质，得到 ，当点落在边上时，的周长取最小值．此时，根据，，推出 ，所以，即，解方程可得答案． 【小问1详解】 解：，， ， ， ； 【小问2详解】 如图，作于H，作，交BC的延长线于点Q， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； 【小问3详解】 如图，过点作，作， ， ， 又， ， ，， ， 又， ， ， 又， ， 为的中垂线， ， 当点落在边上时取最小值， 此时点，，，的位置如图所示， ， ， ， ， 即， 解得． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质垂直平分线的判定和性质，解题关键是作辅助线．构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年八年级第二学期第二次数学学业水平测试 满分120分 考试时间120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的） 1. 中国队在2024年巴黎奥运会上的成绩非常出色，金牌数与美国队并列第一，创造了多项历史纪录．下列图案是2024年巴黎奥运会部分运动项目的示意图，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 若a＞b，则下列各式中一定成立的是( ) A. a＋2＜b＋2 B. a－2＜b－2 C. ＞ D. －2a＞－2b 4. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，于点于点，若，则的理由是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将（其中）绕点A按顺时针方向旋转到位置，使得点C、A、在同一条直线上，那么旋转角等于（ ） A. B. C. D. 7. 的平分线上一点P到的距离为5，Q是射线上任一点，则（　　） A B. C. D. 8. 如图，在中，，，尺规作图的部分作法如下：（1）分别以的端点，为圆心、大于为半径画弧，使两弧相交于点，；（2）作直线交于点，则的周长是（ ） A. B. C. D. 9. 用反证法证明命题“一个多边形最多有四个内角是直角”时，我们可以先假设（ ） A. 有三个直角 B. 有四个直角 C. 至少有四个内角是直角 D. 至少有五个内角是直角 10. 如图，螳螂亦称刀螂，无脊椎动物，属肉食性昆虫，在螳螂的示意图中，．是等腰三角形，，，则的度数为（ ） A. 32° B. 48° C. 44° D. 30° 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 不等式的解集如图所示，写出一个符合要求的不等式：______． 12. 因式分解：___________ 13. 当___________时，分式的值为零． 14. 若不等式（m为常数，且）的解集为 ，则m的取值范围是______________． 15. 如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，则CD的长为___________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分 16. 解不等式组：． 17. 已知a2+4a+1＝0，求的值． 18. 如图，在中，，点D在上，，，，垂足分别为E，F，且，求的长． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19. 若一个整数能表示成（a，b是非零整数）的形式，则称这个数为“神秘平方数”．例如，5是“神秘平方数”，因为，再如（x，y是非零整数且），所以M也是“神秘平方数”． （1）请你写一个大于20小于30的“神秘平方数”：______； （2）请判断52是否是“神秘平方数”，并说明理由； （3）已知（x是整数且，k是常数），要使S为“神秘平方数”，请求出符合条件一个k值，并说明理由． 20. 某文体书店销售A，B两种跳绳，购买2条A种跳绳和3条B种跳绳共计35元，购买6条A种跳绳和4条B种跳绳共计80元． （1）求A种跳绳和B种跳绳每条的价钱． （2）现该文体书店对A，B两种跳绳开展促销活动，活动方案如表（两种促销方案不能同时使用）： 方案 内容 促销方案一 买一条A种跳绳，赠送一条B种跳绳 促销方案二 买A种或B种跳绳都打八折 某校为了准备跳绳比赛，计划购买A，B两种跳绳，且B种跳绳比A种跳绳多买20条．请根据购买A种跳绳的条数x的不同范围，说明该校选择哪种促销方案合适． 21. 某学习小组在综合与实践活动中，研究一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系课题时，对函数的图象和性质做了探究．下面是该学习小组的探究过程，请补充完整： （1）上表是与的几组对应值，请将表格补充完整：表格中的值为 ，的值为 ． （2）如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数图象． （3）请观察函数的图象，直接写出如下结论： 当自变量 时，函数的最小值为 ； 方程解集为 ； 函数与的图象只有两个交点，其中交点坐标分别是和．当时，直接写出不等式的解集． 五.解答题(三):本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分 22. 在中，，以为顶点作等腰直角三角形．连接，射线交线段于点． （1）如图1，，点在一条直线上，直接写出线段和线段的数量关系和位置关系； （2）如图2，点在一条直线上时，． ①求证：： ②若，直接写出的长为_________： ③若，将绕点逆时针旋转，在旋转过程中射线交直线于点，当是等腰三角形时，直接写出的长． 23. 如图，在中，，，，点D和点E分别是边和边上的动点点D不与A，B重合，．连接，以为边向左上方作等边，连接，设． （1）用含有a的式子表示线段的长； （2）记的面积为，的面积为，求的值； （3）连接，当的周长最小时，求a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $