精品解析：北京市石景山区九中教育集团2025-2026学年度第二学期期中考试初一年级数学试卷

北京九中教育集团2025~2026学年度第二学期期中考试初一年级数学试卷 一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 2024年4月18日，电子科技大学信息与量子实验室宣布，该实验室研究团队与清华大学、中国科学院、上海微系统与信息技术研究所合作，在国际上首次研制出氮化镓量子光源芯片．氮化镓量子光源芯片在输出波长范围等关键指标上取得突破，输出波长范围从25.6纳米增加到100纳米，朝着单片集成发展．100纳米米，将米用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 2. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果，那么下列不等式不成立的是（　　） A. B. C. D. 5. 若是关于x，y的二元一次方程的一个解，则a的值为（　　） A. B. 2 C. D. 4 6. 已知，，则的值为（ ） A. 8 B. 16 C. 6 D. 4 7. 如果（x+3）2＝x2+ax+9，那么a的值为（　　） A. 3 B. ±3 C. 6 D. ±6 8. 已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①当时，；②当时，x与y互为相反数；③无论a取何值，都有；④当时，．则正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 列不等式表示“a的一半与1的差是负数”，这个不等式为______，它的正整数解为______． 10. 把方程写成用含的式子表示的形式，_____． 11. 可以取一个的值说明命题“如果，那么”是假命题，可以取_____． 12. 《九章算术》中有这样一道题：今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．意思是：有大小两种容器，已知5个大容器和1个小容器的总容量为3斛（斛是过去的一种量器），1个大容器和5个小容器的总容量为2斛．大、小容器的容量分别是多少斛？设1个大容器的容量为x斛，1个小容器的容量为y斛，可列出的二元一次方程组为______． 13. 如果是关于x、y的二元一次方程，则______． 14. 已知是关于x，y的二元一次方程的解，则代数式的值为___________． 15. 若关于的方程的解大于2且小于4，则的整数值为___________． 16. 3月14日被命名为“国际数学日”，某校在当日举办了数学节活动，分为“数独”和“24点速算”两项比赛．为鼓励学生积极参加，设置了班级参与奖，要求每名学生至少参加一项比赛，获得个人参与积分后再进行累加，记作班级参与积分，个人积分规则如下表： 参加比赛的数量 每人获得的积分 参加两项 10分 只参加一项 4分 （1）七年级1班共32人，有8人参与了两项活动，则此班级获得的参与积分为______； （2）在（1）的条件下，七年级2班学生经过测算，若报名22人参加“数独”，14人参加“24点速算”，可得积分156分．若仍是22人报名参加“数独”，2班积分想要超过1班积分，则至少需要______人报名参加“24点速算”． 三、解答题（共68分，第17—23题，每题5分，第24—25题，每题6分，第26，27，28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解不等式． 19. 解不等式组：，并求出整数解． 20. 解方程组：． 21. 解方程组：． 22. 计算：． 23. 计算：． 24. 先化简，再求值：已知，求代数式的值． 25. 用简便方法计算：． 26. 已知关于的不等式组的所有整数解的和为7，求的取值范围． 以下是小明的解法： 第一步：求的解集 第二步：建立的不等式（组） 第三步：求的取值范围 解不等式①得：， 解不等式②得：， 此不等式组的解集为： 所有整数解的和为7， 这两个整数解一定是3和4， ， __________ （1）将第三步的答案补全； （2）老师说“小明的想法很好，但是在第二步的分析过程中，只列出了其中一种方案，还不够全面，可以借助数轴分析一下”．请将剩下的方案补全，并求出的取值范围． 27. 为庆祝3月14日“国际数学日”，某校七年级策划了“漫画数学”活动，并设置了创意和青苗两个奖项，以获奖作品作为图案向某店铺定制纪念册与环保袋，其中纪念册作为创意奖奖品，环保袋作为青苗奖奖品．已知定制3本纪念册和5个环保袋，共需支付55元；定制5本纪念册和10个环保袋，共需支付100元． （1）该店铺的纪念册和环保袋单价分别是多少元？ （2）为了吸引顾客，该店铺推出了优惠方案：消费满1000元，一律打九折．七年级计划发放200个奖品，其中纪念册不少于64本，总费用不超过1200元，有哪几种定制方案？说明理由． 28. 对于两个关于x的不等式，同时满足这两个不等式的x的值中，有且仅有k个整数，则称这两个不等式“关联”，例如不等式和不等式是“关联”的． （1）请判断不等式和是否是“关联”的，并说明理由； （2）若和是“关联”的，求a的最小整数值； （3）若不等式和是“关联”的，直接写出b的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京九中教育集团2025~2026学年度第二学期期中考试初一年级数学试卷 一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 2024年4月18日，电子科技大学信息与量子实验室宣布，该实验室研究团队与清华大学、中国科学院、上海微系统与信息技术研究所合作，在国际上首次研制出氮化镓量子光源芯片．氮化镓量子光源芯片在输出波长范围等关键指标上取得突破，输出波长范围从25.6纳米增加到100纳米，朝着单片集成发展．100纳米米，将米用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】小于1的正数的科学记数法形式为，其中，是原数左起第一个非零数字前所有0的个数，包含小数点前的0． 【详解】解：∵左起第一个非零数字为1，1前面共有7个0，且， ∴． 2. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得不等式的解集，然后将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解得， 解集在数轴上表示如下： 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵，∴选项A错误； ∵与不是同类项，不能合并，∴选项B错误； ∵根据同底数幂乘法法则，，∴选项C错误； ∵根据幂的乘方法则，，∴选项D正确． 4. 如果，那么下列不等式不成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质，进行计算即可解答． 【详解】解：A、∵，∴，故此选项不符合题意； B、∵，∴，故此选项不符合题意； C、当时，∴不成立，故此选项符合题意； D、∵，∴，故此选项不符合题意； 故选：C． 5. 若是关于x，y的二元一次方程的一个解，则a的值为（　　） A. B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，把代入即可得出a的值． 【详解】解：把代入， 可得：； 故选：D 6. 已知，，则的值为（ ） A. 8 B. 16 C. 6 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用同底数幂乘法的逆用和幂的乘方的逆用的运算法则，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 7. 如果（x+3）2＝x2+ax+9，那么a的值为（　　） A. 3 B. ±3 C. 6 D. ±6 【答案】C 【解析】 【分析】根据完全平方公式可得出答案． 【详解】解：， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了完全平方式，熟记完全平方公式是解题的关键． 8. 已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①当时，；②当时，x与y互为相反数；③无论a取何值，都有；④当时，．则正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先解出方程组中、关于的表达式，再逐一验证各结论即可． 【详解】解方程组， 将两个方程相加，得， ∴， 故结论③正确； 将代入，得， ① 当时， ，∴，故①正确； ② 当时，，，，即与互为相反数，故②正确； ④ 当时， ，∴，故④错误． 综上，正确的结论共3个． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 列不等式表示“a的一半与1的差是负数”，这个不等式为______，它的正整数解为______． 【答案】 ①. ②. 1 【解析】 【分析】本题考查列不等式，解一元一次不等式，正确的翻译句子，列出不等式，然后解一元一次不等式，求出正整数解即可． 【详解】解：由题意，可列不等式为：， 解得：， ∴它的正整数解为1； 故答案为：，1 10. 把方程写成用含的式子表示的形式，_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，将一个未知数看作已知数求出另一个未知数是解题的关键． 将x看作已知数求出y即可解答． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 11. 可以取一个的值说明命题“如果，那么”是假命题，可以取_____． 【答案】（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查的是命题的证明和判断，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．熟知这些知识点是解题的关键．根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：当时， 所以可作为说明命题“如果，那么”是假命题的一个反例． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 《九章算术》中有这样一道题：今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．意思是：有大小两种容器，已知5个大容器和1个小容器的总容量为3斛（斛是过去的一种量器），1个大容器和5个小容器的总容量为2斛．大、小容器的容量分别是多少斛？设1个大容器的容量为x斛，1个小容器的容量为y斛，可列出的二元一次方程组为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题，列二元一次方程组，根据5个大容器和1个小容器的总容量为3斛，1个大容器和5个小容器的总容量为2斛，列出方程组即可． 【详解】解：由题意，可列方程组为：； 故答案为：． 13. 如果是关于x、y的二元一次方程，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二元一次方程的定义，该方程需要含有两个未知数，所含未知数的项的次数都为1，且x的系数不为0，据此列出关于m的条件求解即可． 【详解】∵是关于x、y的二元一次方程， ∴， 解绝对值方程，得或，即或， 由不等式，得， 综上可得，． 14. 已知是关于x，y的二元一次方程的解，则代数式的值为___________． 【答案】44 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值，整体代入的思想是解题的关键． 把x，y的值代入方程即可求出m与n的关系式，然后再整体代入计算即可． 【详解】解：根据题意，把代入得，， ∴ ． 故答案为：44． 15. 若关于的方程的解大于2且小于4，则的整数值为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解不等式． 先求出x关于k的解，再根据“解大于2且小于4”求出k的取值范围，最后找出的整数值即可． 【详解】解：， ∴， ∵关于的方程的解大于2且小于4， ∴， ∴， ∴的整数值为5， 故答案为：5． 16. 3月14日被命名为“国际数学日”，某校在当日举办了数学节活动，分为“数独”和“24点速算”两项比赛．为鼓励学生积极参加，设置了班级参与奖，要求每名学生至少参加一项比赛，获得个人参与积分后再进行累加，记作班级参与积分，个人积分规则如下表： 参加比赛的数量 每人获得的积分 参加两项 10分 只参加一项 4分 （1）七年级1班共32人，有8人参与了两项活动，则此班级获得的参与积分为______； （2）在（1）的条件下，七年级2班学生经过测算，若报名22人参加“数独”，14人参加“24点速算”，可得积分156分．若仍是22人报名参加“数独”，2班积分想要超过1班积分，则至少需要______人报名参加“24点速算”． 【答案】 ①. 176分 ②. 18 【解析】 【分析】本题主要考查有理数混合运算的应用以及一元一次不等式的应用，理解题意是解答本题的关键． （1）求出只参加一项的人数再进行计算即可； （2）设七年级2班共有x人，由题意得，求出七年级2班共有30人，再需要y人报名参加“24点速算”，根据题意列不等式求解即可． 【详解】解：（1）七年级1班参加一项的人数为：（人）， 积分为：（分）， 故答案为：176分； （2）设七年级2班共有x人， 由题意得：， 解得， ∴七年级2班共有30人． 设需要y人报名参加“24点速算”， 由题意得：， 解得， 又∵y为正整数， ∴y的最小值为18， 即至少需要18人报名参加“24点速算”， 故答案为：18． 三、解答题（共68分，第17—23题，每题5分，第24—25题，每题6分，第26，27，28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 解不等式． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 19. 解不等式组：，并求出整数解． 【答案】 不等式组的解集是，它的整数解为，，，． 【解析】 【详解】解：  解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为，，，． 20. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，属于基础题型，熟练掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 观察方程组的特点，用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：． 21. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解题关键．利用代入消元法解二元一次方程组即可得． 【详解】解：， 将①代入②得：， 解得， 将代入①得：， 则方程组的解为． 22. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据多项式乘多项式法则和单项式乘多项式法则进行计算即可． 【详解】解： ． 23. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算． 先计算平方差公式，单项式的除法，再计算减法即可． 【详解】解：原式 24. 先化简，再求值：已知，求代数式的值． 【答案】， 【解析】 【分析】根据去括号，合并同类项，正确化简，后转化为代数式的值计算即可． 本题考查了整式的化简求值，正确化简是解题的关键． 【详解】解：原式 ． ， ． 原式． 25. 用简便方法计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的乘法公式——平方差公式，掌握“”是解题关键． 利用平方差公式，将变形为即可求解． 【详解】解：原式 ． 26. 已知关于的不等式组的所有整数解的和为7，求的取值范围． 以下是小明的解法： 第一步：求的解集 第二步：建立的不等式（组） 第三步：求的取值范围 解不等式①得：， 解不等式②得：， 此不等式组的解集为： 所有整数解的和为7， 这两个整数解一定是3和4， ， __________ （1）将第三步的答案补全； （2）老师说“小明的想法很好，但是在第二步的分析过程中，只列出了其中一种方案，还不够全面，可以借助数轴分析一下”．请将剩下的方案补全，并求出的取值范围． 【答案】（1）7，9 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查根据不等式组整数解的和求参数取值范围，关键是考虑整数解的所有可能组合情况，通过解不等式组求解． 【小问1详解】 解：解不等式组， 去分母，得， 解得，， 故答案为：7，9； 【小问2详解】 整数解的和为7，除了3和4这种组合，还有这种组合， 如图， 针对新组合建立不等式， 此时， 去分母，得， 移项合并同类项，得． 27. 为庆祝3月14日“国际数学日”，某校七年级策划了“漫画数学”活动，并设置了创意和青苗两个奖项，以获奖作品作为图案向某店铺定制纪念册与环保袋，其中纪念册作为创意奖奖品，环保袋作为青苗奖奖品．已知定制3本纪念册和5个环保袋，共需支付55元；定制5本纪念册和10个环保袋，共需支付100元． （1）该店铺的纪念册和环保袋单价分别是多少元？ （2）为了吸引顾客，该店铺推出了优惠方案：消费满1000元，一律打九折．七年级计划发放200个奖品，其中纪念册不少于64本，总费用不超过1200元，有哪几种定制方案？说明理由． 【答案】（1）店铺的纪念册每本10元，环保袋每个5元 （2）三种定制方案，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，理解题意，正确求解是解答的关键． （1）设该店铺的纪念册每本x元，环保袋每个y元，根据题意正确列出方程组，然后求解即可； （2）设定制纪念册m本，则定制环保袋个，依题意可判断总费用超过1000元．根据题意列出不等式求得，结合已知条件求解即可得出方案． 【小问1详解】 解：设该店铺的纪念册每本x元，环保袋每个y元． 根据题意，得 解得, 答：该店铺的纪念册每本10元，环保袋每个5元； 【小问2详解】 解：设定制纪念册m本，则定制环保袋个，其中． 依题意，当时，总费用为， 即可判断总费用超过1000元． 根据题意，得． 解得． ∵且为整数， ∴，，， 有三种定制方案： 方案1：纪念册64本，环保袋136个，总费用为（元）； 方案2：纪念册65本，环保袋135个，总费用为（元）； 方案3：纪念册66本，环保袋134个，总费用为（元）． 28. 对于两个关于x的不等式，同时满足这两个不等式的x的值中，有且仅有k个整数，则称这两个不等式“关联”，例如不等式和不等式是“关联”的． （1）请判断不等式和是否是“关联”的，并说明理由； （2）若和是“关联”的，求a的最小整数值； （3）若不等式和是“关联”的，直接写出b的值． 【答案】（1） 解：是，理由如下： 解不等式，得； 解不等式，得； ∴同时满足这两个不等式的x的值中，有且仅有1个整数， ∴不等式和是“关联”的； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求得这两个不等式的解集，然后按照定义判断即可； （2）先求得这两个不等式的公共解集，然后根据定义可知公共解集有且仅有3个整数，得到关于的不等式组，即可解答； （3）先求得这两个不等式的解集，再根据这两个不等式的解集有公共部分得到的取值范围，然后根据为整数，分别代入计算即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：解不等式，得， ∵和是“关联”的， ∴满足这两个不等式的x的值中，有且仅有3个整数，分别为、、， ∴，解得：， ∴a的最小整数值为； 【小问3详解】 解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式和是“关联”的，即这两个不等式的解集有公共部分， ∴，解得， ∴，且为整数， 当时，，此时是“关联”的，不符合题意； 当时，，此时是“关联”的，不符合题意； 当时，，此时是“关联”的，不符合题意； 当时，，此时是“关联”的，符合题意； ∴的值为3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $