4.5 练习2　用二分法求方程的近似解 同步练 2026-2027学年 高中数学高一上学期人教A版 必修第一册

**基本信息** 本同步练习聚焦“用二分法求方程的近似解”，通过基础概念辨析、运算应用到综合探究的三阶分层设计，构建从单一知识点到综合应用的巩固路径，适配新授课教学，培养数学思维与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|二分法基本概念（零点存在条件、精确度定义）|单选1-3直观考查概念理解，如零点判断、精确度条件| |中档|运算应用（近似值计算、区间二分）|单选4-9结合表格数据训练区间二分，多选辨析概念误区| |提升|综合探究（参数范围、证明与跨知识点应用）|填空10-12涉及参数与区间确定，解答13-16综合证明与实际近似解计算|

4.5 练习2　用二分法求方程的近似解 1. 用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　C　) A. x1 B. x2 C. x3 D. x4 【解析】能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)＜0.而x3左右两侧的函数值都小于零，不满足区间端点处函数值符号相异的条件. 2. 用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是(　B　) A. |a－b|＜0.1 B. |a－b|＜0.001 C. |a－b|＞0.001 D. |a－b|＝0.001 【解析】根据二分法的步骤知当|b－a|小于精确度ε时，便可结束计算. 3. 用二分法求函数f(x)＝lg x＋x－3零点的近似值时，可以取的初始区间是(　C　) A. (0，1) B. (1，2) C. (2，3) D. (3，4) 【解析】f(x)＝lg x＋x－3在(0，＋∞)上单调递增，∵f(1)＝lg 1＋1－3＝－2＜0，f(2)＝lg 2＋2－3＝lg＜0，f(3)＝lg 3＋3－3＝lg 3＞0，f(4)＝lg 4＋4－3＞0， ∴f(2)·f(3)＜0，根据函数零点存在定理知，可以取的初始区间为(2，3). 4. 已知函数f(x)＝x－e－x的部分函数值如下表所示： x 1 0.5 0.75 0.625 0.562 5 f(x) 0.632 1 －0.106 5 0.277 6 0.089 7 －0.007 3 那么f(x)的零点的近似值可取为(精确度为0.1)(　B　) A. 0.55 B. 0.57 C. 0.65 D. 0.70 【解析】函数f(x)在定义域上是增函数，根据表中数据知，函数f(x)的零点在区间(0.562 5，0.625)内，∵|0.625－0.562 5|＝0.062 5＜0.1，∴f(x)的零点的近似值可取为0.57. 5. 已知函数f(x)＝2x－在区间(1，2)上有一个零点x0，如果用二分法求x0的近似值，则应将区间(1，2)至少等分的次数为(精确度为0.01)(　C　) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【解析】∵每等分一次，零点所在区间的长度变为原来的，∴等分n次后， 零点所在区间的长度变为原来的，则由题可得＜0.01，即2n＞100，∴n≥7，则至少等分的次数为7. 6. 已知定义在[a， b]上的增函数f(x)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为[a，b]，，又f＝0，则函数f(x)的零点为(　C　) A. － B. － C. － D. － 【解析】由f(x)在[a，b]上单调递增，得f(a)＜0，f(b)＞0.又a＋＞a恒成立， ∴解得∴f(x)的零点为＝－. 7. 某同学用二分法求函数f(x)＝2x＋3x－7的零点时，计算出如下结果：f(1.5)≈0.33，f(1.25)≈－0.87，f(1.375)≈－0.28，f(1.437 5)≈0.02，f(1.406 25)≈－0.13，f(1.421 875)≈－0.055，下列说法中，正确的是(　B　) A. 1.406 25是满足精确度为0.01的近似值 B. 1.375是满足精确度为0.1的近似值 C. 1.437 5是满足精确度为0.01的近似值 D. 1.25是满足精确度为0.1的近似值 【解析】f(1.437 5)≈0.02＞0，f(1.406 25)≈－0.13＜0.又1.437 5－1.406 25＝ 0.031 25＞0.01，A错误； ∵f(1.375)≈－0.28＜0，f(1.437 5)≈0.02＞0.又1.437 5－1.375＝0.062 5＜0.1， ∴满足精确度为0.1的近似值在(1.375，1.437 5)内或为1.375，则B正确，D错误；∵f(1.421 875)≈－0.005＜0，f(1.437 5)≈0.02＞0，|1.437 5－1.421 875|＝0.015 625＞0.01， C错误. 8. (多选)下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题，错误的有(　BCD　) A. 若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点 B. 若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值 C. 函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点 D. 用二分法求方程的根时，得到的都是近似解 【解析】使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件，B错误；f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点，C错误；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D错误，只有A正确. 9. (多选)在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确度为0.05的正实数零点的近似值可以为(　ABC　) A. 0.68 B. 0.72 C. 0.7 D. 0.6 【解析】已知f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，则函数f(x)的零点的初始区间为(0.64， 0.72)，又0.68＝×(0.64＋0.72)，且f(0.68)＜0，∴零点在区间(0.68， 0.72)上，|0.72－0.68|＝0.04＜0.05，∴0.68，0.7，0.72都符合. 10. 用二分法求函数f(x)＝log2x＋a－2x零点的近似值时，如果确定零点所在的初始区间为，那么a的取值范围是 　.  【解析】∵零点所在的初始区间为，∴f·f(－1＋a－1)＜0，解得2＜a＜. 11. 利用二分法研究方程x3－4x＋1＝0在(1，3)上的近似解，经过两次二分后，可确定近似解x0所在的区间为 　.  【解析】设f(x)＝x3－4x＋1，则f(1)＝1－4＋1＝－2＜0，f(3)＝33－4×3＋1＝16＞0，＝2，f(2)＝8－8＋1＝1＞0；，f－6＋1＝－＜0，故近似解x0所在的区间为. 12. 二分法是求无理数的近似值的一个有效方法，用这个方法求的近似值时，构造的函数是　f(x)＝x2－17　，选定的初始区间是　[4， 5]　(答案不唯一，写出一个即可).  【解析】由于是方程x2－17＝0的一个根，故构造函数f(x)＝x2－17，根据函数零点存在定理，可以选区间[4，5]作为初始区间. 13. 用二分法求方程6－3x＝2x在区间(1，2)内的近似解(精确度为0.1). 参考数据如下： x 1.125 1.187 5 1.25 1.375 1.5 2x的近似值 2.18 2.28 2.38 2.59 2.83 解：设函数f(x)＝2x＋3x－6，则f(x)在R上是增函数，方程6－3x＝2x的解为x0，则x0∈(1，2)，∵f(1)＝－1＜0，f(2)＝4＞0，f(1.5)≈1.33＞0，∴f(1)·f(1.5)＜0，∴x0∈(1，1.5).∵f(1.25)≈0.13＞0，∴f(1)·f(1.25)＜0，∴x0∈(1，1.25). ∵f(1.125)≈－0.445＜0，∴f(1.125)·f(1.25)＜0，∴x0∈(1.125，1.25). ∵f(1.187 5)＝－0.157 5＜0，∴f(1.187 5)·f(1.25)＜0，∴x0∈(1.187 5，1.25). ∵|1.25－1.187 5|＝0.062 5＜0.1，∴方程6－3x＝2x在区间(1，2)内的近似解可以为1.2. 14. 已知函数f(x)＝x3－x2＋1. (1)证明：方程f(x)＝0在区间(0， 2)内有实数解； (2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f(x)＝0(x∈[0， 2])的实数解x0在哪个较小的区间内. (1)证明：∵f(0)＝1＞0，f(2)＝－＜0，∴f(0)·f(2)＜0，由函数零点存在定理可得方程f(x)＝0在区间(0， 2)内有实数解. (2)解：取x1＝×(0＋2)＝1，得f(1)＝＞0，由此可得f(1)·f(2)＜0，下一个有解区间为(1， 2).再取x2＝×(1＋2)＝，得f＝－＜0， ∴f(1)·f＜0，下一个有解区间为. 再取x3＝×，得f＞0，∴f·f＜0，下一个有解区间为.综上所述，所求的实数解x0在区间内. 15. 利用计算器列出自变量和对应的函数值如下表： x －1.6 －1.4 －1.2 －1 y＝2x 0.329 9 0.378 9 0.435 3 0.5 y＝x2 2.56 1.96 1.44 1 x －0.8 －0.6 －0.4 －0.2 0 y＝2x 0.574 3 0.659 8 0.757 9 0.870 6 1 y＝x2 0.64 0.36 0.16 0.04 0 若方程2x＝x2有一个根位于区间(a，a＋0.4)(其中实数a在表格第一行里的数据中取值)内，则a的值为　－1或－0.8　.  【解析】设f(x)＝2x－x2，易知f(x)在(－∞，0)上单调递增，∵f(－0.8)＜0， f(－0.6)＞0，∴f(－0.8)f(－0.6)＜0，∴函数f(x)的一个零点在(－0.8，－0.6)内，又方程的一个根位于(a，a＋0.4)内，∴当a＝－1时，(－0.8，－0.6)⫅(－1， －0.6)，当a＝－0.8时，(－0.8，－0.6)⫅(－0.8，－0.4)，故a的值为－1或 －0.8. 16. 已知f(x)＝ln x＋x－2，g(x)＝ex＋x. (1)通过二分法且满足精确度为0.5，求方程f(x)＝0 的近似解(结果精确到0.1). (2)设f(x1)＝0，g(x2)＝0，证明：x1x2＞－e. 解：(1)由解析式知f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0， f(2)＝ln 2＋2－2＝ln 2＞0，令x＝，则f＝ln －2＝ln ＝ ln ＝ln ＜0，x＝，则f＝ln －2＝ln ＝ln ＝ ln ＞0，又＜0.5，且＝ln ，1＜，∴x＝更接近零点，故方程f(x)＝0的近似解为1.5. (2)由题设⇒故ln x1＋ln (－x2)＝ln (－x1x2)＝2－x1＋x2，且x2＜0，要证x1x2＞－e，只需证2－x1＋x2＜1，即x2＜x1－1，由(1)知x1∈，显然x2＜x1－1成立.综上，x1x2＞－e，得证. 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.5 练习2　用二分法求方程的近似解 1. 用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　 　) A. x1 B. x2 C. x3 D. x4 2. 用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是(　 　) A. |a－b|＜0.1 B. |a－b|＜0.001 C. |a－b|＞0.001 D. |a－b|＝0.001 3. 用二分法求函数f(x)＝lg x＋x－3零点的近似值时，可以取的初始区间是(　 　) A. (0，1) B. (1，2) C. (2，3) D. (3，4) 4. 已知函数f(x)＝x－e－x的部分函数值如下表所示： x 1 0.5 0.75 0.625 0.562 5 f(x) 0.632 1 －0.106 5 0.277 6 0.089 7 －0.007 3 那么f(x)的零点的近似值可取为(精确度为0.1)(　 　) A. 0.55 B. 0.57 C. 0.65 D. 0.70 5. 已知函数f(x)＝2x－在区间(1，2)上有一个零点x0，如果用二分法求x0的近似值，则应将区间(1，2)至少等分的次数为(精确度为0.01)(　 　) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 已知定义在[a， b]上的增函数f(x)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为[a，b]，，又f＝0，则函数f(x)的零点为(　 　) A. － B. － C. － D. － 7. 某同学用二分法求函数f(x)＝2x＋3x－7的零点时，计算出如下结果：f(1.5)≈0.33，f(1.25)≈－0.87，f(1.375)≈－0.28，f(1.437 5)≈0.02，f(1.406 25)≈－0.13，f(1.421 875)≈－0.055，下列说法中，正确的是(　 　) A. 1.406 25是满足精确度为0.01的近似值 B. 1.375是满足精确度为0.1的近似值 C. 1.437 5是满足精确度为0.01的近似值 D. 1.25是满足精确度为0.1的近似值 8. (多选)下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题，错误的有(　 　) A. 若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点 B. 若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值 C. 函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点 D. 用二分法求方程的根时，得到的都是近似解 9. (多选)在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确度为0.05的正实数零点的近似值可以为(　 　) A. 0.68 B. 0.72 C. 0.7 D. 0.6 10. 用二分法求函数f(x)＝log2x＋a－2x零点的近似值时，如果确定零点所在的初始区间为，那么a的取值范围是 　.  11. 利用二分法研究方程x3－4x＋1＝0在(1，3)上的近似解，经过两次二分后，可确定近似解x0所在的区间为 　 .  12. 二分法是求无理数的近似值的一个有效方法，用这个方法求的近似值时，构造的函数是　 　，选定的初始区间是　 　(答案不唯一，写出一个即可).  13. 用二分法求方程6－3x＝2x在区间(1，2)内的近似解(精确度为0.1). 参考数据如下： x 1.125 1.187 5 1.25 1.375 1.5 2x的近似值 2.18 2.28 2.38 2.59 2.83 14. 已知函数f(x)＝x3－x2＋1. (1)证明：方程f(x)＝0在区间(0， 2)内有实数解； (2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f(x)＝0(x∈[0， 2])的实数解x0在哪个较小的区间内. 15. 利用计算器列出自变量和对应的函数值如下表： x －1.6 －1.4 －1.2 －1 y＝2x 0.329 9 0.378 9 0.435 3 0.5 y＝x2 2.56 1.96 1.44 1 x －0.8 －0.6 －0.4 －0.2 0 y＝2x 0.574 3 0.659 8 0.757 9 0.870 6 1 y＝x2 0.64 0.36 0.16 0.04 0 若方程2x＝x2有一个根位于区间(a，a＋0.4)(其中实数a在表格第一行里的数据中取值)内，则a的值为　 　.  16. 已知f(x)＝ln x＋x－2，g(x)＝ex＋x. (1)通过二分法且满足精确度为0.5，求方程f(x)＝0 的近似解(结果精确到0.1). (2)设f(x1)＝0，g(x2)＝0，证明：x1x2＞－e. 学科网（北京）股份有限公司 $