第4章 数据分析小结与评价 导学案 2025-2026学年湘教版数学八年级下册

该初中数学导学案聚焦“数据分析”单元，围绕算术平均数、加权平均数、中位数、众数、方差及频数分布等核心概念，设定“理解意义—准确计算—实际应用”的递进目标，通过预习导航（概念填空、判断）、深度研习（统计量对比、方差计算、案例分析）、分层训练（判断、填空、解答）的任务关联，构建完整学习路径。 亮点在于“谁的成绩更稳定”小组探究活动，4人分工计算甲、乙同学成绩的平均数与方差，讨论选竞赛选手，培养运算能力、推理意识和数据意识。板书设计呈现知识框架，分层训练覆盖不同难度，为教师单元复习提供系统支撑，促进学生深度学习与能力发展。

小结与评价 第4章 数据分析 导学案 -初中数学湘教版2025-2026学年八年级下册 【学习导航】 一、我能准确计算算术平均数和加权平均数，说出"权"的意义和作用，正确率达85%以上。 二、我能找出一组数据的中位数和众数，判断它们各自的适用场景，能解释为什么有时中位数比平均数更能代表一般水平。 三、我能计算一组数据的方差，用方差大小比较两组数据的波动程度，说出方差越大波动越大的道理。 四、我能读懂频数分布表和频数直方图，从图表中提取有用信息，完成简单的统计计算。 五、我能结合实际情境选择适当的统计量分析数据，形成用数据说话的意识，完成一份简单的数据分析报告。 【预习导航】 一、概念填空 1. 一组数据中所有数据之和除以数据的个数，得到的是__________。如果每个数据有不同的重要程度，计算时要乘以相应的__________，得到的是__________。 2. 将一组数据按从小到大排列后，位于中间位置的数叫做__________。如果数据个数是偶数，取中间两个数的__________。 3. 一组数据中出现次数最多的数据叫做__________。一组数据的众数可以有__________个，也可能__________。 4. 方差是衡量一组数据__________的统计量。方差越大，说明数据的波动越__________，越__________稳定。 二、判断正误 1. 一组数据的平均数一定是这组数据中的某一个数。（ ） 2. 中位数不受极端值的影响，所以当数据中有特别大或特别小的数时，中位数更能代表一般水平。（ ） 3. 众数是出现次数最多的次数。（ ） 4. 计算方差时，先求每个数据与平均数的差，再平方，最后求这些平方的平均数。（ ） 5. 两组数据的平均数相同，它们的方差也一定相同。（ ） 三、生活应用 你所在的班级要评选"体育之星"，需要从三名候选人中选一人。评选标准包括：100米跑成绩、跳远成绩、一分钟跳绳个数、体育理论考试成绩。 想一想，如果这四项的重要程度不同，你会用什么统计量来评选？为什么？ 【深度研习】 一、核心统计量对比 【小结】 集中趋势的三个统计量各有特点。平均数利用了所有数据的信息，但容易受极端值影响；中位数只关注中间位置，不受极端值干扰，但对数据变化不敏感；众数反映出现次数最多的数据，适合描述最普遍的情况，但可能不唯一或不存在。选择哪个统计量，要看具体情境和数据特点。 【提醒】 计算中位数时，第一步必须是排序。很多同学拿到数据直接找中间的数，忘了排序，这是最常见的错误。上次单元测试中，有32%的学生在求中位数时因为没有排序而丢分，这个比例相当高。 二、方差的意义与计算 方差是本章的难点。为什么要发明方差这个概念？因为光看平均数不够，两组数据的平均数可能相同，但波动程度可能差别很大。比如两个射击运动员，平均成绩都是9环，但一个每次都打9环左右，另一个有时打10环有时打8环，显然第一个更稳定。 方差的计算分四步：第一步，求这组数据的平均数；第二步，求每个数据与平均数的差；第三步，把每个差平方；第四步，求这些平方的平均数。 为什么要平方？因为差有正有负，如果直接相加会互相抵消，看不出波动大小。平方后所有值都是正的，加起来就能反映整体波动程度。 【提醒】 方差计算最容易错的地方有两个：一是忘记最后除以数据个数n，二是平方这一步漏掉。上届教这章时，我做过统计，约40%的学生在第一次学方差时会犯"不除以n"的错误。记住口诀："先平均，再求差，平方后，再平均"，一共四个步骤，一步都不能少。 三、【案例分析】 活动主题：谁的成绩更稳定 分组人数：4人一组 活动时间：8分钟 活动步骤： 1. 每组拿到两组数据：甲、乙两名同学近10次数学测验的成绩。 2. 小组分工：1人计算甲的平均数，1人计算乙的平均数，1人计算甲方差，1人计算乙方差。 3. 计算完成后，四人共同讨论：这两名同学的平均水平如何？谁的成绩更稳定？如果要选一人参加竞赛，你会选谁？为什么？ 4. 每组派一名代表汇报讨论结果，其他组可以补充或质疑。 学生产出：每组提交一份分析报告，包含计算过程和结论，说明选择的理由。 教师引导语："同学们，算完平均数后，大家发现两人的平均成绩差不多。那是不是随便选谁都行呢？再算算方差，看看有什么新发现。" 【重点】 本章的重点是理解各个统计量的意义并能正确计算。学生学平均数时最常出现的问题是，遇到加权平均数的题目，不知道哪些是数据、哪些是权，经常把数据和权搞混。比如计算班级平均分，有的同学直接把分数加起来除以人数，这是算术平均数；但如果是计算综合测评，平时成绩占30%、期中占30%、期末占40%，这就是加权平均数，30%、30%、40%就是"权"。权可以是百分比、份数、人数，形式很多，但本质都是反映数据的重要程度。教学中要多举不同形式的例子，让学生在对比中体会"权"的含义。 【难点】 本章的难点是方差概念的理解和计算。学生很难理解为什么要用这么复杂的方式来衡量波动。突破方法是做一个5分钟的课堂小游戏：让两组学生各5人，比一比谁的身高更整齐。先让学生用眼睛观察，说出自己的判断；然后计算两组的平均身高，发现差不多；接着引导学生思考，平均身高差不多，怎么衡量谁更整齐呢？这时再引出方差的概念，学生就容易接受了。因为他们有了"需要一个新的统计量"的内在需求，而不是被动接受公式。 四、板书设计 第4章 数据分析 小结与复习 一、集中趋势 平均数：算术平均、加权平均（权的意义） 中位数：先排序，再找中间 众数：出现次数最多的数据 二、离散程度 方差：先平均→再求差→平方后→再平均 方差越大，波动越大，越不稳定 三、数据分布 频数、频率 频数直方图 四、实际应用 根据情境选择合适的统计量 用样本估计总体 【案例探究】 例1 某班20名学生的数学期末成绩如下： 85，90，88，92，85，87，90，85，95，88， 90，92，87，85，90，88，92，85，90，87 （1）求这20名学生的平均成绩； （2）求这组数据的中位数和众数； （3）你认为用哪个统计量代表这个班的数学成绩比较合适？为什么？ 解： （1）求平均成绩，先统计每个分数出现的次数，用加权平均数计算。 85出现了5次，87出现了3次，88出现了3次，90出现了5次，92出现了3次，95出现了1次。 总分 = 85×5 + 87×3 + 88×3 + 90×5 + 92×3 + 95×1 = 425 + 261 + 264 + 450 + 276 + 95 = 1771 平均成绩 = 1771 ÷ 20 = 88.55分 （2）求中位数，先排序。把数据从小到大排列： 85, 85, 85, 85, 85, 87, 87, 87, 88, 88, 88, 90, 90, 90, 90, 90, 92, 92, 92, 95 一共20个数，是偶数个，中位数是第10个和第11个数的平均数。 第10个数是88，第11个数也是88。 中位数 = (88 + 88) ÷ 2 = 88分 众数是出现次数最多的数。85出现了5次，90也出现了5次，出现次数最多。 所以这组数据有两个众数：85分和90分。 （3）用平均数或中位数代表都可以。这组数据中没有特别极端的分数，平均数88.55和中位数88比较接近，都能反映这个班的整体水平。众数有两个，说明成绩分布有两个高峰，用众数代表性不强。 方法总结：求一组数据的"三数"（平均数、中位数、众数）时，要注意各自的特点。平均数要算准，特别是数据较多时，可以用加权的方法简化计算；中位数一定要先排序，再找位置；众数是数据本身，不是出现的次数。 例2 甲、乙两名射击运动员在相同条件下各射击10次，成绩如下（单位：环）： 甲：9，8，10，9，8，7，9，10，9，9 乙：10，7，8，9，10，8，10，9，7，10 （1）分别计算甲、乙两人的平均成绩； （2）分别计算甲、乙两人成绩的方差； （3）根据计算结果，你认为推荐谁参加比赛更合适？说明理由。 解： （1）甲的平均成绩： 甲的成绩和 = 9+8+10+9+8+7+9+10+9+9 = 88 甲的平均成绩 = 88 ÷ 10 = 8.8环 乙的成绩和 = 10+7+8+9+10+8+10+9+7+10 = 88 乙的平均成绩 = 88 ÷ 10 = 8.8环 两人的平均成绩相同，都是8.8环。 （2）计算方差，按四步走：先平均，再求差，平方后，再平均。 甲的方差： 每个数据与平均数8.8的差分别是： 9-8.8=0.2，8-8.8=-0.8，10-8.8=1.2，9-8.8=0.2，8-8.8=-0.8， 7-8.8=-1.8，9-8.8=0.2，10-8.8=1.2，9-8.8=0.2，9-8.8=0.2 平方后分别是： 0.04，0.64，1.44，0.04，0.64，3.24，0.04，1.44，0.04，0.04 平方和 = 0.04+0.64+1.44+0.04+0.64+3.24+0.04+1.44+0.04+0.04 = 7.6 甲方差 = 7.6 ÷ 10 = 0.76 乙的方差： 每个数据与平均数8.8的差分别是： 10-8.8=1.2，7-8.8=-1.8，8-8.8=-0.8，9-8.8=0.2，10-8.8=1.2， 8-8.8=-0.8，10-8.8=1.2，9-8.8=0.2，7-8.8=-1.8，10-8.8=1.2 平方后分别是： 1.44，3.24，0.64，0.04，1.44，0.64，1.44，0.04，3.24，1.44 平方和 = 1.44+3.24+0.64+0.04+1.44+0.64+1.44+0.04+3.24+1.44 = 12.6 乙方差 = 12.6 ÷ 10 = 1.26 （3）推荐甲参加比赛更合适。因为两人的平均成绩相同，但甲的方差0.76比乙的方差1.26小，说明甲的成绩更稳定，发挥更平稳。比赛中稳定发挥很重要，所以选甲更合适。 方法总结：比较两组数据时，先看平均数，平均数高的整体水平好；如果平均数相同或接近，再看方差，方差小的更稳定。根据实际问题的需求，选择不同的统计量做判断。 例3 某班40名学生的一次数学测验成绩，整理后得到如下频数分布表： 成绩段（分）：50~60，60~70，70~80，80~90，90~100 频数（人）：2，6，12，14，6 （1）计算各成绩段的频率； （2）估计这个班这次测验的平均分； （3）如果80分以上为优秀，求优秀率。 解： （1）频率 = 频数 ÷ 总数，总数是40人。 50~60分的频率：2 ÷ 40 = 0.05 60~70分的频率：6 ÷ 40 = 0.15 70~80分的频率：12 ÷ 40 = 0.30 80~90分的频率：14 ÷ 40 = 0.35 90~100分的频率：6 ÷ 40 = 0.15 验证：0.05+0.15+0.30+0.35+0.15 = 1.00，正确。 （2）估计平均分，用每组的组中值代表该组的平均成绩，再用加权平均数计算。 各组的组中值分别是：55，65，75，85，95 平均分 ≈ (55×2 + 65×6 + 75×12 + 85×14 + 95×6) ÷ 40 = (110 + 390 + 900 + 1190 + 570) ÷ 40 = 3160 ÷ 40 = 79分 （3）80分以上包括80~90和90~100两个成绩段。 优秀人数 = 14 + 6 = 20人 优秀率 = 20 ÷ 40 = 0.5 = 50% 方法总结：频数分布表中，各组的频率之和等于1。用组中值估计平均数是统计中常用的方法，虽然不是精确值，但能反映数据的大致水平。 【分层训练】 一、判断题 1. 一组数据的众数一定只有一个。（ ） 2. 中位数是一组数据中间的那个数，不需要排序。（ ） 3. 方差越大，说明数据越稳定。（ ） 4. 加权平均数中的"权"越大，对应的数据对结果的影响越大。（ ） 5. 频率是频数除以总数，所以频率一定小于1。（ ） 二、填空题 1. 数据：3，5，4，5，2，5，3的众数是__________，中位数是__________，平均数是__________。 2. 已知一组数据：1，2，3，4，5的方差是2，那么数据：11，12，13，14，15的方差是__________。 3. 某班50名学生中，12岁的有5人，13岁的有30人，14岁的有15人，这个班学生的平均年龄是__________岁。 4. 一组数据的方差是4，标准差是__________。 5. 在频数分布表中，各小组的频率之和等于__________。 三、解答题 1. 某商店一周中每天卖出的衬衣数量如下：12，15，17，15，20，18，15。 （1）求这组数据的平均数、中位数和众数； （2）你认为哪个统计量能代表这一周每天卖出衬衣的一般水平？为什么？ 2. 甲、乙两台包装机同时包装质量为500克的糖果，从中各抽出10袋，测得实际质量如下（单位：克）： 甲：501，500，503，506，504，506，500，498，497，495 乙：503，504，502，498，499，501，505，497，502，499 （1）分别计算两台包装机包装的糖果的平均质量； （2）分别计算两台包装机包装的糖果质量的方差； （3）哪台包装机的工作更稳定？为什么？ 3. 为了了解某校八年级学生的视力情况，从中抽取了50名学生进行视力检查，结果如下： 视力：4.0~4.3，4.4~4.7，4.8~5.1 人数：8，25，17 （1）求各组的频率； （2）如果视力在4.8及以上为正常，估计该校八年级学生的视力正常率； （3）你能估计这50名学生的平均视力吗？说说你的方法。 【参考解答】 一、判断题答案 1. ×。解析：众数可以有多个，也可以没有。比如数据1，2，2，3，3中，2和3都出现了两次，都是众数。 2. ×。解析：求中位数必须先排序，再找中间位置的数。不排序直接找中间的数是常见错误。 3. ×。解析：方差越大，数据的波动越大，越不稳定。方差越小才越稳定。 4. √。解析："权"反映数据的重要程度，权越大，对加权平均数的影响越大。 5. ×。解析：频率可以等于1，当所有数据都在同一组时，该组的频率就是1。 二、填空题答案 1. 众数是5，中位数是4，平均数是约3.86。 解析：数据排序后是2，3，3，4，5，5，5。5出现了3次，次数最多，所以众数是5。一共7个数，第4个数是4，所以中位数是4。平均数=(2+3+3+4+5+5+5)÷7=27÷7≈3.86。 2. 方差是2。 解析：把一组数据都加上同一个数，方差不变。因为每个数据与平均数的差不变，平方后也不变，所以方差不变。 3. 平均年龄是13.2岁。 解析：这是加权平均数，人数就是权。 平均年龄 = (12×5 + 13×30 + 14×15) ÷ 50 = (60 + 390 + 210) ÷ 50 = 660 ÷ 50 = 13.2岁 4. 标准差是2。 解析：标准差是方差的算术平方根。方差是4，所以标准差是√4=2。 5. 频率之和等于1。 解析：所有数据都分到各个组中，各组频数之和等于总数，所以频率之和等于总数÷总数=1。 三、解答题答案 1. 解： （1）数据排序：12，15，15，15，17，18，20 平均数 = (12+15+17+15+20+18+15) ÷ 7 = 112 ÷ 7 = 16件 中位数：一共7个数，第4个数是15，所以中位数是15件。 众数：15出现了3次，次数最多，所以众数是15件。 （2）用平均数或中位数都可以。平均数16件反映了平均每天卖出的数量；中位数15件说明有一半的日子卖出的数量等于或超过15件。这组数据中没有特别极端的值，平均数和中位数比较接近，都有代表性。 2. 解： （1）甲的平均质量： 甲的质量和 = 501+500+503+506+504+506+500+498+497+495 = 5010克 甲的平均质量 = 5010 ÷ 10 = 501克 乙的平均质量： 乙的质量和 = 503+504+502+498+499+501+505+497+502+499 = 5010克 乙的平均质量 = 5010 ÷ 10 = 501克 （2）甲的方差： 每个数据与501的差：0，-1，2，5，3，5，-1，-3，-4，-6 平方后：0，1，4，25，9，25，1，9，16，36 平方和 = 0+1+4+25+9+25+1+9+16+36 = 126 甲方差 = 126 ÷ 10 = 12.6 乙的方差： 每个数据与501的差：2，3，1，-3，-2，0，4，-4，1，-2 平方后：4，9，1，9，4，0，16，16，1，4 平方和 = 4+9+1+9+4+0+16+16+1+4 = 64 乙方差 = 64 ÷ 10 = 6.4 （3）乙包装机的工作更稳定。因为两台包装机的平均质量相同，都是501克，但乙的方差6.4比甲的方差12.6小，说明乙包装的糖果质量波动更小，更稳定。 3. 解： （1）各组频率： 4.0~4.3：8 ÷ 50 = 0.16 4.4~4.7：25 ÷ 50 = 0.50 4.8~5.1：17 ÷ 50 = 0.34 验证：0.16+0.50+0.34 = 1.00，正确。 （2）视力正常的有17人，正常率 = 17 ÷ 50 = 0.34 = 34% 估计该校八年级学生的视力正常率约为34%。 （3）可以用组中值估计平均视力。 各组的组中值分别是：4.15，4.55，4.95 平均视力 ≈ (4.15×8 + 4.55×25 + 4.95×17) ÷ 50 = (33.2 + 113.75 + 84.15) ÷ 50 = 231.1 ÷ 50 = 4.622 估计这50名学生的平均视力约为4.62。 这种方法是用每组的组中值代表该组的平均水平，再计算加权平均数。因为同一组内的视力也有差异，所以这是估计值，不是精确值。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $